t******l
发帖数: 10908 | 1 这么说也有道理。
但另一方面，中学代数的精髓，还是更在于其简洁较少二义的符号规约系统、和清晰的
解析几何建模/表述。这样超越 prealgebra 的 ELA 型图景。
我老总有一种美国这边在 prealgebra 阶段纠缠太久的担心，以及在 algebra 教学里
伪装着 prealgebra/arithmetic 思维定势的担心。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 2 去绝对值加正负号的时候，x 要加上 range 限制 (自动形成分段)，否则推导过程不等
价。
从解析几何表达看，如果不加 x range 限制，实际上形成两条直线而不是两条射线，
导致不等价。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 3 对于 pre-algebra “分数应用题” 里的那些 “速度问题” 啥的，这个在教娃方面
难坏我了。我曾经一直都不知道咋用 pre-algebra 的 verbal loics 来教娃。
但我后来觉得不如先让娃有 algebra 的概念，然后把速度问题直接用解析几何
坐标系的图形化后解释。这招貌似非常给力，娃马上可以知道咋解速度问题了。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 4 说到这里的时候，我觉得有必要提一下 “baby algebra”。
从 Spatial 的角度看这个 “baby algebra”：这 “baby algebra” 基本不跟解析几何
有多少联系，所以这个 “baby algebra” 其实不是 spatial 的。
从 Formal 的角度看这个 “baby algebra”：这 “baby algebra” 基本上也不太靠
算术的各种 property，而 property 是数学里从算术（Concrete）走向代数（Formal）
的第一步。所以这个 “baby algebra” 开起来 Formal 的成分也不是很多。更有点像是
个 Pattern Matching 我觉得。
所以从这个角度看，超前 Algebra 可能是一件好事，但是超前时陷在 “baby algebra”
太久，就不太好说。。。这就好比千里跃进大别山，但半路上千军万马栽阴沟。。。
所以我怀疑教育界一直口口相传的，不要太早上 Algebra，更可能是指 “baby
algebra”。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 5 或者从刷试管的角度打比方，可能更容易理解：
算术思维 / Concrete Operation，就好比 “无机物简单分子/晶格”。
而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比 “有机物大分子”。
其中最最本质的区别，是有机物大分子可以只需要很少几种原子（当然，一定要
有碳基！！！），形成无比复杂的大分子结构，产生无比复杂的功能，直至生命
到智慧生命。
而 “无机物简单分子/晶格”，要复杂只能上不同种类的原子。无奈门捷列夫这个
偷懒的主儿，元素周期表撑死也就一百多种稳定原子。剩下的 decay 的速度比
眨眼还快，球用。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 6 或者从憋屈奶爸的角度打比方，也可能更容易理解：
算术思维 / Concrete Operation，就好比小小娃还不会说话时的 “手势语言”，
很难组合成复杂意思。如果要用小小娃手势语言表达一个：“去 StarBuck 买
一杯 double chocolate chip frappuccino，记得不要用 milk，用 infant
formula 代替 milk”。OK，估计大眼瞪小眼的都要疯。
而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比小小娃会说话了。虽然
speaking language 本质上也就是一些有限的元音辅音声调，但能组合成无比复
杂的词法句法结构，所以表达上面的意思毫无压力。
（当然数学本质是高维拓扑空间结构的复杂度，语言词法句法本质上还是一维线性
结构）。
当然现在的问题还是，虽然跟小小娃的交流，总是从 “手势语言” 过渡到 “牙牙
学语”，但把手势语言搞成无比复杂高级，是不是有利于 “牙牙学语” 的问题。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 7 或者从刷试管的角度打比方，可能更容易理解：
算术思维 / Concrete Operation，就好比 “无机物简单分子/晶格”。
而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比 “有机物大分子”。
其中最最本质的区别，是有机物大分子可以只需要很少几种原子（当然，一定要
有碳基！！！），形成无比复杂的大分子结构，产生无比复杂的功能，直至生命
到智慧生命。
而 “无机物简单分子/晶格”，要复杂只能上不同种类的原子。无奈门捷列夫这个
