h****e
发帖数: 475 | 1 在数轴中，有个三角形，各个顶点A（—5，8），B（-2，3），C（-9，4），顺时针旋
转90度后，各顶点的位置在哪里？ |
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C**o
发帖数: 10373 | 2 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: OverCloud (天马行空), 信区: Military
标 题: Re: 一个直线上是不是除了有理数无理数就没别的了？
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Dec 6 21:53:34 2012, 美东)
实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝... 阅读全帖 |
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O*******d
发帖数: 20343 | 3 实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了．
设数轴是从点A处被砍断的．这个点A在哪半截数轴上呢？答案是不在左半截上，就
在右半截上．这是因为点不可分割，又不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没
有．
从以上的假想中领会到所谓数轴的连续性，就是不管把它从什么地方分成两半截，
总... 阅读全帖 |
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m****a
发帖数: 2593 | 4 本科学过高等数学，概率统计，线性代数，常微分，
如果想进一步提高对现代数学概念的认识，应该看什么书呢？
《数学，它的内容，方法和意义》貌似接近我应该读的书？英文书里
有没有类似的经典？
我非常不喜欢国内当年用的教材，但是很欣赏类似龚昇的微积分五讲
一类的从更高观点来讲述基本概念的书籍，能给人醍醐灌顶之感的书。
转贴一篇文章可以描述我希望的数学教育应该是怎么样的吧。当然版上都是专业大牛，
就当是科普吧。
=========================
随记：我们需要怎样的数学教育？
icon2 This is My Life | icon4 2011-04-14 13:47| icon3276 Comments | 本文内容
遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com
注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正
确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家
记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。
我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱
好者，只是比一般... 阅读全帖 |
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m****a
发帖数: 2593 | 5 本科学过高等数学，概率统计，线性代数，常微分，
如果想进一步提高对现代数学概念的认识，应该看什么书呢？
《数学，它的内容，方法和意义》貌似接近我应该读的书？英文书里
有没有类似的经典？
我非常不喜欢国内当年用的教材，但是很欣赏类似龚昇的微积分五讲
一类的从更高观点来讲述基本概念的书籍，能给人醍醐灌顶之感的书。
转贴一篇文章可以描述我希望的数学教育应该是怎么样的吧。当然版上都是专业大牛，
就当是科普吧。
=========================
随记：我们需要怎样的数学教育？
icon2 This is My Life | icon4 2011-04-14 13:47| icon3276 Comments | 本文内容
遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com
注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正
确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家
记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。
我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱
好者，只是比一般... 阅读全帖 |
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D*A
发帖数: 1169 | 6 先用通俗一点的语言描述一下老张所解决的问题：
假设世界上有无数多人，我们在数轴上的每一个素数点处放一个人，2，3，5，7，11...
直到无穷远处。假设数轴上每个相邻整数点之间距离为1米。
老张的证明就是说，不管在数轴的多远（甚至无限远）处，都能找到两个人，他们的距
离小于
7千万米.
后来结果被Tao等人改进为，不管在数轴的多远处，都能找到两个人，他们的距离小于
246米.
（如果承认EH猜想，那结果可以改进为 6米，这被认为老张的方法的极限）
而所谓的孪生素数猜想，就是结果改进到2米
用更诗化一点的语言，就是说不管在多远的地方，总能找到两个距离不太远而不‘孤独
’的人。
当然，同样我们知道，不管在数轴的多远处，我们都能找到很长很长，要多长有多长，
譬如说，一亿光年，（但是有限长）的无人区（连续合数区）。
那么，新的衍伸问题是，是否存在‘孤独’的人？也就是说，对于远处的任意一个人，
他和最邻
近的人的距离有Bound吗？
或者换句话说，不论多远处，是否总有这样的人，他身前，身后，都有要多长有多长的
无人区？
或者举例说，n无限增长时，n！-1 以及 n！+1 的素性有何规律
当然我们... 阅读全帖 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 7 现在对1/f(z)积分。
在cut1下，符号选为z等于0时函数值为1，而不是-1。取积分路径为绕branch point 1
和2一周，逆时针，branch point 3和4在外面。
这个路径积分是well defined的，因为积分路径完全在函数的定义域之内。
根据函数的解析性，这个积分等于，先沿着实数轴从-R到+R积分，实积分，加上，再从
实数轴R点开始，从复平面上半部分，绕半圆，回到实数轴上-R点，的复积分，再取R趋
于无穷大的极限。
积分的第二部分，绕半圆的部分，当R趋于无穷的时候趋于0。所以整个积分就等于第一
部分的实积分，从负无穷到正无穷。
sympy可以算出解析解，
0.5*gamma(1/4)**2/sqrt(pi)，
记为alpha，数值解约等于3.708.
