D**o
发帖数: 2653 | 1 注意作者 \author{YHBKJ}
Atiyah-Bott Localization 1
2012-09-05 09:24:19
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{CJK,graphicx}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]
\newtheorem{definition}{Definition}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\begin{document}
\title{\textbf{\Huge{Atiyah-Bott Localization 1}}}\author{YHBKJ}\date{}\
maketitle
\begin{ab... 阅读全帖 |
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l*3
发帖数: 2279 | 2 这个在优化里好像对应叫trust region method, 你现在考虑的是这么个问题:
(A'A + \lambda I)x = 2A'b
|x|=d
而且, 如果A是列满秩的话, 可以看到A'A 是一个任意的正定矩阵, A'b可以是任意一个
向量, (也就是说这里的 min 最小二乘本身并不因为 "最小二乘" 带来什么特殊性)
在优化里面, 对应如下问题:
(H + \lambda I) x = b
|x|=d
其中H是一个对称阵, b是一个任意非零向量.
那么, 当 \lambda \to \infty 的时候, |x|\to 0
你要做的就是缩小\lambda, 当\lambda 小到 H 的某一个特征值的负数的时候, |x| \
to infty,
你要找的那个极小点, 对应于第一次 |x|从0 变到 \infty 时恰巧到 d的那个点.
优化里叫trust region method, 你搜搜. |
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B********e
发帖数: 10014 | 3 不说废话你就瞎扯。能不能不要误人子弟？
第一段说的有点点make sense，第二段是什么nonsense？
什么玩意是实数域的定义？"这样试，是零；那样试是零"，这是实数域的定义？
以下的话真怀疑你能理解得了不能。
数学本质上从来没有先验的‘能’或‘不能’，而是一种定义能不能自洽。
只要是自洽的就是‘能’，就是‘正确’。
之所以不能除以零，本质上是因为现在找不到一种自洽的定义来表示它。
比如1/0.1, 1/0.01, 1/0.001, ...->+\infty
1/-.1, 1/-0.01,...->-\infty
1/.1, 1/-.01, 1/.001, 1/-.0001 ->+-\infty
没有确定性，不自洽。
反过来，除法的除数能不能是无穷？定义为零就可以。
零的零次方，为什么有定义？
你丫数学跟郭英森应该一个级别的，就知道拿几个词来显摆，搞笑 |
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B********e
发帖数: 10014 | 4 这种民科如果这辈子能有机会学习实分析，
肯定理解不了为什么可以引进扩展实数的概念，来把正负无穷都包含进来。
在那里把无穷也看成数，引进\infty *0=0, \inty+a=\inty, 排除掉\infty -\infty,
等等，构造一个自洽的环境，就可以更方便的处理测度和积分。 |
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G*****m
发帖数: 109 | 5 x(\infty) -x(0) = \int_0^\infty 1/(1-\mu g(y))dy = \infty
so y(x) does not reach g^(-1)(1/\mu) at finite x. |
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x******a
发帖数: 6336 | 6 1. P(T_1<\infty)= lim_{s->1^-} E(s^T_1) |s|<1, where we can evaluate by
definition and some calculation (not trivial, with a power series with
generalized binomial coefficents)
E(s^T_1)=...= \frac{1-\sqrt{1-4pqs^2}}{2qs};
E(s^{T_{-1}}=...= \frac{1-\sqrt{1-4pqs^2}}{2ps} for |s|<1.
2. E(s^{T_0})= ... =1-\sqrt{1-4pqs^2} for |s|<1.
3. E(T_0 s^{T_0}}=s dE(s^{T_0})/ds =4pqs^2/\sqrt{1-4pqs^2}, |s|<1.
4. Let s->1, get E(T_0,{T_0<\infty}) and then E(T_0|T_0<\infty). |
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c****o
发帖数: 1280 | 7 you should first see that I(t) is normal distribution with mean 0 and
variance \int_0^t c(s)^2*exp(-2\int_s^t c(r)dr) ds, and in order to make it
goes to 0 with probability 1, I suggest variance goes to 0, and for the
variance, one such function I come up with is c(s) such that
(1) c(s)<=1
(2)c(\infty)=0
(3) \int_0^\infty c(s)=\infty
I might did the calculation wrong....... |
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Q***5
发帖数: 994 | 8 I think both W_t and B_t in his example are defined on [0 \infty], another
way to write his B_t is:
B_s = \int_0^s a(t) dW_t
where a(t)=1 on [0 1] and a(t)=-1 on [1 \infty], i.e., B_t is a reflection
of W_t from t=1.
corr(W_t,B_t)= 1 on [0 1],
corr(W_t,B_t) converges to -1 as t goes to \infty. so his counter example is
a valid one |
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j********t
发帖数: 97 | 9 1. Calculate \int_{-\infty}^{\infty} \int_{x}^{\infty} xe^{y^3} dydx
2. Repeatedly throw a dice until two even numbers occur in a row or number
is 3 or 5. What's probability of
stopping by two consecutive numbers before 3 or 5?
