m********7
发帖数: 104 | 1 f在[0，1]连续且满足对任意(0,1)上的x,{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2 ---> 0 as h-->
0
证明f是线性函数 |
r****y
发帖数: 1437 | 2
because d^2f/dx^2 = 0 ah, so
f can be at most a linear function ah.
->
【在 m********7 的大作中提到】
: f在[0，1]连续且满足对任意(0,1)上的x,{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2 ---> 0 as h-->
: 0
: 证明f是线性函数
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m********7
发帖数: 104 | 3 好像没有这么容易吧。。。
【在 r****y 的大作中提到】
:
: because d^2f/dx^2 = 0 ah, so
: f can be at most a linear function ah.
:
: ->
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l*****e
发帖数: 238 | 4 twice differentiability does not come for free
【在 r****y 的大作中提到】
:
: because d^2f/dx^2 = 0 ah, so
: f can be at most a linear function ah.
:
: ->
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m****n
发帖数: 45 | 5 分母应该是h^2吧
->
【在 m********7 的大作中提到】
: f在[0，1]连续且满足对任意(0,1)上的x,{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2 ---> 0 as h-->
: 0
: 证明f是线性函数
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m********7
发帖数: 104 | 6 是，不好意思...
【在 m****n 的大作中提到】
: 分母应该是h^2吧
:
: ->
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r****y
发帖数: 1437 | 7 construct Taylor expansion for f(x+h), f(x-h), and f(x)(which is
trival)
at x0 = x; and use the condition... to show f''(x) = 0, for all x.
That condition is exactly the central difference scheme for 2nd-
order derivative.
【在 m********7 的大作中提到】
: 好像没有这么容易吧。。。
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H****h
发帖数: 1037 | 8 好题目。哪里找的？
->
【在 m********7 的大作中提到】
: f在[0，1]连续且满足对任意(0,1)上的x,{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2 ---> 0 as h-->
: 0
: 证明f是线性函数
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H****h
发帖数: 1037 | 9 感觉像是差分方程课的入门习题。不过我没有学过。
【在 r****y 的大作中提到】
: construct Taylor expansion for f(x+h), f(x-h), and f(x)(which is
: trival)
: at x0 = x; and use the condition... to show f''(x) = 0, for all x.
: That condition is exactly the central difference scheme for 2nd-
: order derivative.
:
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m****n
发帖数: 45 | 10 you only know f(x) is continuous
how do you do Taylor expansion of f(x)?
【在 r****y 的大作中提到】
: construct Taylor expansion for f(x+h), f(x-h), and f(x)(which is
: trival)
: at x0 = x; and use the condition... to show f''(x) = 0, for all x.
: That condition is exactly the central difference scheme for 2nd-
: order derivative.
:
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r*****r
发帖数: 630 | 11 take polynomials converges uniformly to f?
->
【在 m********7 的大作中提到】
: f在[0，1]连续且满足对任意(0,1)上的x,{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2 ---> 0 as h-->
: 0
: 证明f是线性函数
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r****y
发帖数: 1437 | 12 I do not know. assume some math geek here can prove it is
differentiable with that condition???
【在 m****n 的大作中提到】
: you only know f(x) is continuous
: how do you do Taylor expansion of f(x)?
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t******n
发帖数: 14 | 13 Based on the known condition, one can prove that f is first-order derivative
continuous (Just treat the condition as the minus of f'(x+) and f'(x-)).
Then the condition is actual the definition of a second-order derivative.
Prove done.
->
【在 m********7 的大作中提到】
: f在[0，1]连续且满足对任意(0,1)上的x,{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2 ---> 0 as h-->
: 0
: 证明f是线性函数
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x******i
发帖数: 3022 | 14 1。 考虑一个很小的正数a，考虑x \in S :＝ [a,1-a], h \in [-a/2,a/2]
令G(x,h)=(f(x+h)+f(x-h)-2f(x))/h^2
则G(x,h)为S上的连续函数，并且知G(x,h) -> 0, h->0
可以证明，此为一致收敛，即对任意eps,存在N，只要|h|<1/（N－1），|G(x,h)|
对于任意x \in [a,1-a]
2。现在把[a,1-a]等分成N份f1,f2, ..., fN。并且定义
k1=(f2-f1)/(L/(N-1))
k2=(f3-f2)/(L/(N-1))
...
