m********8
发帖数: 123 | 1 每一个思维比较正常的人哈在成长（或者衰老）的过程中哈都会自发地产生朴素的概率
意识；记得在遥远的初中二年级哈“组合论”被藕玩得滚瓜烂熟哈那可是“古典概率”
的一个基本工具；第一次接触“概率学”的时候哈学了有别于古典概率的“概率微积分
”哈但遗憾的是也许因为工科院校的缘故哈藕并没有学到“概率公理化”；哈
是后来一个数学专业的博士生哈看到藕们学工程的数学底子那么差哈很鄙视哈同时发现
藕好像有恶补数学的冲动（后来藕恶补了20多门数学哈至此学了30门左右哈可惜做数值
计算不需要那么多的数学哈懂点正交完备函数就够了）哈就推荐藕先读一本介于“高等
数学”和“数学分析”之间的书哈加州理工60年代的一个教授Tom M Apostol写的“
calculus”；此书逻辑性超强哈一上来就是集合哈却又生动易懂；书中有概率的章节哈
（也有线性代数哈数值方法的章节）；藕终于第一次接触到了“概率公理化”；当时非
常震撼！哈
为什么捏？哈！因为哈藕朴素的关于概率的概念哈居然又一次被集合给严格化了哈而且
只用了3条非常基本哈非常显而易见的性质；后来藕才知道哈给概率下严格定义的饿螺
丝人kolmogorov哈在湍流领域 |
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g***x
发帖数: 1587 | 2 有人说民主是最不坏的制度，这个论断毫无道理。各国制度千变万化没有定式，公认的
民主国家制度也各不相同，随历史而改变。哪些制度最不坏凭啥比较出来的？这个论断
其实是公理化的推导。民主就是大多数人做决定，做出的决定不好可以推翻重来，效率
可能差点，但不会走极端。这些推导当然都是纸面作业。实际当中如果社会对立，民主
决定不会被另一方承认，就只能拿枪干起来。如果人民自己极端化陷入民粹的状态，就
会做出不可逆转的决定，比如把希特勒送上台，比如搞排华法案。
没有普遍适用的现成制度，实施在各国都好用的事情。适用的制度就是好制度，发展的
制度才是现实的客观要求。把一种制度绝对化就会造就一种最坏的制度。比如斯大林的
僵化的社会主义体制，搞了六十多年寿终正寝了。现在老将们又把美国的制度进行公理
化保证称为宇宙真理，让各国都去实践这个真理，结果可想而知，美式民主臭了大街，
连美国人自己都不相信了。 |
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l******n
发帖数: 38 | 3 质的东西可以是别的什么，不一定是概率！！！
Consider you have another set of sets, called B', where B' contains a partition of set A, which expands to B by union and complement operations. The frequency of a set
in B', say C', is proportional to P(C').
Then the probablity of drawing an element or a union of elements from B' is defined. This is “频次定义”, equivalent to “公理化定义”.
The key is that, drawing a unique set in B from B' is an event in
consideration. |
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A***C
发帖数: 143 | 5 支持物理學的公理化。
不過我有幾個觀察
1 支持物理學公理化的，基本上都是民科或者數學家，如希爾伯特
2 物理學家通常都反對物理學公理化，而且不是一般的反對
物理學家反對物理學公理化的最主要的理據是公理化會阻礙物理學的發展，因為
一旦用形式思維去思考物理，科學家們就難以用物理直覺去發現新的物理定律。
我個人認為，物理學的公理化不會傷害物理學的發展。物理學家的擔心是有理由
但多餘的。
沒有公理化的的物理，就像一張手寫的手稿，保存於紙質的圖像。而公理化後的
物理就像是存儲在磁盤上的文本（二進制）編碼。物理學家的擔心就是，如果
我們看稿子，思考問題的時候用的是那些10011011100111001之類的二進制編碼，
當然無法對現有的知識進行拓展性的工作。當我們把物理公理化後，我們也
將發現這些公理會類似於100111000111之類的非常抽象的形式邏輯表達，難以作出
創造性的思考。
但我覺得物理學的公理化的意義並不真的為了用純形式數學去思考物理，就像我們
看手稿不會去看存在磁盤的1001101101，我們看的還是手稿的圖像。物理學公理化
的意義在於
1 所有物理學內容可以以精確的形式記錄。這... 阅读全帖 |
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L*****s
发帖数: 6046 | 6 希尔伯特
李文林
(中国科学院数学研究所)
希尔伯特，D．(Hilbert，David)1862年1月23日生于德国柯尼斯堡；1943年2月14
日卒于格丁根．数学．
希尔伯特出身于东普鲁士的一个中产家庭．祖父大卫·菲尔赫哥特·勒贝雷希特·
希尔伯特(David Fürchtegott LeberechtHilbert)和父亲奥托·希尔伯特(Otto
Hilbert)都是法官，祖父还获有“枢密顾问”头衔．母亲玛丽亚·特尔思·埃尔特曼(
Ma-ria Therse Erdtmann)是商人的女儿，颇具哲学、数学和天文学素养．希尔伯特幼
年受到母亲的教育、启蒙，八岁正式上学，入皇家腓特烈预科学校．这是一所有名的私
立学校，E．康德(Kant)曾就读于此．不过该校教育偏重文科，希尔伯特从小喜爱数学
，因此在最后一学期转到了更适合他的威廉预科学校．在那里，希尔伯特的成绩一跃而
上，各门皆优，数学则获最高分“超”．老师在毕业评语中写道：“该生对数学表现出