3. Stock price is 100, strike is 100, maturity is 1 year. Current call price
is 10. Assume you can buy/sell put or
call, borrow/lend cash, purchase stock. But you can't sell stock!!. Please
give tight bound of put option with
the same strike and maturity.
4. Currently sto... 阅读全帖 |
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l*********t
发帖数: 89 | 10 恭喜LZ，
BTW，你当时这道题搞定了么？
Calculate \int_{-\infty}^{\infty} \int_{x}^{\infty} xe^{y^3} dydx
如果搞定了望指教一下！ Thx。 |
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a******y
发帖数: 2 | 11 Here is a rough provement.
Consider such a problem,
f(x) >= 0 and convex for x \in [a,b], a < 0 < b
f(x) = 0 otherwise.
\int_0^{-\infty} xf(x) dx = \int_0^{+\infty} xf(x)
S1 = \int_a^0 f(x) dx
S2 = \int_0^b f(x) dx
then S1 >= S2 * 4/5.
[PROVE]:
Let g(x) be the line passes (0, f(0)), (-2e, 0), where e > 0, and
S1 = \int_{-2e}^0 g(x) dx. Since f(x) convex, f(x) cross g(x) at most
once between -2e and 0, and
\int_0^{-\infty} xf(x) dx <= \int_0^{-2e} xg(x) dx.
It's not hard to show g(x) >= f(x) for |
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G********n
发帖数: 615 | 12 infty > infty does not make sense |
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w*******e
发帖数: 15912 | 13 张益唐於1978年进入北京大学数学科学学院攻读本科，於1982年修读硕士，师从潘承彪
。1985年入讀普渡大學，導師為莫宗堅，以研究雅可比猜想於1991年取得博士學位。[3
]畢業後张益唐曾任多年会计，并且一度在赛百味（Subway）工作过。之後才在友人介
紹下成为新罕布什爾大學數學讲师。[4]
张益唐於2013年4月17日在《数学年刊》（Annals of Mathematics）投稿“證明存在无
穷多个素数对相差都小于7000万”，即证明
liminf_{nto infty}, (p_{n+1} - p_n) < 7 times 10^7
如他的證明無誤，則是屔財挡孪氲闹卮筮M展。因為在此之前，“是否存在無窮多對
素數，每对相差均小於某個常數”，這問題就連其中的常數存在與否也未解決，更毋論
給出一個合乎條件的常數；而當常數為2时称为屔財挡孪耄br />
liminf_{nto infty},
(p_{n+1} - p_n) = 2
雖然他投稿時仍默默无闻，但文章論證清晰，並且對該題目研究的最新頂尖成果哂眉兪
欤虼司庉嬚J為這篇是嚴謹的論文，並決定特快處理，短短一月後，于2013年5... 阅读全帖 |
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b****d
发帖数: 1311 | 14 令f(x)=x+2x^2+3x^3+... = x [sum_{n=1}^{infty} nx^{n-1}]
= x [sum_{n=1}^{infty} x^{n}]' （该数列在(-1,1)收敛并可微）
= x [x/(1-x)]' = x/(1-x)^{2}
则 f(1/2) = 2。 |
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t**s
发帖数: 4026 | 15 \frac{1}{2\pi i}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }F(s)e^{st}ds |
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f**********d
发帖数: 4960 | 16 设f(x)=\int_{-\infty}^{x} N(0,1) dt, 其中N(0,1)是标准正态分布，
则f(x)在从-infty到0上的积分有限么？
哪位知道？？？ |
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N******p
发帖数: 2777 | 17 我只听说过O(1), O(lgN), O(N), O(N^2)...
没听说过o(\infty)。
你说说o(\infty)是咋回事。 |
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M*****e
发帖数: 11621 | 18 我第一个回的那个帖子你可以不看了，就看这两个吧。
Continue:
To prove
\lim_{h\to 0^+} F(x+h) = F(x), first use the fact that F(x+h)>=F(x) since h
>0. Therefore
\lim_{h\to 0^+} F(x+h) >= F(x).
