x******g
发帖数: 318 | 1 已知a1,a2...,an均为正有理数，且a1^(1/k1),a2^(1/k2)...an^(1/kn)(k1,k2...kn都是正整数)
都是无理数
猜想：a1^(1/k1)+....an^(1/kn)也是无理数
我怀疑这是代数里的一个平凡结论，但是我想不起来怎么做:( | l*****e
发帖数: 65 | 2
是正整数)
我来抛砖引玉吧。设a1^(1/k1)+....an^(1/kn)=q 为有理数。
首先，不妨假设k1=k2=...=kn=n, 取他们的最小公倍数即可，反正{a_i}^{n/k_i}依然是
正有理数。
其次，考虑a_i/{q^n},可以假设q=1,反正a_i^{1/n}/q依然是正无理数。
再者，把a_i们的公分母b移到等式右边， 得 (a_1)^{1/n}+...+(a_k)^{1/n}=b^{1/n},其
中a_i,b 都是正整数，且{a_i/b}^{1/n}不是有理数。
两边同时n次幂，用牛顿二次展开式，得。。。。。。
把左边的式子中正整数都销去，剩下的项依然形如(x_i)^{1/n},x_i正整数，只是右边现
在为正整数。所以你的问题是：
(a_1)^{1/n}+...+(a_k)^{1/n}=b，其中a_i,b 都是正整数，且{a_i}^{1/n}不是整数。这
种方程无解。
这个看上去好像Fermat大定理，不知哪位高手搞掂她。
【在 x******g 的大作中提到】
: 已知a1,a2...,an均为正有理数，且a1^(1/k1),a2^(1/k2)...an^(1/kn)(k1,k2...kn都是正整数)
: 都是无理数
: 猜想：a1^(1/k1)+....an^(1/kn)也是无理数
: 我怀疑这是代数里的一个平凡结论，但是我想不起来怎么做:(
| x******g
发帖数: 318 | 3
里可以直接得出如果b^(1/n)不是整数就一定是无理数了，根据b是整数
另外你化的那个形式似乎和费马定理没什么关系
中a_i,b 都是正整数，且{a_i/b}^{1/n}不是有理数。
【在 l*****e 的大作中提到】
:
: 是正整数)
: 我来抛砖引玉吧。设a1^(1/k1)+....an^(1/kn)=q 为有理数。
: 首先，不妨假设k1=k2=...=kn=n, 取他们的最小公倍数即可，反正{a_i}^{n/k_i}依然是
: 正有理数。
: 其次，考虑a_i/{q^n},可以假设q=1,反正a_i^{1/n}/q依然是正无理数。
: 再者，把a_i们的公分母b移到等式右边， 得 (a_1)^{1/n}+...+(a_k)^{1/n}=b^{1/n},其
: 中a_i,b 都是正整数，且{a_i/b}^{1/n}不是有理数。
: 两边同时n次幂，用牛顿二次展开式，得。。。。。。
: 把左边的式子中正整数都销去，剩下的项依然形如(x_i)^{1/n},x_i正整数，只是右边现
| x******g
发帖数: 318 | 4 我现在要解决一般的2个数的和的问题
设A=a1^(1/k1),B=a2^(1/k2)
则
Q(A,B)/Q(A+B)<=min{deg(f1),deg(f2)}
而Q(A,B)/Q>=max{deg(f1),deg(f2)}
(f1,f2分别为A,B的最小多项式.)
如果deg(f1)不等于deg(f2)
那么Q(A,B)/Q(A+B)
所以A+B不是有理数
【在 x******g 的大作中提到】
: 已知a1,a2...,an均为正有理数，且a1^(1/k1),a2^(1/k2)...an^(1/kn)(k1,k2...kn都是正整数)
: 都是无理数
: 猜想：a1^(1/k1)+....an^(1/kn)也是无理数
: 我怀疑这是代数里的一个平凡结论，但是我想不起来怎么做:(
| x******g
发帖数: 318 | 5 我想我已经差不多找到了证明
思路如下
1.Q(a1^(1/k1),a2^(1/k2),....an^(1/kn))是一个单纯代数扩张
2.甚至这个式子也是成立的：Q(a1^(1/k1),...an^(1/kn))=Q(a1^(1/k1)+...an^(1/kn))
如果上面的两个式子能得到证(第一个式子证明很容易,实际上特征数是零的体的
有穷次体都是单扩张体；
第二个式子应该也不难，不过我还没有想到)
么剩下的结论就是显然得了
【在 x******g 的大作中提到】
: 我现在要解决一般的2个数的和的问题
: 设A=a1^(1/k1),B=a2^(1/k2)
: 则
: Q(A,B)/Q(A+B)<=min{deg(f1),deg(f2)}
: 而Q(A,B)/Q>=max{deg(f1),deg(f2)}
: (f1,f2分别为A,B的最小多项式.)
: 如果deg(f1)不等于deg(f2)
: 那么Q(A,B)/Q(A+B): 所以A+B不是有理数
| x******g
发帖数: 318 | 6 该猜想最近被一个高一(开学高二)的同学证明了，用到的代数知识
很初等，不过我不能web登陆这里
不过我把答案贴在了这里：
http://218.1.231.240/iqbbs/dispbbs.asp?boardID=9&ID=151306&star=2&page=1
【在 x******g 的大作中提到】
: 已知a1,a2...,an均为正有理数，且a1^(1/k1),a2^(1/k2)...an^(1/kn)(k1,k2...kn都是正整数)
: 都是无理数
: 猜想：a1^(1/k1)+....an^(1/kn)也是无理数
: 我怀疑这是代数里的一个平凡结论，但是我想不起来怎么做:(
| T*******x
发帖数: 8565 | 7
这个不就是你上次贴的答案吗？这是你证明的还是那个高一学生证明的？
都是正整数)
【在 x******g 的大作中提到】
: 该猜想最近被一个高一(开学高二)的同学证明了，用到的代数知识
: 很初等，不过我不能web登陆这里
: 不过我把答案贴在了这里：
: http://218.1.231.240/iqbbs/dispbbs.asp?boardID=9&ID=151306&star=2&page=1
| n*******l
发帖数: 2911 | 8 也许他就是高一的学生。
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 这个不就是你上次贴的答案吗？这是你证明的还是那个高一学生证明的？
: 都是正整数)
| x******g
发帖数: 318 | 9 那里有两个证明，一个是用到加罗化理论的
一个不用
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 这个不就是你上次贴的答案吗？这是你证明的还是那个高一学生证明的？
: 都是正整数)
| x******g
发帖数: 318 | 10 不过并没有完全解决问题
只是证明了
k_i=2的情况
【在 x******g 的大作中提到】
: 该猜想最近被一个高一(开学高二)的同学证明了，用到的代数知识
: 很初等，不过我不能web登陆这里
: 不过我把答案贴在了这里：
: http://218.1.231.240/iqbbs/dispbbs.asp?boardID=9&ID=151306&star=2&page=1
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