强烈兴趣，而且理解深刻，他用非常好的方法掌握了老师讲授的内容，并能有把握地、
灵活地应用它们．”
1880年秋，希尔伯特进柯尼斯堡大学攻读数学... 阅读全帖 |
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S******w
发帖数: 195 | 7 这就是我刚才说的“公理化这个名词出现比较晚，但西方数学从古希腊开始，能够高于
其它文明的原因就是一直在追求公理
化”。把平面几何概括为五条公理是公理化，从割圆法推广到计算积分是公理化，从（
被3除余2，被5除余3，被7除余2）
这个问题推广到一般的中国剩余定理更是公理化。而我一直在说的是：中国传统过于强
调技巧而忽视公理化，所以没法产生
真正的数学，而lz的帖子正是一个很好的例子 |
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S******w
发帖数: 195 | 8 公理化!=公理系统。公理化的终极目标是建立公理系统，但并非只有最后建立公理系统那一步才叫公理化。为此做出的各
种概括抽象归纳都可以称为公理化。你当然可以有不同的定义，但上面就是我学/做了近三十年数学建立起来的定义 |
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t**********r
发帖数: 256 | 9 许多结果先是有从其他背景来的合理证明，
然后才有公理化方法的证明，这中间时间跨度
有时候会有上百年。
如果把有没有公理化的证明，作为衡量一个
结果是是不是数学结果，一来现实上不合用，
二来许多结果，结合物理，工程，或者几何背
景，很容易直观，不会有人花功夫去公理化证
明的，第三，有许多结果，我认为是合理的数
学结果，很难想象可能公理化的证明。第四，
证明是一个信仰，结合背景知识的证明，表面
上看来不如公理化证明严格，但是实际上，
我觉得还是取决于具体的情况。
最后，我举一个例子,力学学中很常用的扰动法
和平均法，收敛性证明我从未见过。据说源自
poincare,起码也有100年的历史了吧？ |
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b*******n
发帖数: 1267 | 10 关于连续统假设的评论
吕陈君
1. 连续统假设的来源及其历史演变
连续统假设（简称CH），是康托在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就
必须了解康托是怎样建立集合论的。
康托采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合。[1]第一种方法是利用幂集合，他证
明了一个集合总比其幂集合要小，而且自然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势（即元素
个数相等）。这样，从自然数集N开始，利用幂集合方法，就可以形成一系列越来越大
的无穷幂集合
N, P(N), P(P(N)), ……
第二种方法是利用超穷数，康托提出了生成超穷序数的三条原则: 第一原则，从1开始
，任何序数α加1后仍是一个序数。这样，从1开始，就可以形成一个无穷序数序列
1, 2, 3, …, n, ……
在这个无穷序数序列中没有最大序数存在; 第二原则，如果一个无穷序数序列中没有最
大序数，那么必然存在一个极限序数ω，这是一个新的序数。这样，从ω开始反复加1
，又可以得到一系列无穷极限序数
ω, …, 2ω, …, ω2,…, ωn,…... 阅读全帖 |
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g****t
发帖数: 31659 | 11 "只能称为算术而不是数学"
你这完全是病句嘛.算术本身就是数学很重要的部分.就是现在也一样.
而且中国古代算筹计算,其实很多部分搞的是代数,强调的是对算筹的操作,
而不是具体的数.
另外,按你这种逻辑,非系统化和公理化的工作就不是数学?
早期的西方数学家里头有不少Poincare这种风格的.公理化是很晚时候的事情.
你这属于拿当代学术规范去套古人.牛头不对马嘴.
我看过Poincare的<天体力学>,按你的眼光看来,
那里头也全都是计算.属于非数学.
(Poincare说他写这书的目的就是算轨道,看看万有引力定律是不是正确.)
这个进一步验证了我前面的说法：古代中国发现了各种各样的算法技巧公式，但从没有
试图系统化或公理化，所以仍只能称
为算术而不是数学。相比之下欧几里德把平面几何概括为五条公理，从重要性上完全秒
杀了古代中国的一切工作。用一位华
人数学家的话说，同样是用割圆法求圆周率，阿基米德马上想到这种思想也可以用于求
其它图形如抛物线围成的面积，从而
建立起积分的雏形，而祖冲之只是用更长的时间求更高精度的近似，所以阿基米德可以
拿菲尔兹奖而祖冲之只能拿劳动模范
奖。至于吴文俊，... 阅读全帖 |
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S******w
发帖数: 195 | 12 你自己都说了那本书的名字是天体力学而不是数学……
Poincare被视为大数学家是因为他把伸缩形变不变这种几何直观（或者用现代语言，同伦或同胚）用严格的数学工具：示性数，基本群，同调群等等描述，从而建立了拓扑学。否则靠算轨道算得再准确也不能称为数学家。论系统化和公理化，Poincare绝对是做的最好的人之一。公理化这个名词出现比较晚，但西方数学从古希腊开始，能够高于其它文明的原因就是一直在追求公理化。算术是一切自然科学的基础，但算术不能算现代意义上真正的数学；就像炼金炼丹不能称为化学，数星星也不能称为天文学一样 |
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g****t
发帖数: 31659 | 13 Poincare这本书是动力系统这个分支的源头.
