t*******r
发帖数: 22634 | 1 我刚才又想了想。。。我认为我把我那段再写严格一些，
就是一个严格的证明了。
因为所谓的 “初中平几题”，不管加不加辅助线，都是限制在
“用尺规作图能求证/求解” 的题目。。。而 “用尺规作图求
证/求解” 的过程，决定了该过程的 proof path 里只能都是
algebraic expressions / equations。。。这个应该是
定理。
（这里提一下以防歧义，这不是说尺规作图不能产生
transcendental expression，你可以随便用尺规搞出
一个角度是 transcendental 的。。。这里说的是
该 proof path 里不能有，因为有了的话，那个尺规作图
proof 就卡壳在那里了）。
所以前面的第（4）条，等于是证明了。。。当然现在看来，
这个一眼就能看出来了，简直就是 trivial，不言自明。。。
sigh，俺还瞎忙乎了半天。。。
不过话说回来，所谓添加辅助线，从解析几何的观点看，
也就是选择合适的 “参数”，然后能找到 algebraic proof
path。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 2 不错不错。。。俺这两天收获狠大。。。自勉一下。。。
不过俺这个大杀器得藏着，估计很多年都不能让俺家扑通蛙
知道。。。要等扑通蛙 ready，接触过足够的平几题，还要
建立好解析几何的概念，外加建立好抽象代数里的 algebraic
vs transcendental 概念，至少感觉要正确。。。然后再看
。。。否则俺老一定是愚蠢而勤奋的典型案例没跑！！！！ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 3 属实。。。一定是有位智商低下的先人，初二时平几题目咋也做不出来。。。
被数学老师臭骂 n 次以后，搞出来解析几何和抽象代数。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 4 我早把四点共圆的定理忘得一干二净了。。。但你如果把四点共圆的定理也一起证明了
（用勾股定理之类的基本定理），那你用四点公圆的证明，能比老老实实用勾股定理的
解析几何硬算，也没简洁多少吧。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 5 这个四平行线也能证明的？。。。俺一开始就猜测过四平行线或者四垂线的两种可能，
但是解析几何没有能"反映射成"那两种。。。我待会儿想想到底是遗漏在哪里。。。 |
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m**k
发帖数: 18660 | 6 解析几何也好向量也好
对这种 不平行的等角 不灵
因为旋转的缘故 不线性
同样 有圆的也很多不灵 ：） |
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m**k
发帖数: 18660 | 7 Dcbang的你做出来了吗？
用解析？
其实几何难题很多
而且大部分难题都因为是同角 所以用不上解析几何硬算
你看到的书 打开方式有问题吧
当然 开始是要证明 简单的
但是是为了 打基础吗
为啥看不起辅助线啊
觉得完全靠蒙？
其实 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 8 我当然解析几何硬算求斜率解出来了。。。我懒得具体算到底而已。
我不是看不起辅助性，我是说，平几限制在一个很小的非完备出题空间而已，所以相当
容易在不理解数学理论模型的情况下猜测成功，也就是主要依赖于关于出题范围经验（
而不是理论）的 lexical analysis 来猜测辅助线。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 9 我觉得我分析出来了。。。其实原理上，跟俺用斜率和勾股定理，在直角坐标系里求解
，差不多。。。区别是你的办法用了斜角坐标系，证明斜角坐标系的斜率相等，所以简
化了。。。而我上次卡壳的是，斜角坐标系的斜率并不容易解。。。但是我现在明白了
的是，还是因为出题空间限制，不能出现三角函数。。。所以证明斜角坐标系下的斜率
相等，也就是相似三角形。
通过斜率的这个判断，解析几何理论是给了正确的建议。。。而斜角坐标系的斜率，可
以让证明更简单，这个前几天被咔壳在计算斜率上了（其实只要相等，映射成相似三角
形）。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 直角/斜角坐标系，需要三角函数，是为了解析几何的完备性。。。扔掉完备性就不需
要，当然要堵掉所有需要三角函数的 proof path，当然这样 proof path 也就有些 "
离散化" 的感觉就是了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 11 这个计算要花一点时间，但是确实是可以避免三角函数，利用两个斜率之间
的关系。。。我不算到底了，毕竟没有高中生的体力也没高中生的时间，