这里L=1-a-a=1-2a
则可以证明
|ki - k(i+1)| <= eps*/N
所以对于任意ki,kj,得到
|ki-kj|<=eps
如果定义k0 = (fN-f1)/L
则可以证明，对于任何i
|ki-k0|
从此不难得到
任何一个fi，与由f1和fN定义得到的线性函数在该点值之差
不大于L*eps
3。因为eps可以任取，所以得知f在[a,1-a]上是线性函数。
4。因为a可以任取，并且f在0，1处连续，所以f是[0,1
【在 m********7 的大作中提到】
: f在[0，1]连续且满足对任意(0,1)上的x,{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2 ---> 0 as h-->
: 0
: 证明f是线性函数
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H****h
发帖数: 1037 | 15 这个一致收敛的证明给些细节。
eps
【在 x******i 的大作中提到】
: 1。 考虑一个很小的正数a，考虑x \in S :＝ [a,1-a], h \in [-a/2,a/2]
: 令G(x,h)=(f(x+h)+f(x-h)-2f(x))/h^2
: 则G(x,h)为S上的连续函数，并且知G(x,h) -> 0, h->0
: 可以证明，此为一致收敛，即对任意eps,存在N，只要|h|<1/（N－1），|G(x,h)|: 对于任意x \in [a,1-a]
: 2。现在把[a,1-a]等分成N份f1,f2, ..., fN。并且定义
: k1=(f2-f1)/(L/(N-1))
: k2=(f3-f2)/(L/(N-1))
: ...
: 这里L=1-a-a=1-2a
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x******i
发帖数: 3022 | 16
分特，好像不是很容易搞定
还是留给你们专业人士吧。
【在 H****h 的大作中提到】
: 这个一致收敛的证明给些细节。
:
: eps
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H****h
发帖数: 1037 | 17 我也不会。
【在 x******i 的大作中提到】
:
: 分特，好像不是很容易搞定
: 还是留给你们专业人士吧。
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x******i
发帖数: 3022 | 18
说不定有反例。
【在 H****h 的大作中提到】
: 我也不会。
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g******a
发帖数: 69 | 19 这样或许可以：
Let g=f+\epsilon x^2.
Then for any x
\lim [g(x+h)+g(x-h)-2g(x)]/h^2=2\epsilon>0 (*).
Next show that g must be convex.
If not, after subtracting a linear function, there
exists g(a)=g(b)=0
We reach a contradiction at point c.
Sending \epsilon to 0 shows that f is also convex.
Similarly, f is concave. So f must be linear.
【在 x******i 的大作中提到】
:
: 说不定有反例。
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H****h
发帖数: 1037 | 20 牛啊。你这个工具是最大值原理的那套东西吧。
【在 g******a 的大作中提到】
: 这样或许可以：
: Let g=f+\epsilon x^2.
: Then for any x
: \lim [g(x+h)+g(x-h)-2g(x)]/h^2=2\epsilon>0 (*).
: Next show that g must be convex.
: If not, after subtracting a linear function, there
: exists g(a)=g(b)=0: We reach a contradiction at point c.
: Sending \epsilon to 0 shows that f is also convex.
: Similarly, f is concave. So f must be linear.
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n******t
发帖数: 4406 | 21 我觉得那个条件应该等于对任意x \in (0,1)
和任意的(x-a,x+a) \subset [0,1],
a*(f(x+a)+f(x-a)) = \int^{x+a}_{x-a}f(x)dx
而这个条件等价于f(x)是线性函数。
【在 H****h 的大作中提到】
: 我也不会。
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g******a
发帖数: 69 | 22 对，没错。
【在 H****h 的大作中提到】
: 牛啊。你这个工具是最大值原理的那套东西吧。
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x*****d
发帖数: 427 | 23 酷
【在 g******a 的大作中提到】
: 这样或许可以：
: Let g=f+\epsilon x^2.
: Then for any x
: \lim [g(x+h)+g(x-h)-2g(x)]/h^2=2\epsilon>0 (*).
: Next show that g must be convex.
: If not, after subtracting a linear function, there
: exists g(a)=g(b)=0: We reach a contradiction at point c.
: Sending \epsilon to 0 shows that f is also convex.
: Similarly, f is concave. So f must be linear.
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B********e
发帖数: 10014 | 24 昨天构造了一天反例，脑袋都疼了，吼吼
木想到啊木想到被你搞得这么简单，敬个礼
【在 g******a 的大作中提到】
: 这样或许可以：
: Let g=f+\epsilon x^2.
: Then for any x
: \lim [g(x+h)+g(x-h)-2g(x)]/h^2=2\epsilon>0 (*).
: Next show that g must be convex.
: If not, after subtracting a linear function, there
: exists g(a)=g(b)=0: We reach a contradiction at point c.
: Sending \epsilon to 0 shows that f is also convex.
: Similarly, f is concave. So f must be linear.
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x******i
发帖数: 3022 | 25
牛。
数学太神奇了。
【在 g******a 的大作中提到】
: 这样或许可以：
: Let g=f+\epsilon x^2.
: Then for any x
: \lim [g(x+h)+g(x-h)-2g(x)]/h^2=2\epsilon>0 (*).
: Next show that g must be convex.
: If not, after subtracting a linear function, there
: exists g(a)=g(b)=0: We reach a contradiction at point c.
: Sending \epsilon to 0 shows that f is also convex.
: Similarly, f is concave. So f must be linear.
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