On the other hand, for any integer n>0, you can alway find a g>0, such that
g<1/n, and hence for such g and n
F(x+g) <= F(x+1/n), which means
\lim_{h\to 0^+}F(x+h) <= F(x+g)<=F(x+1/n).
Since this is true for any n, we have
\lim_{h\to 0^+}F(x+h) <= lim_{n\to\infty} F(x+1/n) = F(x)
Combining these two inequalities
\lim_{h\to 0^+} F(x+... 阅读全帖 |
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M*****e
发帖数: 11621 | 19 就是你上次问我的那个题目变变
假设p是0到1的任意值
停时 tau = min{n|omega_n = 1}
你先算下P(tau = j)
然后再算 sum_{j=1}^infty P(tau = j)
和 sum_{j=1}^infty (j-1)P(tau = j)
想想这两个数字算的是什么
你的答案make sense吗？
如果是，有没有简便的方法可以得到那些答案？ |
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w******d
发帖数: 1301 | 20 那个网站上没有说无穷大可以消元呀。
我当时给他看那个网页是因为他不肯相信无穷大有\infty +1 = \infty的属性。 |
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d********f
发帖数: 8289 | 21 first, I'd like to say that you are definite wrong. :P Is that obvious,
because everybody has agreed the definition. :-)
second, I have an example here, I'm not sure whether it is a correct example
or not, but let's say, suppose we have a set X = R + {\infty, -infty}, then
X is closed but not bounded. |
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d****n
发帖数: 12461 | 22 可不可以用停时定理呢？P(win)=1，win的时候都是赢1元，所以E(赢的钱)=1
就算每次赢的概率是0.1
而且算算E(赌博次数)=1/P(赢一次)=10，其实就是几何分布的期望，也是有限步。不仅如
此，高阶矩都有限。所以讨论E(赢的钱)有意义啊。
而且明明知道P(一直赌下去)=0，所以P(赌资=-\infty)=0。
但大家都说E(赌资)=-\infty，不知道这个期望有什么意义？谁给解释一下？ |
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w*******a
发帖数: 27 | 23 \sum_{i=0}^\infty \frac{a^i}{i!}=e^a
那下面这个级数是什么呢？
\sum_{i=1}^\infty \frac{a^i}{[i!]^2}
Thanks so much! |
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R*********r
发帖数: 1855 | 24 那是你没学到。看看渐近分析方面的书。
就这个题目而言，发散的级数(1)比那个收敛的级数(2)“收敛”得快得多——你可以用
少得多的项数得到所需精度。
(1)Erfc(x)~\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(2n)!/n!/(2x)^{2n} e^{-x^2}/x/Sqrt{\pi}
(2)Erfc(x)=1-2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n /n!/(2n+1)/Sqrt{\pi}
过。 |
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D*******a
发帖数: 3688 | 25 not quite sure what you mean at all
if you mean \sum_{p=1}^{\infty} \frac{sin px}{px}
it should only converge at x=k\pi and x=infty something |
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R*********r
发帖数: 1855 | 26 先设 0
\sum_{p=1}^{\infty}\frac{\sin px}{px}
=\frac{1}{x}\Im \sum_{p=1}^{\infty}-\frac{e^{-ipx}}{p}
=\frac{1}{x}\Im\ln (1-e^{-ix})
=\frac{\pi-x}{2x}
对其它的x，级数值可以从上式推出来。 |
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i*******g
发帖数: 276 | 27 请问lnlnt 有什么bound呐？ 除了ct, c constant, t^p( p constant). 现在我需要证明
sqrt(2t*lnlnt)-t/2 ->-infty 当t－》infty. 谢谢谢谢哈～～ |
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A*******r
发帖数: 768 | 28 (-\infty, +\infty), +
(0,1), \times
能不能建立同构关系？
作业中，谢谢 |
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A*******r
发帖数: 768 | 29 喔，谢谢
只是想到一个怪怪的东西
(-\infty, +\infty),+
可以弄成一个chain上的 Archimedean semigroup
但是跟(0,1)上的不同构哈
睡觉 |
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R*********r
发帖数: 1855 | 30 他已经说得很清楚了嘛。
记第i个单位为E_i，
定义Z_{ij}={-1/j^2，……，-1/j^2，0……}+E_i∈D。
于是|Z_{ij}-E_i|=1/j，
对任意一个X=\sum x_iE_i，定义
Y_j=\sum_{i=1}^{j}x_i*Z_{ij}∈D
|Y_j-X|<=\sum_{i=1}^{j}|x_i|*|Z_{ij}-E_i|+|\sum_{i=j+1}^{\infty}x_i*E_i|
<=|X|/j^{1/2}+|\sum_{i=j+1}^{\infty}x_i*E_i|
->0 |
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h***l
发帖数: 3048 | 31 有一个scalar函数f在[0, \infty)上定义，并且总是正值，
那么从0到\infty对f^2积分，是否总小于或等于积分后
再平方？ |
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c*******h
发帖数: 1096 | 32 不能得出，如
+- -+ +- -+
A = | 1 -n |, x = | n |
| 0 0 | | 1 |
+- -+ +- -+
as n->infty, ||A||->infty |
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o******e
发帖数: 1001 | 33 求\int_{-\infty}^x f(x) \int_{-\infty}^{y-x} f(y)dydx.如果f(x) 和f(y)都是正
态分布,这个问题有close form solution吗?我知道用泰勒级数展开是可以解的.谢谢! |
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o******e
发帖数: 1001 | 34 Thanks, It is better off reading:
\int_{-\infty}^a f(x) \int_{-\infty}^{b-x} f(y)dydx.
