t*****r
发帖数: 142 | 1 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
为别的什么原因？懂行的请讲讲。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 2 1. 追击和鸡兔，用算术解起来也不绕。
2. 娃九九表背完了，代数规则表没背过，不能立刻升级成人肉代数计算器。
3. 抽象就是扯。大多数人就是个人肉代数计算器而已。否则的话，会代数的，都直接
就会离散数学了。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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t*****r
发帖数: 142 | 3 我没有说娃要立刻自动升级，只是说需要早日引入代数概念。
至于说抽象就是扯，那就只好各说各话了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 1. 追击和鸡兔，用算术解起来也不绕。
: 2. 娃九九表背完了，代数规则表没背过，不能立刻升级成人肉代数计算器。
: 3. 抽象就是扯。大多数人就是个人肉代数计算器而已。否则的话，会代数的，都直接
: 就会离散数学了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 4 离散数学可能还是要学点东东的。。。这样吧，会代数的，又有抽象能力的，不限时间
做 AIME 总不会有问题吧。。。证明抽象就是扯，大部分人也就是学成个人肉代数计算
器，当然俺也是。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 1. 追击和鸡兔，用算术解起来也不绕。
: 2. 娃九九表背完了，代数规则表没背过，不能立刻升级成人肉代数计算器。
: 3. 抽象就是扯。大多数人就是个人肉代数计算器而已。否则的话，会代数的，都直接
: 就会离散数学了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 5 对于扑通娃，"早日引入" 如果是指 spiral 姿势的话，很好。。。但如果搞成会九九
表，但学不会瓢虫，的那种玩法的，也可能会废柴化。。。
当然，牛蛙无底线总是真理。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 我没有说娃要立刻自动升级，只是说需要早日引入代数概念。
: 至于说抽象就是扯，那就只好各说各话了。
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S***e
发帖数: 4426 | 6 如果只是为了解题，早引人方程自然可以。但问题是，解这些题本身根本毫无意义，这
些题目存在的意义就是锻炼娃的思维。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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t*******r
发帖数: 22634 | 7 另外，扑通蛙连算术模型还建立不起来，说干嘛不直接建个代数模型算了。。。楼主这
是"何不食肉糜"之代数版么？
当然，如果走苦逼刷题 dog training 的路子，另说。
另外牛蛙另说，不在讨论范围。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 8 刷题。。。
【在 S***e 的大作中提到】
: 如果只是为了解题，早引人方程自然可以。但问题是，解这些题本身根本毫无意义，这
: 些题目存在的意义就是锻炼娃的思维。
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t*****r
发帖数: 142 | 9 这个不能同意。建立代数模型未必比建立算数模型复杂。比如鸡兔同笼问题，在我不知
道别人怎么用算数方法解决这个问题的时候，我是完全想不出来的，但是用代数方法则
特别直接。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 刷题。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 我觉得数学模型是空间时间的艺术，或者说，mathematical modelling =
mathematical structure + mathematical logics
而我们解非竞赛代数题（或者说，routine problem）的时候，我们其实并不真的需要
建立数学模型，我们不过是 map the said problem to the known routine that been
taught before。。。通俗的说，就是高级人肉代数计算器。。。其实跟计算机也没啥
区别，只是现在的计算机无法理解自然语言而已。。。或者说，routine word problem
其实就是文科加记忆。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 这个不能同意。建立代数模型未必比建立算数模型复杂。比如鸡兔同笼问题，在我不知
: 道别人怎么用算数方法解决这个问题的时候，我是完全想不出来的，但是用代数方法则
: 特别直接。
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t*****r
发帖数: 142 | 11 如果是为了刷题，那是得不偿失的。会了方程之后，绝大多数words problem就不用刷
了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 刷题。。。
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t*****r
发帖数: 142 | 12 这个你说得不错，所以大学有专门课程讲数学建模。当然你也可以说整个物理就是一个
数学建模问题，不过中学物理老师是不会这样讲的 -- 其实我是很希望我的中学物理老
师至少提一提这种理解。
been
problem
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得数学模型是空间时间的艺术，或者说，mathematical modelling =
: mathematical structure + mathematical logics
: 而我们解非竞赛代数题（或者说，routine problem）的时候，我们其实并不真的需要
: 建立数学模型，我们不过是 map the said problem to the known routine that been
: taught before。。。通俗的说，就是高级人肉代数计算器。。。其实跟计算机也没啥
: 区别，只是现在的计算机无法理解自然语言而已。。。或者说，routine word problem
: 其实就是文科加记忆。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 13 数学，物理，还有信息学，某种角度看，可能有其相通之处。。。当然，根子上的区别
可能在于，"axiom of mathematics theory" vs "law of physics" vs "(valid)
assumption of information science"。。。
但对于小学数学概念，其实区分也不那么严格。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 这个你说得不错，所以大学有专门课程讲数学建模。当然你也可以说整个物理就是一个
: 数学建模问题，不过中学物理老师是不会这样讲的 -- 其实我是很希望我的中学物理老
: 师至少提一提这种理解。
:
: been
: problem
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n**********4
发帖数: 2719 | 14 对我觉得应该早引入。不知道美国这边什么时候开始，国内上初中才开始太晚了。而且
微积分线性代数中学压根不讲也不对，本可以很容易理解的搞的很别扭很高深
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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m**k
发帖数: 18660 | 15 这里开始的早.但是浅啊。矩阵相加有什么搞头
【在 n**********4 的大作中提到】
: 对我觉得应该早引入。不知道美国这边什么时候开始，国内上初中才开始太晚了。而且
: 微积分线性代数中学压根不讲也不对，本可以很容易理解的搞的很别扭很高深
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t*******r
发帖数: 22634 | 16 。。。最低也是矩阵求逆吧，invert a matrix。。。当然也没啥搞头。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 这里开始的早.但是浅啊。矩阵相加有什么搞头
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C*****d
发帖数: 2253 | 17 你这个属于被贫穷限制了想象力。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 这个不能同意。建立代数模型未必比建立算数模型复杂。比如鸡兔同笼问题，在我不知
: 道别人怎么用算数方法解决这个问题的时候，我是完全想不出来的，但是用代数方法则
: 特别直接。
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n**********4
发帖数: 2719 | 18 主要是概念，比如rank，eigenvalue eigen vector这些，概念上挺有用的。这些东西
做点应用题。我们小时候算术应用题做太多，到高等数学又一点应用题不做了
【在 m**k 的大作中提到】
: 这里开始的早.但是浅啊。矩阵相加有什么搞头
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t*******r
发帖数: 22634 | 19 老实说俺已经忘了 eigen vector 很多次了。。。
不过现在 eigen vector 都是电算的。。。其实矩阵大了都还是近似值的概念，应用题
也不容易出吧。。。
【在 n**********4 的大作中提到】
: 主要是概念，比如rank，eigenvalue eigen vector这些，概念上挺有用的。这些东西
: 做点应用题。我们小时候算术应用题做太多，到高等数学又一点应用题不做了
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l**a
发帖数: 5175 | 20 不赞同引入代数方程解算数，类似欺骗的感觉。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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l**a
发帖数: 5175 | 21 不赞同引入代数方程解算数，类似欺骗的感觉。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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l**a
发帖数: 5175 | 22 对牛娃可以引入，但是不准许用。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 另外，扑通蛙连算术模型还建立不起来，说干嘛不直接建个代数模型算了。。。楼主这
: 是"何不食肉糜"之代数版么？
: 当然，如果走苦逼刷题 dog training 的路子，另说。
: 另外牛蛙另说，不在讨论范围。
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t*******r
发帖数: 22634 | 23 其实遇上比如基于 unique prime factorization 的离散算术问题，方程解法直接悲愤
了。
【在 l**a 的大作中提到】
: 不赞同引入代数方程解算数，类似欺骗的感觉。
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t*******r
发帖数: 22634 | 24 当然小学能出的题少，所以还是可以背题型的。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 其实遇上比如基于 unique prime factorization 的离散算术问题，方程解法直接悲愤
: 了。
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l**a
发帖数: 5175 | 25 的确有题型这回事。人类长大很不容易的。吃很多苦。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 当然小学能出的题少，所以还是可以背题型的。。。
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a*****g
发帖数: 19398 | 26 不用着急，４年级前有 algebric thinking的概念就够了。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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d****g
发帖数: 7460 | 27 algebric thinking, 愿闻其详。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 不用着急，４年级前有 algebric thinking的概念就够了。
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s******t
发帖数: 3572 | 28 你的鸡兔同笼方程不过是把算术模型变量化。一回事，有啥难想的。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 这个不能同意。建立代数模型未必比建立算数模型复杂。比如鸡兔同笼问题，在我不知
: 道别人怎么用算数方法解决这个问题的时候，我是完全想不出来的，但是用代数方法则
: 特别直接。
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a*****g
发帖数: 19398 | 29 其实 common core 里面从 K 就有了，一直延伸到大概 4-５年级
缩写代号是 OA
你顺着看看就能够感受到了。
a move。循规守矩还是阴沟翻船。半瓶子满还是半瓶子空。
【在 d****g 的大作中提到】
: algebric thinking, 愿闻其详。
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d****g
发帖数: 7460 | 30 好，我去做功课。多谢。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 其实 common core 里面从 K 就有了，一直延伸到大概 4-５年级
: 缩写代号是 OA
: 你顺着看看就能够感受到了。
:
: a move。循规守矩还是阴沟翻船。半瓶子满还是半瓶子空。
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a*****g
发帖数: 19398 | 31 我自己把它总结成一句话，就是好好建立和使用“＝”的概念。
a move。循规守矩还是阴沟翻船。半瓶子满还是半瓶子空。
【在 d****g 的大作中提到】
: 好，我去做功课。多谢。
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t*****r
发帖数: 142 | 32 如果你能够独立想出来鸡兔同笼的算数解法，我
只能称你为牛人。没人告诉我，我反正是想不出来
【在 s******t 的大作中提到】
: 你的鸡兔同笼方程不过是把算术模型变量化。一回事，有啥难想的。
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t*****r
发帖数: 142 | 33 方程比较试用连续问题，但使用变量的代数方法
很多情况下也适用离散问题，列出方程然后分情况
讨论。不过如果离散值不多的话，硬凑可能更快。
当然话说回来，什么题目都可以搞得巨难无比。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 其实遇上比如基于 unique prime factorization 的离散算术问题，方程解法直接悲愤
: 了。
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s**********y
发帖数: 509 | 34 一元一次方程建议今早引入。
二元一次方程在一元一次方程的基础上也可以引入。
猜一猜： dog + cat = 4 dog - cat = 2 dog 是几？ cat 是几？如果娃看你如外星人
， 就该停了。 要是娃很快做出， 再做些难点的题。
大部分的“word problem" 就是位消磨时间的。 对于数学没有帮助。 有兴趣做一点也
很好。
适可而止， 循序渐进，好像是千古不灭的真理。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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t*******r
发帖数: 22634 | 35 如果方程能解大多数离散问题，那我们还要图论干嘛？@@
【在 t*****r 的大作中提到】
: 方程比较试用连续问题，但使用变量的代数方法
: 很多情况下也适用离散问题，列出方程然后分情况
: 讨论。不过如果离散值不多的话，硬凑可能更快。
: 当然话说回来，什么题目都可以搞得巨难无比。
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t*******r
发帖数: 22634 | 36 Ax = b
x = inv(A) * b
通解
【在 s**********y 的大作中提到】
: 一元一次方程建议今早引入。
: 二元一次方程在一元一次方程的基础上也可以引入。
: 猜一猜： dog + cat = 4 dog - cat = 2 dog 是几？ cat 是几？如果娃看你如外星人
: ， 就该停了。 要是娃很快做出， 再做些难点的题。
: 大部分的“word problem" 就是位消磨时间的。 对于数学没有帮助。 有兴趣做一点也
: 很好。
: 适可而止， 循序渐进，好像是千古不灭的真理。
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t*****r
发帖数: 142 | 37 呵呵，我们难道不是在讨论小学生的数学？
【在 t*******r 的大作中提到】
: 如果方程能解大多数离散问题，那我们还要图论干嘛？@@
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t*******r
发帖数: 22634 | 38 所以 decay 嘛
【在 t*****r 的大作中提到】
: 呵呵，我们难道不是在讨论小学生的数学？
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t*****r
发帖数: 142 | 39 呵呵，我们难道不是在讨论小学生的数学？
【在 t*******r 的大作中提到】
: 如果方程能解大多数离散问题，那我们还要图论干嘛？@@
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t*******r
发帖数: 22634 | 40 你是真的没见过小学趣味数学题？
【在 t*****r 的大作中提到】
: 呵呵，我们难道不是在讨论小学生的数学？
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s**********y
发帖数: 509 | 41 微分方程和积分方程怎么破啊？
【在 t*******r 的大作中提到】
: Ax = b
: x = inv(A) * b
: 通解
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t*******r
发帖数: 22634 | 42 这个取决于人生观。。。俺不愿娃走苦逼刷题的人生，个人选择。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 的确有题型这回事。人类长大很不容易的。吃很多苦。
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t*******r
发帖数: 22634 | 43 有限元数值求解解偏微分方程组。
具体特殊方程还有更快速的解法，比如有限空间内的泊松方程，可以用离散 FFT 解，
快许多个数量级。
实际上，变量数目太大的线性方程，也不会直接去矩阵求逆，因为太慢太费内存。。。
一般用 linear conjugated gradient method 迭代求近似解。。。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 微分方程和积分方程怎么破啊？
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t*******r
发帖数: 22634 | 44 当然，吉米其诺估计很悲愤。。。不过那哥们既不会马 mathlab 也不会马 java，也不
指望太多了。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 有限元数值求解解偏微分方程组。
: 具体特殊方程还有更快速的解法，比如有限空间内的泊松方程，可以用离散 FFT 解，
: 快许多个数量级。
: 实际上，变量数目太大的线性方程，也不会直接去矩阵求逆，因为太慢太费内存。。。
: 一般用 linear conjugated gradient method 迭代求近似解。。。
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t*****r
发帖数: 142 | 45 见过一些，但要用到图论的没见过。映像中有一道中学竞赛题要证明任意六个人或者有
三个互相认识，或者有三个互相不认识，除此之外就不知道了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你是真的没见过小学趣味数学题？
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t*****r
发帖数: 142 | 46 刚才Search了一下，发现小学奥数已经开始讲图论了，并且是用集合的表达方式。太超
前了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你是真的没见过小学趣味数学题？
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t*******r
发帖数: 22634 | 47 小学数学竞赛有 non-routine combinatronics 的题目，需要 decision tree，比图论
还高大上。。。
上面那个是难题。。。但就算是剧简单的题目，比如很多跟 divisable 有关的题目，
可能需要画瓢虫，或者基于 unique prime factorization，外加画点 venn diagrams
。。。如果不是靠死记题型，而是通过数学建模分析解题的，也不比图论差太多了。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 见过一些，但要用到图论的没见过。映像中有一道中学竞赛题要证明任意六个人或者有
: 三个互相认识，或者有三个互相不认识，除此之外就不知道了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 48 哥们您是欧拉时代穿越过来发帖的嘛。。。// super fast run
【在 t*****r 的大作中提到】
: 刚才Search了一下，发现小学奥数已经开始讲图论了，并且是用集合的表达方式。太超
: 前了。
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t*****r
发帖数: 142 | 49 没那么严重，只是错过了全民奥数的时代
【在 t*******r 的大作中提到】
: 哥们您是欧拉时代穿越过来发帖的嘛。。。// super fast run
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t*******r
发帖数: 22634 | 50 这个不是全民奥数的原因，而是计算科学的跨越式发展，使得我们下一代将要面对和求
解的，是跟我们这一代几乎是完全不同的问题。（或者说，我们这一代当年训练的人肉
计算力，目前已经被电子数值计算远远超越）。
之所以这些问题在趣味数学里先出现，是因为趣味数学作为 enrichment，有船小掉头
快的优势。。。而学校正规数学作为 requirement，涉及面太宽，只能走小步走一步看
一步。。。就这样美帝的学校正规数学还是被改成了个四不像。。。lol。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 没那么严重，只是错过了全民奥数的时代
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t*******r
发帖数: 22634 | 51 另外数字求解偏微分方程组，也是个很实际的体力活。。。就算台基电这种低端厂子，
给三星手机烤个芯片啥的，也是要算过偏微分方程组的（当然是通过现成软件）。。。
不过如果是台湾炸鸡店，那就别算了，看着差不多外焦里嫩了就成。。。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 微分方程和积分方程怎么破啊？
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t*****r
发帖数: 142 | 52 老实讲我对计算机的飞速发展最终给人类带来什么样的结果持悲观态度。设想一个世界
80%的问题
都被数学建模然后计算机解决了，大概也很无聊。现在的计算机技术好像就是向那个方
向发展。
扯远了。具体到这些趣味数学题，就得看看孩子的天赋了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这个不是全民奥数的原因，而是计算科学的跨越式发展，使得我们下一代将要面对和求
: 解的，是跟我们这一代几乎是完全不同的问题。（或者说，我们这一代当年训练的人肉
: 计算力，目前已经被电子数值计算远远超越）。
: 之所以这些问题在趣味数学里先出现，是因为趣味数学作为 enrichment，有船小掉头
: 快的优势。。。而学校正规数学作为 requirement，涉及面太宽，只能走小步走一步看
: 一步。。。就这样美帝的学校正规数学还是被改成了个四不像。。。lol。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 53 我擦。。。信息学的世界难题不要太多啊。。。您老随便解决一个不是太偏门的，保证
您老比老张更出名！。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 老实讲我对计算机的飞速发展最终给人类带来什么样的结果持悲观态度。设想一个世界
: 80%的问题
: 都被数学建模然后计算机解决了，大概也很无聊。现在的计算机技术好像就是向那个方
: 向发展。
: 扯远了。具体到这些趣味数学题，就得看看孩子的天赋了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 54 也不用信息学的世界难题了，您老只要能让计算机能模拟随便哪个单细胞草履虫啥的，
我保证您老跟牛顿齐飞，与小爱共舞。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 老实讲我对计算机的飞速发展最终给人类带来什么样的结果持悲观态度。设想一个世界
: 80%的问题
: 都被数学建模然后计算机解决了，大概也很无聊。现在的计算机技术好像就是向那个方
: 向发展。
: 扯远了。具体到这些趣味数学题，就得看看孩子的天赋了。
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t*****r
发帖数: 142 | 55 你要专门解决世界难题那我只能说你志向高远，事实上很多问题没有那么难，但对人类
社会生活起的作用远比
那些难题大。比如棱镜计划。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我擦。。。信息学的世界难题不要太多啊。。。您老随便解决一个不是太偏门的，保证
: 您老比老张更出名！。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 56 有歪成政治坑的倾向嘛。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 你要专门解决世界难题那我只能说你志向高远，事实上很多问题没有那么难，但对人类
: 社会生活起的作用远比
: 那些难题大。比如棱镜计划。
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r*g
发帖数: 3159 | 57 就是说
？ +2 =5
如果套用规则 把2挪过去要变号，？ = 5-2 =3 是算数思维。
如果用
？+2-2 = 5 -2 => ?+0 =3 => ? = 3 就是代数思维了。
【在 d****g 的大作中提到】
: algebric thinking, 愿闻其详。
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l**a
发帖数: 5175 | 58 LZ 说的是应用题。
代数概念的引入是很早，在美国可能二年级就有，太简单的东西，
根本不用引入，小孩也会理解。能理解加法，就能理解这个。
美国的数学的确没有太多复杂的算术应用题，都是等到代数运算以后解决。
我们中国小学应用题搞的比较复杂。不能列方程，其实用代数来解，
算术上复杂的，代数上变量多，不是线性的都可能。
用代数解也不简单。但是在算术里，却有固定题型。
究竟有什么好处呢？这是LZ的问题，好和坏都是相对的概念。
【在 r*g 的大作中提到】
: 就是说
: ？ +2 =5
: 如果套用规则 把2挪过去要变号，？ = 5-2 =3 是算数思维。
: 如果用
: ？+2-2 = 5 -2 => ?+0 =3 => ? = 3 就是代数思维了。
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m**k
发帖数: 18660 | 59 说的好
【在 l**a 的大作中提到】
: LZ 说的是应用题。
: 代数概念的引入是很早，在美国可能二年级就有，太简单的东西，
: 根本不用引入，小孩也会理解。能理解加法，就能理解这个。
: 美国的数学的确没有太多复杂的算术应用题，都是等到代数运算以后解决。
: 我们中国小学应用题搞的比较复杂。不能列方程，其实用代数来解，
: 算术上复杂的，代数上变量多，不是线性的都可能。
: 用代数解也不简单。但是在算术里，却有固定题型。
: 究竟有什么好处呢？这是LZ的问题，好和坏都是相对的概念。
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r*g
发帖数: 3159 | 60 为什么中国小学算术要学那么长时间呢?