偷懒的主儿，元素周期表撑死也就一百多种稳定原子。剩下的 decay 的速度比
眨眼还快，球用。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 8 或者从憋屈奶爸的角度打比方，也可能更容易理解：
算术思维 / Concrete Operation，就好比小小娃还不会说话时的 “手势语言”，
很难组合成复杂意思。如果要用小小娃手势语言表达一个：“去 StarBuck 买
一杯 double chocolate chip frappuccino，记得不要用 milk，用 infant
formula 代替 milk”。OK，估计大眼瞪小眼的都要疯。
而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比小小娃会说话了。虽然
speaking language 本质上也就是一些有限的元音辅音声调，但能组合成无比复
杂的词法句法结构，所以表达上面的意思毫无压力。
（当然数学本质是高维拓扑空间结构的复杂度，语言词法句法本质上还是一维线性
结构）。
当然现在的问题还是，虽然跟小小娃的交流，总是从 “手势语言” 过渡到 “牙牙
学语”，但把手势语言搞成无比复杂高级，是不是有利于 “牙牙学语” 的问题。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 9 从符号系统上说，我民科觉得在基本的 集合论 / 高中代数解析几何 / 大一微积分-
泰勒-拉普拉斯等等之后，现代数学和现代马工学彻底分道扬镳了。
而这个分道扬镳的最重要的促生因子，我民科认为，概念层次上是图灵机，实现层次上
是超大规模集成电路。具体如下：
数学/物理要往前发展，这符号系统就得支持一层加一层的抽象。不仅如此，
牛顿都要站在前人的肩膀上，这符号系统也得一代一代的继承。
而现代数学，采取了一个大伙儿看起来不明觉厉的艰深办法，但简单而言，就两个
字：“造新字！”。其实这是因为原始人没有灵活可重组的句法文法结构，有个新事
儿，唯一的办法，就是造一个新字。
其实跟古猿不会阿拉伯数字，只会在木头上一道一道的往上刻刀痕，一德行。
现在放眼望去，是不是满树林都是谁的刀痕在飞？
但后来出现了图灵机。 |
|
k******b
发帖数: 4501 | 10 初等数学和高等数学差别挺大，前者学得好的后者未必学得好。
我记得中学有些以前数学一般的男生，到了高中，立体几何（也许还有解析几何）却学
得很轻松。如果你女儿聪明，那时候天赋会显现出来。
小学计算那些东西不难。如果是粗心什么的，大人不要给太大压力，以免恶化。 |
|
x********e
发帖数: 35261 | 11 之前有人说平面几何太低级，那就用解析几何表示。
以直角三角形斜边为x轴，直角三角形中点为原点，所有满足条件的直角三角形顶点(x,
y)满足：x^2+y^2=(3/2)^2
直角三角形顶点不超过大正方形边界：x≤1
直角三角形面积：S=3/2*x
直角三角形最大面积：Smax=3/2 when xmax=1
直角三角形顶点位置：y^2=9/4-1=5/4, y=±sqrt(5/4) 所以是(1,sqrt(5/4))和(1，-
sqrt(5/4)) |
|
t******l
发帖数: 10908 | 12 另外如果追求 100% 严密性的话，你的两个证明都不行。
因为任何直接间接援引中学欧氏几何的证明都不是 100% 严密的。这是因为欧氏几何的
公理系统本身是有漏洞而不是 100% 严密的。
你要 100% 严密性的话，最通常的办法是严格使用解析几何，这通常 end-up 成
numerical analysis 里求在约束条件下的极值问题的严格证明。
多。 |
|
w**d
发帖数: 2334 | 13 我猜他没有这意思。
其实这个问题的解的严格性是没什么必要，因为这样会限制孩子的直觉和想象力，而且
受过系统的数学训练会发现这些个解法就是严格的，只是没有把中间的过程写出来而已。
就像你前面给的解析几何的方法，也用到了个假设：就是这个最大的正方形必然和那4
个小正方形的顶点相交。这个当然是对的，不过真要追究的话是要说明的 - 其实我觉
得没有必要。就像别的ID说的那样，你不顶着那些个小正方形的话就说明还有空间长，
挪挪的话就可以再变大些。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 14 另外要追求严密性的话，中学解析几何是严密的，只要别混搭初中欧氏几何的搞法，完
全从方程/方程的思想入手，不需要大学知识。
当然一般没有这个必要就是了。所以严密性也不是 100% 的要求。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 15 这么说，整个 “高中平面解析几何” 的严密性，其基石之一就是实数连续性完备性公
理不是？否则就不是二维连续空间，而是二维破碎空间。
另外打听一下，你高中数学老师是不是原来是教历史的？ |
|
t******l
发帖数: 10908 | 16 我觉得这个例子挺好的说明了 “古代数学” vs “现代数学” 思想的差别。
及其数学思想下的数学直觉的差别。
另外我目前倾向于不用 “初等数学” vs “高等数学” 的说法。就好比这题，