f(x) and f(y) are independent standardized normal distribution.
Any ideas? |
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R*********r
发帖数: 1855 | 35 假设 S_n(0)=s+\sum_{i=a}^{\infty}c_i/n^i
则施行Richardson变换后，S_n(k)=s+\sum_{i=max{k+1，a}}^{\infty}d_i/n^i
精度由原来的o(1/n^a)变为o(1/n^(max{k+1，a}))
单调数列比较难搞，因为对这种数列找极限相当于外推，不容易，振荡的相当于内插，
京都容易提高。
你加了5000项绝对是走了弯路，通项（不管是数值还是解析式）比较规整（比方前
1000000项是一种规律，1000000项以后又是另外一种规律，那就显然要算到1000000项
以后才有意义）的话一般十来项都是足够的。 |
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m*******s
发帖数: 3142 | 36 现在遇到一个关于广义积分的Abel定理，以前也没有听说过，不知道究竟该如何证明，
能不能麻烦大家帮忙看看，原始帖子在这里
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=216629
现在的等式稍稍有所改变，是
\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{dtf(t)}=\lim_{\eta \to 0}\eta \int_
{0}^{+\infty}{dte^{-\eta t}f(t)}
如何证明？
PS 本人没有学过分析，功底太差 |
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B********e
发帖数: 10014 | 37 一个貌似应该很easy的题怎末也搞不定
a(t) bounded continuous, y(t) is a nonzero solution of y''+a(t)y=0 such that
lim_{t->\infty} y=0. show there is a solution on [0,\infty) which is not b
ounded.
证明或者证伪
3x |
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c********7
发帖数: 10 | 38 to avoid \infty - \infty
sure it can be done differently |
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A**T
发帖数: 362 | 39 Excercise 6.8 in R. Durrett "Probability: Theory and Examples"
Let X_n be independent Poisson r.v.'s with EX_n = \lambda_n and let S_n = X_
1 + ... + X_n. Show that if \sum \lambda_n = \infty. then S_n/ES_n -> 1 a.s.
这题书上是有提示的。先用chebyshev's inequality证converges in probability. 然
后找一个subsequence such that 1). S_{n_k}/ES_{n_k} -> 1 a.s. and 2) ES_{n_{k
+1}}/ES_{n_k} -> 1 as k -> \infty. 不知道哪位大师做过这道题目, 我找不到这样
的subsequence.
多谢！ |
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R*********r
发帖数: 1855 | 40 b_k是周期为n的数列，展开成离散傅立叶级数b_k=\sum_{j=1}^{n} c_j exp{2\pi k j/
n}，则级数\sum_{k=0}^{\infty}a_k b_k=\sum_{j=1}^{n} c_j \sum_{k=0}^{\infty}a
_k exp{2\pi k j/n} |
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l******e
发帖数: 470 | 41 \int_{-\infty}^{+\infty} Q_1(x)Q_2(x)Q_3(x) dx
Q_1,Q_2,Q_3是3个不同的guassian的culmulative distribution
多谢。 |
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H***a
发帖数: 735 | 42 请问是"guassian的culmulative distribution"? <-这个什么意思？
还是pdf - probability density function?
如果是pdf, 我觉得3个Q一定能整理成一个新的Gaussian pdf - QQ(x) * exp(const.)