其实就是中国小学大纲落后。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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m*****t
发帖数: 239 | 61 个人看法，了解一些代数概念，建立起一点代数思维的能力，难道不就是为了不（如你
所说的）“苦逼刷题”吗？
当然，我可能比较受个人经验的影响，自己对新加坡数学了解稍微多一点，看到这个版
上所推荐的challenging word problems五六年纪那两本，各种绕来绕去的题型，还有
那个专门的所谓bar graph解题方式（对有些题型还算好用，对另外一些题型非常费劲
），但就是坚决不告诉孩子variable的概念，我觉得这才是苦逼
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这个取决于人生观。。。俺不愿娃走苦逼刷题的人生，个人选择。。。
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m**k
发帖数: 18660 | 62 不是。中国每个知识点要去高 可能不必要)
【在 r*g 的大作中提到】
: 为什么中国小学算术要学那么长时间呢?
: 其实就是中国小学大纲落后。
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m**k
发帖数: 18660 | 63 同意。刷题也是必要的。
但是不是题做对了就完了。关键是学会思考。多种方法。多个途径。多个理解
【在 m*****t 的大作中提到】
: 个人看法，了解一些代数概念，建立起一点代数思维的能力，难道不就是为了不（如你
: 所说的）“苦逼刷题”吗？
: 当然，我可能比较受个人经验的影响，自己对新加坡数学了解稍微多一点，看到这个版
: 上所推荐的challenging word problems五六年纪那两本，各种绕来绕去的题型，还有
: 那个专门的所谓bar graph解题方式（对有些题型还算好用，对另外一些题型非常费劲
: ），但就是坚决不告诉孩子variable的概念，我觉得这才是苦逼
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b*********l
发帖数: 126 | 64 方程使解题简单化了， 建议晚些。
记得小时候4，5年纪是我们几个同学数学征得很厉害，做很多绕的文字题。突然5年级
开学一个孩子从哥哥那学了设X列方程， 他容易了，比我们快了。有什么用？费劲时不
就是练脑子吗？小孩有的是时间。 |
m**k
发帖数: 18660 | 65 这种练脑子么？不就是记题型么。
【在 b*********l 的大作中提到】
: 方程使解题简单化了， 建议晚些。
: 记得小时候4，5年纪是我们几个同学数学征得很厉害，做很多绕的文字题。突然5年级
: 开学一个孩子从哥哥那学了设X列方程， 他容易了，比我们快了。有什么用？费劲时不
: 就是练脑子吗？小孩有的是时间。
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t*******r
发帖数: 22634 | 66 为啥要教 bar graph 这种套路？那还不如上方程吧。。。
俺觉得除了 math theory 及其形象化表述（比如瓢虫，比如时空），剩下都都应该
play the middle game like a MAGICIAN。教套路是背道而驰。
【在 m*****t 的大作中提到】
: 个人看法，了解一些代数概念，建立起一点代数思维的能力，难道不就是为了不（如你
: 所说的）“苦逼刷题”吗？
: 当然，我可能比较受个人经验的影响，自己对新加坡数学了解稍微多一点，看到这个版
: 上所推荐的challenging word problems五六年纪那两本，各种绕来绕去的题型，还有
: 那个专门的所谓bar graph解题方式（对有些题型还算好用，对另外一些题型非常费劲
: ），但就是坚决不告诉孩子variable的概念，我觉得这才是苦逼
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m**k
发帖数: 18660 | 67 bar graph就是类似瓢虫的东西啊。
而且是连续地
【在 t*******r 的大作中提到】
: 为啥要教 bar graph 这种套路？那还不如上方程吧。。。
: 俺觉得除了 math theory 及其形象化表述（比如瓢虫，比如时空），剩下都都应该
: play the middle game like a MAGICIAN。教套路是背道而驰。
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t*******r
发帖数: 22634 | 68 打个比方，一年级二年级的娃，玩酱油 chess endgame puzzle，那玩意儿也能记题型
么？。。。当然，能记住也得记忆力不是一般的牛。
小学数学题因为变化有限，容易被记题型而已。。。不过如果是扑通蛙，太靠记题型的
话，decay is just matter of time。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 这种练脑子么？不就是记题型么。
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t*******r
发帖数: 22634 | 69 这好比公理或者最最基本的定理 vs 犄角旮旯的几百万条不常用的小定理
【在 m**k 的大作中提到】
: bar graph就是类似瓢虫的东西啊。
: 而且是连续地
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m**k
发帖数: 18660 | 70 非也。 对一般蛙。记 pattern是 事半功倍地。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 打个比方，一年级二年级的娃，玩酱油 chess endgame puzzle，那玩意儿也能记题型
: 么？。。。当然，能记住也得记忆力不是一般的牛。
: 小学数学题因为变化有限，容易被记题型而已。。。不过如果是扑通蛙，太靠记题型的
: 话，decay is just matter of time。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 71 decay 以前的确是事半功倍。。。但加速 decay。。。好比打激素催高。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 非也。 对一般蛙。记 pattern是 事半功倍地。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 72 当然，也不是完全否定解题 pattern。。。但 pattern 是基于 math theory，是 math
modelling 的定式，加快解题速度。。。通俗的说，好比公理 vs 定理。。。问题是
，如果太热情 pattern 了，却不去学 pattern 背后的 math theory & modelling，这
就像一颗没有根的树，top heavy，虽然微风徐徐的时候一副玉树临风的样子，但大风
刮来的时候就好自为之吧。
【在 m**k 的大作中提到】
: 非也。 对一般蛙。记 pattern是 事半功倍地。。
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m**k
发帖数: 18660 | 73 当然。知道pattern的原理。知道用什么pattern还是重要的。
其实pattern也是在多用以后才更深理解的。
math
【在 t*******r 的大作中提到】
: 当然，也不是完全否定解题 pattern。。。但 pattern 是基于 math theory，是 math
: modelling 的定式，加快解题速度。。。通俗的说，好比公理 vs 定理。。。问题是
: ，如果太热情 pattern 了，却不去学 pattern 背后的 math theory & modelling，这
: 就像一颗没有根的树，top heavy，虽然微风徐徐的时候一副玉树临风的样子，但大风
: 刮来的时候就好自为之吧。
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m**k
发帖数: 18660 | 74 嗯。这个倒是。到大学再decay也没办法
【在 t*******r 的大作中提到】
: decay 以前的确是事半功倍。。。但加速 decay。。。好比打激素催高。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 75 这个以前确实要到大学才 decay，因为中小学数学就是学高级人肉代数计算器，会
pattern 就能过关。。。说白了是因为肉算时代的缘故，工程上需要高级人肉代数计算
器。
今后不知道，其实很多人说数学对上班没用，其实也就是因为电算发达了，软件自动化
程度高了，工程上不再大量需要高级人肉代数计算器了。。。其实跟现在的收银员不再
需要会打算盘，一个道理。。。不过这也是导致收银员只能拿州最低工资原因之一。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 嗯。这个倒是。到大学再decay也没办法
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d****g
发帖数: 7460 | 76 但是学了代数可以拿代数题练脑子啊。。代数没难题吗？
【在 b*********l 的大作中提到】
: 方程使解题简单化了， 建议晚些。
: 记得小时候4，5年纪是我们几个同学数学征得很厉害，做很多绕的文字题。突然5年级
: 开学一个孩子从哥哥那学了设X列方程， 他容易了，比我们快了。有什么用？费劲时不
: 就是练脑子吗？小孩有的是时间。
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m*****t
发帖数: 239 | 77
确实如此，其实这个bar graph就是用画一段段长条来把各种quantity形象化，本质上
和瓢虫是同一种东西。但是有时候，把题目里quantity们形象化是更加费力的（比如有
分数的情况，而新加坡数学在这时明明已经练习不少分数运算了）。个人猜测，用这个
方式的原因，有可能是据说曾经有研究认为，孩
子通常要到十一二岁才能有足够的抽象思维能力，来理解代数的基本概念（或者说，至
少我看见过有中小学老师引用这样的说法）。但是个人观察，这个研究（如果存在）很
可能相当大偏差，对相当大一部分孩子未必适用。
另外，说到新加坡数学本身的话，他家的小学数学有一个很奇怪的缺点，就是完全没有
任何负数的概念...
【在 m**k 的大作中提到】
: bar graph就是类似瓢虫的东西啊。
: 而且是连续地
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d****g
发帖数: 7460 | 78 好，我回去试试。。
但是加法直接变减法容易。一但多一步，就是方程。。
比如 ２X？ +１ =5
【在 r*g 的大作中提到】
: 就是说
: ？ +2 =5
: 如果套用规则 把2挪过去要变号，？ = 5-2 =3 是算数思维。
: 如果用
: ？+2-2 = 5 -2 => ?+0 =3 => ? = 3 就是代数思维了。
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m*****t
发帖数: 239 | 79
我觉得用处有啊，就是可以早做完早去玩
至于练脑子，我是觉得可以用来练脑子的东西多的很
【在 b*********l 的大作中提到】
: 方程使解题简单化了， 建议晚些。
: 记得小时候4，5年纪是我们几个同学数学征得很厉害，做很多绕的文字题。突然5年级
: 开学一个孩子从哥哥那学了设X列方程， 他容易了，比我们快了。有什么用？费劲时不
: 就是练脑子吗？小孩有的是时间。
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m**k
发帖数: 18660 | 80 分析恨透啊。你娃几岁啊
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 我觉得用处有啊，就是可以早做完早去玩
: 至于练脑子，我是觉得可以用来练脑子的东西多的很
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s******t
发帖数: 3572 | 81 这种题解法在算术里就是找 difference 嘛。方程里就是消元。消元的过程就是算
difference 的过程，不就是一个东西么。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 如果你能够独立想出来鸡兔同笼的算数解法，我
: 只能称你为牛人。没人告诉我，我反正是想不出来
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t*******r
发帖数: 22634 | 82 长条的背后是几何，瓢虫的背后是集合论图论。这俩也能是一个东西？
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 我觉得用处有啊，就是可以早做完早去玩
: 至于练脑子，我是觉得可以用来练脑子的东西多的很
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m**k
发帖数: 18660 | 83 就是离散和连续的区别。
都是抽象表达。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 长条的背后是几何，瓢虫的背后是集合论图论。这俩也能是一个东西？
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t*****r
发帖数: 142 | 84 忘了提一下，我第一次接触鸡兔同笼是在小学作为趣味题出现的，完全没有方程观念，
也完全没有接触过类似题目，想了一下想不出来，看答案是用中国古代的抬腿法，顿时
惊为天人。那种感觉现在还记得。所以如果你是小学时独立想出来的，我只能说你太牛
了。
【在 s******t 的大作中提到】
: 这种题解法在算术里就是找 difference 嘛。方程里就是消元。消元的过程就是算
: difference 的过程，不就是一个东西么。
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t*******r
发帖数: 22634 | 85 本质是不一样的。
算术解法，要求以 play the middle game like a MAGICIAN 的姿势建模（如果不是记
忆题型）。
代数解法，则是以 play the opening game like a BOOK 的姿势建模（如果不是 AIME
类 non-routine 题）。
【在 s******t 的大作中提到】
: 这种题解法在算术里就是找 difference 嘛。方程里就是消元。消元的过程就是算
: difference 的过程，不就是一个东西么。
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r*g
发帖数: 3159 | 86 没错。
所以根本没理由练那么多word problem. 对聪明娃是浪费时间不如前进；对苯娃也是浪
费时间，因为不能指望这个让娃对数学有更深理解。
什么时候引入方程就一个标准：小孩能听懂不。不要搞成死记硬背就行。
【在 d****g 的大作中提到】
: 但是学了代数可以拿代数题练脑子啊。。代数没难题吗？
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t*******r
发帖数: 22634 | 87 集合论和图论是可以用来证明数论的。
但用（解析）几何来证明数论的话，本质上是循环论证。。。几何可以用来阐述数论的
"有用" 倒是。
说实话，小学的数轴解法，是一个很方便的建模方式。。。。但由于其本质上不能用来
证明数论（会导致循环论证），所以当某人试图用数轴来理解负数乘法的时候，发生自
相矛盾而悲剧了。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 就是离散和连续的区别。
: 都是抽象表达。
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p**s
发帖数: 2707 | 88 给你出道题，有17%的溶液和6%的溶液，需要配10%的溶液9升，两种溶液各需多少。不
用方程能做吗？
【在 t*****r 的大作中提到】
: 忘了提一下，我第一次接触鸡兔同笼是在小学作为趣味题出现的，完全没有方程观念，
: 也完全没有接触过类似题目，想了一下想不出来，看答案是用中国古代的抬腿法，顿时
: 惊为天人。那种感觉现在还记得。所以如果你是小学时独立想出来的，我只能说你太牛
: 了。
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m**k
发帖数: 18660 | 89 不觉得鸡兔问题就是magician了啊。
大多数人是学个pattern(抬腿也好，先算鸡也好)
能自己想出来抬腿的另算
AIME
【在 t*******r 的大作中提到】
: 本质是不一样的。
: 算术解法，要求以 play the middle game like a MAGICIAN 的姿势建模（如果不是记
: 忆题型）。
: 代数解法，则是以 play the opening game like a BOOK 的姿势建模（如果不是 AIME
: 类 non-routine 题）。
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m**k
发帖数: 18660 | 90 数论都是整数。所以是特殊的几何或者代数罢了
【在 t*******r 的大作中提到】
: 集合论和图论是可以用来证明数论的。
: 但用（解析）几何来证明数论的话，本质上是循环论证。。。几何可以用来阐述数论的
: "有用" 倒是。
: 说实话，小学的数轴解法，是一个很方便的建模方式。。。。但由于其本质上不能用来
: 证明数论（会导致循环论证），所以当某人试图用数轴来理解负数乘法的时候，发生自
: 相矛盾而悲剧了。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 91 趣味数学又不是只有鸡兔同笼。
而且实在的说，做了多遍熟悉的题型，都不是 magician 了，那是 book 了。。。当然
划分不是那么绝对就是了，因为人类不是大猩猩式照相式咔嚓型记忆。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 不觉得鸡兔问题就是magician了啊。
: 大多数人是学个pattern(抬腿也好，先算鸡也好)
: 能自己想出来抬腿的另算
:
: AIME
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t*******r
发帖数: 22634 | 92 。。。俺都不好意思问数学是谁教的了。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 数论都是整数。所以是特殊的几何或者代数罢了
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m**k
发帖数: 18660 | 93 肯定可以啊。这就是鸡兔问题嘛。
每个鸡有6%个脚
每个兔子有
17%个脚
一共0.9个脚
9个头
【在 p**s 的大作中提到】
: 给你出道题，有17%的溶液和6%的溶液，需要配10%的溶液9升，两种溶液各需多少。不
: 用方程能做吗？
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m**k
发帖数: 18660 | 94 俺是自学啊。啥是数论啊
【在 t*******r 的大作中提到】
: 。。。俺都不好意思问数学是谁教的了。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 95 画 UPF 瓢虫吧。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 肯定可以啊。这就是鸡兔问题嘛。
: 每个鸡有6%个脚
: 每个兔子有
: 17%个脚
: 一共0.9个脚
: 9个头
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m**k
发帖数: 18660 | 96 不是整数不好画啊。
这完全应该用抽象思维了啊。还画啥啊
【在 t*******r 的大作中提到】
: 画 UPF 瓢虫吧。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 97 应该不需要 UPF，反正都是 100 分，直接整数化。凑 900 和 90 应该就可以收拾书包
。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 画 UPF 瓢虫吧。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 98 乘上 100 都是整数哈哈哈，guess & check 都收拾书包了，好像比方程快。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 不是整数不好画啊。