即使用完全基于现代解析几何的证明（我前面的四条，我待会儿把其
大致严格化），所用的知识也不超过六年级。很难说是 “高等”。但其数学
思想，包括其数学思想所基于的数学直觉，都是 “近代数学风格”，而不是
“欧几里德古代数学风格”。
（下帖继续）。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 17 （接上贴）
我把我前面的四点，写成大致严格（但不完全严格）的近代解析几何加
集合论的证明：
（1）选取坐标系原点在题目给定的大正方形的中心，x 轴平行于
大正方形的边。（咋选都无所谓，就是为了方便）。
（2）所有可能的正方形的集合，可以用正方形中心的坐标 (x, y)，
以及正方形的倾角 alpha，还有正方形的半边长 l，来确定。
（3）也就是所有可能的正方形，都可以一一映射到 quadruplet
(x, y, alpha, l) 所构造的集合。其实 x 属于实数集合 R，
y 属于实数集合 R，alpha 属于实数区间 [0, 90)，
l 属于实数区间 (0, pos_infinite)。
（下帖待续） |
|
t******l
发帖数: 10908 | 18 解析几何、三维空间、线积分、可解。。。大猩猩才纠结只用石块打蛋的问题。。。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 19 其实有兼顾函数 condition 和避免用三角函数的办法的。
对这题而言，最简单的就是换元建模时分两段，各段里用二次函数换元来替代三角函数
换元。解析几何图景里就是用两个 parabolic curve 换元，来替代用一个 Sine curve
换元，来避免三角函数计算。
当然这样就不能保持 v_longitude 一直等于 1。但这换元本身的目的只是
computational massage，也没有必要把无穷大直接敲在地板上永远等于 1。
当然总而言之这些都是特么体力活，等我吃饱了撑的时候再说。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 20 其实列表、画 space-time 平面（解析几何）的直线曲线，是 kinematics 及跟随的
calculus 浅说的标准基本教学步骤。比如学习加速度的概念。
俺老就是不理解普通娃钻 prealgebra 牛角尖题目，固化定式那么多牛角尖型 naive
intuition，也不知道图个啥。（玩玩开心，培养兴趣的钻牛角尖玩，那不算。因为不
固化成定式）。等将来上 kinematics 和 calculus，那还得拆一遍 naive intuition
不是？Demolish 思维定势也花钱不是？搞不好还得定向爆破。。。
其实前阵子 AAPH 的 “每一圈上升一米” 的题目很能说明问题。你圆柱体搞得再刁钻
的 naive intuition，换成球体时，再用 naive intuition 的第一个问题，是题目都
不一定读得懂。后续的基于运动学、矢量代数、微积分等等的求解，还有数值积分时，
用基于建模的换元来改善被积函数的 condition 同时优化计算速度，就别提了。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 21 目测本版大多数 id 们确实不一定玩过小学投篮题。naive intuition 不一定强大。目
测大伙儿一般是等到初中：
平均速度直接上解析几何 d-t 图拉直线。
瞬时速度在 d-t 图曲线上拉切线、求一阶导数。
这样更容易理解。 |
|
h*****m
发帖数: 1034 | 22 在不同阶段的表现不同还是挺正常的吧，毕竟要不断开始学习新的概念。初中的代数思
维和小学时的算术思维跨度还是很大的。将来的几何，立体几何，解析几何，函数，三
角函数等等，相互之间的差别都是挺明显的，经常有学生擅长其中一些领域，但对另一
些领域感到头疼。有些孩子以前一帆风顺惯了，绝的自己数学就是很棒（有天分），学
习新知识时遇到困难，面子上可能会挂不住。所以，夸奖孩子时要避免“有天分”等词
语，提前让孩子知道将来可能会遇到的困难会有帮助。
作为家长，应该理解孩子，并让她知道你的理解。告诉她，人擅长不同的领域是很正常
的（最好举爸爸妈妈自身的例子），遇到困难时寻求别人帮助也是正常的。如果能赢得
她的信任，后面就好办了。
2. |
|
t******l
发帖数: 10908 | 23 99.9% 的小学老师都不会真正理解 additive identity, distributive property, and
the uniqueness of additive identity。解释个屁，纯属浪费时间。
而且这阶段的普通娃，也就只能教下来一些模糊的概念，实际上也解释不清楚倒是。
当然，美帝小学初中数学书教任何数学解释，八九不离十就是去 Walmart 买面粉回家
做包子。我觉得美帝小学初中数学书，干脆就特么直说，那欧几里德哥们，过去经常逛
Walmart， 所以发明了解析几何。这破书就不能打开天窗明着瞎掰么？羞羞答答遮遮
掩掩也不知道图个啥。
：" COMMUNICATE why is 10-0=10, but 0/10=0? Explain."
