H********g
发帖数: 43926 | 1 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: btphy (btphy), 信区: Military
标 题: 我来证明一下1+2+4+8+...=-1
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Oct 24 23:43:29 2017, 美东)
关于
1+2+4+8+16+...= -1
这个等式，很多小朋友喊错了错了，这个级数发散不收敛，所以递推公式不能用，blah
，blah，blah。其实这些人是只知其一不知其二。
这个求和当然是完全正确的。所谓的级数发散，只是说你习惯的方法不能用了，不代表
解不存在，只不过你没找到求解的方法而已。
我就花一点点时间，证明给这些小朋友们看看，让你们心服口服。
定义一个函数：
f(z, x) = 1/(1-z) + (x-z)/(1-z)^2 +(x-z)^2/(1-z)^3+ (x-z)^3/(1-z)^4+ ...
首先需要注意的是这个函数其实是和z无关的，也就是说变化z并不变化f(z,x)。这只需
要将f(z,x)对z求导即可发现：
df(z,x)/dz= 1/(1-z)^2
-1/(1-z)^2+2(x-z)/(1-z)^3
-2(x-z)/(1-z)^3+3(x-z)^2/(1-z)^4
-3(x-z)^2/(1-z)^4+4(x-z)^3/(1-z)^5
+... = 0
所以f(z, x)其实只和x有关。
现在考虑f(z, 2)。如果取z：
f(0,2)=1+2+2^2+2^3+...
正是开头的求和，表面上看这个求和发散无意义。但是若取z=3，则
f(3,2)= -1/2 -1/4 -1/8- ...
这个求和无歧义 f(3, 2)=-1，不知道怎么算的复习高中数学。
因为f(3,2)=f(0,2)，因此
1+2+4+8+...=-1/2-1/4-1/8-...=-1 | H********g
发帖数: 43926 | 2 导数最后一项不是没法消掉么？所以这个导数不是应该等于
limit (n-> infinity) n*[(x-z)^(n-1)/(1-z)^(n+1)]
么？ | l*******s
发帖数: 7316 | 3 绕了一圈，那个函数还是在很大的区域内不收敛。
f(z,x)只在 ||x-z||<||1-z||的区域内有有限值，
在||x-z||>=||1-z||的区域内为∞。
结果在这些不收敛的区域直接就认定 df/dz=0了。
还有一个明显的奇点z=1， f(1,x)=∞,
然后也认定 df(z=1,x)/dz=0了。
其实没有x满足：
df(z->1+,x)/dz=df(z->1-,x)/dz=0
就算有这样的x存在，
也不能认为 f(z->1+,x)=f(z->1-,x)。
中间有个明显既不等于f(z->1+,x)，也不等于f(z->1-,x)的f(1,x)。
所以f(z->1+,x)到f(z->1-,x)完全可以有跳跃。
【在 H********g 的大作中提到】
: 导数最后一项不是没法消掉么？所以这个导数不是应该等于
: limit (n-> infinity) n*[(x-z)^(n-1)/(1-z)^(n+1)]
: 么？
| l*******s
发帖数: 7316 | 4 这个函数在||x-z||<||1-z||的区域内存在df(z,x)/dz=0,
在||x-z||>=||1-z||的区域内为无穷。
（3，2）在 ||x-z||<||1-z||内
（0，2）在 ||x-z||>=||1-z||内
所以LZ不管扯什么复数都不可能存在任何方式把（3，2）和（0，2）连接起来
而不经过df(z,x)/dz不存在的区域。
所以LZ说df(z,x)/dz=0 在除z=1的其他任何地方都成立就是胡扯。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 绕了一圈，那个函数还是在很大的区域内不收敛。
: f(z,x)只在 ||x-z||<||1-z||的区域内有有限值，
: 在||x-z||>=||1-z||的区域内为∞。
: 结果在这些不收敛的区域直接就认定 df/dz=0了。
: 还有一个明显的奇点z=1， f(1,x)=∞,
: 然后也认定 df(z=1,x)/dz=0了。
: 其实没有x满足：
: df(z->1+,x)/dz=df(z->1-,x)/dz=0
: 就算有这样的x存在，
: 也不能认为 f(z->1+,x)=f(z->1-,x)。
| c****o
发帖数: 317 | 5 哪有那么麻烦，设原式=x，则2x+1=x，x=-1 |
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