你说的东西完全牛头不对马嘴.
你自己都说了那本书的名字是天体力学而不是数学……
Poincare被视为大数学家是因为他把伸缩形变不变这种几何直观（或者用现代语言，同
伦或同胚）用严格的数学工具：示性数，基本群，同调群等等描述，从而建立了拓扑学
。否则靠算轨道算得再准确也不能称为数学家。论系统化和公理化，Poincare绝对是做
的最好的人之一。公理化这个名词出现比较晚，但西方数学从古希腊开始，能够高于其
它文明的原因就是一直在追求公理化。算术是一切自然科学的基础，但算术不能算现代
意义上真正的数学；就像炼金炼丹不能称为化学，数星星也不能称为天文学一样 |
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d******1
发帖数: 249 | 14 （序言有点长，不过，读完它，相比去推开那扇腐朽专制的门，可要轻松多了。）
我记得某个历史学家说过，中国的问题要解决，毛泽东这个坎是绕不过去的，必须正视
毛泽东的问题。
诚然，毛泽东对中国施加的影响太深刻了。他不是简单的在位二十八年，中国历史上，
比他在位久的也有很多。但没有人在位的时候，只尊崇一个人的思想而彻底排斥其它思
想。哪怕实行过文字狱的暴君，也没有要求人们在思想上完全受钳制。至少还允许人们
自由的向往神佛。也没有皇帝要求人们从早到晚都背诵皇帝一个人的语录。除了秦始皇
，后世的几个暴君，大都还允许人们向往孔子。
只有毛泽东这么样做了。他创造出了一套不成系统，能够令人神经亢奋，却无法指导人
内心的思想与语录。除了他的思想，他创建的社会一度不允许人们接受此外任何思想，
连唐诗宋词都成了毒草。他也不准人们参拜神佛，虽然他曾经说自己是佛教徒。
随着现代文明的到来，人类社会，早已进入一个公理普遍日常化的社会，公理化方法，
广泛应用于自然科学、社会科学领域。指导人们实际行动的，唯有公理化方法。
可中国社会则背道而驰，进入二十世纪中叶后，指导人们行动的唯一方法，竟然是最高
指示——毛泽东的个人... 阅读全帖 |
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w********e
发帖数: 8594 | 15 你真的明白他说的是什么意思？这世界上我们不知道的东西，还没有能力验证的东西太
多了。当人类处在这个阶段的时候，只能对这些东西作一些公理化的假设。这些公理化
的假设就是他所谓的神学。这是人类认识过程中的一个自然的阶段。几千年前，有人假
设世界是由原子组成的，有人假设世界是由几种元素组成的。这些假设和神学不是差不
多？ |
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发帖数: 1 | 16 公理化数学发展至今也有两千多年了，但计算机兴起以后，算法数学开始兴起。
我们都知道高次方程求根公式不存在，但用计算机可以求高次方程近似解。数值算法是
没有无理数概念的，而且算法这种东西更接近于古代中国数学的思维（中国古代数学纯
然是为了生活生产，这个跟中国人没有对上帝的关怀有关系，中国人就是关注俗世，中
间佛教捣过一阵乱，但后来又被惠能等拽回来了）。
中国有没有数学，更多的取决于对数学的定义。。如果你要狭义的理解，就是欧几里得
代表的那个公理化系统，中国确实可以说是没有数学。
但是如果广义的定义数学，比如采用那个老的说法，关于“数量和空间形式的研究”，
那中国当然是有数学的。 |
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a***t
发帖数: 53 | 17 我写这些文章的原因，是我看懂了官子价值计算方法之后，发现围棋教材关于打劫时的
劫材价值应该多大的估算方法不太对，自己摆棋得到
X（白劫材） + Y（劫黑材） = K（劫）
和
X + Y = K + W
可是我很奇怪我一直不能成功解释给其他会下棋的人，让他听懂。我跟两个业余高段面
谈过。
20年过去了，我看到的围棋教材对找劫材从说100％到说50％到说2/3的都有。
后来我抽空去实现我的一个想法，自己写了一个推箱子解关软件，可以自动解决各种常
见的推箱子难题，一分钟之内解题的成功率为95％，这时才体会到难点不是搜索算法，
难在各种“经验知识”的表达，简单的知识可以数量化，复杂知识的表达和发现需要模
式识别和机器学习。
这几个月研究公理化让我很开心，顺便把官子原理公理化：围棋软件应该吸收多少数学
定理？这才开始写文章，只要有人喜欢就好。
them
tian |
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j**p
发帖数: 1257 | 18 这段文字节选自《二十世纪的数学》by Michael Atiyah
应该是很好的解答了这个问题。
如果没有耐心看全文，这段节选就很精辟：
“将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就
是所谓的"浮士德的奉献"．正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以
得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼
提供给数学家的供品．魔鬼会说："我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问
题．你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器"(现
在可以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔
鬼，假装我们出卖灵魂，但不真地给它．不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当
我们转入代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思
考其含义．
在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式
，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东
西，把它化成一个公式，然后得到答案．在这样的一个过程中，人们不... 阅读全帖 |
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g***y
发帖数: 16371 | 19 谢人品啊，copy下来慢慢看～～