： |
|
t******l
发帖数: 10908 | 24 其实从初中 AMC10 level 的角度看，完备地连接 angle 和 slope 的桥梁，是
trigonometry functions，而不是孤零零的 pi 的一个值。
只要有了 trigonometry functions，pi 的值可以直接由 trigonometry functions 和
calculus 导出。
这个就好比小学欧几里德老师无限崇拜平行公理。但在初中 AMC 10 level 时，有笛卡
尔坐标系、实数集和实数完备性公理、外加有三角函数的解析几何/猴版 xform
geometry 里，平行就不是啥事。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 25 这个其实是 problem-solving driven 和 explanation driven 之争。
从这个角度看，公立学校的数学课本，基本上就是，欧几里德那哥们，经常去 Walmart
购物，还跟收银员解释 coupon 如何使用，而获得灵感发明了解析几何。
：problem-solving classes demand that the pupils execute the cognitive bench
：press: |
|
t******l
发帖数: 10908 | 26 这事出有因是因为一道破题涉及到平行公理。于是俺就强调了一下平行公理是欧几里德
平面几何的核心，让娃上网查 Euclid's fifth postulate 后解释给俺听。
然后娃开始罗罗嗦嗦开始叙述 parallel 然后 angle 啥的。。。
俺一听 angle 就急了，说特么欧几里德又不是文科生说话那么罗嗦，你说的这个是
theorem of angles and parallel lines。。。平行公理就是“过直线外一点有且仅有
一条平行线”，你说的这些都可以从 postulate 开始证明。。。如果追求概念图景但
追求特别严格的扣牛角尖的话，这么整。。。
首先用平行公理证明四个直角的矩形存在。。。娃目瞪口呆说这也要证明， 我说废话
你们数学老师画了三个直角咋知道第四个一定是直角，然后我拿出一个排球说，看看排
球上的球面上矩形好了。。。
遂左膀往“角度”一路奔过去，可以证明娃你刚才说的 theorem of angles and
parallel lines。。。继续往下还可以证明三角形内角和是 180 度。。。娃又目瞪口
呆说这也要证明？我问你们数学老师证明过没有？娃想了想... 阅读全帖 |
|
|
t******l
发帖数: 10908 | 28 我是有苦衷，我娃在 pre-algebra 是 guess & check 型娃，而不是 logic deduction
型娃。。。她以前的 pre-algebra 基本不打草稿，我都没法 decode 她的思维。。。
而到 algebra 如果太不严谨的话，没法 algebraic guess 也没法 check。
而这个效果还是很直接的，第二波教解析几何概念的时候，她有一点欧几里德几何基础
概念，在外推的时候她就能 guess（否则都不敢 guess）。。。有了 guess 才能
check guess 以及 how we make it wo/ guess work，才能往下继续。
换言之，我觉得 formal operation 的 guess,，都需要 perceptual to axioms 作为
基础。
：你这把娃整的不轻。我一般不会要求特严谨，觉得没有必要，主要目的是让他们对直
线方程有很直观的理解，知道为啥会长成那个样。具体的point-point还是point-slope
的计算当成纯机械步骤来讲。会有集合的定义什么的，我是不会讲的，就是一带而过，
除非特别问起... 阅读全帖 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 29 另外我觉得我们的数学概念教育确实有问题，point-slope 直线的概念是绝对不应该当
机械来讲的。。。arguably，point-slope 直线的概念，是背靠着欧几里德第四第五公
理，和勾股定理并肩，成为构筑起笛卡尔坐标系解析几何的两块最最重要的概念基石。
。。
：
：【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 30 忍不住说几句，这个 point-slope 对应于平直空间里的 "straight"，不用相
似三角形概念证明一下，是说不过去的。。。因为这玩意儿根本不是直观到像欧几里德
/希尔伯特前几条又臭又长的公理不用说明，拿张纸直观对折就完事了。。。否则的话
，我们还要欧几里德第四第五公理干嘛？。。。勾股定理也不用那么麻烦的证明了。。
。三角形内角和也别证明啦。。。统统回到 pre-operational 算了。。。
其实我觉得基本应该是欧几里德那边从第四第五公理开始，笛卡尔那边从实数连续性完