但应该不难。。。附件里是参数选择来避免三角函数。。。
当然，这个问题，斜角坐标更简单就是了。。。不过俺首先想到第一步，就是
对于初中几何的问题，用解析几何解，选择合适参数可以避免三角（利用斜率
关系）。。。第二步是今天您提示了可以利用斜角坐标系，谢谢。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 12 解析几何也不能真正意义上的硬算，得找低阶表达式的
proof path，比如这么算，（虽然一张纸也写不下）：
首先 solve 交点的 Xp，是个 K1, K2 , l 的 长分数。。。（1）
Xp = (K1*(1+K1*K2) - l*(K1-K2))/(K2*(1+K1*K2) - (K1-K2))
同时计算斜率 Kpcb 对于 Xp 的表达式 (Yp = K2Xp)：。。。（2）
Kpcb = (K2*Xp) / (l - 1 - Xp)
再计算斜率 Kpab 对于 Xp 的表达式 (Yp = K2Xp)：。。。（3）
Kpab = (K1 - K2)*Xp / (-(K1*K2+1)*Xp + K1*K2 + 1)
因为题目要求证 Kpcb == Kpab，所以“对角相乘”以后也应该相等。
这样转换为对于 Xp 而言的 quadratic expression。。。
在合并同类项以后，最后把 Xp 代入。
后面俺不算了，前面俺可能算错。。。但这里的意思是，algebra
是要预测表达式推导的 proof path，这题是保证在低阶表达式
的 proof/compute pat... 阅读全帖 |
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m**k
发帖数: 18660 | 13 你要是不是做竞赛
比如amc 8这种
那是不用
另外 几何在米国是高二课程啊
而且大部分是坑爹的计算三角形内角和
高一学代数一 包括解析几何线性的部分啊
美国数学已经够轻视几何了
可能就是觉得除了做竞赛题 用处不大吧
d |
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t*******r
发帖数: 22634 | 14 新加坡人算的是数字，并且严格按序运算。。。我这个至少得乱序一下，从两头
往当中算，否则你得出根号。。。当然我这个也不算，计算机现在可以做这种
符号简化运算的，人指出如何算。。。
至于这个能看到啥，首先看到可以在两次表达式的范畴内计算证明，不需要上
根号甚至三角函数。。。这个告诉不完备系统的尺规作图的初中平几，是在
完备系统解析几何里哪个地方。。。比如这两个角度正好相等并且跟参数无关，
如果这两个角度差了 0.00001 度，或者跟参数有 0.000001 的耦合关系，
那这两个角度的关系，需要上三角函数。（如果斜率的话，上根号数）。
还有直角坐标系，是斜角坐标系的基础。。。如果再把斜角坐标系也写一下，
就能理解为啥这题用斜角坐标系立马简洁几个数量级（是因为特殊角）。。。
也能理解为啥通常 calculus 一般都用直角坐标系而不是斜角（是因为
解决一般性问题，无法限制在特殊角。如果不是限制在特殊角，斜角坐标系
更麻烦）。
还有很多，不写了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 15 另外这个也说明，智商测试也就是说说而已。。。不放小时数的话，
初中平几题也做不出来。。。而且就是放小时数，学过解析几何的，
学习和思考方式也不会一样。。。ZPD 理论才是正道。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 16 也不要太轻视三角形内角外角计算，因为那个好比是几何学的基础计算。
就有点像小学低年级练短位数的计算题。
而且用高中解析几何解实际问题的时候，三角形角度计算，是简化解析
几何建模的重要途径。。。三角形角度计算，基于的是 routine 的
平行线辅助线，大伙儿就是练熟了，没有画而已不需要考虑而已。。。
就好比大伙儿练熟竖式计算的以后，计算的时候，脑子里也不会去考虑
place value based arithmetic operation theory。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 17 我刚才干完昨天遗留的一个下水道螺纹处漏水的问题。。。俺现在
觉得，如果用解析几何解那道题，可能把坐标原点设在圆心，圆圈
的半径设为 1， 让线段 AB 跟 x 轴平行，线段 AB 交 y 轴为参数
h。。。等俺去忙些其他的事，外加 home office 几个活，回来
再算。。。 |
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m**k
发帖数: 18660 | 18 电脑不是不怕麻烦.好的算法还是很重要的.当然利用解析几何 把问题变得"可算"还是
算个解决办法
但是.这个又回来,如果有计算器,就不用会计算了么?
会写程序算累加1+2+..+100那么就不用知道等差求和了么?
会用matlab就不用手算 概率了么?
最重要的是. 考试题, 和现实问题是根本不同的.
