f*********g
发帖数: 632 | 1 形式幂级数$$F(x)= \Sigma_0^(\infinity) a_i x^i$$ a_i为正整数或者零满足什么条
件能分解成一组多元多项式？
所谓分解的意思是：如$$F(x)= \Sigma_1^(\infinity) x^(3i)$$可分解为:
F=FBCx+BCx
B=x
C=x
当然分解不唯一，如果可分解，有无算法来分解？
将上述形式幂级数看作定义在一个单连通域上的复函数，显然存在收敛半径。问，满足
什么条件为超越函数？为代数函数？
如果为代数函数或者超越函数，如何分解为一组如上多元多项式？有无算法(直观上看
应该没有通用算法)? |
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Y***0
发帖数: 1804 | 2 在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见
“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为：
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n
= a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots |
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l*s
发帖数: 6372 | 3 查了一下：牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理，它适用于任何幂。他发现
了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线（两变量的三次多项式），为有限差理论作
出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋
近了调和级数的部分和（这是欧拉求和公式的一个先驱），并首次有把握地使用幂级数
和反转幂级数。他还发现了π的一个新公式。
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感觉上没有物理方面的成就强，但在数学物理应用结合上，他应该可以算强的了，如果
不对比他的物理成就，放到上面数学家行列里也是可以勉强的，但是地位要低很多。和
Jacobi同列基本没有任何问题。 |
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x*****d
发帖数: 427 | 4 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经
是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？
更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”，
“算子半群” 或者 “李群指数映射”
spectral decomposition
semigroup of operators
exponential map |
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g****t
发帖数: 31659 | 5 Bourbaki的书里面指数函数是微分方程定义的吧。
x'=x定义出exp函数。
标量微分方程解x'=x存在是用Picard iteration方法证明的。
所以推广到x'=Ax我想是比较自然的想法。
但往矩阵推广的严格证明其实还是挺麻烦的，
一般的微分方程课本上很多证明都有漏掉环节。
矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经
是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？
更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”，
“算子半群” 或者 “李群指数映射”
spectral decomposition
semigroup of operators
exponential map |
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e*******n
发帖数: 4912 | 6 1.在这个系列里我打算写一些我在各种文章和书中看到的八卦
希望能博大家一笑
有一次littlewood问hardy,为什么他每次到一个旅馆就会把镜子用毛巾盖起来?
回答是:因为他长得太丑了
2.Hadamard,Jacques去意大利Bologna开1928年国际数学家大会,期间要坐火车去一个地
方
车厢里有很多人在聊天,他觉得十分累,就出了道困难的数学题,众人思考这道题,