备性公理开始，概念级不太严格的证明都得走一遍，否则严格而言属于高中数学肄业。
。。话糙理不糙。。。
：另外我觉得我们的数学概念教育确实有问题，point-slope 直线的概念是绝对不应该
当机械来讲的。。。arguably，point-slope 直线的概念，是背靠着欧几里德第四第五
公理，和勾股定理并肩，成为构筑起笛卡尔坐标系解析几何的两块最最重要的概念基石
。。。
： |
|
t******l
发帖数: 10908 | 31 回到这道题，这道题还有一个更快的标准型不动脑子的解析几何心算解法，也不用解二
次方程组。解法是：
把坐标原点定在 B 点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴。。。记 AC 的中点为 D，得 D 点坐
标为 (1, 3)。。。直线 AC 的斜率为 -3，直线 OD 垂直于直线 AC，所以直线 OD 的
斜率为 1/3。。。线段 OD 的长度为 2*sqrt(10)。。。根据斜率的 rise-over-run 的
概念，得 O 点坐标是 ((1-6) , (3-2))，心算得坐标 (-5, 1)，所以心算可知答案是
5^2 + 1^2 = 026。
：我刚刚去做了这个题目。结果发现我的解法和下面链接的SOLUTION1一模一样： |
|
t******l
发帖数: 10908 | 32 我做完这个以后，看了一下网上 solution 2,，终于明白了 solution 2 的天外飞仙辅
助线。。。但我以前一看 solution 2 时候看不见思路的原因，是 solution 2 先给我
来个 AC = MO，这个是计算长度得到的数字巧合，而不是通常人直觉看到的 geometry
clue。。。所以这些解法的一个共同点，是先注意数字和字母表达式，甚至数字巧合都
能在标准 geometry clue 前先被发现，所以我觉得很可能有 hypernumeracy 的倾向。
。。通常人不会往这个方向想。
：回到这道题，这道题还有一个更快的标准型不动脑子的解析几何心算解法，也不用解
二次方程组。解法是： |
|
t******l
发帖数: 10908 | 33 而这里还有普通娃思路的另一个弱点，普通娃依赖 intuition，而 intuition 则依赖
于 wishful thinking 所选择的数学模型。。。这导致虽然很多解几解法可以换成等价
欧几解法，但在 wishful thinking 一旦选择了欧几模型还是解几模型以后，其
intuition 是很不一样的。。。甚至解几模型第一步坐标系选的不一样，其后解题的
intuition 就不一样。（写证明的写法，常常是等价转换后让老师看着顺眼的）。。。
这样导致普通娃的 intuition，虽然能保证大概率的走对大方向，但很难第一步尝试就
是最优解方向，所以常常会发生 200 米当中卡壳两次慢了 0.3 秒，预赛被出局。
：回到这道题，这道题还有一个更快的标准型不动脑子的解析几何心算解法，也不用解
二次方程组。解法是： |
|
t******l
发帖数: 10908 | 34 当然这里的要求是 explicit memory & implicit memory，所以心理系学生看了
parabola 的那句句子，记住了，算是 explicit memory。至于 implicit memory 嘛，
我们还有 AIME 解析几何题不是？而且网上答案还可能是坑爹的。// run
. |
|
t******l
发帖数: 10908 | 35 另一方面，我觉得 “美式构建式数学教育”，在 代数/前代数/Formal-Operation 阶
段最大的问题，两个：
其一：是在 Formal Operation 阶段，没有考虑 Formal Operation 阶段的特点，照抄
小学阶段 Concrete Operation 的 spiral 教学法。这带来 (a) 教学进度太慢，教授
的基础知识太少，花太多时间在不必要的 spiral 上，(b) 在 Formal Operation 的
spiral 的循序渐进层面，也有问题。
这个原因是 Formal Operation 是有明显的阶段性和结构性的，而 spiral 的时候很难
越过阶段性和结构性的边界。举个例子就是：
Algebra 1 和 "linear" geometry / "linear" analytic geometry，比如 solve
linear equation, solve system equations, complete a square, solve quadratic
equation, equation of line, slope of ... 阅读全帖 |
|
h*****m
发帖数: 1034 | 36 哥们早上起来没睡醒？我有说不硬背九九表就不能心算吗？我有说不硬背求根公式就不
能手算二次方程？（话说都电算时代了，为嘛要手算二次方程？知道明白这一种方法和