现实问题,很少是设计好的,很多是开放的. 要考虑时间成本,风险,而达到的相对最优.
考试问题,是精心准备的,能够让你在有限时间内,利用某些知识,来解决问题.
所有的考试,面试都是这样的.
问题有一些是直接的。套公式，用体力硬算的。
有些问题，是绕弯的。需要智巧的。比如奥数题。
说到底，考试题，其实就是出题人在设计一个迷宫。
你找到出口而已。
这个迷宫。其实在现实中可能根本永远也碰不到。
作为工程师，可能会觉得这个完全是浪费时间。
但是解决迷宫过程中，给人的脑力锻炼。心理锻炼。还是对现实问题有用的。
当然还是有解决以后类似吸毒以后的心理愉悦也是很爽的。
能很快知道出题人的意图，这种把这种人。叫聪明. |
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t*******r
发帖数: 22634 | 19 是这个意思。。。其实这题的关键就是对于参数 (K1, K2) 的函数：
P(K1, K2) = (EF^2)*(CD^2) - (AC^2)*(BD^2)
该函数可能可以是二元四阶多项式。（没算过，猜的，不过如果出现
根号问题也不太大，电算一般能对付根号，不要太复杂就成）。
而求 P(K1, K2) 的运算问题，对于电算而言，因为多项式加减乘除运算，
也就是其系数矩阵的线性运算，线性矩阵代数就可以解决。
而更深一层次而言，P(K1, K2) 恒等于零，也就是对于这个凑出来的
问题有意义。。。。但是对于真正的现实问题而言，恒等于零的情况
几乎不会发生。。。如果该多项式函数不是恒等于零，那首先的两个
问题，就是零点/极点问题（函数本身），和各种极值问题（一阶导数
、或者平方后的一阶导数、或者更多）。。。所以解析几何是微积分
和数学分析的基础。
微积分和数学分析，跟初中欧几里德平面几何的差别。。。就好比 NASA
说有个项目，要在最近两年里，找一条既省燃料，又不能飞太久的路径
。。。数学分析借助电算，说两天后能给出三个方案。。。而初中欧几
里德平面几何说，伊有极其巧妙的方法，三分钟就可以给出... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 20 “为什么接受欧式几何training的人到最后恰恰能做好那些抽象数学呢？”
这是你的想象吧。。。马工里有几个，在当年初中平几题，能刷过记忆题型
的文科生的。。。文科生大部分是 decay 在解析几何，而不是初中欧氏平面
几何的吧。。。
或者这么说，在不刷题的前提下，这版上，有多少个马工马农，做初中平面
几何题，做得过非马工马农的推妈的？呵呵。。。// super fast run |
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t*******r
发帖数: 22634 | 21 那在 “平几” 和 “离散” 里，为啥要选 “平几” 而不选 “离散”。
“平几” 在咋说，解析几何加电算总是解决了。。。就算是肉算，干一个
project，也不差推一小时公式，还是推三天公式。除非这个 project
就两三天，（其实两三天的 project，老板多半不会风险太大的 plan）
。。。
而 “离散” 的话，解不出来的话，常常没有连续数学的方法。（个别
问题除外）。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 22 在超过一个环上的 combinatorics 可以硬算？。。。没解决 congruence 判定你都不
知道是不是数重复了。。。就算你解决了 congruence 的判定，硬算是个 NP 算法。。
。而 decision tree 是个 log(n) 算法。。。
不要提到排列组合，就忘记了还有在高维拓扑空间的 combinatorics。。。
而平几和解析几何的计算复杂度差别，都是 linear time 里解决了，也就是差一个系
数，而且虽然相对差别大一些，绝对差别最大也就肉算两天？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 23 解析几何解不出数论吧。。。当然你也可以认为狠练足球守门技术，有助于乒乓球拿世
界冠军。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 24 等我有空去改进那个解析几何算法，看看能不能避免根号，弄成多项式。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 25 我在猜这道题在解析几何的基础上，是不是可以用微积分
来降阶求解/求证？
因为如果 F(x1, x2, x3, ...) == Const，那么
其充分且必要条件是：
dF(x1, x2, x3, ...) / dx1 == 0
dF(x1, x2, x3, ...) / dx2 == 0
....