: 这完全应该用抽象思维了啊。还画啥啊
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t*******r
发帖数: 22634 | 99 我来算哈
90 - 6*9 = 36
36 / 9 = 4
17% 的 4 升
我 guess 不 check 了
【在 t*******r 的大作中提到】
: 乘上 100 都是整数哈哈哈，guess & check 都收拾书包了，好像比方程快。。。
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t*****r
发帖数: 142 | 100 对我已经很难了。因为我现在完全不能把自己放到一个小学生的知识水平。这道题要算
比例，第一个想法就是设比例k。我可以以这种解法为基础凑出来一个算数解法然后给
你一个合理解释，但感觉已经是相当无聊了。
【在 p**s 的大作中提到】
: 给你出道题，有17%的溶液和6%的溶液，需要配10%的溶液9升，两种溶液各需多少。不
: 用方程能做吗？
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t*******r
发帖数: 22634 | 101 36 / (17-6) 的意思
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我来算哈
: 90 - 6*9 = 36
: 36 / 9 = 4
: 17% 的 4 升
: 我 guess 不 check 了
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t*******r
发帖数: 22634 | 102 总共 9 只瓢虫，有的瓢虫身上 17 个点，有的是 6 个点，总共凑 90 个点。。。所以
俺把 17 星瓢虫，一刀切成 6 星瓢虫和 9 星瓢虫。。。俺幼儿园大班娃不懂啥比例 k
这种高级货色。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 对我已经很难了。因为我现在完全不能把自己放到一个小学生的知识水平。这道题要算
: 比例，第一个想法就是设比例k。我可以以这种解法为基础凑出来一个算数解法然后给
: 你一个合理解释，但感觉已经是相当无聊了。
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t*****r
发帖数: 142 | 103 看来硬凑很有趣啊。幼儿园大班如果也知道溶液，17%等等概念也很高级了。
k
【在 t*******r 的大作中提到】
: 总共 9 只瓢虫，有的瓢虫身上 17 个点，有的是 6 个点，总共凑 90 个点。。。所以
: 俺把 17 星瓢虫，一刀切成 6 星瓢虫和 9 星瓢虫。。。俺幼儿园大班娃不懂啥比例 k
: 这种高级货色。。。
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m**k
发帖数: 18660 | 104 17%改成16%。再算。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我来算哈
: 90 - 6*9 = 36
: 36 / 9 = 4
: 17% 的 4 升
: 我 guess 不 check 了
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t*******r
发帖数: 22634 | 105 画两矩形一个高 16，一个高为 6，底边加起来 90，同样的算式收拾书包走人。。。
不过你们鸡兔同笼真走火入魔了。以后不涉及 UPF 啥的就别讨论了。
【在 m**k 的大作中提到】
: 17%改成16%。再算。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 106 我骗你的，这个不是 guess & check，否则我也不会不 check。。。
17% 就是 100 个瓢虫的 17 个。。。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 看来硬凑很有趣啊。幼儿园大班如果也知道溶液，17%等等概念也很高级了。
:
: k
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d****g
发帖数: 7460 | 107 嗨，这题我十字交叉了。真是太没有思想深度了。
【在 p**s 的大作中提到】
: 给你出道题，有17%的溶液和6%的溶液，需要配10%的溶液9升，两种溶液各需多少。不
: 用方程能做吗？
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t*******r
发帖数: 22634 | 108 这是速度问题吧，十字交叉咋搞？
【在 d****g 的大作中提到】
: 嗨，这题我十字交叉了。真是太没有思想深度了。
|
d****g
发帖数: 7460 | 109 17 4
10
6 7
交叉减。最后比例是 17的占4／11, 6 占 7／11。
标准化学题啊。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这是速度问题吧，十字交叉咋搞？
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n**********4
发帖数: 2719 | 110 何苦来啊。教育的目的不是给孩子加路障，而是教给他更多的tools，skills，让他更
强大
【在 l**a 的大作中提到】
: 对牛娃可以引入，但是不准许用。
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|
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n**********4
发帖数: 2719 | 111 等开始写程序，等号又改变概念了，lol
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我自己把它总结成一句话，就是好好建立和使用“＝”的概念。
:
: a move。循规守矩还是阴沟翻船。半瓶子满还是半瓶子空。
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t*******r
发帖数: 22634 | 112 解代数不是不能用几何，但是要懂娃版 foundation of mathematics 才能知道为啥这
么整是对的。
另外这题就是 distributive property。。。distributive property 就是切蛋糕拼蛋糕
【在 t*******r 的大作中提到】
: 画两矩形一个高 16，一个高为 6，底边加起来 90，同样的算式收拾书包走人。。。
: 不过你们鸡兔同笼真走火入魔了。以后不涉及 UPF 啥的就别讨论了。
|
n**********4
发帖数: 2719 | 113 我觉得多介绍点概念挺好的。集合之类的基本概念又不难理解
【在 t*****r 的大作中提到】
: 刚才Search了一下，发现小学奥数已经开始讲图论了，并且是用集合的表达方式。太超
: 前了。
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n**********4
发帖数: 2719 | 114 这个有用，早教也好。国内连本科都不教非弄成研究生课
【在 t*******r 的大作中提到】
: 另外数字求解偏微分方程组，也是个很实际的体力活。。。就算台基电这种低端厂子，
: 给三星手机烤个芯片啥的，也是要算过偏微分方程组的（当然是通过现成软件）。。。
: 不过如果是台湾炸鸡店，那就别算了，看着差不多外焦里嫩了就成。。。
|
n**********4
发帖数: 2719 | 115 我老人家觉得非常好，一点也不无聊
【在 t*****r 的大作中提到】
: 老实讲我对计算机的飞速发展最终给人类带来什么样的结果持悲观态度。设想一个世界
: 80%的问题
: 都被数学建模然后计算机解决了，大概也很无聊。现在的计算机技术好像就是向那个方
: 向发展。
: 扯远了。具体到这些趣味数学题，就得看看孩子的天赋了。
|
t*******r
发帖数: 22634 | 116 我为啥没找到 9？总共 9 升那个数字。。。
【在 d****g 的大作中提到】
: 17 4
: 10
: 6 7
: 交叉减。最后比例是 17的占4／11, 6 占 7／11。
: 标准化学题啊。
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d****g
发帖数: 7460 | 117 是不是太蝇头小技了？专家怎么看？//递话筒。
【在 d****g 的大作中提到】
: 17 4
: 10
: 6 7
: 交叉减。最后比例是 17的占4／11, 6 占 7／11。
: 标准化学题啊。
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n**********4
发帖数: 2719 | 118 lol 同意的说
【在 r*g 的大作中提到】
: 为什么中国小学算术要学那么长时间呢?
: 其实就是中国小学大纲落后。
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n***p
发帖数: 7668 | 119 要说方程，那至少给三种不同浓度的溶液，然后问一下到底有几种配法。
要是三种溶液的价钱不一样，然后再考虑一下哪种配法最省钱。
【在 d****g 的大作中提到】
: 17 4
: 10
: 6 7
: 交叉减。最后比例是 17的占4／11, 6 占 7／11。
: 标准化学题啊。
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d****g
发帖数: 7460 | 120 9*7/11, 9*4/11. 是比例。
谁出的破题，都不出个整数。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我为啥没找到 9？总共 9 升那个数字。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 121 我擦，我又算错了。17 - 6 = 11
所以 17% 的是 36/11 升。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 36 / (17-6) 的意思
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n**********4
发帖数: 2719 | 122 呜呜job security....
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这个以前确实要到大学才 decay，因为中小学数学就是学高级人肉代数计算器，会
: pattern 就能过关。。。说白了是因为肉算时代的缘故，工程上需要高级人肉代数计算
: 器。
: 今后不知道，其实很多人说数学对上班没用，其实也就是因为电算发达了，软件自动化
: 程度高了，工程上不再大量需要高级人肉代数计算器了。。。其实跟现在的收银员不再
: 需要会打算盘，一个道理。。。不过这也是导致收银员只能拿州最低工资原因之一。。。
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t*****r
发帖数: 142 | 123 这个一般系都不会教，也没有必要交。能正确列出方程组已经不容易了。
【在 n**********4 的大作中提到】
: 这个有用，早教也好。国内连本科都不教非弄成研究生课
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m**k
发帖数: 18660 | 124 所以不要鄙视人肉计算器。。。//run
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我擦，我又算错了。17 - 6 = 11
: 所以 17% 的是 36/11 升。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 125 一刀把 17 星，切成 6 星 和 11 星。。。算了，我计算不行。。。
k
【在 t*******r 的大作中提到】
: 总共 9 只瓢虫，有的瓢虫身上 17 个点，有的是 6 个点，总共凑 90 个点。。。所以
: 俺把 17 星瓢虫，一刀切成 6 星瓢虫和 9 星瓢虫。。。俺幼儿园大班娃不懂啥比例 k
: 这种高级货色。。。
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m**k
发帖数: 18660 | 126 你看有轮子都发明好了。
就不要总靠跑了。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 一刀把 17 星，切成 6 星 和 11 星。。。算了，我计算不行。。。
:
: k
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t*******r
发帖数: 22634 | 127 主要是老不计算。。。俺玩 FFT 看音乐啥的，上网随便 Google 个网页，频率送进去
，音高符号和偏差 cent 跳出来。。。我现在唯一练计算的机会，就是跟娃 review 趣
味数学题！！
【在 m**k 的大作中提到】
: 你看有轮子都发明好了。
: 就不要总靠跑了。。
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m**k
发帖数: 18660 | 128 土豪买东西不用coupon啊。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 主要是老不计算。。。俺玩 FFT 看音乐啥的，上网随便 Google 个网页，频率送进去
: ，音高符号和偏差 cent 跳出来。。。我现在唯一练计算的机会，就是跟娃 review 趣
: 味数学题！！
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t*******r
发帖数: 22634 | 129 不过这题解方程的确不如瓢虫快吧。
【在 m**k 的大作中提到】
: 你看有轮子都发明好了。
: 就不要总靠跑了。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 130 网上 coupon 也是自动算的。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 土豪买东西不用coupon啊。
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m**k
发帖数: 18660 | 131 要算那个更划算啊。。//run
【在 t*******r 的大作中提到】
: 网上 coupon 也是自动算的。。。
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m**k
发帖数: 18660 | 132 其实瓢虫就是变相解方程啊。
拧巴的way..
【在 t*******r 的大作中提到】
: 不过这题解方程的确不如瓢虫快吧。
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t*******r
发帖数: 22634 | 133 那 9 和 11 差别不大吧，四舍五入反正都是 10 。。。对了，您老是不是 coupon 算
到小数点后面第三位？// run
【在 m**k 的大作中提到】
: 要算那个更划算啊。。//run
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t*******r
发帖数: 22634 | 134 但这方程一上来就那么多字符，有点文科数学的味道。。。
// 添堵的 way
【在 m**k 的大作中提到】
: 其实瓢虫就是变相解方程啊。
: 拧巴的way..
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m**k
发帖数: 18660 | 135 嗯。外星人能看懂瓢虫。看不懂 x y z
【在 t*******r 的大作中提到】
: 但这方程一上来就那么多字符，有点文科数学的味道。。。
: // 添堵的 way
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t*******r
发帖数: 22634 | 136 这点我以前没想到。。。线性方程背后的 mathematical structure & logics。。。也
许俺可以从这个角度跟娃讨论讨论。。。等下次的趣味数学遇上类似的题目。。。谢谢
。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 嗯。外星人能看懂瓢虫。看不懂 x y z
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t*******r
发帖数: 22634 | 137 我突然意识到，这其实是一个很好的例子，来向娃解释，为啥 "distributive
property" 是比 "负负得正规则" 更加基本层面的东西。因为如果负数不遵循
distributive property，我们整个代数系统（以及算术 word problem）就得从根子上
重建了，而且建出来的破东西还不见得有用（至少对日常问题而言）。
其实教娃还是一件很不容易的事，有时候我觉得最最基本简直是 trivial 的东东，我
都不知道如何解释，但娃就是不懂。。。所以经常大眼瞪小眼。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这点我以前没想到。。。线性方程背后的 mathematical structure & logics。。。也
: 许俺可以从这个角度跟娃讨论讨论。。。等下次的趣味数学遇上类似的题目。。。谢谢
: 。。。
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m**k
发帖数: 18660 | 138 因为这些抽象的东西。一般娃不ready.
数学作为一门学科其实就是如何定义嘛
比如0点0次方是啥
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我突然意识到，这其实是一个很好的例子，来向娃解释，为啥 "distributive
: property" 是比 "负负得正规则" 更加基本层面的东西。因为如果负数不遵循
: distributive property，我们整个代数系统（以及算术 word problem）就得从根子上
: 重建了，而且建出来的破东西还不见得有用（至少对日常问题而言）。
: 其实教娃还是一件很不容易的事，有时候我觉得最最基本简直是 trivial 的东东，我
: 都不知道如何解释，但娃就是不懂。。。所以经常大眼瞪小眼。。。
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t*****r
发帖数: 142 | 139 你搞得太深了。记得以前我给娃讲加法，说3+5等于5+3,嘴巴一溜问娃你知道为什么吗
？马上想起这得讲讲自然数理论才可以呀。当时灵机一动，在纸上画了三个棍加五个棍
，然后把纸倒过来，正好变成5+3.于是决定以后讲话得留神。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我突然意识到，这其实是一个很好的例子，来向娃解释，为啥 "distributive
: property" 是比 "负负得正规则" 更加基本层面的东西。因为如果负数不遵循
: distributive property，我们整个代数系统（以及算术 word problem）就得从根子上
: 重建了，而且建出来的破东西还不见得有用（至少对日常问题而言）。
: 其实教娃还是一件很不容易的事，有时候我觉得最最基本简直是 trivial 的东东，我
: 都不知道如何解释，但娃就是不懂。。。所以经常大眼瞪小眼。。。
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m*****t
发帖数: 239 | 140
汗，过奖了，我家丫头四年级
【在 m**k 的大作中提到】
: 分析恨透啊。你娃几岁啊
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m*****t
发帖数: 239 | 141
我想我是说，这两者的共同点是，它们都是基于认为孩子缺乏进一步抽象化能力，面前
需要一张图画的这一assumption上的....如果孩子有进一步抽象的能力，那么这些东西
就没什么用处了
另外我还是觉得，长条和瓢虫背后主要都还是实数的基本定义吧
【在 t*******r 的大作中提到】
: 长条的背后是几何，瓢虫的背后是集合论图论。这俩也能是一个东西？
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t*******r
发帖数: 22634 | 142 commutative property ...