再考虑cut2下，符号还是选z=0时函数值为1。积分路径选顺时针绕branch point 1和4
一周，排除branch point 2和3在外面。这也是well defined，但必须是在cut2下。
根据解析性同理把它表示成一个沿虚数轴的积分，再变成一个普通的实数积分，其结果
是 alpha*i，是一个纯... 阅读全帖 |
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s******y
发帖数: 28562 | 8 在历史发展观上当然是正向做不到的，但是在概念上是可以反向做到的。比方说虚数的
确不是一开始就有的概念。但是在有了这个概念之后定义出来一个用虚数运算的体系却
是没有问题的，而且也并不会立刻导致你说的那个数学体系的整体彻底崩溃和不成立。
而且我觉得你想多了，其实没有你说的那么玄。把一个数轴用Pi来进行标记没有什么不
行的。因为Pi那个点在数轴上是客观上存在的，只不过不能用我们现在的“有理数”的
意义来进行准确定位而已。而如果用Pi作为数轴刻度的话，并不会使得自然数立刻就不
存在了，只不过不能在那个数轴上用Pi刻度来进行准确定位而已，但是自然数还是在数
轴上客观存在的。
换句话来说，运行规则对有理数和无理数的处理毫无差别。这两者的差别只不过是一个
不能用另外一个来进行标定而已。所以如何定义一个并不会影响另外一个的运算规则。 |
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q***2
发帖数: 412 | 9 来自主题: SciFiction版 - 艾比斯之梦 第7章 爱的故事
该从哪裡说起才好呢？从一九三七年，爱荷华州立大学的约翰．文森特．阿塔纳索夫想
到了世界首创的数位电脑概念说起吗？或者从一九八四年，ＭＣＣ公司的道格拉斯．雷
纳托使推论引擎Cyc问世的日子？从二Ｏ一九年，哥伦比亚大学的苏珊．雷能伯格和野
中．安德鲁完成ＳＬＡＮ核心的日子？还是从二Ｏ三四年「菲比斯宣言」在网路上流传
的日子说起呢？
不，这是我的故事。所以就从我的体验说起吧。从二Ｏ四一年五月十八日，在冥王星打
赢午夜乌鸦，主人激动地翻桌哭喊那一天说起。
我穿过召唤门的七彩漩涡，抵达位於距离冥王星地面十公尺的高度。
我一面缓缓下降，一面确认周围的状况。放眼望去是一整片雪原，天空是接近黑色的深
蓝色，一颗小太阳几乎在天顶，光度负十八点八等，比从地球看到的太阳暗上许多。儘
管如此，还是有满月的三百倍亮度，即使切换成夜视摄影机也不会妨碍活动。陡峭的山
脉屹立在地平线上，白色的巨大穹窿朦朧地浮现在山脉另一头的天际。
冰雪形成的希腊风格神殿矗立眼前。柱上矫龙攀腾，破风上匍匐著可鲁贝洛斯（注﹕「
破风」為日式建筑中，山形墙上的人形板。「可鲁贝洛斯」是冥王哈帝斯的看门犬。）
，高达八公尺的... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 10 然后回到那个实数集 R 的 cantor diagonal argument 或者 dedekind cut。。。说到
这里的时候，从香浓信息学的角度，我很想骂那俩是沙比。
我骂人的原因，是实数的最初直观定义是数轴上的点。。。或者说，几何问题里最终能
量个长度的数。。。当然有数学系小姐曾经问过那数列问题咋整？。。。欧几里德说了
，你丫是文科毕业的嘛？所有数学问题都能够表达成几何问题，要不然咋说数学是空间
的艺术涅？
但是香浓给了一个修饰语说，你们说的其实是数轴上携带信息的点。。。也就是该实数
的信息量既不能为零，也不能为无穷大。。。当然这是废话，信息量为零是京片子出租
车司机侃大山。。。信息量无穷大的话，大家都不能回家吃晚饭了，undecidable 这个
实数点在数轴上的哪里。
当然又有傻冒跳出来问，sqrt(2) 这种无限不循环小数难道不是信息量无穷大？。。。
香浓都懒的回答，直接扔下一句 "尼玛" 立马走人不跟猴子说人话。
<待续> |
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T*******x
发帖数: 8565 | 11 定义在整个实数轴上的函数的傅里叶变换就是
g(y) = integration f(x) e^{ixy} dx
积分是在整个实数轴上积。可积性有要求，f要满足一定条件。积分定义了一个函数g，
也是定义在整个实数轴。
从函数f到函数g的变换叫傅里叶变换。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 12 再往前走一步，两者的相同性会看得更清楚。
傅里叶级数和傅里叶变换都是把一个函数变成另一个函数：傅里叶级数是把一个[0,1]
上的函数变成一个数列，也就是一个定义在整数集合上的函数。傅里叶变换是把一个实
数轴上的函数变成了另一个也是实数轴上的函数。
因此傅里叶变换或傅里叶级数本身也可以看成是一个函数，它的定义域和值域都是函数
空间。傅里叶级数的定义域是由全体[0,1]上的函数组成的函数空间，值域是由全体数
列也就是定义在整数集合上的函数组成的函数空间。傅里叶变换的定义域和值域相同，
都是全体实数轴上的函数组成的函数空间。傅里叶变换或傅里叶级数是两个函数空间之
间的函数，或变换，或线性变换。 |