车厢里马上安静下来了,于是Hadamard就可以睡觉了
3.Bourbaki是一个法国数学家的集体代名词
Bourbaki的第一篇文章发表在comptes Rendus(法国科学院的一个杂志)上
在1949年Journal of symbolic logic上的一篇文章
"Foundations of mathematics for the working mathematican"
中,Bourbaki教授的地址是University of Nancago
一个杜撰的地址,分别是Nancy和Chicago(weil在那里)前后组合
1940年,Boas,Ralph(MR的主编)曾经在Encyclopa... 阅读全帖 |
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i*****s
发帖数: 4596 | 7 丘成桐：从明治维新到二战前后中日数学人才培养之比较
序言
在牛顿（1642～1727）和莱布尼茨（1646～1716）发明微积分以后，数学产生了根本性
的变化。在18到19世纪200年间，欧洲人才辈出，在这期间诞生的大数学家不可胜数，
重要的有：尤拉（Euler，1707～1783），高斯（Gauss，1777～1855），阿贝尔（Abel
，1802～1829），黎曼（Riemann，1826～1866），庞卡莱（Poincare，1854～1912）
，希尔伯特（Hilbert，1862～1943），格拉斯曼（Grassmann，1809～1877），傅立叶
（Fourier，1768～1830），伽罗华（Galois，1811～1832），嘉当（E.Cartan，1869
～1951），伯努利（D. Bernoulli，1700～1782），克莱姆（G. Cramer，1704～1752
），克莱罗（A. Clairaut，1713～1765），达朗贝尔（d’Alembert，1717～1783），
兰伯特（J. Lambert，1728～1777），华林（E. Waring，1... 阅读全帖 |
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r**r
发帖数: 461 | 8 应该说除了离散数学，微波和天线专业的基本上把工程数学都学了。
内容涵盖了：线性代数，积分变换，数理方程，解析函数，复变函数，复数域上的幂级数，解析函数的Taylor级数，Lorent级数，奇点，留数及其计算；弦振动方程，热传导方程和位势方程，二阶线性方程的分类，解弦振动方程的行波法，二维和三维波动方程，Bessel函数、Legendre多项式及其性质，函数按特征函数的展开，Fourier变换，Laplace变换，广义函数及其Fourier变换，Green函数法，变分问题，Sobolev空间与弱解，边值问题的有限元解法，总刚度矩阵和总荷载矩阵，矢量分析，等等。 |
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j****c
发帖数: 19908 | 9 这些在物理系属于《数学物理方法》课程内容
除了数理方法，物理还要学很多近世代数。
幂级数，解析 |
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t*******y
发帖数: 21396 | 10 海森伯在《物理学与哲学》一书中这样说∶“今天，当人们谈到现代物理学时，首
先就想到原子武器. ……并且都心悦诚服地承认物理学对一般政治形势的影响比以往任
何时期都要大．但是，现代物理学的政治方面真的是它的最重要的方面吗？……·每个
工具都带有用来创造它的那种精神. 因为每个国家和政治集团，不管它的地理位置和文
化传统如何，都必须以某种方式关心这种新武器，所以，现代物理学的精神必将渗透到
许多人的心灵之中，并以各种不同方式和老传统联系起来. ”对于某些地区和某种文化
传统，它“将同本地文化的宗教基础和哲学基础发生冲突……这种冲突可能引起全新的
、难以预料的发展”. 现代数学在中国的传播和发展过程恰好证实了这个论断．这一过
程是漫长而且充满冲突的．欧几里得《几何原本》传入中国就是一个例证.
1“几何原本”的传入
欧几里得的《九何原本》是意大利传教士耶苏会士利玛窦（155乞－1610）传入中
国的. 利玛窦曾受教于克拉维乌斯（1537－1612，著名数学家，耶苏会士，曾受教皇格
里高里十三世之命，主持了Grcgory历的制订，完成了主要的计算工作）. 根据教皇保
罗二世当时向... 阅读全帖 |
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i*****s
发帖数: 4596 | 11 序言
在牛顿（1642～1727）和莱布尼茨（1646～1716）发明微积分以后，数学产生了根本性
的变化。在18到19世纪200年间，欧洲人才辈出，在这期间诞生的大数学家不可胜数，
