f**********d
发帖数: 4960 | 1 设f(x)=\int_{-\infty}^{x} N(0,1) dt, 其中N(0,1)是标准正态分布，
则f(x)在从-infty到0上的积分有限么？
哪位知道？？？ | s**********e
发帖数: 33562 | 2 感觉应该是有限的，因为高斯分布的CDF在x很小的时候降得非常快（具体的上界我记不
清了）
【在 f**********d 的大作中提到】
: 设f(x)=\int_{-\infty}^{x} N(0,1) dt, 其中N(0,1)是标准正态分布，
: 则f(x)在从-infty到0上的积分有限么？
: 哪位知道？？？
| R*******t
发帖数: 574 | 3 f(x)=CDF(N(0,1)),画出来像个S线（左边趋近0，右边趋近1），只要积分到一个有限的
数，其下的面积（也就是它的积分）都是有限的。
【在 f**********d 的大作中提到】
: 设f(x)=\int_{-\infty}^{x} N(0,1) dt, 其中N(0,1)是标准正态分布，
: 则f(x)在从-infty到0上的积分有限么？
: 哪位知道？？？
| s**********e
发帖数: 33562 | 4 但是这不是对PDF积分，下面的面积未必有限（虽然我认为应该是有限的）。。。
【在 R*******t 的大作中提到】
: f(x)=CDF(N(0,1)),画出来像个S线（左边趋近0，右边趋近1），只要积分到一个有限的
: 数，其下的面积（也就是它的积分）都是有限的。
| R*******t
发帖数: 574 | 5 是对CDF，不是PDF。PDF积分肯定是有限的，最多就是1。CDF积到inf就是无限的，但是
积到任何一个有限的数（不管是0还是1000000000....）都是有限的。
【在 s**********e 的大作中提到】
: 但是这不是对PDF积分，下面的面积未必有限（虽然我认为应该是有限的）。。。
| T*******g
发帖数: 2322 | 6 楼主说的N(0,1)是pdf?
如果是的话，积分是有限的。 | f****x
发帖数: 121 | 7 The integral = E[-X I(X<=0)]= 1/sqrt(2*pi), where X~ N(0,1).
You can also use Monte-Caro method to estimate this integral.
【在 f**********d 的大作中提到】
: 设f(x)=\int_{-\infty}^{x} N(0,1) dt, 其中N(0,1)是标准正态分布，
: 则f(x)在从-infty到0上的积分有限么？
: 哪位知道？？？
| A******D
发帖数: 1075 | 8 楼主，这积分肯定是有限的。这个是可以证明的。
首先是看|x|^{-n}这样的函数。对这个函数积分，如果n>=2则有限，n<2则无限。而|x|
^{-n}这样的函数是从|x|^{-n-1}积分来的。就是说，如果你的正态分布的尾巴的衰减
速率超过|x|^{-3}，那么你说的积分是有限的。而正态分布的尾巴比指数衰减还要快，
更不要说比|x|^{-3}快了。所以积分有限。把这段话用数学语言写出来，就是证明了。 | s**********e
发帖数: 33562 | 9 呵呵，俺这里提供一个严格的证明：
首先以下不等式是成立的（可以直接引用 p.99, S. Verdu, Multiuser Detection,
Cambridge, 1998）
F(x)=\int_{-\infty}^x g(t)dt\leq 1/2e^{\sqrt{2/\pi}x}, x<0,
其中g(t)是标准高斯PDF。既然上界是指数衰减的，那么积分是有限的。
其实我们也可以引用下面的不等式：
F(x)\leq 1/2e^{-x^2/2}
x|
【在 A******D 的大作中提到】
: 楼主，这积分肯定是有限的。这个是可以证明的。
: 首先是看|x|^{-n}这样的函数。对这个函数积分，如果n>=2则有限，n<2则无限。而|x|
: ^{-n}这样的函数是从|x|^{-n-1}积分来的。就是说，如果你的正态分布的尾巴的衰减
: 速率超过|x|^{-3}，那么你说的积分是有限的。而正态分布的尾巴比指数衰减还要快，
: 更不要说比|x|^{-3}快了。所以积分有限。把这段话用数学语言写出来，就是证明了。
| n***p
发帖数: 7668 | 10 可以分部积分把它算出来,见
http://www.mitbbs.com/article0/Mathematics/31192011_0.html
【在 s**********e 的大作中提到】
: 呵呵，俺这里提供一个严格的证明：
: 首先以下不等式是成立的（可以直接引用 p.99, S. Verdu, Multiuser Detection,
: Cambridge, 1998）
: F(x)=\int_{-\infty}^x g(t)dt\leq 1/2e^{\sqrt{2/\pi}x}, x<0,
: 其中g(t)是标准高斯PDF。既然上界是指数衰减的，那么积分是有限的。
: 其实我们也可以引用下面的不等式：
: F(x)\leq 1/2e^{-x^2/2}
:
: x|
| R*******t
发帖数: 574 | 11 正解。这个就是个高斯CDF的积分。
LZ问的积分上限是0，或者如果这个上限是个负数，积分结果的表达式就是你给出的这
样的。
如果上限是个正数，要以0分界积分，正数这部分要变号，不过也可以有明确的表达式。
当上限是无穷的时候，这个积分才会无限。
【在 n***p 的大作中提到】
: 可以分部积分把它算出来,见
: http://www.mitbbs.com/article0/Mathematics/31192011_0.html
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