\int_{-\infty}^{+\infty} QQ(x)*dx = 1
结果就剩下那堆const, exp(const)的形式。你说呢？ |
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l******e
发帖数: 470 | 43 我就是要积cdf
我的问题可能不恰当，不应该从-\infty到+\infty
比如我就想问问那个不定积分有公式没？
或者有什么近似的式子没？ |
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l******r
发帖数: 18699 | 44 有个小技巧可以算，不难
gausian cdf的不定积分
我就是要积cdf
我的问题可能不恰当，不应该从-\infty到+\infty
比如我就想问问那个不定积分有公式没？
或者有什么近似的式子没？ |
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l******r
发帖数: 18699 | 45 构造一个扇形，一边在0->infty,另一边在射线(-1/6y,y),y>0上
半径为R，R任意
cauchy积分定理告诉你exp(z)在这个扇形边界上积分得零
再令R趋于无穷
随便一本复变书上都有
这个复积分的解能用closed form表示出来吗？
$\int_0^\infty e^{(-1/6+i)y}dy$
谢谢 |
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R*********r
发帖数: 1855 | 46 用容斥原理。跟那个抽奖出现连号的计算方法一样。
易知方程X(1)+...+X(n)=m有C(m+n-1,m)个非负整数解。
设A(i)=方程满足X(i)>=s的解集，i=1..n，由容斥原理，原方程的至少有一个X(i)>=s
的解总数为|UA(i)|=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^(i-1) C(n,i)C(m+n-i*s-1,m-i*s)，于
是原方程的满足X(i)
，本题中m=k=0..2n，s=3。 |
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M*****d
发帖数: 100 | 47 Still no.
Suppose X_i's are iid with mean 0 and std 1. Let Y_n=\sqrt n \bar X.
If Y_n converge to a r.v. in probability, Y_n must be Cauchy convergent in
prob, i.e.,
\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{m>n}P(|Y_m-Y_n|>\epsilon)=0
The LHS > \lim_{n\rightarrow\infty}P(|Y_{2n}-Y_n|>\epsilon) and
Y_{2n}-Y_n=(X_1+...+X_n)/(\sqrt {2n} - \sqrt n) + (X_{n+1}+...+X_{2n})/\sqrt
{2n}.
(X_1+...+X_n)/(\sqrt {2n} - \sqrt n) converges to -(1-1/\sqrt 2)Z_1 and (X_{
n+1}+...+X_{2n})/\sqrt {2n} converges to 1/\sqrt 2 |
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m*******s
发帖数: 3142 | 48 我现在遇到一个数值计算问题，大概如下
一个形如x-A(x)矩阵的逆矩阵，左乘右乘一个不同的常数矩阵，得到一个矩阵B，所有
这都是数值计算
得到的。
当然矩阵B也可以视为以x为自变量的算符。
然后我需要求这个矩阵B(x)的Fourier变换，
\int_{-\infty}^ {\infty}dx \boldsymbol{B} \left (x\right )e^{-ixt}
对每个t，都要重复做相同的数值积分程序，比较耗时。
我想问的是，有没有可能用一种形如
f_1(x)B_1+f_2(x)B_2+f_3(x)B_3+\cdots
的式子来拟合这个矩阵B(x)，
其中f_1,f_2,f_3.....都是x的常见函数,B_1,B_2,B_3....是常数矩阵。
使得可以使用复变函数的residue theorem来方便地求得Fourier变换?
难就难在如何确定这些f_1,f_2,f_3,B_1,B_2,B_3....
似乎常规的least square方法派不上用场。
我感觉可以用B(x)的trace来找f_1,f_2,f_3.....但是这样也定不了B_1,B_2,B_3..
有没有更... 阅读全帖 |
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g****t
发帖数: 31659 | 49 B(x)每个元素都展开成chebyshev 多项式,
然后 Chebyshev多项式的Fourier变换应该有表可以查?
我现在遇到一个数值计算问题，大概如下
一个形如x-A(x)矩阵的逆矩阵，左乘右乘一个不同的常数矩阵，得到一个矩阵B，所有
这都是数值计算
得到的。
当然矩阵B也可以视为以x为自变量的算符。
然后我需要求这个矩阵B(x)的Fourier变换，
\int_{-\infty}^ {\infty}dx \boldsymbol{B} \left (x\right )e^{-ixt}
对每个t，都要重复做相同的数值积分程序，比较耗时。
我想问的是，有没有可能用一种形如
f_1(x)B_1+f_2(x)B_2+f_3(x)B_3+\cdots
的式子来拟合这个矩阵B(x)，
其中f_1,f_2,f_3.....都是x的常见函数,B_1,B_2,B_3....是常数矩阵。
使得可以使用复变函数的residue theorem来方便地求得Fourier变换?
难就难在如何确定这些f_1,f_2,f_3,B_1,B_2,B_3....
似乎常规的least square方法派不上用场... 阅读全帖 |
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