这样把一个多元 N 次方程，降阶为 N 个多元 N-1 次方程。
这个过程是不是迭代，然后 recursive down 而可以用
电算证明？
如果能证明是 Const，那就随便选一个点计算一下差值为零？
我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 26 这个只是俺对某些特例的思考过程嘛。。。
你看看俺上面的最终 “伪偏微分解析几何”。。。我不用
算方程啦哈哈哈，我就在每个滑动参数 Kn 上算个 delta-Kn，
曲线的话我就沿着切线方向搞，然后所有东东按直线算一下
目标函数的 delta-F 等于零。。。
你平几搞再多曲线也没用，因为你求证的目标函数是个
常函数，所以我就直接在你平几图上画一个 delta
成为偏微分平几，然后目标函数的变化是零。。。
你们算吧。。。我干其他事去了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 27 我刚才搞得有点麻烦，其实概念上应该是 P 点的沿着圆弧切向矢量，导致了
C 点 和 D 点的沿着圆弧的切向矢量。。。这两个切向矢量在 CD 上的分量
的和，应该等于在 AC 和 BD 上的分量的乘积（去掉高次项）。。。但这个
高中物理的问题是，一个引入了角度，造成不必要的麻烦。。。另一个是高
中物理没有处理 delta-length 的先验知识。
我猜一个更好的办法，可能是使用微分的概念，但是老老实实用解析几何算，
（不用向量代数），也就是设 OP 斜率为 K（避免角度计算），然后求 C
点和 D 点的 dx/dk 以及 dy/dk，（因为剩下都是两点距离，已经不再有
圆弧），然后求 dL/dk，。。。这里还有个问题，是使用 linear length，
还是 quadratic length 的问题。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 28 我想要回答的问题，就是为啥打开的方式不对？
因为中小学数学学的所有的东西，基本上后来都有用（也就是哪些工种
用哪些的问题）。。。唯一的例外，好像就是初中的欧氏几何难题（指
超越一般理解几何的需要，以及为解析几何打基础的部分）。。。为啥？
btw：多项式乘法的各项系数，就是个矩阵代数的问题，你可以直接用
任何矩阵代数软件。。。当然也有专用软件。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 29 这个如果你不知道乘积相等关系的，只能上解析几何硬算了吧。。。
如果能猜出来那的确非常牛。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 30 解析几何能解的问题，欧氏平几不一定能解吧。。。比如抛物线？ |
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m**k
发帖数: 18660 | 31 哦 不同范畴的东西
其实解析是平几勾股定律发展起来的啊
几何主要是等量和比例变化
解析几何也解决不了排列组合吧... |
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t*******r
发帖数: 22634 | 32 解析几何解不了排列组合。。。所以排列组合被发展成 combinatorics 了。。。 |
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k******b
发帖数: 4501 | 33 也和小孩发育，懂事早晚有关。
等到某个时间点，落后的孩子发育好了，就赶上来了。
我记得有个男生，初中很一般，到了高中，立体几何，解析几何却学得很好。好像这些
能力是天生的。 |
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k******b
发帖数: 4501 | 34 也和小孩发育，懂事早晚有关。
等到某个时间点，落后的孩子发育好了，就赶上来了。
我记得有个男生，初中很一般，到了高中，立体几何，解析几何却学得很好。好像这些
能力是天生的。 |
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p**s
发帖数: 2707 | 35 这第一问其实是第二问的提示，做解析几何还是要画图，画图以后直观 |
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s*********y
发帖数: 6151 | 36 高中数学那点简单玩意 函数 方程 解析几何 立体几何 不就是做题吗 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 37 从另一个角度说，基本的解析几何好像是没啥好学的。。。只要 pre-algebra 的时候
把分配率和勾股定理学好了，剩下的就是学点术语大名词，外加学个稍微熟练点的工。
。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 38 如果高中解析几何里的圆的切线方程，这种定式问题，都写成磕磕碰碰。。。那高中物
理里面最最基本的定式问题之一，比如竖立面上的钟摆，力的分解合成，以及求摆动角
度/周期，是咋做出来的。。。
或者修车工叔叔的说法。。。数学好比是物理的工具。。。有见过修车高手被扳手吓晕
过去的么？。。。你这个心理分析，不靠谱吧。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 39 刚才想了一下，这个单摆的小角度摆动模型的建模及证明，涉及：