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C**o
发帖数: 10373 | 13 你老婆性舔党委书记是走的什么路径？
盹盹盹
：现在对1/f(z)积分。
：在cut1下，符号选为z等于0时函数值为1，而不是-1。取积分路径为绕branch point
1
：和2一周，逆时针，branch point 3和4在外面。
：这个路径积分是well defined的，因为积分路径完全在函数的定义域之内。
：根据函数的解析性，这个积分等于，先沿着实数轴从-R到+R积分，实积分，加上，再
从实数轴R点开始，从复平面上半部分，绕半圆，回到实数轴上-R点，的复积分，再取R
趋于无穷大的极限。
：积分的第二部分，绕半圆的部分，当R趋于无穷的时候趋于0。所以整个积分就等于第
一部分的实积分，从负无穷到正无穷。
：sympy可以算出解析解，
：0.5*gamma(1/4)**2/sqrt(pi)，
：记为alpha，数值解约等于3.708.
：再考虑cut2下，符号还是选z=0时函数值为1。积分路径选顺时针绕branch point 1和
4
：.......... |
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r***u
发帖数: 1272 | 14 1.人生的痛苦在于追求错误的东西。所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时
候，才猛然发现，你和它是不连续的。
2人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在隔阂。
3人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到
你的伙伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到
了。
4人和命运的关系就像F(x)=x与G(x)=x^2的关系。一开始，你以为命运是你的无穷小量
。随着年龄的增长，你才发现你用尽全力也赶不上命运的步伐。这时候，若不是以一种
卑微的姿态走下去，便是结束自己的生命。
5零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就
能找到你们的平衡点。
6人生是一个级数，理想是你渴望收敛到的那个值。不必太在意，因为我们要认识到有
限的人生刻画不出无穷的级数，收敛也只是一个梦想罢了。不如脚踏实地，经营好每一
天吧。
7有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和
精力就一定可以实现。至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
8痛苦的回忆是可以缩小的，... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 15 这其实是个很有意思的问题，让俺这个码了很多年的老蔫码工思考一下哈。
其实我觉得码工的所用的硅谷派实用现代数学思想，其中一大支柱就是 formal
logic。
formal logic 的一个基本点，就是 formal logic 不管东东的任何意义，
只管东东的操作。换言之，formal logic 不管世上任何事物，只管 token 和
operator，以及这伙之间的互殴和群殴，满足某些基本要求（此处省略一百万字）。
比如说，“所有素数的集合”，formal logic 里搞不出这样的 token 以及相应
的 operator。通常码工搞出来的，就是“前N个连续素数集合”，成功避免无限的
问题。
当然，有人可能会，那实数轴上的“区间”咋办？这里面总是有无限个实数了吧。。。
formal logic 说，你丫“区间”不就是俩实数构成的tuple，这样一个 token
么？然后有几个 operator 处理 tuple（区间）这个token，以及与其他
token（单个实数），whatever token 之间的互殴群殴。。。至于有人问这个
区间这个tuple里面有多少个实数，fo... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 16 ☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:35:30 2013, 美东) 提到:
唉, 我老今天和女朋友出去给她买礼物, 她是学数学的, 她说她要这天底下所有的东西
. 我说那在你们数学上不就是所有的集合吗? 她说: "可以这么讲." 我老就又说, 那把
这所有的集合都放在一块, 不就组成了一个集合吗? 所以我就给你买一个东西就行了.
她说 "不对, 所有的集合放在一块组成的东西不是集合."
我老就很疑惑, 我说, 怎么能不是集合呢? 我把一些东西拿过来放到一块, 不就是个集
合吗? 她死活都说不对. 我老很不明白, 就问她为什么不对, 她也说不出个所以然.
后来她突然说: "你看, 你那个集合也是集合, 你怎么能把它自己和其他东西拿过来放
到一块, 然后又装到它自己里面呢?" 我老想想是有点道理, 但是还是觉得不对, 为什
么我不能这么做呢?