这段文字节选自《二十世纪的数学》by Michael Atiyah
应该是很好的解答了这个问题。
如果没有耐心看全文，这段节选就很精辟：
“将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就
是所谓的"浮士德的奉献"．正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以
得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼
提供给数学家的供品．魔鬼会说："我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问
题．你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器"(现
在可以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔
鬼，假装我们出卖灵魂，但不真地给它．不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当
我们转入代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思
考其含义．
在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式
，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东
西，把它化成一个公式，然后... 阅读全帖 |
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t**********k
发帖数: 511 | 20
读史有感（毕达哥拉斯和欧几里得）
一般认为，数学是从古希腊的毕达哥拉斯开始的。他经说过一句名言：万物皆数。我们
可以这样来理解这句话，我们所感知的东西说到底都是数，数是神的体现。《维基百科
》说：“即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别，可理喻的东西是完美的、永恒的
，而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大，并从此一直支配着哲学
及神学思想。”这就是柏拉图理念论的来源。
现在有了科学，我们就有了一个极好的例子，拿颜色来说，我们归根到底只能说红光的
波长是多少埃，因为色盲是不能感知红色的。这个世界五花八门，色彩缤纷，但说到底
都不过是数，或者说最根本的就是数。
还可以这样想，要知道一个东西有多重要的最好办法就是去想没有了它是何光景，而我
们甚至不能想象一个没有数的世界。比如说，我们能想象一个外星智慧生物没有手脚，
甚至没有脑袋，控制系统是分布式的。但是，我们不可能想象那个世界里没有数。从广
义地说，任何事情只能发生在时间，空间里，而没有了数，我们就无法量度... 阅读全帖 |
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s**t
发帖数: 17016 | 21 其实我自己的这个理论，某种程度也用了公理化思想，只要你同意转世这个假设，后面
的各种论断都是自然的推论。我没有严谨去按公理化的方式来弄，是因为觉得太迂腐了
。你相信平行线不相交，你得到欧式几何，你相信平行线相交，你得到非欧几何。同样
，你只要相信今生今世，最终就会走向唯物主义。（唯物主义其实是不自洽的）。你相
信转世，就会走向宗教。 |
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l*3
发帖数: 2279 | 22 或者我这么说:
数学逻辑中, 所谓 "某某证明正确", "某某证明错误" 这些其实都不是 "命题", 因为
在主流数学逻辑和公理化体系下, 命题中只有公理化意义下的符号, 比如 "或" "与" "
非" 这些逻辑符号, 也可以引用以前的 "命题" 作为一个符号出现, 比如命题p, 命题q
, 你可以说 "若p则q", "非p" , "p且q", "p或q" 等等.
但是 "推理" 这个行为, 是要根据演算规则来进行的.
"推理" 这个行为本身, 并不能在 "命题" 中出现, "推理" 是主导命题间进行逻辑演算
的行为, 而其本身, 并不是 "命题".
也就是说, 所谓 "如果命题p不成立, 则谁谁谁的证明过程是错误的" 这句话, 在主流
数学公理体系下, 并不是一个 "命题" (因为它根本无法做符号化表述), 也就无所谓数
学中的 "对" 和 "错". 数学中的 "对" 和 "错" 只能针对 "命题" 来提.
以上所说可否理解? 能否接受? |
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t******n
发帖数: 2939 | 23 ☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东) 提到:
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:37:03 2013, 美东) 提到:
在承认素数的这个等价定义 (即 a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除) 的前提下, 居然有人会认为这个证明是错的, 或者是不完备的.
我实在不能理解.
求问一下大家, 是不是有的人的脑子天生有缺陷, 根本怎么教都不会明白... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 24 ☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:25:00 2013, 美东) 提到:
A 素数 := 大于1，且只能被1和本身整除的自然数
/\
|
|B 素数有无穷多个（已证明）
|
\/
C 素数没有本身之外的质因数
现在我们无聊，想证明素数有无穷多个
lz的思路是：先否决B（反证假设）
然后发现在此前提下C不成立了
然后说B假设必然不成立，证毕
看出问题了吗
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:28:50 2013, 美东) 提到:
你太笨了.
我证明C并不需要用到B, 你自己用了只能说你笨, 不要拖我下水, 谢谢!