重要的有：尤拉（Euler，1707～1783），高斯（Gauss，1777～1855），阿贝尔（Abel
，1802～1829），黎曼（Riemann，1826～1866），庞卡莱（Poincare，1854～1912）
，希尔伯特（Hilbert，1862～1943），格拉斯曼（Grassmann，1809～1877），傅立叶
（Fourier，1768～1830），伽罗华（Galois，1811～1832），嘉当（E.Cartan，1869
～1951），伯努利（D. Bernoulli，1700～1782），克莱姆（G. Cramer，1704～1752
），克莱罗（A. Clairaut，1713～1765），达朗贝尔（d’Alembert，1717～1783），
兰伯特（J. Lambert，1728～1777），华林（E. Waring，1734～1798），范德蒙德（
Vandermond... 阅读全帖 |
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m*****n
发帖数: 1513 | 12 房地产需求在中国是指数分布（或者幂级数分布）、而不是均匀分布
大城市的需求特别大、而小县城的需求很小 |
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发帖数: 1 | 13 满足柯西李曼条件只是一阶导数的性质 如何确定满足这个公式的函数无限可微？那就
要用到柯西定理和柯西积分公式 柯西定理可以通过格林公式得到 格林公式只涉及一阶
导的连续 有了这个 就可以按照刚才的方法对柯西积分公式进行级数展开 从而得到一
个幂级数
这个问题没有比我讲得更清楚的人 |
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发帖数: 1 | 14 我就是在关键点的跳跃
一次可微-->柯西定理-->柯西积分公式-->柯西积分公式的幂级数展开-->无穷次可微
你要一开始就这么讲我立马认定你懂复变 |
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n********g
发帖数: 6504 | 15 要解决无穷的问题，需要一把无穷的尺子。
稀奇古怪的无穷尺子人类也讨论过，如拉玛奴金的连分数。
幂级数不好用，三角级数就成了显学。 |
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发帖数: 1 | 16 看来你很多概念不清啊
1. 无穷求和就是无穷个数放在一起求和，这个概念只有一种，但是怎么求可以有很多种
（这个地方可以稍微扩展一下，因为计数是需要用到势的，所以会有可数个数求和，不
可数个数求和，阿列夫100个数求和等等。但是可以证明，只要不为0的数的个数不可数
，整个求和一定（分析意义下）发散，所以只有可数个数求和有意义。不过这些并不重
要，只要要求和的数的个数是无限的，就是无限求和）
2. 无限求和，如果你想讨论这个和，就必须要讨论收敛性。级数收敛性的定义是死的
，就放在那里。一个级数收不收敛有确切的含义。（如果不考虑求和，可以单纯只看这
个级数，这个时候不要求收敛，但这时就得把这个级数放在某些幂级数环或者洛朗级数
环里，但是这个地方的运算法则又不完全一样，而且也和我们要讨论的0.999...的问题
不直接相关）
3. 对于级数的计算法则，有些可以从有限和直接推广过去，有些不行。包括和求导，
积分，极限次序交换都有特定要求。不能随便瞎搞。
4. 有些发散级数，用一些瞎搞的方法，可以得到一个有限的和。典型的例子就是你说
的1 2 3 ...=-1/12。
你一定要弄清楚：这个东西是分... 阅读全帖 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 17 这种把两个互不调和的模式联系起来的等式，都是深奥的。比如黎曼Zeta函数，最开始
是级数定义的，把它联系到由积分定义的两个函数相除，这就不平凡。
还有联系到无限乘积的形式，这也不平凡。
或者用幂级数，三角级数，或者其他函数级数展开，这都不平凡。 |
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l****h
发帖数: 1189 | 18 这个需要两个级数公式，他的答案是对的，自己去看一下幂级数公式吧。
其中一个是：1/(1-x)=1+x+x^2+x^3... |
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a****a
发帖数: 5763 | 19 这显然不是很对
根据搞死帮内特定理，任何简单闭曲线曲率沿曲线的积分是个拓扑不变量，换句话说
是个常数，又因为平面上的园根据定义，曲率半径处处相等，因此圆的周长和半径的
比例是个常数
这个常数我们定义为Pi
至于Pi为啥是3.1415926535897932384626433........