【在 t*****r 的大作中提到】
: 你搞得太深了。记得以前我给娃讲加法，说3+5等于5+3,嘴巴一溜问娃你知道为什么吗
: ？马上想起这得讲讲自然数理论才可以呀。当时灵机一动，在纸上画了三个棍加五个棍
: ，然后把纸倒过来，正好变成5+3.于是决定以后讲话得留神。
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t*******r
发帖数: 22634 | 143 你教 commutative property 的方法是对的。是应该基于 space-time 的表述
mathematical structure 来讲解。
但问题就是这个 structure 仅仅复杂一个层次的时候。我就觉得非常难教娃，即使这
层次的差别简直就是一个 trivial 的差别。
当然，也许数学 decay 的原因真的不是在人肉计算器那方面，而是在于娃能不能 "看
到" (perceive) mathematical structure & logics 在时空上的某种表述。。。这可
能对扑通娃确实是一个不容易的问题，所以对家长也很难。。。It may take years。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 你搞得太深了。记得以前我给娃讲加法，说3+5等于5+3,嘴巴一溜问娃你知道为什么吗
: ？马上想起这得讲讲自然数理论才可以呀。当时灵机一动，在纸上画了三个棍加五个棍
: ，然后把纸倒过来，正好变成5+3.于是决定以后讲话得留神。
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t*******r
发帖数: 22634 | 144 我觉得隔壁五年级的有关 divisable / remaindet 数学题那个高楼，证伪了你关于"抽
象能力"的看法。
因为那个 divisable 的方程组，跟一般线性代数方程组的唯一差别，是线性代数方程
组是基于 "line structure" 上，而 divisable / remainder 的方程组，是基于 "
ring structure" 上。。。如果拥有 "抽象思维能力"，可以直接类比肉算线性代数方
程组的 "凑平" 的思想，脑子里想着瓢虫而计算求解。。。
所以我怀疑你说的那个代数转折点，对很多娃而言，并不是抽象思维能力的发展，而是
娃开始愿意接受 routine 思维了。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 我想我是说，这两者的共同点是，它们都是基于认为孩子缺乏进一步抽象化能力，面前
: 需要一张图画的这一assumption上的....如果孩子有进一步抽象的能力，那么这些东西
: 就没什么用处了
: 另外我还是觉得，长条和瓢虫背后主要都还是实数的基本定义吧
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m**k
发帖数: 18660 | 145 有人小时候学数学一直到中学，虽然学的很好。可以用方法把题算对。但是对一些基本
东西比如-1×-1=1 非常不理解。使得最后对数学全无兴趣。
可能就是你说的decay吧。
交换率也是类似。为什么交换率成立。
不但整数成立。实数成立。复数都成立?
大多数人学了好多年也不care.哈哈。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你教 commutative property 的方法是对的。是应该基于 space-time 的表述
: mathematical structure 来讲解。
: 但问题就是这个 structure 仅仅复杂一个层次的时候。我就觉得非常难教娃，即使这
: 层次的差别简直就是一个 trivial 的差别。
: 当然，也许数学 decay 的原因真的不是在人肉计算器那方面，而是在于娃能不能 "看
: 到" (perceive) mathematical structure & logics 在时空上的某种表述。。。这可
: 能对扑通娃确实是一个不容易的问题，所以对家长也很难。。。It may take years。
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m**k
发帖数: 18660 | 146 瓢虫具体化。就不是数学的方法。
数学本身就是要符号化。抽象化。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得隔壁五年级的有关 divisable / remaindet 数学题那个高楼，证伪了你关于"抽
: 象能力"的看法。
: 因为那个 divisable 的方程组，跟一般线性代数方程组的唯一差别，是线性代数方程
: 组是基于 "line structure" 上，而 divisable / remainder 的方程组，是基于 "
: ring structure" 上。。。如果拥有 "抽象思维能力"，可以直接类比肉算线性代数方
: 程组的 "凑平" 的思想，脑子里想着瓢虫而计算求解。。。
: 所以我怀疑你说的那个代数转折点，对很多娃而言，并不是抽象思维能力的发展，而是
: 娃开始愿意接受 routine 思维了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 147 其实主要是 perceive mathematical structure。。。而 perceive mathematical
structure 也不一定要从负负得正或者数论学。。。从哪里学，其实并不重要。。。负
负得正当公理也无所谓，说了人自然就明白就是了。
【在 m**k 的大作中提到】
: 有人小时候学数学一直到中学，虽然学的很好。可以用方法把题算对。但是对一些基本
: 东西比如-1×-1=1 非常不理解。使得最后对数学全无兴趣。
: 可能就是你说的decay吧。
: 交换率也是类似。为什么交换率成立。
: 不但整数成立。实数成立。复数都成立?
: 大多数人学了好多年也不care.哈哈。
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t*******r
发帖数: 22634 | 148 我现在的看法是，对扑通蛙而言:
可能"符号"是数学语言，是数学的文科部分。而"瓢虫"是 mathematical structure &
logics，是数学的理科部分。
不过小学阶段，文科数学和理科数学并重，可能是必要的。太偏废了也不行。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 瓢虫具体化。就不是数学的方法。
: 数学本身就是要符号化。抽象化。
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m**k
发帖数: 18660 | 149 这个文科可不是art...
这个符号才是theory
瓢虫只是形象化映射。有时候还需要半个瓢虫。或者负瓢虫。。很麻烦啊。。
&
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我现在的看法是，对扑通蛙而言:
: 可能"符号"是数学语言，是数学的文科部分。而"瓢虫"是 mathematical structure &
: logics，是数学的理科部分。
: 不过小学阶段，文科数学和理科数学并重，可能是必要的。太偏废了也不行。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 150 如果没有瓢虫，能不能学完解线性方程组，不问高斯，直接解 divisable / remainder
的方程组？
如果没有瓢虫，能不能学完排列组合，不学 combinatorics 就直接解 combinatorics
的题目？
// 递话筒
【在 m**k 的大作中提到】
: 这个文科可不是art...
: 这个符号才是theory
: 瓢虫只是形象化映射。有时候还需要半个瓢虫。或者负瓢虫。。很麻烦啊。。
:
: &
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t*******r
发帖数: 22634 | 151 另外从 formal logics 角度看，何种符号不重要。。。所以瓢虫也是符号了？
【在 m**k 的大作中提到】
: 这个文科可不是art...
: 这个符号才是theory
: 瓢虫只是形象化映射。有时候还需要半个瓢虫。或者负瓢虫。。很麻烦啊。。
:
: &
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m**k
发帖数: 18660 | 152 嗯。就是太低级了/run
【在 t*******r 的大作中提到】
: 另外从 formal logics 角度看，何种符号不重要。。。所以瓢虫也是符号了？
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s******t
发帖数: 3572 | 153 你扯这么远，娃能懂？
就一个鸡兔同笼，至于么。
你这个属于学得太多，考虑过度反而无从下手的感觉。
AIME
【在 t*******r 的大作中提到】
: 本质是不一样的。
: 算术解法，要求以 play the middle game like a MAGICIAN 的姿势建模（如果不是记
: 忆题型）。
: 代数解法，则是以 play the opening game like a BOOK 的姿势建模（如果不是 AIME
: 类 non-routine 题）。
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t*******r
发帖数: 22634 | 154 没办法，俺娃没那么听话，她又不肯学代数。。。教点瓢虫至少她肯做点数学题。
况且俺也从来没用过"鸡兔同笼"这词，教她定式多了，她多半就不肯做数学题了。还不
如不教。
【在 s******t 的大作中提到】
: 你扯这么远，娃能懂？
: 就一个鸡兔同笼，至于么。
: 你这个属于学得太多，考虑过度反而无从下手的感觉。
:
: AIME
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t*******r
发帖数: 22634 | 155 我刚才问了问娃，其实我觉得可能主要还是兴趣的缘故。。。
对俺家小学扑通蛙而言，瓢虫更有兴趣，代数杀兴趣。。。杀了兴趣的话，将来就只能
靠好胜心或者毅力了。。。所以对扑通娃，过早上代数，不如搞点高级瓢虫。
瓢虫就培养扑通蛙兴趣这一点，秒杀给扑通娃提早上代数，同时秒杀扑通娃的 guess &
check。
牛蛙另说。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 嗯。就是太低级了/run
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l**a
发帖数: 5175 | 156 这些在数竹上一看就明白了，负数的运算，我就告诉她你忘记减法，
所有的减法都是加法。-（-1）就是你向东走10步，再向西走10步，你回到原地。
【在 m**k 的大作中提到】
: 有人小时候学数学一直到中学，虽然学的很好。可以用方法把题算对。但是对一些基本
: 东西比如-1×-1=1 非常不理解。使得最后对数学全无兴趣。
: 可能就是你说的decay吧。
: 交换率也是类似。为什么交换率成立。
: 不但整数成立。实数成立。复数都成立?
: 大多数人学了好多年也不care.哈哈。
|
t*******r
发帖数: 22634 | 157 -(-1) 是 negation of negative one (unary operator: negation)
(-1) * (-1) 是 negative one multiply negative one (binary operator:
multiplication)
这俩不是同一个东西。。。不过大部分人当公理记住也成。
【在 l**a 的大作中提到】
: 这些在数竹上一看就明白了，负数的运算，我就告诉她你忘记减法，
: 所有的减法都是加法。-（-1）就是你向东走10步，再向西走10步，你回到原地。
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m**k
发帖数: 18660 | 158 你这个只是证明 (-10)+10=0
不是乘法
【在 l**a 的大作中提到】
: 这些在数竹上一看就明白了，负数的运算，我就告诉她你忘记减法，
: 所有的减法都是加法。-（-1）就是你向东走10步，再向西走10步，你回到原地。
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d****g
发帖数: 7460 | 159 颤颤兢兢的问，１x -1 = -1 要证明吗？
【在 m**k 的大作中提到】
: 你这个只是证明 (-10)+10=0
: 不是乘法
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t*******r
发帖数: 22634 | 160 其实是负乘负得正的证明的第一步。。。不过一般人当公理默认就好了。
【在 d****g 的大作中提到】
: 颤颤兢兢的问，１x -1 = -1 要证明吗？
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l**a
发帖数: 5175 | 161 那就说，敌人的敌人是朋友，我的意思就是反过来再反过来啊。
数竹上就是方向问题，你就是挑刺儿。
【在 m**k 的大作中提到】
: 你这个只是证明 (-10)+10=0
: 不是乘法
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l**a
发帖数: 5175 | 162 空间多一维。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 其实是负乘负得正的证明的第一步。。。不过一般人当公理默认就好了。
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m**k
发帖数: 18660 | 163 你看。你这个就是形象化潮水式证明。
【在 l**a 的大作中提到】
: 那就说，敌人的敌人是朋友，我的意思就是反过来再反过来啊。
: 数竹上就是方向问题，你就是挑刺儿。
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t*******r
发帖数: 22634 | 164 螳螂捕蝉，黄雀在后。
蝉向黄雀张开友谊的臂膀，悲剧了。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 那就说，敌人的敌人是朋友，我的意思就是反过来再反过来啊。
: 数竹上就是方向问题，你就是挑刺儿。
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t*******r
发帖数: 22634 | 165 我试过用 binary logics 去类比的，但悲剧了。。。当然不是上面的那个玩笑。
【在 m**k 的大作中提到】
: 你看。你这个就是形象化潮水式证明。
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t*******r
发帖数: 22634 | 166 这一维度就好比电子自旋的那一维，对娃来说，理解那种维度，不容易的说。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 空间多一维。
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l**a
发帖数: 5175 | 167 折腾。
给老刑折腾流量而已。
Mit都死人了，别折腾了。。。联想是一种创造思维。
科学的发展在于假设。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我试过用 binary logics 去类比的，但悲剧了。。。当然不是上面的那个玩笑。
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l**a
发帖数: 5175 | 168 劝你教数学的时候指这课本说话。
瞎吹的时候随便。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这一维度就好比电子自旋的那一维，对娃来说，理解那种维度，不容易的说。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 169 把负乘负得正，当成更基本的假设看。
或者把 distributive property 当更基本的假设看。
其实都是假设，也就是个选择假设的问题。
所以你说的 "科学的发展在于假设"，没错啊。。。或者说 "科学的发展在于折腾假设"
，更直接了当。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 折腾。
: 给老刑折腾流量而已。
: Mit都死人了，别折腾了。。。联想是一种创造思维。
: 科学的发展在于假设。
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t*******r
发帖数: 22634 | 170 我不教电子自旋，那玩意儿做乘法么？维度是你说的，所以我当然是跟你在说。
况且我也不"教"数学，那是学校老师的事。
【在 l**a 的大作中提到】
: 劝你教数学的时候指这课本说话。
: 瞎吹的时候随便。。。
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l**a
发帖数: 5175 | 171 你昨晚没教吗？
只是讨论了瓢虫
。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我不教电子自旋，那玩意儿做乘法么？维度是你说的，所以我当然是跟你在说。
: 况且我也不"教"数学，那是学校老师的事。
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t*******r
发帖数: 22634 | 172 好吧，我不硬灌数学，这下总可以了吧哈哈哈。
【在 l**a 的大作中提到】
: 你昨晚没教吗？
: 只是讨论了瓢虫
: 。
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t*******r
发帖数: 22634 | 173 我知道你在想啥了。。。我们昨晚没做任何 bbs 的题目哈哈哈。。。我们是按以前既
定方针，慢慢搞趣味数学习题集，不受 bbs 上题目影响（除非出现特别不同的题目）
。。。 bbs 上讨论题目，是给俺自己讨论思考，为以后准备准备而已。
昨晚俺娃是 fail 在一个最最基本的数数的概念上了。。。俺想了半天，又仔细问娃看
草稿，才明白这么简单的问题为啥会错。。。昨晚俺们没搞任何余数除法瓢虫哈哈哈。
您老多半是以己之心啥啥啥吧。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 你昨晚没教吗？
: 只是讨论了瓢虫
: 。
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m*****t
发帖数: 239 | 174
不需要，这是1的定义
1+(-1)=0也不需要证明，因为这是-1的定义
0+a=a也不需要证明，因为这是0的定义
0xa=0需要证明
【在 d****g 的大作中提到】
: 颤颤兢兢的问，１x -1 = -1 要证明吗？
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m*****t
发帖数: 239 | 175
汗，我没怎么看懂你这个帖子的意思...不过我觉得所谓的线性代数方程组，也是基于
ring structure上，当然可能我不明白什么是你所指的line structure和线性代数方程组
至于所谓的抽象思维能力，我在这方面当然是外行，也就是随便说说而已，不过要说到
隔壁高楼那道题，其实我觉得比较重要的一步是看懂题吧...当然，更进一步的抽象思
维是能够formulate并且证明出Chinese remainder theorem
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得隔壁五年级的有关 divisable / remaindet 数学题那个高楼，证伪了你关于"抽
: 象能力"的看法。
: 因为那个 divisable 的方程组，跟一般线性代数方程组的唯一差别，是线性代数方程
: 组是基于 "line structure" 上，而 divisable / remainder 的方程组，是基于 "
: ring structure" 上。。。如果拥有 "抽象思维能力"，可以直接类比肉算线性代数方
: 程组的 "凑平" 的思想，脑子里想着瓢虫而计算求解。。。
: 所以我怀疑你说的那个代数转折点，对很多娃而言，并不是抽象思维能力的发展，而是
: 娃开始愿意接受 routine 思维了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 176 您说的一点没错，隔壁高楼首先是要能看懂那篇短篇小说！！
另外我说的 line vs ring，是指取模除法本身而言，取模
除法会掉头，导致斜线瓢虫阵其实是在一个有限 topological
space 里碰边就绕道（或者说其实就没边），导致多条斜线。
而普通除法就是一条斜线在无限空间里。。。
程组
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 汗，我没怎么看懂你这个帖子的意思...不过我觉得所谓的线性代数方程组，也是基于
: ring structure上，当然可能我不明白什么是你所指的line structure和线性代数方程组
: 至于所谓的抽象思维能力，我在这方面当然是外行，也就是随便说说而已，不过要说到
: 隔壁高楼那道题，其实我觉得比较重要的一步是看懂题吧...当然，更进一步的抽象思
: 维是能够formulate并且证明出Chinese remainder theorem
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t*******r
发帖数: 22634 | 177 1 的乘法定义，是对于自然数而言吧。
当泥盆纪的远古（指数学时间），在 axiom of infinity 的基础上定义自然数的乘法
的那些峥嵘岁月里，负数远远还没基因突变出来呢，是不是？
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 汗，我没怎么看懂你这个帖子的意思...不过我觉得所谓的线性代数方程组，也是基于
: ring structure上，当然可能我不明白什么是你所指的line structure和线性代数方程组
: 至于所谓的抽象思维能力，我在这方面当然是外行，也就是随便说说而已，不过要说到
: 隔壁高楼那道题，其实我觉得比较重要的一步是看懂题吧...当然，更进一步的抽象思
: 维是能够formulate并且证明出Chinese remainder theorem
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t*******r
发帖数: 22634 | 178 我可能写的太抽象了。。。这么说，自然数的乘法，可以是定义了 1 * 1 = 1 之后，
其它的都由 distributive property 推导出。
比如:
1 * 3
= 1 * (1 + 1 + 1)
= 1*1 + 1*1 + 1*1
= 1 + 1 + 1
= 3
2 * 3
= (1 + 1)*3
= 1*3 + 1*3
= 3 + 3
= 6
【在 t*******r 的大作中提到】
: 1 的乘法定义，是对于自然数而言吧。
: 当泥盆纪的远古（指数学时间），在 axiom of infinity 的基础上定义自然数的乘法
: 的那些峥嵘岁月里，负数远远还没基因突变出来呢，是不是？
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h**r
发帖数: 8078 | 179 等等，乘法定义不就是N个相同的东西相加吗？
用得着定义1*1=1吗？
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我可能写的太抽象了。。。这么说，自然数的乘法，可以是定义了 1 * 1 = 1 之后，
: 其它的都由 distributive property 推导出。
: 比如:
: 1 * 3
: = 1 * (1 + 1 + 1)
: = 1*1 + 1*1 + 1*1
: = 1 + 1 + 1
: = 3
: 2 * 3
: = (1 + 1)*3
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t*******r
发帖数: 22634 | 180 这个 "N个相同的东西相加"，不就是 "distributive property" 和 "1 * 1 = 1" 两条
规则加一起的自然语言的表述么？。。。
再想想嘛，啥是 "N"？"相同" 的意思是啥？最后还不是 reduce 成加法嘛？。。。
不过呢，自然语言的麻烦就是，其二义性太坑爹了，而且也不好做符号运算嘛。。。你
懂的。。。
【在 h**r 的大作中提到】
: 等等，乘法定义不就是N个相同的东西相加吗？
: 用得着定义1*1=1吗？
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m**k
发帖数: 18660 | 181 有意思。
到底是用乘法定义证明分配率
还是用分配率证明乘法呢
我觉得一般想法是乘法定义为先。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这个 "N个相同的东西相加"，不就是 "distributive property" 和 "1 * 1 = 1" 两条
: 规则加一起的自然语言的表述么？。。。
: 再想想嘛，啥是 "N"？"相同" 的意思是啥？最后还不是 reduce 成加法嘛？。。。
: 不过呢，自然语言的麻烦就是，其二义性太坑爹了，而且也不好做符号运算嘛。。。你
: 懂的。。。
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m*****t
发帖数: 239 | 182
说实话，我对自然数本身的foundations不是很熟...这个可以说是自然数乘法的定义（
或者说整数乘法，因为可以从此直接推导出负数的乘法），但是它需要两点：1.每个自
然数都可以由1+1+...1而形成; 2. 1+1+...+1 =0的情况永不发生。换句话说，从加减
法角度来说，整数是由一个generator所造成的free abelian group（自然数+0是一个
generator所造成的free abelian monoid）
如果是这样的话，我想了想，乘法的定义应该可以从generator自乘来产生，不过一旦
负数存在，那么整数就有两个generators，还有一个-1，如果定义
(-1)＊(-1) = -1，（或者1＊1=-1)
那么用这个方式也可以推导出另一种整数的乘法方式＊，这种乘法用通常乘法*的表达
方式是
a＊b=-(a*b)
这也是一个ring structure，其中的multiplicative identity是-1。（而如果定义1*1
=2或者其它整数，那么也可以得到一个乘法方式，但是没有multiplicative identity
。）
个人理解，为了从这个角度区分1和-1，通常的convention是，把写起来前面没有-符号
的那个定义为multiplicative identity....