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Su... 阅读全帖 |
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d***3
发帖数: 75 | 25 自从伽利诺从埃菲尔塔丢下他的自由落体之后，科学就成了资本主义的圭宝。所
谓科学的，就是实验的。也就是说，在相同的条件下，被认识的现象，将重复出
现。于是，条件与结论的因果模式，就成了资本主义的思维方式。具备下列条
件，该方程成立或者公理的初始化决定着体系的运行与结构，实证的、数学的、
模式化的东西便成了资本主义研究世界的方法，也就成了研究资本主义本身的方
法。从语义上，人们开始把科学的等同于真理的，就像人们曾经把神的、宗教信
仰的等同于真理的一样。这证明，研究的人们和研究的本身，都是资本主义的。
然而资本主义毕竟只是人类社会发展的一个阶段、人类文明的一种形式，它所构
造的、并被人们所描述的，也毕竟只是一种第三存在。人们不能怱视，实验的本
身也就包括了怀疑的、批判的精神，包括了那个生命的、自强不息的实践的运
动。并且，作为认识的对象，远比认识的本身，要更为丰富。而认识，在更多的
情况下，却不能被实验。模型所研究的，只是那个狭窄的、被设定的、粗近的对
应关糸；而数学所描述的，亦只是那个被初始化了的公理体糸，或者说是对对象
空间位置和数量关糸的描述。数学是一种语言-数学语言，它只是人类曾经使... 阅读全帖 |
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C********n
发帖数: 6682 | 26 原来这就叫公理化？
我怎么记得微分方程16世纪就有了，公理化19世纪末才出现呢? |
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S******w
发帖数: 195 | 27 另外黎曼的工作在我看来绝对是完美的“公理化”。在他之前大家都试图证明或推翻第五公设，建立各种非欧几何；然后黎曼
告诉所有人：这样做是没有意义的，所有这些几何不过是流形基于不同的第一基本形式下的几何，所以研究那些几何不如直
接研究第一基本形式；特别地，欧氏几何恰好是第一基本形式定义为(dx1)^2+(dx2)^2+...+(dxn)^2时的几何。欧几里德
的工作是公理化没有任何争议，那么黎曼这个，虽然“写的跟散文差不多,只有一个公式”，但却是比欧几里德更高层次的公
理化 |
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g****t
发帖数: 31659 | 28 落后是史实,这个没疑问.
数学除了几何还有代数和分析.
这些内容戴上公理化的帽子,有好处.
但你不能说牛顿的数学没有公理化就不是数学. |
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s*****V
发帖数: 21731 | 29 被揭穿了就又在鬼扯，跟你说算积分，你又要扯微积分的公理化基础，搞得你算个定积
分还把公理化走一遍一样的。要说牛顿和莱布尼茨根本没有做到严格性，微积分的基础
要到柯西跟Weierstrass手里才完成。 你就一个TA的经历就不要吹了，读物理的当年哪
个不是四大力学的TA轮流做.
关于简化，我一直说是体积，碰撞，以及转动这些因素，我从来没有说球对外部的引力
不能简化成质心。 |
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s**********n
发帖数: 3199 | 30
汗，我到现在还看不出中国的“伦理”是什么。也不理解什么是伦理。
浅薄的感觉从古至今虽然若干相熟概念反复出现，含义差别很大。
或者说看似一贯的伦理体系下的实际政治差别很大。
什么是平等的观点呢？
“领先”这些词，我觉得和“数学化”一样模糊。
比如euclid，欧氏几何提出人类文明史上第一个公理体系，这一点是否可以认为是西方
在某方面的领先。
《资治通鉴》《易》都没看过。有机会展开下前者音乐理论，后者数学构造？
解释我眼中euclid滴重要性～～～
disclaim下先，我对数学一窍不通哈，20c数学基础讨论听上去蛮玄，不过好像专业的
看法有认为也只是圈内小范围的讨论，并非大众想象那么耸人。我会提到，尤其euclid
还是自己本专业的关系。euclid的欧氏几何的研究对象是几何，工具是公理体系（
axiomatic system），后者特别被做数理逻辑的推重。比如type theory（也即higher
order logic）的提出者Russell和Whitehead给欧氏几何评价很高。这些人因古典逻辑
系统的困难和启发（比如集合悖论，以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其
自... 阅读全帖 |
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j*******7
发帖数: 6300 | 31 上帝全能的论辩与理性认识的局限
吴文成
前一阵子在哲学讨论版，有人提出了这样的问题：有一天，撒旦跟神开了一个玩笑
，撒旦跟神说：神啊，你是全能的吧，请容许我一个请求，请神变出一个你跳不上去的
山！撒旦对神说：连我的请求都做不到，你真的是全能的吗？这个讨论串，後来在哲学
讨论版有了好几篇的激烈讨论，直到现在还有零星的後续火花（见「诡异的逻辑」之讨
论标题）。
这种上帝全能的论辩在中世纪有着许多的形式，最有名的是：全能的上帝能够创造
一颗自己搬不动的石头吗？上帝如果能创造一颗自己搬不动的石头，那麽无法搬动这颗
石头就证明上帝不是全能的；如果上帝不能创造自己搬不动的石头，那麽他也不是全能
的上帝。虽然这个论题无法推导出两个相互矛盾的命题而形成严格的悖论形式，可是却
也意味全能的概念在逻辑（後注：我这里逻辑一词的用法是非严格的，就中世纪来说，
逻辑研究与语意学研究是分不开的，我这里是采用这样的意涵）上暗含着矛盾，或者说
这一词汇无法被人所把握。我们可以直接这样问，来突显这个问题的尖锐性：「全能可