我们首先要证明e = (1 + 1/n)^n, n-> infty, 是个确定极限，其次我们可以用幂级数
定义
或者微分方程 dy/dx =y 定义e^x, 然后我们可以延拓x到复平面，得出 e^z = e^(x+iy)
这样我们最终定义两个函数 cos x = (e^iz + e^(-iz) )/2
sin x = (e^iz - e^(-iz))/2i
现在我们可以证明这两个函数存在一个共同的周期，这个周期是可计算的
。。。。。。
下回继续 |
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T******e
发帖数: 18290 | 20 貌似左边一堆不是序列，没定义
右边证明可以用幂级数展开 |
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S*E
发帖数: 3662 | 21 零的零次方一般定义为一，在多项式和幂级数中常常用到。
而0^x作为一个函数很少被用到。 |
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s*****e
发帖数: 970 | 22 发信人: sunnyrose(sunnyrose), 信区: math
标 题: 《数学分析》VS《高等数学》
发信站: 饮水思源 (2010年02月08日10:59:47 星期一)
我多年来主讲非数学专业的《概率统计》和《复变函数B》,还有数学二专的《复变函数
与概率论》。
我来解释为什么要学《数学分析》而不是《高等数学》。《数学分析》强调的是理论，
而《高等数学强》调的是计算，二者的性质不同。把数学仅仅理解为不需要思考的演算，
真的是对数学的侮辱。这种知其然、不知其所以然的类似于马戏团驯兽似的教育方式，
和我们一贯标榜的人类灵魂工程师的教育宗旨背道而驰。他们一踏进交大的大门，实际
上就被 misleading 了。后来积重难返，在不懂数学的道路上越走越远。 在第一步没有
走好的状况下，以后的课程步履维艰。到了周国标的公共研究生课的时候，简直成了对
牛弹琴了！
《高等数学》里面不包括实数的完备性的六大定理，也不会讲一致收敛、一直连续等等
概念。我给他们上复变函数的时候发现高数出身的上了大三了连什么是上极限也不知道
（乐景良的学生除外），可是我们复变里面的求幂级数的收敛半径里面就有柯 |
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d***o
发帖数: 761 | 23 http://www.math168.com/sxsh/826.htm
冯康学派对计算数学发展的重要贡献
—— 作者 余德浩
2009-8-24 16:56:48
计算数学是当代数学科学的重要分支,是伴随着计算机的出现而迅速发展并获得
广泛应用的新兴交叉学科,是数学及计算机实现其在高科技领域应用的必不可少的纽带
和工具。计算与理论和实验相并列,已经成为当今世界科学活动的第三种手段,这是二十
世纪后半叶最重要的科技进步之一。值此世界进入新的世纪,国际数学家大会将首次在
我国召开之际,回顾半个世纪来我国计算数学的发展,尤其是以已故冯康院士(1920-1993
)为代表的我国计算数学家群体,即"冯康学派"对国际计算数学发展所做出的重要贡献,
是非常有意义的。当然由于篇幅所限,本文只能涉及部分研究领域和少数专家学者,挂一
漏万在所难免。
冯康先生祖籍浙江绍兴,1920年9月9日出生于江苏南京,6岁迁居苏州。1939年毕
业于省立苏州中学,1944年毕业于中央大学物理系。1945年起先后在复旦大学物理系、
清华大学物理系和数学系任教。1951年转到刚组建的中国科学院数... 阅读全帖 |
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e****o
发帖数: 165 | 24 发信人: littless (littless), 信区: Science
标 题: some tales of mathematicans(47)
发信站: 水木社区 (Wed May 10 13:39:13 2006), 站内
Bieberbach(1886-1982)是德国数学家，1916年他提出一个
著名的Bieberbach猜想，吸引了很多一流数学家去解决
1984年，De Branges，Louis 给出了轰动一时的Bieberbach猜想
的证明，不过这好像并没有提升De Branges在数学界的地位，因为
不久他的长篇论文就被简化到16页
后来经过不断改进，最后被简化到只有2页，包括一个组合恒等式，
和一个形式幂级数系数的估计
这篇文章原来的题目是：
“A wallet-sized，high-school-level proof of the
Bieberbach conjecture”
后来被编辑改为
“A high-school algebra，‘formal calculus’，proof
of the Bieberbach conjecture”
作者是Zei |
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e****o
发帖数: 165 | 25 发信人: littless (littless), 信区: Science
标 题: some tales of mathematicans(50)
发信站: 水木社区 (Mon May 22 13:42:00 2006), 站内