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我可能写的太抽象了。。。这么说，自然数的乘法，可以是定义了 1 * 1 = 1 之后，
: 其它的都由 distributive property 推导出。
: 比如:
: 1 * 3
: = 1 * (1 + 1 + 1)
: = 1*1 + 1*1 + 1*1
: = 1 + 1 + 1
: = 3
: 2 * 3
: = (1 + 1)*3
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b******o
发帖数: 409 | 183 把6%兑成3%， 再和17% 1：1就是10%。
【在 p**s 的大作中提到】
: 给你出道题，有17%的溶液和6%的溶液，需要配10%的溶液9升，两种溶液各需多少。不
: 用方程能做吗？
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l**a
发帖数: 5175 | 184 自然数，先定义加法，加法的交换律，结合律。
再定义减法。
再定义乘法，乘法的交换律，结合律。
再定义除法。
所谓分配律是针对，加法和乘法的混合运算的。
A＊（B＋C）＝A＊B＋A＊C。
所以，乘法的定义在先，乘法就是把自己相加多次
的简单计算，A+...+A，...B个.就是A＊B。A可以为１，
B可以为１或者０。
【在 m**k 的大作中提到】
: 有意思。
: 到底是用乘法定义证明分配率
: 还是用分配率证明乘法呢
: 我觉得一般想法是乘法定义为先。
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d****g
发帖数: 7460 | 185 wow,太聪明了。。。打脸贴。
【在 b******o 的大作中提到】
: 把6%兑成3%， 再和17% 1：1就是10%。
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l**a
发帖数: 5175 | 186 对于负数的引入，
负数的定义， X＋（－X）＝０。
公理，－（－X）＝X。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 说实话，我对自然数本身的foundations不是很熟...这个可以说是自然数乘法的定义（
: 或者说整数乘法，因为可以从此直接推导出负数的乘法），但是它需要两点：1.每个自
: 然数都可以由1+1+...1而形成; 2. 1+1+...+1 =0的情况永不发生。换句话说，从加减
: 法角度来说，整数是由一个generator所造成的free abelian group（自然数+0是一个
: generator所造成的free abelian monoid）
: 如果是这样的话，我想了想，乘法的定义应该可以从generator自乘来产生，不过一旦
: 负数存在，那么整数就有两个generators，还有一个-1，如果定义
: (-1)＊(-1) = -1，（或者1＊1=-1)
: 那么用这个方式也可以推导出另一种整数的乘法方式＊，这种乘法用通常乘法*的表达
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t*******r
发帖数: 22634 | 187 你这个定义是不错的，很清楚明了。
唯一的缺点是，对四年级及以上的某一类娃，教育学上通常叫 logical / analytical
kids，这个定义对他们可能有所困惑。因为规则婆婆妈妈的越来越多，并且似乎有多余。
【在 l**a 的大作中提到】
: 自然数，先定义加法，加法的交换律，结合律。
: 再定义减法。
: 再定义乘法，乘法的交换律，结合律。
: 再定义除法。
: 所谓分配律是针对，加法和乘法的混合运算的。
: A＊（B＋C）＝A＊B＋A＊C。
: 所以，乘法的定义在先，乘法就是把自己相加多次
: 的简单计算，A+...+A，...B个.就是A＊B。A可以为１，
: B可以为１或者０。
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m*****t
发帖数: 239 | 188
汗，基本的东西退化的太严重...1+1+...+1 =0的情况永不发生这个条件不必要
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 说实话，我对自然数本身的foundations不是很熟...这个可以说是自然数乘法的定义（
: 或者说整数乘法，因为可以从此直接推导出负数的乘法），但是它需要两点：1.每个自
: 然数都可以由1+1+...1而形成; 2. 1+1+...+1 =0的情况永不发生。换句话说，从加减
: 法角度来说，整数是由一个generator所造成的free abelian group（自然数+0是一个
: generator所造成的free abelian monoid）
: 如果是这样的话，我想了想，乘法的定义应该可以从generator自乘来产生，不过一旦
: 负数存在，那么整数就有两个generators，还有一个-1，如果定义
: (-1)＊(-1) = -1，（或者1＊1=-1)
: 那么用这个方式也可以推导出另一种整数的乘法方式＊，这种乘法用通常乘法*的表达
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t*******r
发帖数: 22634 | 189 你这个充分展示了 foundation of mathematics 的负面: 符号系统过于晦涩，有时直
接把人搞糊涂。
但这条路不是行不通，把 foundation of mathematics 用娃版计算机 LR 文法瓢虫阵
表达规则，结合娃版 cosmology 瓢虫阵法形象化，就好了。
我待会儿写。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 汗，基本的东西退化的太严重...1+1+...+1 =0的情况永不发生这个条件不必要
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m*****t
发帖数: 239 | 190
是的，在整数上，如果已经有了加减法，而你想要有一个符合分配律的乘法，那么只要
定义1*1，那么所有其它整数的乘法就都定下来了
【在 l**a 的大作中提到】
: 自然数，先定义加法，加法的交换律，结合律。
: 再定义减法。
: 再定义乘法，乘法的交换律，结合律。
: 再定义除法。
: 所谓分配律是针对，加法和乘法的混合运算的。
: A＊（B＋C）＝A＊B＋A＊C。
: 所以，乘法的定义在先，乘法就是把自己相加多次
: 的简单计算，A+...+A，...B个.就是A＊B。A可以为１，
: B可以为１或者０。
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n***p
发帖数: 7668 | 191 当然了，负数就是加法群里的逆元，也就是一个定义而已。
关于公理体系，只要随便选几个够用又不互相排斥的“事实”作为出发点就行了，
这种选取不是唯一的。剩下的就是机械的逻辑推导。
抽象代数之所以被叫做抽象代数，那都是因为那些结构是从若干具体结构里抽象
出来的。先具体，再抽象，再具体，螺旋上升，很好。要是非得直接从抽象结构
出发，那就只能是抽风了。
关于抽象的乘法概念，我觉得矩阵乘法就很好，直接颠覆小孩子们的常规认识。
【在 l**a 的大作中提到】
: 对于负数的引入，
: 负数的定义， X＋（－X）＝０。
: 公理，－（－X）＝X。
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m**k
发帖数: 18660 | 192 我觉得不是想有个符合分配率的乘法。
是定义了乘法。而乘法正好符合分配率。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 是的，在整数上，如果已经有了加减法，而你想要有一个符合分配律的乘法，那么只要
: 定义1*1，那么所有其它整数的乘法就都定下来了
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m*****t
发帖数: 239 | 193
个人感觉，这也不能说是特别foundation的东西吧，如果要学到rings什么的，我觉得
有时侯，还是需要把抽象的structure本身和从自然数/整数/有理数/实数中带来的
intuition分开一点的。当然，我不是说用这种方式教娃（除非娃差不多到了数学系本
科生的程度）
（至于foundation本身那些，其实我承认，我个人的思维方式是，foundation这东西，
知道它在某种程度上存在就行了）
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你这个充分展示了 foundation of mathematics 的负面: 符号系统过于晦涩，有时直
: 接把人搞糊涂。
: 但这条路不是行不通，把 foundation of mathematics 用娃版计算机 LR 文法瓢虫阵
: 表达规则，结合娃版 cosmology 瓢虫阵法形象化，就好了。
: 我待会儿写。
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n***p
发帖数: 7668 | 194 你需要定义0*1=0.
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 个人感觉，这也不能说是特别foundation的东西吧，如果要学到rings什么的，我觉得
: 有时侯，还是需要把抽象的structure本身和从自然数/整数/有理数/实数中带来的
: intuition分开一点的。当然，我不是说用这种方式教娃（除非娃差不多到了数学系本
: 科生的程度）
: （至于foundation本身那些，其实我承认，我个人的思维方式是，foundation这东西，
: 知道它在某种程度上存在就行了）
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m**k
发帖数: 18660 | 195 顶这个。
现实具体。然后画瓢虫。
然后用符号。
然后用抽象来定义
【在 n***p 的大作中提到】
: 当然了，负数就是加法群里的逆元，也就是一个定义而已。
: 关于公理体系，只要随便选几个够用又不互相排斥的“事实”作为出发点就行了，
: 这种选取不是唯一的。剩下的就是机械的逻辑推导。
: 抽象代数之所以被叫做抽象代数，那都是因为那些结构是从若干具体结构里抽象
: 出来的。先具体，再抽象，再具体，螺旋上升，很好。要是非得直接从抽象结构
: 出发，那就只能是抽风了。
: 关于抽象的乘法概念，我觉得矩阵乘法就很好，直接颠覆小孩子们的常规认识。
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m*****t
发帖数: 239 | 196
个人很同意你所说的。矩阵乘法确实是个很好的例子，而且在非唯一性方面，比如说
2x2矩阵和实数的四次方的加减法完全是同样的，但是有两种完全不同的乘法，都符合
乘法结合律,交换律,以及与加法的分配律,并且有1。但是矩阵乘法才能够从basis的角
度来正确表达线性映射的composition
【在 n***p 的大作中提到】
: 当然了，负数就是加法群里的逆元，也就是一个定义而已。
: 关于公理体系，只要随便选几个够用又不互相排斥的“事实”作为出发点就行了，
: 这种选取不是唯一的。剩下的就是机械的逻辑推导。
: 抽象代数之所以被叫做抽象代数，那都是因为那些结构是从若干具体结构里抽象
: 出来的。先具体，再抽象，再具体，螺旋上升，很好。要是非得直接从抽象结构
: 出发，那就只能是抽风了。
: 关于抽象的乘法概念，我觉得矩阵乘法就很好，直接颠覆小孩子们的常规认识。
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t*******r
发帖数: 22634 | 197 （1）自然数定义：
娃版 axiom of infinity，把 axiom of infinity 改写成
“娃版（左递归）瓢虫序列发生器”，瓢虫一个个蹦出来排好队。
（当然，如果是牛蛙，你写YACC表达式我也不反对哈哈）。
（2）自然数定义的娃版 cosmology 形象表示：
自然数是基于“数数”，而“数数”基于（数学）时间。也就是 2
之所以在 1 后面，是因为“数数”时，2 出来得晚。这个跟语言
无关，所以天顶星幼儿园的娃也能跟地球娃交流。
“数数”的结果是空间上的线性序列结构。
（3）零：
空集。这个 trivial （对娃而言）。
（4）自然数加法：
娃版 union of set。这个 trivial，除非遇到特别钻牛角尖
的娃。
（5）自然数乘法：
定义 1 * 1 = 1。
定义 distributive property。
其他推导出。
（6）自然数乘法的娃版 cosmology 表述：
瓢虫 array。distributive property 就是切瓢虫 array。基本空间属性。
1 * 1 的定义是定义了 “basic element：atom”。（不过这个很多娃也不问，
trivial）
（7）负数定义：
__ + 3 = 0。定义了 -3。
剩下的乘法，distributive property 推导出。
（8）分数定义：
__ * 3 = 1。定义了 1/3。
剩下的加法，distributive property 推导出。
（9）无理数：
勾股定理发现“破玩意儿是个数”，UPF（sqrt(2) 也可以用奇偶性）发现不是分数。
所以无理也要做个数。
（10）屁颠屁颠走人。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 个人很同意你所说的。矩阵乘法确实是个很好的例子，而且在非唯一性方面，比如说
: 2x2矩阵和实数的四次方的加减法完全是同样的，但是有两种完全不同的乘法，都符合
: 乘法结合律,交换律,以及与加法的分配律,并且有1。但是矩阵乘法才能够从basis的角
: 度来正确表达线性映射的composition
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p**s
发帖数: 2707 | 198 -(-x)=x不是公理，是可以证明的
-(-x)=-(-x)+0=-(-x)+[(-x)+x]=[-(-x)+(-x)]+x=0+x=x
【在 l**a 的大作中提到】
: 对于负数的引入，
: 负数的定义， X＋（－X）＝０。
: 公理，－（－X）＝X。
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m*****t
发帖数: 239 | 199
不需要，1+0=1，两边各乘以1
【在 n***p 的大作中提到】
: 你需要定义0*1=0.