现在真是困惑, 所有集合搁到一起组成的东西还是集合吗?
愁煞我老, 如果辩不过她, 就不能给她只买一个礼物了呀, 那怎么办?
☆───────... 阅读全帖 |
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S***p
发帖数: 19902 | 17 1】人生的痛苦在于追求错误的东西。所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，才猛然发现，你和它是不连续的。
2】人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在隔阂。
3】人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4】人和命运的关系就像F(x)=x与G(x)=x^2的关系。一开始，你以为命运是你的无穷小量。随着年龄的增长，你才发现你用尽全力也赶不上命运的步伐。这时候，若不是以一种卑微的姿态走下去，便是结束自己的生命。
5】零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
6】人生是一个级数，理想是你渴望收敛到的那个值。不必太在意，因为我们要认识到有限的人生刻画不出无穷的级数，收敛也只是一个梦想罢了。不如脚踏实地，经营好每一天吧。
7】有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
8】痛苦的回忆是可以缩小的，但不... 阅读全帖 |
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w******d
发帖数: 1301 | 18 你说的是。 基督信仰不是不理性，而是一种基于上帝是大能大爱全知的前提上的理性
。
面对现实的残酷，我同意我们很难用理性去解释上帝的大能和大爱能够并存的前提。。
。
但是我记得我所知道的小学数学里面，有所谓的复变函数分析， 其中就假设数轴上的
正无穷大和负无穷大在无穷远处相交。
正无穷大和负无穷大会相交这样的事在有限的数轴上是无法想像的， 但是当你把数轴
看成一个无穷大的圆的时候， 这就是可以接受的了。
上帝的大能和大爱并存在有限的世界里的确无法想像， 但是在无限的上帝那里却是可
能。 |
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G***G
发帖数: 16778 | 19 一个向量，100000个数值。在数轴上按顺序排开。总共100000格子。
一个数轴的滑块宽度是1000。滑块从左到右顺序沿数轴滑动，每次滑动一个数值格子
如何求出其每次滑过的里面包含的1000个数值的最小值。
要求：可以避免每次都重新计算这1000个数值的最小值吗？
因为我们已经知道前1000个数值的最小值，也知道当前数值的大小。
假如将当前的数字都乘以100，也就是10000000个数值，窗口尺寸为100000
你的算法会不会占用大量cpu时间？ |
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G***G
发帖数: 16778 | 20 一个向量，100000个数值。在数轴上按顺序排开。总共100000格子。
一个数轴的滑块宽度是1000。滑块从左到右顺序沿数轴滑动，每次滑动一个数值格子
如何求出其每次滑过的里面包含的1000个数值的最小值。
要求：可以避免每次都重新计算这1000个数值的最小值吗？
因为我们已经知道前1000个数值的最小值，也知道当前数值的大小。
假如将当前的数字都乘以100，也就是10000000个数值，窗口尺寸为100000
你的算法会不会占用大量cpu时间？ |
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a*********3
发帖数: 660 | 21 1】人生的痛苦在于追求错误的东西。所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的
时候，才猛然发现，你和它是不连续的。
2】人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在隔阂。
3】人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找
到你的伙伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不
到了。
4】人和命运的关系就像F(x)=x与G(x)=x^2的关系。一开始，你以为命运是你的无穷小
量。随着年龄的增长，你才发现你用尽全力也赶不上命运的步伐。这时候，若不是以一
种卑微的姿态走下去，便是结束自己的生命。
5】零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们
就能找到你们的平衡点。
6】人生是一个级数，理想是你渴望收敛到的那个值。不必太在意，因为我们要认识到
有限的人生刻画不出无穷的级数，收敛也只是一个梦想罢了。不如脚踏实地，经营好每
一天吧。
7】有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间
和精力就一定可以实现。至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
8】痛苦的回忆... 阅读全帖 |
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v******l
发帖数: 512 | 22 那么这样说法对不对呢：
“数轴上任何一个点都可以表示为一个实数，就是该点到原点的距离”
“任何一个实数都对应数轴上一个唯一点”
当然，这里隐含了（不同的实数对应不同的点，反之亦然） |
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t******l
发帖数: 10908 | 23 当然，我觉得有人会问，那么二义性定义的 "(无穷) * (无穷)" 装得进希尔伯特无限
旅馆，形成可测集，就不会发生 Banach–Tarski paradox 的几何测量不守恒的悖论。
。。但 ( 2 ^ (无穷) ) 装不进希尔伯特无限旅馆，有可能形成不可测集，有可能会发
生 Banach–Tarski paradox 的几何测量不守恒的悖论。。。怎么会这么巧？
其实说白了，这个还是二义性的屁股决定脑袋的问题。。。cantor 测度论的初衷，是
用无限的无维度的实数点，拼个一维的数轴。然后用无限的一维的数轴，来拼个二维的
高中解析几何平面。。。我们的空间维度上升是乘法，而不是指数。。。所以。。。我
说的 the paradox of space-time 的问题是，数学是时空中的艺术。。。即使理论数
学家觉得时空不存在，但其实还是在潜移默化的背景里，看不见的 the fabric of
cosmos，从而看不见地 guide 了二义性本身。
因。
tree
finite |
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w*********g
发帖数: 30882 | 24
你那个复变函数就是在实数轴之外再加一个正交的复数轴。
奇点存在不存在跟是不是复变函数没关系。 |
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发帖数: 1 | 25 左就是极左，右就是极右?一个数轴上，左右都是相对的。更别说，用数轴衡量都失于
简单了，可以二维，三维，四维，多维.