(1) 小角度切向角近似不变 (高中娃版近似模型及误差分析)
(2) 相似三角形 (高中几何)
(3) 力的分解合成 (高中娃版矢量代数)
(4) 线性回复力及直线下面积，计算摆动周期 (高中娃版微积分浅说)
(5) 多大角度算小角度？ (高中娃版模型误差分析)
这特么比那个高中解析几何求圆的切线方程的破题，难上不止三个数量级的东东。。。
怎么可能这都理解和学会了，那个死套公式的圆的切线方程还学不会？。。。
当然，如果是死背公式的学渣，那就不说啥了。。。等着上了藤校后，在学 calculus-
based mechanics 时，要么学习上被屠成炮灰，要么把恋爱养娃的时间都拿去刷题，刷
成个绝代佳人把一生直接给废柴掉。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 40 如果仅仅是为了前面那几道解析几何送分题，只要娃肯被 dog training，根本用不着
两年，总结一下题型，套个公式。最多刷上两天题型，小学五年级娃用词法分析加脊髓
思考都练出来了。
但问题就是，这边非大别山区的娃，哪个肯被长期无节操狗训。。。 |
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m********t
发帖数: 13072 | 41 我高中时代的解析几何，立体几何，一直是高分的，到现在那个几何老师都记得我
高三有一个特长班，就是空间几何，我被选进去了。
上课内容很fancy，给你看一个多维体，老师黑板上画完了，必须有立体感的，让学生
跟着画。老师不讲解，就看谁画的最像。
这个才是lz提的真正的想像力和抽象思维的专业培训， 这部分内容在美国，必须是读
到博士才能接触到的，课程编号都是3字头的，属于advanced 课，
哪有可能你高中都跟不上，大学反而好上去的，博士还更上一层楼的，都是一步一步从
小就铺垫好的
博士读这种科目，都有经济系的人来选，而且里面有很多non-linear的model，作业题
很难的，考试都跟天书一样，所以这里的毕业生能去得了高盛，雷曼，麦肯锡这种学院
派的投行。
这才是lz最憧憬的儿子的职业生涯。 你看，能走的通么？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 42 不过对俺还是娃版 linear regression 加娃版解析几何更直接了当好像。。。两点一
直线，跟第三条平行于 y 轴的直线相交，用相似三角形或者斜率毛估估就差不多了。
。。追击问题的考虑角度，那还得在大脑里放个小电影是不是？。。。当然这题总之没
啥逻辑就是了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 43 另外我觉得对于小学高年级娃，用直角坐标系可能跟学校数学的兼容更强一些？跟将来
解析几何是不是也更兼容一些？。。。在直角坐标系下，x 轴代表 9 升桶，y 轴代表
5 升桶，剩下的装 12 升桶。。。这样的话，约束条件的多边形就是 x=0, x=9, y=0,
y=5, x+y=12。。。
边9 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 44 属实。。。但解析几何 gnuplot 啥的重型机械不容易上。。。所以主要看是哪个年级
我觉得。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 45 还是您老说得大众喜闻乐见。。。俺本来想写个解析几何矩阵加约束反力分析来证明之
的，不过可理解性多半不行。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 46 我上面说的太云里雾里。我觉得要么举一个实际的例子，比如上次欧洲妈妈
那个圆/椭圆解析几何方程题，还有我也不知道为啥要人背诵二次方程求根
公式，等等等等。
我觉得绝大部分跟二次函数/方程有关的玩意儿，八九不离十就是凑
Vertex Form of Quadratic Functions。从 vertex form 直接抢滩
就完事了，相关课程直接免修。
其实 vertex form of quadratic functions 也不用学，也就是 多项式
+ 分配率 + 变量替换 + 坐标系移轴。也就是抢滩速度慢点。
当然，说也就是这么说。就这么简单的玩意儿，教会普通白纸娃还是不容易的。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 49 AMC10 的解法是标准的，但写得有点 ELA 化我觉得。
当然我也不知道是 (1) ELA 型分情况讨论解释，(2) 还是代数符号系统的好比 piece-
wise linear 概念的一步一步 substitution 的解释，外加解析几何坐标系建模直观化
；哪个对娃更容易理解一些。
这个解释的 ELA 化，在 AMC 8 / 10 里面还是有一定普遍性的，拿出来讨论一下。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 50 如果按标准代数 piece-wise linear 进行 substitution，那么 |2y+6| 这个
expression 被 substitute 成如下的 piece-wise function:
(2y+6), y ≧ -3
-(2y+6), y < -3
把上面 piece-wise expression/function 搞进原方程成为 piece-wise equation，这
样就不会出错。
还可以用解析几何坐标系画一下，当然考试时省时间就不必了。 |
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