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t*******r
发帖数: 22634 | 200 看过上面的，“自洽” 加 “有用”，基本规则连幼儿园大班娃都能理解哈哈哈。
跟 lila 的猿古小学数论差不多简单明了，但逻辑清楚而不是像 lila 那种
逻辑冗余加循环定义，让天顶星幼儿园的娃看了要嚎的那种。
教娃的艺术，是在于如何改成娃版。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 不需要，1+0=1，两边各乘以1
|
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t*******r
发帖数: 22634 | 201 赞睡一晚明白过来了。;-)
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 不需要，1+0=1，两边各乘以1
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t*******r
发帖数: 22634 | 202 不过老实说，这个娃版表述方式，我狂想外加 trial-and-correct
都有一年了，也不是很容易的。
【在 t*******r 的大作中提到】
: （1）自然数定义：
: 娃版 axiom of infinity，把 axiom of infinity 改写成
: “娃版（左递归）瓢虫序列发生器”，瓢虫一个个蹦出来排好队。
: （当然，如果是牛蛙，你写YACC表达式我也不反对哈哈）。
: （2）自然数定义的娃版 cosmology 形象表示：
: 自然数是基于“数数”，而“数数”基于（数学）时间。也就是 2
: 之所以在 1 后面，是因为“数数”时，2 出来得晚。这个跟语言
: 无关，所以天顶星幼儿园的娃也能跟地球娃交流。
: “数数”的结果是空间上的线性序列结构。
: （3）零：
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m*****t
发帖数: 239 | 203
个人还是感觉先搞出减法（负数），再出乘法更容易一点...顺便在出现减法（也就是
整数）的时候搞个ordering出来
另外这样子的第9步貌似只能搞出algebraic number吧，我觉得还是用有理数的
completion好点？然后还要有个复数
【在 t*******r 的大作中提到】
: （1）自然数定义：
: 娃版 axiom of infinity，把 axiom of infinity 改写成
: “娃版（左递归）瓢虫序列发生器”，瓢虫一个个蹦出来排好队。
: （当然，如果是牛蛙，你写YACC表达式我也不反对哈哈）。
: （2）自然数定义的娃版 cosmology 形象表示：
: 自然数是基于“数数”，而“数数”基于（数学）时间。也就是 2
: 之所以在 1 后面，是因为“数数”时，2 出来得晚。这个跟语言
: 无关，所以天顶星幼儿园的娃也能跟地球娃交流。
: “数数”的结果是空间上的线性序列结构。
: （3）零：
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m*****t
发帖数: 239 | 204
哈哈，不瞒你说，这是我当年去夏令营时的第一道下马威（当然，和国内那些奥数牛娃
不能比）
【在 t*******r 的大作中提到】
: 赞睡一晚明白过来了。;-)
|
t*****r
发帖数: 142 | 205 在皮亚诺系统里，确实事先定义乘法，然后它正好符合
分配律。不过这完全不适合跟娃讲。用乘法的直观定义
然后画出瓢虫一类的东西解释分配律应该足够了。
【在 m**k 的大作中提到】
: 我觉得不是想有个符合分配率的乘法。
: 是定义了乘法。而乘法正好符合分配率。
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t*******r
发帖数: 22634 | 206 减法算符，就是加法算符的逆运算，trivial。
ordering 不是在 axiom of infinity 瓢虫蹦蹦机的 cosmology 的表述里有了么？
我们 cosmos 的 time 维度是有 order 的啊（否则不混乱么？）
其实 order 就是 causality 的数学表述，当然这个一般娃也就是混过去。
在小学数学里，负数在乘法后面搞，因为先要 distributive property 的有用性，
（反映空间属性）。
第 9 步的确是有 algebraic irrational number，娃要是太狠了，你就加个 pi
就是了。。。但 pi 要上极限的哈哈哈。。。
复数其实 trivial，就是一个 pair of real number。。。如果娃太狠就这么说
。。。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 哈哈，不瞒你说，这是我当年去夏令营时的第一道下马威（当然，和国内那些奥数牛娃
: 不能比）
|
n***p
发帖数: 7668 | 207 那就是还要规定零元是唯一的。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 哈哈，不瞒你说，这是我当年去夏令营时的第一道下马威（当然，和国内那些奥数牛娃
: 不能比）
|
t*******r
发帖数: 22634 | 208 这个对于娃而言，trivial。
或者对于娃版逻辑而言，非唯一只有在 conflict 发生时才需要。。。
如果找不到conflict，缺省是唯一的。
上面这个也是 计算机 LR 文法 的 strategy。。。数学家爱钻牛角尖，
但是马工能省点内存就省点，内存要花钱的。。。是不是。。。
【在 n***p 的大作中提到】
: 那就是还要规定零元是唯一的。
|
t*******r
发帖数: 22634 | 209 或者这么说，这是个哲学问题。。。
数学家更看重表达整个宇宙的完备性。。。
而马工说，你丫数学家根本没学过 cosmology。。。这个完备性
没鸟用，却把东东却搞得无比复杂。。。
马工只看在有用性基础上的完备性。。。（或者说，实用的子系统
就够了）。。。。剩下的内存，可以用来干别的。。。关键还是内
存要花钱。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这个对于娃而言，trivial。
: 或者对于娃版逻辑而言，非唯一只有在 conflict 发生时才需要。。。
: 如果找不到conflict，缺省是唯一的。
: 上面这个也是 计算机 LR 文法 的 strategy。。。数学家爱钻牛角尖，
: 但是马工能省点内存就省点，内存要花钱的。。。是不是。。。
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l**a
发帖数: 5175 | 210 应该叫定理。根据定义而来的。
【在 p**s 的大作中提到】
: -(-x)=x不是公理，是可以证明的
: -(-x)=-(-x)+0=-(-x)+[(-x)+x]=[-(-x)+(-x)]+x=0+x=x
|
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t*******r
发帖数: 22634 | 211 我在想，是不是我们定义了一个圆滚滚东西的叫地球，
而地球上正好有液态水。
哈哈哈。我 run 了。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 我觉得不是想有个符合分配率的乘法。
: 是定义了乘法。而乘法正好符合分配率。
|
l**a
发帖数: 5175 | 212 你没把娃教糊涂，我觉得很奇怪。
你娃绝对是牛娃。。。我娃才是普通娃。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 看过上面的，“自洽” 加 “有用”，基本规则连幼儿园大班娃都能理解哈哈哈。
: 跟 lila 的猿古小学数论差不多简单明了，但逻辑清楚而不是像 lila 那种
: 逻辑冗余加循环定义，让天顶星幼儿园的娃看了要嚎的那种。
: 教娃的艺术，是在于如何改成娃版。
|
t*******r
发帖数: 22634 | 213 当然我没有教全，俺是看需要一点教一点的。。。俺写出来要
写完整而已。
另外俺这个是按照一套平行于学校但不重复的系统来教的，
我把那叫做“趣味数学体系”。。。作为马工认为一个体系一定
要有用，而“趣味数学体系” 确实更容易解 “趣味数学题”，
所以娃也认可这套不同的体系。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 你没把娃教糊涂，我觉得很奇怪。
: 你娃绝对是牛娃。。。我娃才是普通娃。
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m**k
发帖数: 18660 | 214 是我们看到了个东西。定义了地球。
然后发现水。定义了水。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我在想，是不是我们定义了一个圆滚滚东西的叫地球，
: 而地球上正好有液态水。
: 哈哈哈。我 run 了。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 215 。。。我的意思是地球离太阳的距离这么巧合，不远不近不冷不热？。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 是我们看到了个东西。定义了地球。
: 然后发现水。定义了水。
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m**k
发帖数: 18660 | 216 偶然的
【在 t*******r 的大作中提到】
: 。。。我的意思是地球离太阳的距离这么巧合，不远不近不冷不热？。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 217 是。。。所以我们其实可以有无穷多种不同 foundation of mathematics
系统，而这套正好是其中的一个 best-fit model 能解释我们日常所看见的
cosmos 的部分（其实就是解 word problem）。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 偶然的
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r*g
发帖数: 3159 | 218 这么教motivation 难教。娃要问你这游戏为啥要自洽？ 为啥加法要有单位元0，每个
元素还要有逆元素？
前面谁谁说了，抽象的东西是有了大量例子才看出抽象的动机的。直接从抽象出发，就
跟码工没写过几行程序就学design pattern一样，没动力。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 看过上面的，“自洽” 加 “有用”，基本规则连幼儿园大班娃都能理解哈哈哈。
: 跟 lila 的猿古小学数论差不多简单明了，但逻辑清楚而不是像 lila 那种
: 逻辑冗余加循环定义，让天顶星幼儿园的娃看了要嚎的那种。
: 教娃的艺术，是在于如何改成娃版。
|
p**s
发帖数: 2707 | 219 这也是可以证明的，如果有两个零元素0,0'，根据定义有
0=0+0'=0'
另外，如果对于某个0'，如果存在a，使得a+0'=a，那对于任意b，都有
b+0'=b+0+0'=b+(-a)+a+0'=b+(-a)+a=b+0=b
所以0'就是零元素。
然后对任意a，1+0=1两边同乘以a，就有1*a+0*a=1*a，所以0*a就是零元素，0*a=0
接下来也可以证明
(-1)*(-1)=(-1)*(-1)+0=(-1)*(-1)+0*1=(-1)*(-1)+[(-1)+1]*1=(-1)*(-1)+(-1)*1+1*
1=(-1)*[(-1)+1]+1*1=(-1)*0+1*1=0+1*1=1*1
【在 n***p 的大作中提到】
: 那就是还要规定零元是唯一的。
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t*******r
发帖数: 22634 | 220 这个有道理。。。不过这个跟拼娃版低年级 酱油science / 酱油chess 小时数，不知
道有没有一些相关性。。。
【在 r*g 的大作中提到】
: 这么教motivation 难教。娃要问你这游戏为啥要自洽？ 为啥加法要有单位元0，每个
: 元素还要有逆元素？
: 前面谁谁说了，抽象的东西是有了大量例子才看出抽象的动机的。直接从抽象出发，就
: 跟码工没写过几行程序就学design pattern一样，没动力。
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t*******r
发帖数: 22634 | 221 good!
第二个负负得正的证明，要求肺活量够大有木有！
1*
【在 p**s 的大作中提到】
: 这也是可以证明的，如果有两个零元素0,0'，根据定义有
: 0=0+0'=0'
: 另外，如果对于某个0'，如果存在a，使得a+0'=a，那对于任意b，都有
: b+0'=b+0+0'=b+(-a)+a+0'=b+(-a)+a=b+0=b
: 所以0'就是零元素。
: 然后对任意a，1+0=1两边同乘以a，就有1*a+0*a=1*a，所以0*a就是零元素，0*a=0
: 接下来也可以证明
: (-1)*(-1)=(-1)*(-1)+0=(-1)*(-1)+0*1=(-1)*(-1)+[(-1)+1]*1=(-1)*(-1)+(-1)*1+1*
: 1=(-1)*[(-1)+1]+1*1=(-1)*0+1*1=0+1*1=1*1
|
r*g
发帖数: 3159 | 222 (-1)*(-1)要单独证明吗？
只要证明
(1)如果 a'是 a 的逆元素，那么a也是a'的逆元素。否则，设a''是a'的逆元素，
0=a + a' = a' + a'' => a = a''.
或者加一句， 先证明 (-1)*a = -a. 从分配率。
1没啥特殊的要单独证。
【在 t*******r 的大作中提到】
: good!
: 第二个负负得正的证明，要求肺活量够大有木有！
:
: 1*
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m*****t
发帖数: 239 | 223
楼上有筒子已经证明零元素是唯一的了，不过我的办法是先定义减法 ;)
或者说，我的意思是，把整数的加减法搞清楚了之后，然后把1*1定义成随便哪个整数n
，都可以完全确定一个拥有分配律，结合律，交换律，并且0*a=0的乘法，但是只有当n
=1或-1的时候，这个乘法才能有identity
【在 n***p 的大作中提到】
: 那就是还要规定零元是唯一的。
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m*****t
发帖数: 239 | 224
其实个人还是觉得，减法出现时就应该至少稍微引入一点负数的概念了，否则凭什么可
以3-1，就不能1-3
至于用pair of real numbers来解释复数，这样子无法解释复数的乘法吧（这又是乘法
非唯一性的另一个例子）
【在 t*******r 的大作中提到】
: 减法算符，就是加法算符的逆运算，trivial。
: ordering 不是在 axiom of infinity 瓢虫蹦蹦机的 cosmology 的表述里有了么？
: 我们 cosmos 的 time 维度是有 order 的啊（否则不混乱么？）
: 其实 order 就是 causality 的数学表述，当然这个一般娃也就是混过去。
: 在小学数学里，负数在乘法后面搞，因为先要 distributive property 的有用性，
: （反映空间属性）。
: 第 9 步的确是有 algebraic irrational number，娃要是太狠了，你就加个 pi
: 就是了。。。但 pi 要上极限的哈哈哈。。。
: 复数其实 trivial，就是一个 pair of real number。。。如果娃太狠就这么说
: 。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 225 加上一个符号 sqrt(-1)
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 其实个人还是觉得，减法出现时就应该至少稍微引入一点负数的概念了，否则凭什么可
: 以3-1，就不能1-3
: 至于用pair of real numbers来解释复数，这样子无法解释复数的乘法吧（这又是乘法
: 非唯一性的另一个例子）
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r*g
发帖数: 3159 | 226 用pair了就不需要sqrt(-1). 只用pair (0,1) 和（1，0）。
为啥要让 (0,1)*(0,1) = (-1,0)?
首先把所有pair搞到单位圆周上。 (定义a*(c,d) = (ac,ad))。
然后发现 (a,b)是圆弧上点的正弦余弦，乘法定义成绕圆弧转圈圈。和角公式
(a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc).
不需要i= sqrt(-1). 也不需要极坐标表示的指数形式。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 加上一个符号 sqrt(-1)
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n***p
发帖数: 7668 | 227 嗯，要啥有啥，完备了。
数n
当n
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 其实个人还是觉得，减法出现时就应该至少稍微引入一点负数的概念了，否则凭什么可
: 以3-1，就不能1-3
: 至于用pair of real numbers来解释复数，这样子无法解释复数的乘法吧（这又是乘法
: 非唯一性的另一个例子）
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t*******r
发帖数: 22634 | 228 1 * 1 = 1 其实就是 multiplicative identity property。
空间上看，就是定义一下单位二维格子的尺寸，好让二维数数有个单位。
或者另一个角度看，就是二维到一维的单位转换。
定义成不是 1 也可以。当然这样素数会比较难看，虽然也不是不能搞。。。但总之是
自找麻烦，显然不是 best-fit model。
数n
当n
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 其实个人还是觉得，减法出现时就应该至少稍微引入一点负数的概念了，否则凭什么可
: 以3-1，就不能1-3
: 至于用pair of real numbers来解释复数，这样子无法解释复数的乘法吧（这又是乘法
: 非唯一性的另一个例子）
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t*******r
发帖数: 22634 | 229 这个也可以，而且马 code 也不难。
其实这两种定义方法，就是同一个硬币的两面。
当然了，娃版瓢虫阵图论，还不是想干啥干啥。。。
【在 r*g 的大作中提到】
: 用pair了就不需要sqrt(-1). 只用pair (0,1) 和（1，0）。
: 为啥要让 (0,1)*(0,1) = (-1,0)?
: 首先把所有pair搞到单位圆周上。 (定义a*(c,d) = (ac,ad))。
: 然后发现 (a,b)是圆弧上点的正弦余弦，乘法定义成绕圆弧转圈圈。和角公式
: (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc).
: 不需要i= sqrt(-1). 也不需要极坐标表示的指数形式。
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m**k
发帖数: 18660 | 230 那为啥0/1可以 1/0不行啊。
就是不适合。
【在 m*****t 的大作中提到】
:
: 其实个人还是觉得，减法出现时就应该至少稍微引入一点负数的概念了，否则凭什么可
: 以3-1，就不能1-3
: 至于用pair of real numbers来解释复数，这样子无法解释复数的乘法吧（这又是乘法
: 非唯一性的另一个例子）
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p**s
发帖数: 2707 | 231 需要，因为只要乘法满足分配率，就可以证明(-1)*(-1)=1*1，同样可以证明(-a)*(-b)
=a*b。
1*1=1是另外定义的
你没弄清-a跟(-1)*a不是一回事
【在 r*g 的大作中提到】
: (-1)*(-1)要单独证明吗？
: 只要证明
: (1)如果 a'是 a 的逆元素，那么a也是a'的逆元素。否则，设a''是a'的逆元素，
: 0=a + a' = a' + a'' => a = a''.
: 或者加一句， 先证明 (-1)*a = -a. 从分配率。
: 1没啥特殊的要单独证。
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t*******r
发帖数: 22634 | 232 同一硬币的两面。
【在 m**k 的大作中提到】
: 有意思。
: 到底是用乘法定义证明分配率
: 还是用分配率证明乘法呢
: 我觉得一般想法是乘法定义为先。
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r*g
发帖数: 3159 | 233 咋没弄清楚，我原帖没改，写明先证-1*a=-a.
b)
【在 p**s 的大作中提到】
: 需要，因为只要乘法满足分配率，就可以证明(-1)*(-1)=1*1，同样可以证明(-a)*(-b)
: =a*b。
: 1*1=1是另外定义的
: 你没弄清-a跟(-1)*a不是一回事
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t*******r
发帖数: 22634 | 234 这个还不是要用 distributive property。。。
【在 r*g 的大作中提到】
: 咋没弄清楚，我原帖没改，写明先证-1*a=-a.
:
: b)
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p**s
发帖数: 2707 | 235 就算(-1)*a=a，也一样有(-1)*(-1)=1*1
【在 r*g 的大作中提到】
: 咋没弄清楚，我原帖没改，写明先证-1*a=-a.