以使自身不全能吗？」
这类问题不仅在神学界惹起一阵风波，也使得数学家们头痛。这类问题如果在逻辑
上... 阅读全帖 |
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W******r
发帖数: 789 | 32 是的，概率和代数不一样。这就是为什么要把概率论公理化，否则就会有这种paradox。公理化的概率论有明确的事件空间和概率空间，不会有ambiguity。实际应用中的概率paradox通常是因为问题的陈述本身有ambiguity，不同的人有不同的理解，使用不同的事件空间和概率空间。1/2和1/3这两个答案都是对的，取决于你对“某一个孩子为男孩”这句话怎么理解。 |
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g****t
发帖数: 31659 | 33 物理或者更具体更狭小的范围，流体力学之类的小分支的逻辑本身就是非公理化的。
Goog, fb这些面对终端客户的应用的数据源会面临污染问题。现如今web已经很贫乏了
。包括这个bbs
: 最后智能问题的解决，可能还是需要符号系统。
: 逻辑不必要，因为各种各样的逻辑其实就是图遍历的不同模式而已，单一
的逻辑
肯定是
: 不够的，无论多复杂，多么“非公理化”。这是我研究王培的
“非公理逻辑系统
”之后
: 得出的结论。
: 但符号肯定是需要的。从企业应用的角度说，没有以符号为主做出来的系
统是不
能用的
: 。至于为什么，可能没有干过企业和政府项目的人不会理解。简单的说，
就是需
求是任
: 意的，数据是不存在的，所以深度学习是不可能的。Google, Facebook这
些公司
都没有
: 企业应用的需求，老实说，我看他们现在花大钱搞这些深度学习啥的其实
是走入
了歧途。
: 我还是看好混合系统。至于如何混，这就是本事了:)
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x*****d
发帖数: 427 | 34 继续双曲几何的话题。 顺便说一下， 历史上所谓的非欧几何其实就是
双曲几何。 当初Gauss, Lobatsevski, Bolye(是不是这么写的？）都是
从公理化的角度发明了非欧几何， 后来Poincare找到了一个现实模型，
就是单位圆盘， 里面的“直线”其实是与圆盘边界垂直的圆弧。 这些圆弧
在接近圆盘边界的时候非欧长度单位急剧缩小， 导致这些圆弧其实有
无限的非欧长度。 这个模型实现了公理化非欧几何。
但是在黎曼的框架里， 这个非欧几何的模型只是常曲率空间形式里面的
一种： 常负曲率的空间形式。 所以非欧几何作为一种微分几何， 是
黎曼几何的一个特殊例子。 这个例子很特殊， 因为常负曲率的黎曼流形
有很多， 它们都以非欧几何为模型（空间形式）， 严格地说它们是被
非欧空间多重覆盖了。
所以想了解非欧几何的同学也不用去找数学史， 图书馆里任何一本比较
薄的冠名“non-Euclidean Geometry" 或者"Hyperbolic Geometry"的，
都可以帮助你了解。
（待续） |
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L******f
发帖数: 5368 | 35 爱因斯坦的原始论文是论动体的电动力学。
从Maxwell方程的不变性，导出光速不变。
光速不变仅仅是个推论。
后来，为了公理化，也为了美学，才把光速
不变上升为基本假设，并以此推导出相对论
的公理式体系。
在这一过程中，假定了所有的物质都拥有
Maxwell方程的Lorentz时空协变性，
他们的时空就是Lorentz时空。
因此，光速不变不能随意修改为其他速度
不变。这条公理化假设不是那么容易修改。
因为它涉及到Lorentz协变性。
这个推广对于所有物质都成立。因为质子，
中子，电子等都带电。唯一的例外是中微子。
如果能够证明中微子超光速，则是这种推广
不成立的一个直接证据。
因此，可能打倒相对论的唯一候选人就是
中微子。 |
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L******f
发帖数: 5368 | 36 爱因斯坦的原始论文是论动体的电动力学。
从Maxwell方程的不变性，导出光速不变。
光速不变仅仅是个推论。
后来，为了公理化，也为了美学，才把光速
不变上升为基本假设，并以此推导出相对论
的公理式体系。
在这一过程中，假定了所有的物质都拥有
Maxwell方程的Lorentz时空协变性，
他们的时空就是Lorentz时空。
因此，光速不变不能随意修改为其他速度
不变。这条公理化假设不是那么容易修改。
因为它涉及到Lorentz协变性。
这个推广对于所有物质都成立。因为质子，
中子，电子等都带电。唯一的例外是中微子。
如果能够证明中微子超光速，则是这种推广
不成立的一个直接证据。
因此，可能打倒相对论的唯一候选人就是
中微子。 |
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e*******n
发帖数: 4912 | 37 101. 1917年，日本数学家挂谷宗一（Kakeya，S(1886-1947)）提出
一个问题：一位武士上厕所时遭到袭击，他只有一根短棒，为了
挡住射击，短棒应旋转360度（支点可以变化），但厕所很小，
问短棒最少要扫过多大面积？
这个问题引起当时很多人的兴趣，如1925年Birkhoff在他
写的The origin, nature, and influence of relativity
一书中提到“近几年日本数学家挂谷宗一提出的问题，是同样令
人感兴趣的问题”
1928年，苏联数学家Besicovitch，Abram Samoilovitch
（1891-1970）解决了这个问题，答案是可以任意小，1960s
Besicovitch在美国数学会就挂谷问题专门做了期科普电影，
有意思的是中间他打了个喷嚏，Besicovitch觉得很不雅，
坚持要求在录像中把这个镜头剪掉，于是现在人们看到的是
镜头突然转向一边，然后是一声闷响....