原理足以，将来解析几何时需要了再学呗。）至于2^7000，不知道你怎么估算位数，反
正我是大概记得log2是0.3（算不算硬背？）左右，所以应该是2100多位。至于第一位
数字是几，确实不知道，（但最后一位根据2，4，8，6循环应该是6吧？）但知道这个
的意义是什么？
我上面贴里说了，学校里让小朋友一遍遍反复操练连加来“构建”乘法表，实际上跟乘
法教学没什么太大关系，没什么意义，（其实可能还有些负面效果，下面再讨论）但我
也不太反感，反正小孩子时间多。我不能容忍的是自以为这是天下唯一正确的方法，把
让孩子直接记忆乘法表的行为说成是“沙比行为”。背个乘法表都“沙比”了，你让我
这刚在去年一年里让孩子记下了1000多个汉字，现在初步达到自主阅读中文并稍微感到
一点乐趣，现在正在沾沾自喜的推爸情何以勘啊？
在我看来，以为孩子背了乘法表就会影响将来对数学的进一步学习，才是大大低估孩子
的能力把孩子当“沙比”的想法。
现在说说用连加来算乘法的... 阅读全帖 |
|
h*****m
发帖数: 1034 | 37 我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演练
？我小娃也上一年级，普通娃但我觉得还挺聪明的。我问他3x9是多少时，他就是9+9+9
，有时也会用点小trick，比如5x9他会先9+9=18，18+18=36，然后再加9，就这么点小
trick已经让我心里美滋滋了。要是我娃balabala地整出你说的这么一大套来，我非的
犯心脏病不可。
你有两个选择：
A。真的，你娃就是这么算而不觉得苦逼。那你娃绝对是数学天才了，你的这套数学教
育理念不适合绝大多数普通娃。更加深了我要让孩子背乘法表的决心。
B。实际上你娃也是9加9再加9，但因为之前某人提到了连加做乘法的小弊端--没有二维
图景将来影响理解commutative property和distributive property，（其实也没啥，
需要时再补呗，反正小孩时间多着呢），你就在100毫秒之内，选择性修改了记忆，以
为自己就是用二维点阵教娃做乘法的。
当然你也有权保持沉默，否则你说的每一个字都会被群众明亮的眼睛记下。。。
其实吧，选择性修改记忆作为一种普世人性倒也没啥，我是真的担心你真的用这么苦逼
的化... 阅读全帖 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 38 欧几里德确实伟大，但有争议的说，这哥们更多的是个哲学家而不是实干家。
拿最基本的直线的例子说，这哥们的 “两点一直线” 的最大问题，就是不能 beyond
arms reach，两个点都在沙滩上。所以最后也没挡住罗马海军。
而牛顿这哥们，更多的是个实干家。
而实干家则认为，在解析几何里，直线的 point-slope (rise-over-run) 概念是基石。
这是因为奥运女子七项全能选手 Jessica Ennis-Hill 说，只有 point-slope 的概念
，才能让标枪 (javelin) 可以 beyond arm's reach。（滚动字幕：欧几里德老哥的“
两点一直线”早犯规出局啦啦啦，这哥们以为是一百米比赛，直接跑到标枪落点！！）。
而 Piaget 老先生说，这就是人类进化史上 object-permanence 这种大杀器的威力。
老虎狮子既跑不过标枪，又扛不住标枪，只有跪舔一条路！
但是英王詹姆士II说，Jessica Ennis-Hill 这小蛮妞，就比蛮力扔的远，准头不行。
但我们皇家海军揍西班牙无敌舰队，舰炮光远不行，更重要的是准。但这标枪地面投影
是... 阅读全帖 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 39 AMC 10 确实没有抛物线，抛物线解析几何是 AMC 12。
AMC 10 也没有对数。
但 AMC 10 没有 spiral 的姿势，上来就打砸抢。
：你们都AIME了居然进度还没学校快，那学校得快成啥样啊？
：我看AMC 10的题目里也没多少二次方程抛物线啊 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 40 当然我大力支持学校 spiral 抛物线，多项式相除方程，对数，等等。
这省我好多事，将来我只要需要时指点一下大娃就行。
虽然我确实是评论了有改进的地方，但评论就是支持。
这就好比马工直接把 beta release 直接给放出去（这事儿马工经常干，不就是把标签
改成 release 1.0 么？），有一堆 bug 进来的话，说明很多人在用，将来好日子就不
远啦。
另外隔壁有谁家娃想上 AMC 12，也不用教了，直接刷就是了。
：AMC 10 确实没有抛物线，抛物线解析几何是 AMC 12。
： |
|
f**********g
发帖数: 4709 | 41 我就不buy这个spiral. 只知道几个大名词，既不知道具体怎么回事儿，也不会用。纯
粹培养ppt领导的架势。