:
: b)
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t*******r
发帖数: 22634 | 236 不过我觉得 nonpp 的意思是不能排除 non-deterministic reduce 情况，
比如这样定义三种 0：
三种 0：
0 , 0' , 0''
这样：
(1 - 1) => any one of { 0 , 0' , 0'' }
(non-deterministic reduce)
于是导致有三种负数：
-1 , -1' , -1''
这样推导下去，其实也自洽。。。当然就是折腾。。。
1*
【在 p**s 的大作中提到】
: 这也是可以证明的，如果有两个零元素0,0'，根据定义有
: 0=0+0'=0'
: 另外，如果对于某个0'，如果存在a，使得a+0'=a，那对于任意b，都有
: b+0'=b+0+0'=b+(-a)+a+0'=b+(-a)+a=b+0=b
: 所以0'就是零元素。
: 然后对任意a，1+0=1两边同乘以a，就有1*a+0*a=1*a，所以0*a就是零元素，0*a=0
: 接下来也可以证明
: (-1)*(-1)=(-1)*(-1)+0=(-1)*(-1)+0*1=(-1)*(-1)+[(-1)+1]*1=(-1)*(-1)+(-1)*1+1*
: 1=(-1)*[(-1)+1]+1*1=(-1)*0+1*1=0+1*1=1*1
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t*******r
发帖数: 22634 | 237 或者 nonpp 更狠一点，干脆说 0 不存在。所以 (1 - 1)
是 invalid expression。
当然，0 不存在的话，负数估计也不存在了。。。当然 plus
可以说 nonpp 的完备性不强，nonpp 说就“我喜欢简洁性怎么
招？反正也自洽是不是？”。。。
好像也没辙。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 不过我觉得 nonpp 的意思是不能排除 non-deterministic reduce 情况，
: 比如这样定义三种 0：
: 三种 0：
: 0 , 0' , 0''
: 这样：
: (1 - 1) => any one of { 0 , 0' , 0'' }
: (non-deterministic reduce)
: 于是导致有三种负数：
: -1 , -1' , -1''
: 这样推导下去，其实也自洽。。。当然就是折腾。。。
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s**********y
发帖数: 509 | 238 这是要看看 field axiom. 对大妈们要求太高了吧？
【在 t*******r 的大作中提到】
: 或者 nonpp 更狠一点，干脆说 0 不存在。所以 (1 - 1)
: 是 invalid expression。
: 当然，0 不存在的话，负数估计也不存在了。。。当然 plus
: 可以说 nonpp 的完备性不强，nonpp 说就“我喜欢简洁性怎么
: 招？反正也自洽是不是？”。。。
: 好像也没辙。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 239 这不能怪俺啊。。。数学家都是疯子啊，他们那些疯子连这种 additive identity
是不是存在且唯一的问题，都要钻牛角尖。。。我就一句话，尼玛内存很贵的！！！！
你看我前面写的娃版，里面写明了 trivial，也就是对娃而言 trivial。。。
只要娃不问，我绝对不提哈哈哈。。。
数学家们都不用马 code 给老板嘛，显然都不知道内存还要花钱的。。。
一帮败家仔。。。// run
【在 s**********y 的大作中提到】
: 这是要看看 field axiom. 对大妈们要求太高了吧？
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t*******r
发帖数: 22634 | 240 刚才去查了查，皮亚诺其实就是硬币的第三面。。。
不过这面太不常用了，俺同意的确不适合跟娃讲。。。
其实要么自然语言，要么直接就 distributive property
（加上 1*1=1 不过很多娃也默认这个，trivial），实用
而不容易混淆。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 在皮亚诺系统里，确实事先定义乘法，然后它正好符合
: 分配律。不过这完全不适合跟娃讲。用乘法的直观定义
: 然后画出瓢虫一类的东西解释分配律应该足够了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 241 查了一下术语，正规叫法应该叫 multiplicative identity property。。。
俺去修改一下。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 1 * 1 = 1 其实就是 multiplicative identity property。
: 空间上看，就是定义一下单位二维格子的尺寸，好让二维数数有个单位。
: 或者另一个角度看，就是二维到一维的单位转换。
: 定义成不是 1 也可以。当然这样素数会比较难看，虽然也不是不能搞。。。但总之是
: 自找麻烦，显然不是 best-fit model。
:
: 数n
: 当n
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t*******r
发帖数: 22634 | 242 我觉得，总是可以从数学角落里，找出一堆犄角旮旯也不知道有没有用的东西。
但是绝大部分娃不会成为理论数学家，所以晦涩没用的东西就算了。。。我现在的看法
是，如果一个东西，跟我们所处的时空属性（娃版 cosmology）毛关系都没有，也不能
用于解决问题，那就算了别折腾那破玩意儿了。
所以从这个角度说，distributive property 的角度理解乘法，既显示空间属性（切蛋
糕），又对培养代数人肉计算器有看得见摸得着的实用。
【在 m**k 的大作中提到】
: 我觉得不是想有个符合分配率的乘法。
: 是定义了乘法。而乘法正好符合分配率。
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t*******r
发帖数: 22634 | 243 我觉得我现在明白了，lila 的系统，和俺的平行系统，最大的差异，是 lila 的系统
的规则，更多的基于 intuition，而俺的平行系统的规则，是更多的基于 logic。
这个直接造成的差别，是在趣味数学题上。。。趣味数学题，因为其 non-routine 的
本性，如果不是事先刷过题型，intuition 直接 fail 掉（guess and check 解法不算
，因为那个也就是让娃保持兴趣和启发探索）。这时候 logics 就管用了。只要能实在
有用，娃就会有 motivation。
【在 r*g 的大作中提到】
: 这么教motivation 难教。娃要问你这游戏为啥要自洽？ 为啥加法要有单位元0，每个
: 元素还要有逆元素？
: 前面谁谁说了，抽象的东西是有了大量例子才看出抽象的动机的。直接从抽象出发，就
: 跟码工没写过几行程序就学design pattern一样，没动力。
|
l**a
发帖数: 5175 | 244 我的系统是古典的，你的不是。
人从远古走来，要继承很多东西，都扔了，也可以，
有些东西还不能那么随便仍掉的，我们不理解为什么要扔，或者不扔。
Intuition和logic那个更重要呢？
直觉也来自观察和总结，归纳法是最基本的科学方法。
其次是逻辑和演绎。数学的确需要哲学系学生去教。。。哈哈。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得我现在明白了，lila 的系统，和俺的平行系统，最大的差异，是 lila 的系统
: 的规则，更多的基于 intuition，而俺的平行系统的规则，是更多的基于 logic。
: 这个直接造成的差别，是在趣味数学题上。。。趣味数学题，因为其 non-routine 的
: 本性，如果不是事先刷过题型，intuition 直接 fail 掉（guess and check 解法不算
: ，因为那个也就是让娃保持兴趣和启发探索）。这时候 logics 就管用了。只要能实在
: 有用，娃就会有 motivation。
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l**a
发帖数: 5175 | 245 我告诉你，这些在0,1上纠缠不休的，
都是被数字电路，计算机搞的。哈哈。。
我现在对7个数有兴趣，1234567，7点。 哈哈。
【在 r*g 的大作中提到】
: (-1)*(-1)要单独证明吗？
: 只要证明
: (1)如果 a'是 a 的逆元素，那么a也是a'的逆元素。否则，设a''是a'的逆元素，
: 0=a + a' = a' + a'' => a = a''.
: 或者加一句， 先证明 (-1)*a = -a. 从分配率。
: 1没啥特殊的要单独证。
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r*g
发帖数: 3159 | 246 代数好的比直觉好的走得远。
你的路子就是过去新数学的路子，把现代概念潜移默化给小孩。我也想这么搞，不过一
是自己水平低，二是娃不ready,推不动。不管问他啥问题，都回一句，我为啥要学数学？
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得，总是可以从数学角落里，找出一堆犄角旮旯也不知道有没有用的东西。
: 但是绝大部分娃不会成为理论数学家，所以晦涩没用的东西就算了。。。我现在的看法
: 是，如果一个东西，跟我们所处的时空属性（娃版 cosmology）毛关系都没有，也不能
: 用于解决问题，那就算了别折腾那破玩意儿了。
: 所以从这个角度说，distributive property 的角度理解乘法，既显示空间属性（切蛋
: 糕），又对培养代数人肉计算器有看得见摸得着的实用。
|
l**a
发帖数: 5175 | 247 从上面的讨论，我有个想法，似乎我们的大纲落后。
其实真实的原因是我们的小学算术老师，是否
在解放前就是没学过代数的，我们的教法可能
是延续了中国古代数学教学方法，算术教学是现代版
的孙子算法和九章算术。中国古代有自己的数学发明。
我们还没有西方近代的发明，教材就是那样编印的。
所以我们要花那么多时间理解题型而不是引入符号。
中国文字没有符号化。小学算术保持中国基因的抵抗行为。
西方的文艺复兴起源于对古希腊文明的复兴。
古希腊已经有几何学，代数的新突破要４百年以前
的事情了，这些东西的来源难说。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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m**k
发帖数: 18660 | 248 我们小学数学老师哪有解放前那么老啊。。
其实都是继承苏联的教材吧。按部就班。
代数小学就是不讲.所以难题就只能用拧巴的方法练脑子。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 从上面的讨论，我有个想法，似乎我们的大纲落后。
: 其实真实的原因是我们的小学算术老师，是否
: 在解放前就是没学过代数的，我们的教法可能
: 是延续了中国古代数学教学方法，算术教学是现代版
: 的孙子算法和九章算术。中国古代有自己的数学发明。
: 我们还没有西方近代的发明，教材就是那样编印的。
: 所以我们要花那么多时间理解题型而不是引入符号。
: 中国文字没有符号化。小学算术保持中国基因的抵抗行为。
: 西方的文艺复兴起源于对古希腊文明的复兴。
: 古希腊已经有几何学，代数的新突破要４百年以前
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n***p
发帖数: 7668 | 249 其实几千年了，数学的发展基本上一直就是在总结题型。比如二次曲线，
从古希腊时的几何方法（圆锥曲线：闲得蛋疼整天切圆锥，就是劈柴也对
家庭和社会有点贡献好不好？）到了笛卡尔坐标系里面的判别式，最后到
了一般情形的二次型。然后到二阶偏微分方程的分类。
http://zh.wikipedia.org/wiki/圆锥曲线
至于线性方程组，更是把总结题型和分类进行到了极致。从二元一次方程
组消元法，最后发展到矩阵形式的高斯消去法，算是肉算的极致了。为
了电算，为了在有限的生命里电算出一点有意义的结果，发展了一万种
算法，每个算法都只是对某一类的矩阵有效，还不是要总结题型？
作为一个学生来说，最低级的，老师给了题型也不懂，瞎算，瞎想，啥都
想不出来，做不出来，就是行尸走肉，连人肉计算器也成不了。这基本上
就算是魔教里的小喽啰，送死的命。
稍高级点的学生，记得住老师总结的题型，可以成功成为人肉计算器。这
可以算是小头领级别了。
更好点的，不仅可以记得住老师总结的题型，而且可以自己总结题型。这
就算是魔教十长老级别了。
最高级的，在更高层次上总结题型，（希望）一了百了。这就是独孤求败
了。当然了，有一个死太监在另一个层次上总结了一下题型，为武林开辟
了另一条道路，值得单独讨论。
至于令狐冲，根本就是一个记住了几个高级题型的人肉计算器而已。当然，
内存和中央处理器被花大价钱升级了，那是另一回事。东方不败是另一条
道路上的高级人肉计算器。
结论：总结题型是千古不灭的真理，但是，当有了高级题型时，有机会就
进行高层次的人肉训练吧，但是不要选错了套路。当然，要是内存和中央
处理器根本档次不够，高级题型处理不了，就安心做低级人肉计算器也不
错。
【在 l**a 的大作中提到】
: 从上面的讨论，我有个想法，似乎我们的大纲落后。
: 其实真实的原因是我们的小学算术老师，是否
: 在解放前就是没学过代数的，我们的教法可能
: 是延续了中国古代数学教学方法，算术教学是现代版
: 的孙子算法和九章算术。中国古代有自己的数学发明。
: 我们还没有西方近代的发明，教材就是那样编印的。
: 所以我们要花那么多时间理解题型而不是引入符号。
: 中国文字没有符号化。小学算术保持中国基因的抵抗行为。
: 西方的文艺复兴起源于对古希腊文明的复兴。
: 古希腊已经有几何学，代数的新突破要４百年以前
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t*******r
发帖数: 22634 | 250 音乐是 12 啊，12 平均律。。。7 是逗你娃的哈哈哈。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 我告诉你，这些在0,1上纠缠不休的，
: 都是被数字电路，计算机搞的。哈哈。。
: 我现在对7个数有兴趣，1234567，7点。 哈哈。
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m**k
发帖数: 18660 | 251 关键是要对付考试啊。
只好刷题
【在 n***p 的大作中提到】
: 其实几千年了，数学的发展基本上一直就是在总结题型。比如二次曲线，
: 从古希腊时的几何方法（圆锥曲线：闲得蛋疼整天切圆锥，就是劈柴也对
: 家庭和社会有点贡献好不好？）到了笛卡尔坐标系里面的判别式，最后到
: 了一般情形的二次型。然后到二阶偏微分方程的分类。
: http://zh.wikipedia.org/wiki/圆锥曲线
: 至于线性方程组，更是把总结题型和分类进行到了极致。从二元一次方程
: 组消元法，最后发展到矩阵形式的高斯消去法，算是肉算的极致了。为
: 了电算，为了在有限的生命里电算出一点有意义的结果，发展了一万种
: 算法，每个算法都只是对某一类的矩阵有效，还不是要总结题型？
: 作为一个学生来说，最低级的，老师给了题型也不懂，瞎算，瞎想，啥都
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t*******r
发帖数: 22634 | 252 我发现你说的是对的。。。其实差距不是在是不是总结题型，差距
是在以牛掰的 logic/symbolic 的姿势总结，还是以傻叉的 intuition
的节奏死背。
其实 mathematics structure + mathematics logic，就是题型。
牛掰的地方是在于 logic/symbolic 的姿势。而死背题型就是那个啥。
俺昨晚想了想，具体到小学线性代数题，其实那根本不是一个特别的
类型，只是 mathematics structure + mathematics logic
的一个具体的 implementation。具体来说，题型大法是这么搞的：
1）根据 word problem 来 construct logic graph
2）把 logic graph 转换成 algebraic expressions
3）该 algebraic expression 就是一个 LR syntax tree
4）用各种 property 去 simplify 那个 LR syntax tree
具体而言，collapse 成 2-level tree，level 1 是一个
addition node，level 2 是 N 个 multiplication node。
在用 property 去 simplify 过程里，最最重要的 property
是 distributive property。
5）如果存在多个 simplified LR syntax tree，相互直接
随便加加减减，目的是砍掉未知元 node。
6）把结果抄到考卷上，噼噼啪啪地收拾书包，屁颠屁颠的走人。
这个老实说，比趣味数学题容易多了。只要强化仨月，搞定人肉
计算 LR syntax tree，剩下的小菜。。。
【在 n***p 的大作中提到】
: 其实几千年了，数学的发展基本上一直就是在总结题型。比如二次曲线，
: 从古希腊时的几何方法（圆锥曲线：闲得蛋疼整天切圆锥，就是劈柴也对
: 家庭和社会有点贡献好不好？）到了笛卡尔坐标系里面的判别式，最后到
: 了一般情形的二次型。然后到二阶偏微分方程的分类。
: http://zh.wikipedia.org/wiki/圆锥曲线
: 至于线性方程组，更是把总结题型和分类进行到了极致。从二元一次方程
: 组消元法，最后发展到矩阵形式的高斯消去法，算是肉算的极致了。为
: 了电算，为了在有限的生命里电算出一点有意义的结果，发展了一万种
: 算法，每个算法都只是对某一类的矩阵有效，还不是要总结题型？
: 作为一个学生来说，最低级的，老师给了题型也不懂，瞎算，瞎想，啥都
|
t*******r
发帖数: 22634 | 253 看俺上面的帖子，俺现在领悟了，其实都是刷，差别不过是牛掰的高级刷，
vs 苦逼的体力刷。。。
不过牛掰高级刷，也是个技术活，得拚小时数先打好 logic/symbolic 的底子，
否则光靠 intuition 只能苦逼体力刷。。。
// super fast run
【在 m**k 的大作中提到】
: 关键是要对付考试啊。
: 只好刷题
|
t*******r
发帖数: 22634 | 254 Intuition 当然是很重要，而且可能是最最重要的。
但问题是，intuition 是好比指南针，logic/symbolic 是船桨，搞反了会比较悲催。
如果拿音乐的比方，intuition 是内心听觉，logic/symbolic 是 chord progression。
logic/symbolic 是表现高级 intuition 的工具。
或者这么说，内心听觉让你的曲子引人入胜，但把曲子送到听众那边得靠 chord
progression，否则站在台上就是拿着乐器演哑剧。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 我的系统是古典的，你的不是。
: 人从远古走来，要继承很多东西，都扔了，也可以，
: 有些东西还不能那么随便仍掉的，我们不理解为什么要扔，或者不扔。
: Intuition和logic那个更重要呢？
: 直觉也来自观察和总结，归纳法是最基本的科学方法。
: 其次是逻辑和演绎。数学的确需要哲学系学生去教。。。哈哈。
|
m**k
发帖数: 18660 | 255 关键不是跑过熊。是要跑过你同伴。。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 看俺上面的帖子，俺现在领悟了，其实都是刷，差别不过是牛掰的高级刷，
: vs 苦逼的体力刷。。。
: 不过牛掰高级刷，也是个技术活，得拚小时数先打好 logic/symbolic 的底子，
: 否则光靠 intuition 只能苦逼体力刷。。。
: // super fast run
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t*******r
发帖数: 22634 | 256 跑过熊，是跑过同伴的 super-set。。。
牙口比熊硬，是跑过熊的 super-computer。。。
不过俺还是更喜欢，比如娃版斜线瓢虫阵的那种，传说中的。。。
“不可逾越性” 。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 关键不是跑过熊。是要跑过你同伴。。。。
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s**********y
发帖数: 509 | 257 逻辑和符号运算只是数学中小的一部分， 计算机将其光大。但说计算机是concrete
math 是误导。 连续数学的家底还是太厚，可用的东西太多， 无人能硬撼，Knuth 也
不能。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我发现你说的是对的。。。其实差距不是在是不是总结题型，差距
: 是在以牛掰的 logic/symbolic 的姿势总结，还是以傻叉的 intuition
: 的节奏死背。
: 其实 mathematics structure + mathematics logic，就是题型。
: 牛掰的地方是在于 logic/symbolic 的姿势。而死背题型就是那个啥。
: 俺昨晚想了想，具体到小学线性代数题，其实那根本不是一个特别的
: 类型，只是 mathematics structure + mathematics logic
: 的一个具体的 implementation。具体来说，题型大法是这么搞的：
: 1）根据 word problem 来 construct logic graph
: 2）把 logic graph 转换成 algebraic expressions