如果世界上设立一个吹牛Noble prize
Feynman肯定会第一个得奖
有一次在Pinceton的休息室里，Feynman
听到一个数学家谈到以e为底的指数函数的
幂级数展开式，Feynman从小对级数很感兴趣
于是自言自语的说：“这么看来求e的任何次幂
是多么简单！”
碰巧这被那个数学家听到了，于是问Feynman
“e的3.3次幂是多少？”
Feynman心里一阵狂喜，因为他恰巧知道几个特殊的常数
“27.11”Feynman马上说，旁边一个人说
“你知道他是Feynman，他在骗人”
结果Feynman算对了，那个数学家又问Feynman
“e的3次幂是多少？”
“这是很难的，一天只做一次”
数学家猜到Feynman可能不会算了，于是很高兴的说
”哈哈，原来是个冒牌的！”
“好吧，20.085”又算对了
“e的1.4次幂是多少？”数学家又问
“ |
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R*********r
发帖数: 1855 | 26 A\cos(nx+\delta)直接写成指数形式，然后把exp(A\cos(nx+\delta))展开成z=exp(ix)
的罗朗级数，注意z^s在单位圆上的围道积分仅在s=-1时不为零，从而只有n整除k时原
积分才不为零，后面就简单了。
int_0^{2\pi} \cos(kx) \exp(\sum_{i=1}^{m} A_i\cos(n_ix+\delta_i)) dx
同样可以推出只有GCD{n_i}整除k时积分才可能不为零，也许能写出积分的幂级数表示
，但是不会有什么实际用处，不如直接上数值方法。 |
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x*****d
发帖数: 427 | 28 一个约当块写成两个互相交换的矩阵的和 aI + B
对于指数函数的幂级数，代数上能证明, 如果 A, B 可换，
exp(A+B) = exp(A)exp(B), 不需要收敛性。
这样 exp(aI + B) = e^a exp(B), 而 B 是幂零的。 |
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x*****d
发帖数: 427 | 29 嗯. 这里 aI 和一个跟 B 交换的矩阵 A 的效果一样，
形式幂级数的指数运算公式还是一样证明。 |
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v**i
发帖数: 50 | 30 请问大家：Hermite 函数定义成 d^2(y)/dx^2-2x(dy/dx)+2vy=0 的一个解 （v是正整
数时也叫Hermite 多项式），关于它的性质很多特殊函数书上都有讨论，常见的：比如
把解表示成幂级数的形式，或积分的形式，或写成其他常见的特殊函数的变换。但我想
知道
d^2(y)/dx^2+2x(dy/dx)+2vy=0 的解有没有讨论过？
我也翻过一些特殊函数的书，没摸着什么头绪...请高手指点。
(背景：我在写篇论文，里面出现了Ornstein-Ohlenbeck Process，但是我这个随机过
程不是mean-reverting, 而是 diverging的，离中心越远离心越强，所以才产生了以上
的微分方程问题） |
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v**i
发帖数: 50 | 31 hermite 函数就可以用合流超几何函数表示出来，它们都是整函数，性质还蛮好的。我
特别喜欢合流超几何函数，幂级数新式很简单。对，我说的
就是OU过程，我在求一个OU随机过程停留在一个区间的平均时间（带贴现），所以要解
这种方程。 |
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a*********3
发帖数: 660 | 32 定义 definition变量 variable面积 area直径 diameter半径 radius公式 formula
单价 unit price范围 range/scope/extent集合 set法则 principle本金 principal利
率 interest rate利息 interest单利 simple interest复利 compound interest正数
positive number负数 negative number解析式 analytic expression分类讨论
classified discussion性质 nature （不是很确定）奇函数 odd function偶函数
even function对称 symmetric坐标原点 origin单调性 monotonicity（不是很确定）
任意 random周期性 periodic 有界性 boundedness 数学 mathematics, maths(BrE)
, math(AmE) 公理 axiom 定理 theorem 计算 calculation 运算 operat... 阅读全帖 |
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z****e
发帖数: 702 | 37 那能不能用泰勒级数以外的方式展毛，得到大部分项为p的幂次的和级数？