: 对，你很像左派，吹的比做的好
: 在做实事方面，总拿些鸡毛蒜皮的小事来体现自己的博爱
: 网上有个视频，有一个白左说历史对黑人不公平，大学应该多给黑人照顾，给白
人的机
: 会太多了，尼玛别人问他为什么不辍学把位子腾给黑人，他支支吾吾，再问他给
黑人做
: 过哪些好事，他说他给别人当过tutor
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T*******x
发帖数: 8565 | 26 问题被我转化了：
1，在实数之外加一个无穷远点，一点紧致化，实数轴变成了一个圆，具有圆的拓扑。
2，在x和y轴上同时做这个操作，xy平面变成了一个torus，或者说donut的表面，x和y
趋近于无穷远处变成了torus上的两条圆，两条圆的交点处就是我们问题的核心点。正
负方向做对称假设，所以一点紧致化可用，否则需要实数轴的两点紧致化。
3，原函数连续性推出torus上相应函数在两条圆之外连续。原函数在x和y方向上的一致
收敛推出torus上相应函数在两条圆，除了交点，上连续。
4，我认为原函数一致收敛也保证了torus上的相应函数，作为二元函数，也在两条圆上
任意一点连续，除了交点之外。
5，现在目标是，torus上相应函数，作为二元函数，在两条圆的交点处连续。这当然比
沿着两条圆在该交点处连续强，但我觉得可能是等价的。
6，可以再转化一下，通过坐标变换把两条圆及其交点变换到对应于xy平面上的普通横
竖两条直线及其交点。那么原问题变为，一个二元函数在xy平面上除了一点之外连续，
在该问题点上，沿着x方向和y方向上各有极限，那么这两个极限是否相等？补定义该点
函数值后，该函数是否在全空... 阅读全帖 |
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L******d
发帖数: 2461 | 27 左边数轴的percentage是入学人数里面的Asian占的proportion吗？
右边的数轴的单位是什么，是Asian绝对人口数，还是Asian在总人口中所占的
proportion?
看起来像是绝对数，这样是不能说明问题的。因为其他族裔的人口绝对数可能也同时在
增长，导致相对的proportion保持不变，所以入学的proportino也没有改变。 |
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l*********y
发帖数: 142 | 28 一维数轴上有 n 条线段，它们的端点都是已知的。请设计一个算法，计算出这些线段
的并集在数轴上所覆盖的长度，并分析时间复杂度。例如，线段 A 的坐标为[4, 8]，
线段 B 的坐标为[1, 5.1]， 那么它们共同覆盖的长度为 7。 请尽量找出最优化的算
法， 解释算法即可，不必写代码。
帖子里没有答案。 |
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x********o
发帖数: 519 | 29 how to solve it? have no clue.
一维数轴上有 n 条线段，它们的端点都是已知的。请设计一个算法，计算出这些线
段的并集在数轴上所覆盖的长度，并分析时间复杂度。例如，线段 A 的坐标为[4, 8]
，线段 B 的坐标为[1, 5.1]， 那么它们共同覆盖的长度为 7。 请尽量找出最优化的
算法 |
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O******i
发帖数: 269 | 30 最近面了一家IT大公司被拒，一共经历了N轮技术面试。自己感觉还不算太坏，但也有
三轮发挥不太完美，所以心里很没底。
结果还是被拒了。
下面是这三轮的详细经历，请大家探讨一下大公司招人的标准。
第i轮是找二叉树从根开始的所有路径，使得该路径上所有节点的值之和等于一个给定
的数。我犯了一个战略错误，因为我在准备过程中看过CarrerCup的更通用的解法，不
要求从根开始，也不要求到叶子结束，于是我直接用了那个思路，在白板上写下了类似
下面的代码
void FindPath(Node* root, int sum, int path[], int level)
{
if (root == NULL)
return;
int s = 0;
for (int i = 0; i < level; i++)
s += path[i];
int value = root->data;
if (s + value == sum)
PrintPath(path, level, value);
path[leve... 阅读全帖 |
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w****x
发帖数: 2483 | 31
1. 任何一个时间段(login time & logout time)都是由两个端点(login logout)组成,
首先不分端点是login还是logout对所有端点排序. 然后遍历整个数轴, 对每个端点和
端点之间的小段, 记录其在线人数(当前的login端点数 - 当前logout端点数), 这步是
算预处理, O(n)
2. 因为用户login, logout都是按时间顺序的, 所以可以很轻松的动态维护这个数轴.