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t*******r
发帖数: 22634 | 258 计算机也做连续数学的，比如有限元解偏微分方程组，比如 conjugated gradient
method 做 non-linear optimization，等等。。。
当然，“真正的连续” 和 “真正的无限”，是理论连续数学家最后的防线。。。不过
信息学家 请 物理学家 cosmology 学家 在 后院 barbecue 了一回。。。
cosmology 学家酒后吐真言说：
“尼玛我们的 cosmos 多半既不是无限的也不是无限可分的。。。”
“其实这还不是真正问题。真正的问题在于，宇宙尺度大一号，或者量子尺度小一号，
基本都是要换模型的。你丫换模型能连续么？。。。”
“当然当然，也有疯子在搞 theory of everything，不过也很有可能最终落成个
theory of nothing 的下场。。。”
“我们退一步说，就算 theory of everything 搞定了，您说了，人类就不发现
新东东了？。。。发现了新东东，你丫不是还得换模型。。。”
“所以我跟你说，真正的无限和真正的连续，就是真正的扯淡！！！！。。。
你们信息学家扯那个蛋干啥，喝酒喝酒。。。”
【在 s**********y 的大作中提到】
: 逻辑和符号运算只是数学中小的一部分， 计算机将其光大。但说计算机是concrete
: math 是误导。 连续数学的家底还是太厚，可用的东西太多， 无人能硬撼，Knuth 也
: 不能。
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s**********y
发帖数: 509 | 259 你这个略讲远了些。 即便这样， 数集还是一个一个点的集和， 差别无非是有限／无
限， 可数／不可数， 完备／不完备。连续数学这个词本身就在误导。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 计算机也做连续数学的，比如有限元解偏微分方程组，比如 conjugated gradient
: method 做 non-linear optimization，等等。。。
: 当然，“真正的连续” 和 “真正的无限”，是理论连续数学家最后的防线。。。不过
: 信息学家 请 物理学家 cosmology 学家 在 后院 barbecue 了一回。。。
: cosmology 学家酒后吐真言说：
: “尼玛我们的 cosmos 多半既不是无限的也不是无限可分的。。。”
: “其实这还不是真正问题。真正的问题在于，宇宙尺度大一号，或者量子尺度小一号，
: 基本都是要换模型的。你丫换模型能连续么？。。。”
: “当然当然，也有疯子在搞 theory of everything，不过也很有可能最终落成个
: theory of nothing 的下场。。。”
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t*******r
发帖数: 22634 | 260 （1）cosmos 本身不是无限可分的，所以 uncountable 本身
不存在于 cosmos 里面。
（2）cosmos 本身不是无限的，所以 “无限” 本身也不存在于
cosmos 里面。
（3）人类对 cosmos 的认知是不完备的，所以 “完备”
也不存在于可以数学表述的 cosmos 里面。
当然，我不是极端有限论。。。我是 semi-有限论。。。也就是：
（a）所谓的无限/不可数/完备，它们其实只是人类创建的一类符号（symbolic）。
（b）该类（比如无限/不可数/完备）的符号，区别于其他“有限可数”的符号
的地方是：该类符号不是 map 那些 concrete 的 cosmos object，而是
point to 那些 search direction / exploring path, in our cosmos。
（c）并且该类符号要求能够做逻辑运算。（否则就不是数学而是文学了）。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 你这个略讲远了些。 即便这样， 数集还是一个一个点的集和， 差别无非是有限／无
: 限， 可数／不可数， 完备／不完备。连续数学这个词本身就在误导。
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s**********y
发帖数: 509 | 261 cosmos 也许是悠闲的， 但人的想像是无线的。 对内在的描述呢？
【在 t*******r 的大作中提到】
: （1）cosmos 本身不是无限可分的，所以 uncountable 本身
: 不存在于 cosmos 里面。
: （2）cosmos 本身不是无限的，所以 “无限” 本身也不存在于
: cosmos 里面。
: （3）人类对 cosmos 的认知是不完备的，所以 “完备”
: 也不存在于可以数学表述的 cosmos 里面。
: 当然，我不是极端有限论。。。我是 semi-有限论。。。也就是：
: （a）所谓的无限/不可数/完备，它们其实只是人类创建的一类符号（symbolic）。
: （b）该类（比如无限/不可数/完备）的符号，区别于其他“有限可数”的符号
: 的地方是：该类符号不是 map 那些 concrete 的 cosmos object，而是
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t*******r
发帖数: 22634 | 262 其实数学也有点像语文：
开始是描述实在要求，比如：“俺要和你睡觉”。
然后是描述心理活动，比如：“俺轻轻的挥手，不带走一片云彩”。
再后是隐喻心理活动，比如：“俺看到柳枝摇摆的幅度，有些过分”。
走火入魔是大众都不懂的梨花体，比如：“俺做的馅饼/是全天下/最好吃的”。
【在 s**********y 的大作中提到】
: cosmos 也许是悠闲的， 但人的想像是无线的。 对内在的描述呢？
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n***p
发帖数: 7668 | 263 都什么年头了，还考虑芝诺的乌龟问题。
【在 t*******r 的大作中提到】
: （1）cosmos 本身不是无限可分的，所以 uncountable 本身
: 不存在于 cosmos 里面。
: （2）cosmos 本身不是无限的，所以 “无限” 本身也不存在于
: cosmos 里面。
: （3）人类对 cosmos 的认知是不完备的，所以 “完备”
: 也不存在于可以数学表述的 cosmos 里面。
: 当然，我不是极端有限论。。。我是 semi-有限论。。。也就是：
: （a）所谓的无限/不可数/完备，它们其实只是人类创建的一类符号（symbolic）。
: （b）该类（比如无限/不可数/完备）的符号，区别于其他“有限可数”的符号
: 的地方是：该类符号不是 map 那些 concrete 的 cosmos object，而是
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t*******r
发帖数: 22634 | 264 是对于娃版数学，啥学啥无所谓而言的吧。。。
【在 n***p 的大作中提到】
: 都什么年头了，还考虑芝诺的乌龟问题。
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l**a
发帖数: 5175 | 265 就是你说的令狐冲，他连现代数学
的门还没摸到呢。
所以有些东西还是早点就决定不摸。
【在 n***p 的大作中提到】
: 其实几千年了，数学的发展基本上一直就是在总结题型。比如二次曲线，
: 从古希腊时的几何方法（圆锥曲线：闲得蛋疼整天切圆锥，就是劈柴也对
: 家庭和社会有点贡献好不好？）到了笛卡尔坐标系里面的判别式，最后到
: 了一般情形的二次型。然后到二阶偏微分方程的分类。
: http://zh.wikipedia.org/wiki/圆锥曲线
: 至于线性方程组，更是把总结题型和分类进行到了极致。从二元一次方程
: 组消元法，最后发展到矩阵形式的高斯消去法，算是肉算的极致了。为
: 了电算，为了在有限的生命里电算出一点有意义的结果，发展了一万种
: 算法，每个算法都只是对某一类的矩阵有效，还不是要总结题型？
: 作为一个学生来说，最低级的，老师给了题型也不懂，瞎算，瞎想，啥都
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l**a
发帖数: 5175 | 266 老书没被烧掉的，有被我扒出来的。。。
都是我主动扒的，我女儿自己在书架前都不知道要拿
什么，这种就根本不行的。
【在 m**k 的大作中提到】
: 我们小学数学老师哪有解放前那么老啊。。
: 其实都是继承苏联的教材吧。按部就班。
: 代数小学就是不讲.所以难题就只能用拧巴的方法练脑子。。
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l**a
发帖数: 5175 | 267 音乐家也是要一定的智商的。不要以为很容易。
不是只有内心的＂闷骚＂就行了。
内心的东西比＂闷骚＂高很多数量级才行。
progression。
【在 t*******r 的大作中提到】
: Intuition 当然是很重要，而且可能是最最重要的。
: 但问题是，intuition 是好比指南针，logic/symbolic 是船桨，搞反了会比较悲催。
: 如果拿音乐的比方，intuition 是内心听觉，logic/symbolic 是 chord progression。
: logic/symbolic 是表现高级 intuition 的工具。
: 或者这么说，内心听觉让你的曲子引人入胜，但把曲子送到听众那边得靠 chord
: progression，否则站在台上就是拿着乐器演哑剧。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 268 属实
【在 l**a 的大作中提到】
: 音乐家也是要一定的智商的。不要以为很容易。
: 不是只有内心的＂闷骚＂就行了。
: 内心的东西比＂闷骚＂高很多数量级才行。
:
: progression。
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t*******r
发帖数: 22634 | 269 我查了一下 “芝诺的乌龟问题”，其实前面这个 “有限无限的问题”
跟 “芝诺的乌龟问题” 关系不大。
“芝诺的乌龟问题” 是个哲学问题，而前面的 “有限无限的问题”
是对娃版数学的 “有用性” 的问题。
当代数学的有用性部分，几乎全部是建立在电算基础上的。
（肉算不是没用，但那个是 homedepot 门口老莫按计算器
按钮的活）。
而电算的数学基础，是符号逻辑和自动机，以及如何用符号逻辑
和自动机来 model 和 求解 现实世界的问题。。。现实不存在
“无限状态自动机”，所以任何的 “无限”，必须要 model 成有限
个数的符号，才能“有用”。
当然，如果要把娃培养成理论数学家或者哲学家的，另当别论。。。
不过那不是主流就是了。。。主流的扑通蛙，目的说白了就是在电算
时代，别学成个在电算时代里屁用没有的电算数学废柴。。。
【在 n***p 的大作中提到】
: 都什么年头了，还考虑芝诺的乌龟问题。
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a**e
发帖数: 8800 | 270 As late as possible.
方程的核心是条件相等，在没有建立清晰的相等观念前，教解方程百害无一利。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 最近看了一下小学的words problem,尤其是中国的奥数，感觉是不是应该很早就引入方
: 程的概念呢？那些问题，比如追击问题，鸡兔同笼什么的，用方程解易如反掌。可是用
: 算术解起来就觉得特别绕。更重要的是，在以后的学习工作中，把一个问题抽象成数学
: 问题是极其重要的一步，而使用变量思考问题又是这一步的基础。所以我感觉如果孩子
: 可以接受，应该很早引入方程概念，并且用方程去解这些words problem。但转念一想
: ，为什么中国小学算术要学那么长时间呢？是因为大部分小朋友无法理解变量，还是因
: 为别的什么原因？懂行的请讲讲。
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d****g
发帖数: 7460 | 271 相等概念还要建立吗？
【在 a**e 的大作中提到】
: As late as possible.
: 方程的核心是条件相等，在没有建立清晰的相等观念前，教解方程百害无一利。
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d****g
发帖数: 7460 | 272 这个乌龟问题的火，会不会跟 the fault of our stars 有关？
There are infinite numbers between 0 and 1. There's .1 and .12 and .112 and
an infinite collection of others. Of course, there is a bigger infinite set
of numbers between 0 and 2, or between 0 and a million. Some infinities are
bigger than other infinities. A writer we used to like taught us that. There
are days, many of them, when I resent the size of my unbounded set. I want
more numbers than I'm likely to get, and God, I want more numbers for
Augustus Waters than he got. But, Gus, my love, I cannot tell you how
thankful I am for our little infinity. I wouldn't trade it for the world.
You gave me a forever within the numbered days, and I'm grateful.
John Green, The Fault in Our Stars |
l**a
发帖数: 5175 | 273 数学里引入新概念的时候，就会简化运算思维的过程。
简化过程的缺点是，从直观带来的思维的严密性被破坏了。用新的概念代替。
其实别看有的小孩新概念会的多，不一定好，他的思维不严密。
越离开直观的东西，越容易出错。数学的本质就是用符号。。慢慢诱惑你。。
使你离开直观越来越远。。。是个肮脏的手段。。。
从训练思路的角度看，古代的算术足够了。。。从实用的角度看，没有代数是不行的。
因为被发明出来了，所以你必须学啊。
【在 a**e 的大作中提到】
: As late as possible.
: 方程的核心是条件相等，在没有建立清晰的相等观念前，教解方程百害无一利。
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t*******r
发帖数: 22634 | 274 这个是学了代数公式，但丢了心里的瓢虫阵，所造成的。
或者说，娃版数学的逻辑严密性，是基于娃版形式逻辑，也就是 mathematical
structure & logics。只要不丢掉那些，思维严密性只会越来越好。
所以也是可以避免的。
【在 l**a 的大作中提到】
: 数学里引入新概念的时候，就会简化运算思维的过程。
: 简化过程的缺点是，从直观带来的思维的严密性被破坏了。用新的概念代替。
: 其实别看有的小孩新概念会的多，不一定好，他的思维不严密。
: 越离开直观的东西，越容易出错。数学的本质就是用符号。。慢慢诱惑你。。
: 使你离开直观越来越远。。。是个肮脏的手段。。。
: 从训练思路的角度看，古代的算术足够了。。。从实用的角度看，没有代数是不行的。
: 因为被发明出来了，所以你必须学啊。
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t*******r
发帖数: 22634 | 275 另外符号系统本身，也可以用瓢虫阵来形象化。
【在 l**a 的大作中提到】
: 数学里引入新概念的时候，就会简化运算思维的过程。
: 简化过程的缺点是，从直观带来的思维的严密性被破坏了。用新的概念代替。
: 其实别看有的小孩新概念会的多，不一定好，他的思维不严密。
: 越离开直观的东西，越容易出错。数学的本质就是用符号。。慢慢诱惑你。。
: 使你离开直观越来越远。。。是个肮脏的手段。。。
: 从训练思路的角度看，古代的算术足够了。。。从实用的角度看，没有代数是不行的。
: 因为被发明出来了，所以你必须学啊。
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h*******e
发帖数: 1968 | 276 想起那个笑话。吹一声口哨所有的动物抬起一只脚，再吹一声所有的鸡都一屁股坐地上
了。
地上剩的脚都是兔子的
所以总的脚数减去头数，减两遍，就是兔子数的二倍。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 这个不能同意。建立代数模型未必比建立算数模型复杂。比如鸡兔同笼问题，在我不知
: 道别人怎么用算数方法解决这个问题的时候，我是完全想不出来的，但是用代数方法则
: 特别直接。
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h*******e
发帖数: 1968 | 277 想起那个笑话。吹一声口哨所有的动物抬起一只脚，再吹一声所有的鸡都一屁股坐地上
了。
地上剩的脚都是兔子的
所以总的脚数减去头数，减两遍，就是兔子数的二倍。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 这个不能同意。建立代数模型未必比建立算数模型复杂。比如鸡兔同笼问题，在我不知
: 道别人怎么用算数方法解决这个问题的时候，我是完全想不出来的，但是用代数方法则
: 特别直接。
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t*******r
发帖数: 22634 | 278 我觉得说白了，就是 "符号系统的主人" vs "符号系统的奴隶" 的差别。。。或者说，
人肉符号自动机。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 数学里引入新概念的时候，就会简化运算思维的过程。
: 简化过程的缺点是，从直观带来的思维的严密性被破坏了。用新的概念代替。
: 其实别看有的小孩新概念会的多，不一定好，他的思维不严密。
: 越离开直观的东西，越容易出错。数学的本质就是用符号。。慢慢诱惑你。。
: 使你离开直观越来越远。。。是个肮脏的手段。。。
: 从训练思路的角度看，古代的算术足够了。。。从实用的角度看，没有代数是不行的。
: 因为被发明出来了，所以你必须学啊。
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m**k
发帖数: 18660 | 279 那就是一定不要背九九表咯
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得说白了，就是 "符号系统的主人" vs "符号系统的奴隶" 的差别。。。或者说，
: 人肉符号自动机。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 280 双管齐下岂不更好。。。瓢虫阵逻辑性强，但计算太坑爹。。。九九表就是互补。
就像学游泳，drill 自由玩，和定式准确练，两者结合，才能美女才女一把抓，是不是？
【在 m**k 的大作中提到】
: 那就是一定不要背九九表咯
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l**a
发帖数: 5175 | 281 人太容易被符号控制了，你编程序的时候，如果都是你
控制的，还需要QA吗？就是因为你的逻辑性都太不可靠
了，你才被QA从多方面测试。
这就是恶性循环了，这个模式就是尝试和修改，
中间环节越多，出错的机会越多，而人偏偏相信机器了，
这不是人慢慢被机器控制了？
当然，这个过程大家都在赚钱。没这些，就没钱可赚。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得说白了，就是 "符号系统的主人" vs "符号系统的奴隶" 的差别。。。或者说，
: 人肉符号自动机。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 282 你干脆直接说，人在崎岖的路面走路有可能摔跤，所以是路控制你，而不是你在走路。
所以人干脆不要走路得了。。。你这就是现代版的因噎废食。。。而且这逻辑好像也有
点那个啥。。。
关于符号逻辑，民科傻叉编程才在符号逻辑上是尝试和修改，正规科班编程都是基于符
号逻辑断言。。。当然这个行当缺人手，数学老师搞出来的合格货色短缺，所以烂
code 一堆。。。这跟是不是被符号逻辑控制，八杆子打不着。。。
关于 QA，是因为是人就会犯逻辑小错，而不是数理逻辑不可靠也能马 code。。。要是
QA 和尝试加修改这么牛鼻的话，那要马工干嘛，干脆让 homedepot 门口的老墨来码
code，或者昌平挖沙工来干，保证价格便宜量又足。。。
关于可靠性，举个例子。。。现代汽车比古代马车的可靠性高太实在太多了，如果你把
速度和维护的因子都考虑进去。。。你要是不认这点，明天就把车库改成马厩吧，我保
证你会多花很多力气去折腾和保养马匹的。。。
关于人工 cost 方面，马工加 QA 是需要人手。。。但信息自动化的产品，直接把打字
员这个工种灭了，收银员这个工种也快被灭了，珠算冠军被灭成隔日黄花（当然个别也
可以去"最强猪脑"这类综艺节目去娱乐家庭主妇们），另外基层开会型干部这种高级秘
书工种，也要好自为了。。。为社会节省和解放了一批批低端劳力。。。
【在 l**a 的大作中提到】
: 人太容易被符号控制了，你编程序的时候，如果都是你
: 控制的，还需要QA吗？就是因为你的逻辑性都太不可靠
: 了，你才被QA从多方面测试。
: 这就是恶性循环了，这个模式就是尝试和修改，
: 中间环节越多，出错的机会越多，而人偏偏相信机器了，
: 这不是人慢慢被机器控制了？
: 当然，这个过程大家都在赚钱。没这些，就没钱可赚。
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