看你们数学快班AMC 8也没几个十分以上就知道效果如何了。
你觉得还行不过是因为你们家还有课外补习，把欠缺的那部分补上了。
: 当然我大力支持学校 spiral 抛物线，多项式相除方程，对数，等等。
: 这省我好多事，将来我只要需要时指点一下大娃就行。
: 虽然我确实是评论了有改进的地方，但评论就是支持。
: 这就好比马工直接把 beta release 直接给放出去（这事儿马工经常干，不就是
把标签
: 改成 release 1.0 么？），有一堆 bug 进来的话，说明很多人在用，将来好日
子就不
: 远啦。
: 另外隔壁有谁家娃想上 AMC 12，也不用教了，直接刷就是了。
: ：AMC 10 确实没有抛物线，抛物线解析几何是 AMC 12。
: ：
|
|
t******l
发帖数: 10908 | 42 回到数学问题上，比如解析几何直线的 point-slope 概念（其中 slope 是 rise-over
-run），其实就是 chunking。
而区别于 “死记硬背直线方程型 chunking” 的区别，就是 domain-specific vs
domain-
general。争议的说，point-slope 的 chunking，可以一直延伸到 微积分/运动学/甚
至曲面几何等等的 perceptual processing。
而死记硬背直线方程的 chunking，you know，高考考完就可以 decay 了。// run
类似的，complete a square vs 二次方程求根公式。
当然，domain-specific chunking 也有其优点，最大的优点就是迅速准确。
其实我自己高考绝对不会去 complete a square 或者 point-slope，直接考前把公式
给背个滚瓜烂熟，然后高考备考一年把题目给刷成滚瓜烂熟用脊髓就可以刷刷刷做完。
否则我就是大沙比。
但高考一旦考完，我立马跑到数学老师那里，把那些公式统统还给高中数学老师。而高
中数学... 阅读全帖 |
|
d****g
发帖数: 7460 | 43 上海市特级校长、数学特级教师。原上海中学校长；原中国教育学会副会长；原上海市
数学学会副理事长；现任教育部基础教育课程教材专家工作委员会副主任、上海市基础
教育国际课程比较研究所所长。
如何发现孩子的数学天分？
思维的跳跃性和缜密性的完美结合
首先，我们要明确一个概念，对孩子早期能力的识别是一个非常困难的工作，同时
也是世界性的难题。期望通过一种明确的方法或者测试来判断是不现实的。
在承认第一点的基础上，基于我从实践视角的多年研究，数学学习能力较强的孩子
往往体现为思维的跳跃性和缜密性的完美结合。
这些孩子都具有一种比较强的数学想象能力，他们能突破原有思维框架，找出新的
问题解决思路，新的问题解决方法。
比如面对一个数学问题，有时候数学能力强的孩子会有一种直觉，让他们可以跳过
很多逻辑推导的步骤，一下子看到不同概念之间的内在联系，从而迅速推导出结论。
这种思维跳跃而且能够跳得正确的能力，就是一种数学学习能力的天分。
当然，孩子们是多样化的，有些孩子在数学领域有天分，有些孩子在其他领域有天
分。并且，有天分的孩子也并不一定就会做出成就，还需要其他的因素，尤其是意志品
质。
比如在碰到数学... 阅读全帖 |
|
r****p
发帖数: 1854 | 44 我现在做的这个project和我以前背景差异很大， 于是supervisor常常对我的能力极不
信任。我申请的时候CV又没有作假，你既然招我来就应该用人不疑。他对我能力的不信任，
甚至包括这个project中要涉及到我以前专业的某些问题，他也要干涉。有些甚至是我以
前专业高中生水平的问题，也要坚持己见指手画脚。其实吧，对其他专业高中水平的知
识忘记了其实也不奇怪，我也不记得高中解析几何，三角函数了。但是你要不懂装懂，
就很可笑了。
我现在写到这里的第1一篇文章，完全是按照我自己摸索的思路作出来的。其中此人不
能说一点有用的建议没有，但是在最关键的几个问题,整个paper的逻辑结构上,一直和
我分歧很大.最后在我铁的数据面前，不得不说“You did more than I asked...."
原来以为这个事情过后，对我的态度会有所改变。没想到他能做到如此严格的“对事不
对人”，很快又固态萌发到对我不信任的状态。前两天看到了一片paper, 觉得对于解
决目前一个问题有些帮助，于是我发了一封邮件给他并且attach了paper. 得到回复如下
XX:
Although trying t |
|
S***J
发帖数: 1210 | 45 你更猛，解析几何都初中完成了！
我觉得这个没啥不实用的，小孩只要脑子够用，多学点以后兴趣更容易建立。当然，也
要注意别教成小书呆。
反正就是如果你真想让你家娃成大事（不是教授档次的，指各行业的顶尖人物），小时
候是绝对不能给他什么狗屁快乐童年的。 |
|
发帖数: 1 | 46 学奥数的中年人---非常真实的国内写照 珍惜生命远离国内
原创 2017-09-22 十三姐 格十三