3. 当需要查询一个时间点用户数的时候, 用binary search找出这个时间点坐落于哪个
时间小段, 这个时间小段对应的在线用户数就是答案(logn) |
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t*******r
发帖数: 22634 | 32 集合论和图论是可以用来证明数论的。
但用（解析）几何来证明数论的话，本质上是循环论证。。。几何可以用来阐述数论的
"有用" 倒是。
说实话，小学的数轴解法，是一个很方便的建模方式。。。。但由于其本质上不能用来
证明数论（会导致循环论证），所以当某人试图用数轴来理解负数乘法的时候，发生自
相矛盾而悲剧了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 33 俺娃学负数的时候没赶上 common core，不过这玩意儿 common core 不一定
靠谱，或者就算靠谱小学老师也不一定能执行下去。。。
但俺知道 NCLB 时代的小学生负数教学是啥问题。。。问题就在于，那时代，
负数的教学，基本上仅仅使用数轴表示。。。但数轴表示本质上无法说明/证明
负数的乘法规则的合理性，娃基本只能不明不白的基础上死记乘法规则。。。
但这个是方显俺的英雄本色的时候哈哈哈。。。在 NCLB 时代小学数学的基础上，
俺增加了用虚拟的 “球” 和 “洞”（允许在真空中挖一个“洞”）的表示，以及
“球” “洞” 相互湮没 / 无中生有 的模型，还配置一个虚拟天平，最后上乘法对
加法的分配率这种大杀器，直接无差别型地毯式轰炸。。。我觉得效果还行。。。
虽然普通娃最终还是要死记负数乘法的规则的，但有点感觉 vs 一点感觉都没有，
还是有不少差别的。。。
当然，我目前还不寄希望 common core 搞这种表示。。。 |
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a**3
发帖数: 375 | 34 算术怎么会枯燥？
我就这么教小孩的。
先会数黄豆
一粒两粒三粒。。。
然后把这些黄豆横直地放在一条线上，重新数黄豆。
然后想象从第一个黄豆迈出一步到第二个黄豆，然后数步数。
数轴的概念根本不需要“数轴”这个大名词大声地叫出来，但概念已经开始形成。
小孩都喜欢数豆子，再数步数。
继续数。
然后数三角形。
会了加法以后开始pascal triangle
然后fibonacci sequence。
认识正方形和对角线。
认识正六边形和对角线。
切菠萝吃。
继续数。好玩得很。
数字最有趣。我还没发现有小孩不喜欢的。 |
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s****n
发帖数: 4902 | 35 继续转载：
14.严肃通俗的另一种判断方法
(续7. & 13.)
a.
有id说：
“没真正意义上的通俗文学和严肃文学的区别。
严肃文学都是一大堆通俗里面几个比较特别的而已。”
这是一种观察方法。相对于13.中的相对客观性（道德观是否存在），似乎还有一种判
断来分辨严肃文学和通俗文学（从导演创作的主观意图上）：
严肃文学：是给自己写的，写给自己看的。
通俗文学：是给读者写的，写给读者看得。
那么在绝对的写给自己（0）和绝对的写给读者（1）之间，有无数个点。你写一个小说
，你的数值是多少？有多大程度是给自己？有多大程度给别人？
b.