102. William James seemed to have what seemed vitally important
ideas in d... 阅读全帖 |
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t**********r
发帖数: 256 | 38 你的观点偏激了点，
别以为除了公理化之外没别的作数学的方法了。
早就是混合方法占上风了。不相信你去图书馆查查
2000年陈省身，Wiles,smale等人展望下世纪数学的论文集，
看看前言怎么说的。
另外，你所谓的严谨，对不同的数学家，含义可能很不一样。
最后，举一个例子，远的彭家莱的<天体力学新方法>,近的
arnold的<微分方程几何理论>, 都跟公理化的方法大不一样，也不严谨,
很多东西是借助物理和几何解释的,你认为是伪数学么？ |
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c***s
发帖数: 70028 | 39 好莱坞灾难大片《2012》、玛雅的2012世界末日预言，让很多人对未来充满恐慌。2012真的是世界末日吗？昨日，江苏教育学院附属高级中学孙四周老师，用数学公式向演绎了宇宙的未来，按照他的计算，在5000年后，太阳和现在相比几乎没有变化。
这些成果出现在孙四周新近出版的专著《空间相对论膨胀宇宙的数学原理》一书中。在孙四周老师的身上，数学几乎是个“万能工具”。此前，他曾用几何方法证明了周正龙拍摄的华南虎为假，并因此而名声大噪。
有人说世界末日是2012 霍金说大约在200年后
孙四周说，都错了！
近年来，世界末日论一直是热门话题。随着好莱坞灾难大片《2012》的热映和持续传播，2012更是被确切地指认为“世界末日”。这一论断和神秘的玛雅预言不谋而合，因而在世界范围内，不少公众因此恐慌莫名。
世界各国的不少科学家都投入到“世界末日”这一问题的研究中。据媒体报道，有着“自爱因斯坦以来最伟大的物理学家”之称的英国传奇人物霍金，也曾就此焦点问题发表看法，他出面辟谣说：2012不是世界的末日，我们不必惊慌。宇宙的末日会在大约200年以后到来，因此我们这一辈人是安全的。
“此言一出，无异于火上浇油。把... 阅读全帖 |
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c***s
发帖数: 70028 | 40 好莱坞灾难大片《2012》、玛雅的2012世界末日预言，让很多人对未来充满恐慌。2012真的是世界末日吗?昨日(30日)，江苏教育学院附属高级中学孙四周老师，用数学公式向记者演绎了宇宙的未来，按照他的计算，在5000年后，太阳和现在相比几乎没有变化。
《扬子晚报》报道，这些成果出现在孙四周新近出版的专著《空间相对论——膨胀宇宙的数学原理》一书中。在孙四周老师的身上，数学几乎是个“万能工具”。此前，他曾用几何方法证明了周正龙拍摄的华南虎为假，并因此而名声大噪。
有人说世界末日是2012 霍金说大约在200年后
孙四周说，都错了!