因为p^-1在p>0上发散，所以应该可以分解成无穷项和，而每一项在p>0上积分有限。 |
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a****a
发帖数: 5763 | 38 没办法
从实函数看没法
从复变函数看，泰勒没戏因为有奇点，而p^-1本身就是洛朗展开
p^-1 在p >0不发散啊，处处可微，在非零的任何一点都可以展开 |
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z****e
发帖数: 702 | 39 thank you, 实际上这个问题还是要求实函数，因为它是基于以下case，
\int_0^\inf p^-1 e^-p 为无穷大，所以想把它分解成无穷个积分有限的项和：
如\int_0^\inf p^a e^-p (a>0)这样每一项积分就有限了。 |
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f*c
发帖数: 687 | 42 也可以用幂级数蛮干。对任何p,q,左边x^py^q的系数总小于等于右边的。 |
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B********e
发帖数: 10014 | 43 不怪lookacar笑你，你自己搞清楚自己的逻辑了吗？
你有个函数1/(1-x) 定义在{x\in R,x\neq 1}上。
其中的一段 1/(1-x), {x, x\in (-1,1)} 可以被一个幂级数逼近。
这俩有什么矛盾的？
你的要求就好像是这样：
你做了个裤衩正好lookacar能穿在腰上，
你就非要lookacar戴在胸脯上或者兜住脑袋；
或者你非要把lookacar的卫生棉条塞着他的嘴巴里一样。 |
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B********e
发帖数: 10014 | 44 btw: equation a直接用幂级数不就算出来了，你那么倒腾几行是图个啥？ |
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n*********3
发帖数: 534 | 45 of course, not just lookacar,
other people can also shine or radiate their thoughts.
"你有个函数1/(1-x) 定义在{x\in R,x\neq 1}上。
其中的一段 1/(1-x), {x, x\in (-1,1)} 可以被一个幂级数逼近。"
This is ok, ...
So for the follow up question on zeta function, what happen? How is zero
generated? |
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f*****k
发帖数: 353 | 46 1.Given a diagonalizable square matrix A and a noise matrix E, find
conditions on A and E such that for each eigenvalue L of A, there is an
eigenvalue M of (A+E) such that abs(L-M) < K for a given K. (this is
obviously an open ended question, try to tighten the bounds to the best of
your ability)
开始假设E是diagonlizable的，这样，可以得到一个界，接下来怎么搞？
2.求解：-4 t x'' - x' + 4 t^3 x =0
这个开始找不到代换，直接用幂级数展开，好像只能得到零解 |
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t****n
发帖数: 56 | 47 我得到的解如下：
不妨假设y是x的解析函数，并且可以幂级数展开：
设y=H0+H1*x+H2*x^2+H3*x^3+...
y'=H1+2*H2*x+3*H3*x^2+...
y''=2*H2+(3*2)*H3*x+(4*3)*H4*x^2+...
y'/x=H1/x+2*H2+3*H3*x+4*H4*x^2+...
y''+(1/x)y'=H1/x + (2*H2 +2*H2) + (3*2*H3+3*H3)*x + (4*3*H4+4*H4)*x^2 + ...
= H1/x + 4*H2 + (3*2+3)*H3*x + (4*3+4)*H4*x^2 + ...
Ay = A*H0 + A*H1*x + A*H2*x^2 + ...
从y''+(1/x)y' = Ay 可以导出
H1/x + 4*H2 + (3*2+3)*H3*x + (4*3+4)*H4*x^2 + ...
= A*H0 + A*H1*x + A*H2*x^2 + ...
于是可以得到
H1 = 0
A*H0 = 4*H2
A*H1 = (3*2+3)*H3
A*H2 = (4*3+4)*H4 |
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