这是一维度量，类似，可以有二维度量：
一根横轴是写给自己的度量（0-1）；一根纵轴是写给别人的度量（0-1）。那么最牛的
那类作品就是坐标点（1,1）,比如红楼梦，比如静静地顿河，比如百年孤独。
类似地，演员的表演，可以用一维度量，0是完全的演员自身，1是完全融入人物形象，
失去演员自身的任何特质。一个好演员，就是在处理不同的角色时，首先确定好（似乎
大多数演员并没有意识到有这个问题），并且能精确地表达出这个根据具体案例设定的
数值。Meryl Stree... 阅读全帖 |
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s*****e
发帖数: 16824 | 36 多得很，比如无限大的数字是出现在欧式空间里的平直数轴上的。如果我搞一个封闭非
欧空间，里面的数轴是个环，那就不可能出现无限大的数字了。 |
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s******y
发帖数: 28562 | 37 你有点过于外行了。这个无理数的概念其实可以应该这么理解：就是如果必须用十等分
的话，即使把数轴无限细分也不能在理论上达到的一个数轴点。这个重要前提就是“十
等分”之类的有理数来做等分。
pi |
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发帖数: 1 | 38 火箭发射时使用倒计时并非科学家的发明，而是源自科幻电影的创举。
1929 年，德国电影大师弗里茨·朗在其执导的科幻影片《月里嫦娥》里，向电影观众
首次呈现一枚登月火箭发射升空的全过程。
由于电影中火箭发射前运送至发射平台的过程过于冗长，为吸引观众注意力，营造「时
间紧迫」的戏剧性气氛，电影特别安排了主人公在为火箭点火之前，读秒倒数的情节：
随着屏幕上数字越来越小，其字体越来越大，直至巨大的「JETZT」（现在）出现，火
箭腾空而起，升入云霄。
倒计时这一设置，此后逐渐成为在各类电影中制造紧张氛围的有力工具，甚至可与定时
炸弹这一电影传统道具相媲美。但真实的火箭发射也使用倒计时，并不是单纯向电影致
敬，而是具有其实用意义。
火箭发射时使用倒计时，真正的作用在于确认火箭发射的时间零点。
如果把从火箭上发射架到任务完成的整个任务过程，以时间轴为数轴的话，那么发射的
时刻就可以作为数轴的零点，或被命名为 T0。T0 时刻对于轨道计算十分重要，当火箭
发射时，T0 时刻就会自动传输到所有的测控站。
而在火箭发射前的任务规划中，在发射窗口（任务最佳发射时间）内确认 T0，并确定
发射前（用 T-x... 阅读全帖 |
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w******d
发帖数: 1301 | 39 赫赫。 在数学上也有个有趣的例子， 如果你把数轴想象成一个无限大的圆， 那么
正无穷大和负无穷大在无穷大的地方会相交。
怎么可以南辕北辙的正无穷大和负无穷大会相交呢？ 你接受数轴是一个无限大的圆的
前提， 就不矛盾。 你不接受这个前提，你就会觉得这个关于无穷大的属性自相矛盾
。 |
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l*****y
发帖数: 256 | 40 这个倒不是说不关心起源或终结.
实际上佛教宣扬的是法界的无限性 ,
当然局部是有成住坏空的, 但作为整体, 是无限的,
这个有点像数轴, 闭区间线段有始有终, 整个
数轴无始无终. 这个无限性倒和基督徒的上帝的属性
有点像, 基督徒应该也相信上帝没有起源也不终结?
另外基督徒认为有终结么? 如果终结了那基督徒在天堂
还能继续生活么? 如果能继续, 这恐怕也不能叫
终结? |
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b******t
发帖数: 965 | 41 话说数轴上 负2000到正2000之间有两个数 a 和 b
一匹马在数轴上可以+-12, +-7, +-3的跳动
从a到b最少需要跳动多少次 |
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t********e
发帖数: 1169 | 42 【 以下文字转载自 JobHunting 讨论区 】
发信人: mitbbs59 (bEQi), 信区: JobHunting
标 题: 本版1年以内的所有 面经题目，含帖子link [为大家方便]
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Jan 29 14:20:44 2010, 美东)
不敢保证全部涵盖，大部分的都在。
我自己找了一遍，大家一起用着都方便。
不过只是含有题目的帖子 我才包含进来了，只分享经验没贴题目的 我都没有包含
进来。
大家复习着方便。
1. 一个sorted interger Array[1...N], 已知范围 1...N+1. 已知一个数字missing。
找该数字。
把原题改为unsorted，找missing数字。 performance。
2. 复制linked list。 已知每个节点有两个pointer，一个指向后一个节点，另一个指向
其他任意一节点。 O(n)时间内，无附加内存，复制该linked list。（存储不连续）
3. 一个party N个人，如果一个人不认识任何其他人，又被任何其他人认识，此人为
celeb... 阅读全帖 |
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t********e
发帖数: 1169 | 43 【 以下文字转载自 JobHunting 讨论区 】
发信人: mitbbs59 (bEQi), 信区: JobHunting
标 题: 本版1年以内的所有 面经题目，含帖子link [为大家方便]