我不知道你们啊，反正我经常是挺佩服我家孩子。
若时光倒流，让我回到童年，过上和他一样的日子，我是拒绝的。
毕竟那个时候我所有的知识储备都来源于正儿八经的学校，上个学就仿佛拥有了全世界
，不光掌握了全部升学所用的语数外知识，还认识了张海迪赖宁焦裕禄孔繁森以及雷锋
，精神世界是饱满的，知识体系是完善的，平等的。当年上学的孩子都算是国家的好苗
子，我们才是真正的国家教育培养出来的一代。
到我家娃这一代，国家只能给你在白天托管一下打个根基，开枝散叶得自寻出路，得靠
晚上和周末、节假日、寒暑假拔高自己，学校里能考第一没啥光荣的，没有奥数证书口
语证书考级证书的少年儿童，都不是祖国的好苗苗了，就像缩在灌木丛里的矮树，永远
也挤不进胡杨林。
除了佩服孩子，我还挺羡慕我爸妈。
毕竟这二三十年来我爸妈每天晚上最后一道工序就是吃饭。晚饭后的自由活动时间可以
遛弯、看电视、串门、聊天、赞扬国家赞美党、憧憬未来。
还有他们的双休日一派祥和，周六的早上我妈喜欢放一段图兰朵的黑胶碟，兴高采烈地
做早餐、拖地板、洗... 阅读全帖 |
|
f******d
发帖数: 6361 | 47 谨以此文与正在攻读数学phd的马有图贤弟共勉：）
【 以下文字转载自 History 讨论区 】
发信人: Communipig (共产猪), 信区: History
标 题: 费尔马大定理
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Oct 6 22:26:48 2011, 美东)
http://my.cnd.org/modules/wfsection/article.php?articleid=30156
·叶 厚·
1. Pythagoras Theorem
这要从公元前六世纪古希腊的毕达哥拉斯讲起。
那时候的天空比现在的洁净，海水比现在的蓝。年轻的毕达哥拉斯周游列国，据说他往
西到过不列颠，往东到过印度。到印度恐怕只是传说。他是孜孜不倦的学生，在世界各
地学习各种技术，比如巴比伦人交易中用的算术，埃及人测量大地的方法。他有个奇异
的信念，就是这些琐碎复杂的技术后面有个永恒的无处不在的力量。他把它叫成“哲学
”。
二十年之后他扬帆回到家乡。这是爱琴海中的一个小岛--萨莫斯。他计划成立一个哲学
学校，但没能实现。博学的毕达哥拉斯被委以重任，致使他公务繁忙。他随即离开萨莫
斯，到遥远... 阅读全帖 |
|
c*********o
发帖数: 8367 | 48 教育部官员展示中国高考数学题 外国学者一片惊呼
新闻来源: 中国新闻网 于October 22, 2013 14:58:14 敬请注意:新闻取自各大新闻媒
体,观点内容不代表本网立场!
中新网北京10月22日电(记者 马海燕)“英国大学一年级的数学考题是勾股定理，中
国高考的几何题需要做出这么多辅助线。”当教育部发展研究中心主任张力今日把两道
考题展示给参加第六届北京可持续发展教育国际论坛的的中外来宾时，白头发的外国学
者都发出一片惊呼，中国学者却默然。
大屏幕的上方，是英国大学新生的数学题，直角三角形的直角两边分别是3厘米和4
厘米，问斜边长多少；而中国的高考数学题，则让很多人一时间都没看明白求解什么，
一个复杂的几何图形，中间划着至少四条辅助线，而经历过立体几何和解析几何折磨的
中国学生也需要好一会儿才能划出中间几道辅助线。
张力说，中国的高考数学题拿给英国学生有一半都不及格，而英国的考题我们初中
一年级的学生就会，但是否就意味着我们的教育更具优势呢？2009年由经济合作与发展
组织进行的一项关于15岁国际学生评估项目的测试中，中国上海的学生第一次参与就获
得第一名，当时颇为轰动。... 阅读全帖 |
|
b*******k
发帖数: 175 | 49 樱花盛开到了巅峰，眼看着要走下坡路了，大家显是格外地惜疼起这粉霞绯云来。凡
是有几棵象样的樱花树的，底下少不了携家带眷或成双成对的人儿边喝酒吃茶或品寿司边
聊天。这个季节周末还泡图书馆沉在书堆里直不起腰的，只有欧这类苦命的考生了。
对于同样不得不与樱花失之交臂的人，偶颇感同情。今天被欧同情的，是坐在对面的
两个高中生。欧休息的时候看过去，男孩瘦高个，戴了个棒球帽，龙长脸白皮肤，很显清
秀。女孩身量小巧，一头爽洁的短发，鹅蛋脸，皮肤较那男孩更为白里透红，泛着只有16
、17岁的年纪的女孩才有的那种光泽。两人正解一大堆解析几何题。那女孩书写利索，显
然比那男孩有优势，不久就解答完毕了，便坐着默默地等那男孩做完。等了一会儿，眼看
那男孩还有一堆没做完，那女孩似乎不堪静坐，蹭着脚跟在阅览室里踱了几个圈，忽然好
像想到什么，又赶回来巴巴地望望男孩，然后又踱了过去。
好一会儿，男孩也终于做完了，女孩跑过来，皱着眉头看了男孩本子一会儿，拿过铅
笔在男孩本子上划抹起来。那男孩看着女孩抹划，讪讪地笑了。女孩拿细细白白的手指用
力戳了一下男孩的脑门，差点把男孩的棒球帽给带下来，显是 |
|
F****P
发帖数: 2049 | 50 高中好多东西现在我都不会了。比如解析几何。。现在绝对做不出了。 |
|