近年来，世界末日论一直是热门话题。随着好莱坞灾难大片《2012》的热映和持续传播，2012更是被确切地指认为“世界末日”。这一论断和神秘的玛雅预言不谋而合，因而在世界范围内，不少公众因此恐慌莫名。
世界各国的不少科学家都投入到“世界末日”这一问题的研究中。据媒体报道，有着“自爱因斯坦以来最伟大的物理学家”之称的英国传奇人物霍金，也曾就此焦点问题发表看法，他出面辟谣说：2012不是世界的末日，我们不必惊慌。宇宙的末日会在大约200年以后到来，因此我们这一辈人是安全... 阅读全帖 |
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a*******n
发帖数: 74 | 41 【 以下文字转载自 Thoughts 讨论区 】
【 原文由 louer 所发表 】
archtitan的文章是好文章，不过题目有点误导，其实文章谈的问题比李约瑟问题范围广
，是谈现代西方式的文明能不能在中国自然发生的问题。
李约瑟问题其实相对比较狭窄：那就是古代科技发达的中国为什么到了近代科技发展近乎
停滞？目前（我认为）比较言之成理的看法是：这个问题的提出在于混淆了科学和技术。
其实古代中国是一个技术发达，科学落后的国家。举两个代表性的例子，我们一般把中国
的“九章算术”和“几何原本”相提并论，作为中国古代数学发达的证据。尽管“九章算
术”达到的数学水平很高，但这本书是以应用题集的形式出现的，而“几何原本”对欧洲
数学史的最大影响在于公理化系统。另外一个例子是中国人引以为自豪的古代天文学。中
国古代天文观测的精度和记录完整，欧洲在第谷以前是无法相比的，但中国从来没有提出
过一个像地心说那样的定量化的天体模型。
中国古代科学和技术发展不相称的状况反映了中国文化中缺少像古希腊文明那样对大自然
和人类社会的不带功利性的好奇心。史学界一般把这种状况归因于儒家文化的影响。以前
我也服膺这种看 |
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s*****e
发帖数: 16824 | 42 希腊第一牛人欧几里德，公理化体系奠定现代科学的世界观，中国之所以后来发展不起
来就是开始这个世界观猜错了，总是认为最终真理应该是玄而又玄，只可意会不可言传
的，实际上最终真理是非常简单明了的。亚里士多德可以算是第二牛人，主要贡献是提
倡了实验这个现在科学的主要研究手段。 |
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T********g
发帖数: 106 | 43 几何，或者说数学的奠基人，确实很牛，但是公理化体系的一个前提，或者说演绎的前
提是要有一个无需证明的正确的起点，然而绝大多数问题没有确证正确的起点，所以要
靠归纳，归纳谁提出的？毕达哥拉斯？ |
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s*******e
发帖数: 1395 | 44 我没玩玄的，在没有统计力学之前，热力学都是基于热力学头两个定律（laws of
thermodynamics)。基于这两个定律公理化热力学的时候，有人就这么定义温度的（也
许就是克劳休斯）。 |
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s*******e
发帖数: 1395 | 45 公理化么，人们不喜欢用一些实验公式比如克拉白龙公式来做推倒，因为这要增加额外
假设。
其实全微分化的multiplier很多，我也不知道他具体怎么定义出T的。
不过，统计力学中，温度的定义就是基于熵对能量的偏微分，否则负温度什么的很难解
释。
好了，我不是学物理的，你的question还是问版上的理科生吧。 |
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s*****t
发帖数: 1661 | 46 理论和实践的脱节，士大夫的理论研究和工匠的手工工作的地位的巨大差别，使得不论
是西方还是东方的古代科学和技术都无法形成现代科学。
阿基米德也不叫由了微积分的基本思想，他只能说是在处理面积计算时用了微积分的技
巧，这个和中国古代弄出越王勾践剑差不多，是特例。就算是牛顿，也没完全整明白微
积分的原理，很多年后，到柯西才严格化，再后来20世纪初又经过了集合论公理化等等
的一系列折腾，现在才基本消停。
要是擦边球就算的话，那庄子还是谁的日取其半万世不竭，也是有了无穷小的概念了。 |
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w********9
发帖数: 8613 | 47 很多数学概念不是因为被类似公理化了以后才算被建立。球的概念应该是很古的。珍珠是天然就有的。
还有很多野果也接近球。 |
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x****s
发帖数: 450 | 48 古希腊人弄出了形式逻辑，开创了公理化的几何学，现代科学与工业的产生只是早晚的
事。
我国除非早点接触到现代科学技术，经济再发达，挨洋人的打也是不可避免的。以现在
信息传播的速度，一群人对另外一个民族不可能再享有西洋人当年的相对优势了。 |
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g****t
发帖数: 31659 | 49 问题是，比之于元，明朝数学并没有衰退。
你知道的那些宋元四大家之类的属于通俗说法，其实并没有研究过古书里面算法的本质。
吴文俊在国际数学大会上作过中国古数学的报告。
你可以查查看。古代最杰出的数学家是朱士杰，不等于元朝之后就衰退了。
另外这还牵涉到一个什么是重要的数学的标准流变问题。
放50年前，一些处理具体问题的数学文章很难发表到好杂志。
现在，数模转换什么的都在《数学年鉴》上能发表。
文科生知道的公理化多重要什么的，其实多半是Bourbaki风行时代的余绪。
但人家苏联有人认为数学是物理的一部分，也弄了一套数学百科全书出来。
中国古代可能是认为，计算/构造之外，再无其它本质。
这个理念也不是不可能随着对计算机的深入研究，再次流行的。 |
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a*******t
发帖数: 10093 | 50 这个你悲愤是没有用的
古代中国，“只有技术、没有科学”
林林总总牛逼的技术很多，成功的精品范例也很多
但是没有几何原本这样公理化科学体系的东西
勾x |
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