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Jan 29 14:20:44 2010, 美东)
不敢保证全部涵盖，大部分的都在。
我自己找了一遍，大家一起用着都方便。
不过只是含有题目的帖子 我才包含进来了，只分享经验没贴题目的 我都没有包含
进来。
大家复习着方便。
1. 一个sorted interger Array[1...N], 已知范围 1...N+1. 已知一个数字missing。
找该数字。
把原题改为unsorted，找missing数字。 performance。
2. 复制linked list。 已知每个节点有两个pointer，一个指向后一个节点，另一个指向
其他任意一节点。 O(n)时间内，无附加内存，复制该linked list。（存储不连续）
3. 一个party N个人，如果一个人不认识任何其他人，又被任何其他人认识，此人为
celeb... 阅读全帖 |
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o*******w
发帖数: 349 | 44 对的，我说的围线积分，就是苛西定理那个东西。
你如果在实数轴上，直接积分，也就是一个包一个的积分（因为是一个高速震荡）你将
会得到一个级数。不过我完全不了解你的东西。你如果再多提供一点信息，我也许能有
一个判断。不知道你为什么要在实数轴上积分。如果只是一个手段，你不必非要在实数
上做，复平面上的围线积分可以避免实数上高速震荡的情况。如果你的课题就是要研究
这种情况下的数值积分，那么我是一个十足的门外汉，对你来说。有一本书是
Philippe Flajolet ＆ Robert Sedgewick 写的。因为我完全不知道你的目的，只能猜
也许有关。 |
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U*****e
发帖数: 2882 | 45 我跟着大家的讨论学习了一下。
举个例子。
有张三，李四两人。面对选择A, B, C.
对张来说 A > B >C.
对李来说 B > A >C.
总可以找到一个在实数轴上的函数f给张的选择赋值，比如f(A)=0， f(B)=-1, f(C)=2.
这样我们就把找到了一个欧氏偏好（把0作为the best point）和张的序列偏好等价。
而且它是单峰的,因为到the best point 的距离是 （1，0，2），等价于效用（m-1,m,
m-2）.
类似的也可以找到一个在实数轴上的函数g给李的选择赋值，来找到一个等价的欧氏偏
好，而且相应的效用是单峰的。
不过要想满足Black single-peakedness condition，更重要的是必须有f=g。在这个例
子里，如果g=f,把-1/B 作为the best point, 李的效用还是单峰的。但是如果李的偏
好是
B> C >A,
C 和 A 换了位置，那就f就没用了。
所以Black single-peakedness condition的关键在于找到一个common scale使每个人
的偏好都单峰。在基于意识形态的投票 |
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U*****e
发帖数: 2882 | 46 我跟着大家的讨论学习了一下。
举个例子。
有张三，李四两人。面对选择A, B, C.
对张来说 A > B >C.
对李来说 B > A >C.
总可以找到一个在实数轴上的函数f给张的选择赋值，比如f(A)=0， f(B)=-1, f(C)=2.
这样我们就把找到了一个欧氏偏好（把0作为the best point）和张的序列偏好等价。
而且它是单峰的,因为到the best point 的距离是 （1，0，2），等价于效用（m-1,m,
m-2）.
类似的也可以找到一个在实数轴上的函数g给李的选择赋值，来找到一个等价的欧氏偏
好，而且相应的效用是单峰的。
不过要想满足Black single-peakedness condition，更重要的是必须有f=g。在这个例
子里，如果g=f,把-1/B 作为the best point, 李的效用还是单峰的。但是如果李的偏
好是
B> C >A,
C 和 A 换了位置，那就f就没用了。
所以Black single-peakedness condition的关键在于找到一个common scale使每个人
的偏好都单峰。在基于意识形态的投票 |
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U*****e
发帖数: 2882 | 47 我跟着大家的讨论学习了一下。
举个例子。
有张三，李四两人。面对选择A, B, C.
对张来说 A > B >C.
对李来说 B > A >C.
总可以找到一个在实数轴上的函数f给张的选择赋值，比如f(A)=0， f(B)=-1, f(C)=2.
这样我们就把找到了一个欧氏偏好（把0作为the best point）和张的序列偏好等价。
而且它是单峰的,因为到the best point 的距离是 （1，0，2），等价于效用（m-1,m,
m-2）.
类似的也可以找到一个在实数轴上的函数g给李的选择赋值，来找到一个等价的欧氏偏
好，而且相应的效用是单峰的。
不过要想满足Black single-peakedness condition，更重要的是必须有f=g。在这个例
子里，如果g=f,把-1/B 作为the best point, 李的效用还是单峰的。但是如果李的偏
好是
B> C >A,
C 和 A 换了位置，那就f就没用了。
所以Black single-peakedness condition的关键在于找到一个common scale使每个人
的偏好都单峰。在基于意识形态的投票 |
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