x******g
发帖数: 318 | 1 靠近反而增加?
在平面上有若干面积相等的园
当它们靠的更近时，所有园的并是不是不会增加(面积)？
靠近是指每两个园的距离都小于等于原来的距离。 | B********e
发帖数: 10014 | 2 hehe,表达的太不清楚了吧?
你给出了'它'靠的更近的定义,但没有'它们'靠的更近的定义.
'若干'是从开始就固定的还是在变化?
【在 x******g 的大作中提到】
: 靠近反而增加?
: 在平面上有若干面积相等的园
: 当它们靠的更近时，所有园的并是不是不会增加(面积)？
: 靠近是指每两个园的距离都小于等于原来的距离。
| G***p
发帖数: 59 | 3 这个不会增加吧.
1)两个园互相靠近,并不会增加.
2)园转动对称,距离不改变,并不改变,交也不改变.
考虑最简单一种情况,只动一堆园里的一个,而且只减少它与一个园的距离(如果可能的话)
.其它的园视为环境,环境是设定的. 并是否增加,取决于交是否减少. 上述改变无法减少
此园跟环境的交,所以此园跟环境的并不会增加.
距离的改变可以认为是上面的重复.
QED
【在 x******g 的大作中提到】
: 靠近反而增加?
: 在平面上有若干面积相等的园
: 当它们靠的更近时，所有园的并是不是不会增加(面积)？
: 靠近是指每两个园的距离都小于等于原来的距离。
| x******g
发帖数: 318 | 4 开始是固定的，也就是有一个初始位置，然后在此基础上"靠近"
【在 B********e 的大作中提到】
: hehe,表达的太不清楚了吧?
: 你给出了'它'靠的更近的定义,但没有'它们'靠的更近的定义.
: '若干'是从开始就固定的还是在变化?
| x******g
发帖数: 318 | 5 大哥，你说得太玄乎了……
我完全看不懂
话)
少
【在 G***p 的大作中提到】
: 这个不会增加吧.
: 1)两个园互相靠近,并不会增加.
: 2)园转动对称,距离不改变,并不改变,交也不改变.
: 考虑最简单一种情况,只动一堆园里的一个,而且只减少它与一个园的距离(如果可能的话)
: .其它的园视为环境,环境是设定的. 并是否增加,取决于交是否减少. 上述改变无法减少
: 此园跟环境的交,所以此园跟环境的并不会增加.
: 距离的改变可以认为是上面的重复.
: QED
| w******o
发帖数: 442 | 6 当所有圆的圆心都落在一个圆里，这个圆的面积等于平面上任意一圆的面积，这时靠近，
会使所有圆的并增加。（俺对所有圆的并的理解是所有圆的交集。）
如果不是所有圆的圆心都落在一个这样圆里，则所有圆没有交集，所有圆的并为零。所
以不可能增加。
当然，当所有圆的圆心都落在一个圆里时，所有圆的并当圆靠近时增加。这个命题需要证
明。
【在 x******g 的大作中提到】
: 靠近反而增加?
: 在平面上有若干面积相等的园
: 当它们靠的更近时，所有园的并是不是不会增加(面积)？
: 靠近是指每两个园的距离都小于等于原来的距离。
| w******o
发帖数: 442 | 7 设圆的面积为A,当所有圆的圆心都落在一个面积为A的虚拟的圆内时,这个虚拟的圆的圆心
所能活动的范围为所有圆的并。（圆心所能活动的范围是指，当虚拟圆的圆心在这个范围
内，所有圆的圆心必在这个虚拟圆内。）（虚拟圆是俺的辅助园，不是原来平面上有的圆。）
现在需要证明，当所有圆靠近时，这个虚拟的圆的圆心所能活动的范围必定扩大。
1，必存在一个面积最小的虚拟圆，使所有圆的圆心落在这个虚拟圆内，则必有三个园的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
2，设其他点都不动，A移动到A'点，与其他点的距离都变小。设最小面积虚拟圆的圆心为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范围变大。
3，其他点之间的距离变小，会使虚拟圆A的圆心的活动范围变大或不变。
所以当所有圆靠近时，所有圆的并增加。
，
所
证
【在 w******o 的大作中提到】
: 当所有圆的圆心都落在一个圆里，这个圆的面积等于平面上任意一圆的面积，这时靠近，
: 会使所有圆的并增加。（俺对所有圆的并的理解是所有圆的交集。）
: 如果不是所有圆的圆心都落在一个这样圆里，则所有圆没有交集，所有圆的并为零。所
: 以不可能增加。
: 当然，当所有圆的圆心都落在一个圆里时，所有圆的并当圆靠近时增加。这个命题需要证
: 明。
| G***p
发帖数: 59 | 8 所有园的'并'=所有园的交集? 我还以为是所有园在平面覆盖的面积呢.
，
证
【在 w******o 的大作中提到】
: 当所有圆的圆心都落在一个圆里，这个圆的面积等于平面上任意一圆的面积，这时靠近，
: 会使所有圆的并增加。（俺对所有圆的并的理解是所有圆的交集。）
: 如果不是所有圆的圆心都落在一个这样圆里，则所有圆没有交集，所有圆的并为零。所
: 以不可能增加。
: 当然，当所有圆的圆心都落在一个圆里时，所有圆的并当圆靠近时增加。这个命题需要证
: 明。
| x******g
发帖数: 318 | 9 你的理解是正确的
但你的"证明"我看不懂
【在 G***p 的大作中提到】
: 所有园的'并'=所有园的交集? 我还以为是所有园在平面覆盖的面积呢.
:
: ，
: 证
| x******g
发帖数: 318 | 10 所有圆的并是指这些圆作为点集的并集
，
证
【在 w******o 的大作中提到】
: 当所有圆的圆心都落在一个圆里，这个圆的面积等于平面上任意一圆的面积，这时靠近，
: 会使所有圆的并增加。（俺对所有圆的并的理解是所有圆的交集。）
: 如果不是所有圆的圆心都落在一个这样圆里，则所有圆没有交集，所有圆的并为零。所
: 以不可能增加。
: 当然，当所有圆的圆心都落在一个圆里时，所有圆的并当圆靠近时增加。这个命题需要证
: 明。
| | | w******o
发帖数: 442 | 11 俺给出的只是说明并不是证明，证明要严谨的多。俺的陈述确实有点问题，俺已作了改正
。另外用文本作证明写起来很不方便。如需要你可给我信箱发信。
【在 x******g 的大作中提到】
: 你的理解是正确的
: 但你的"证明"我看不懂
| x******g
发帖数: 318 | 12
心
围
圆。）
的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上
，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
你假设的虚拟圆的面积不是A吗?怎么还有最小之说?
另外这个问题和原问题不一样的(不过我没细想这个问题是否好解决)
为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范
围变大。
【在 w******o 的大作中提到】
: 设圆的面积为A,当所有圆的圆心都落在一个面积为A的虚拟的圆内时,这个虚拟的圆的圆心
: 所能活动的范围为所有圆的并。（圆心所能活动的范围是指，当虚拟圆的圆心在这个范围
: 内，所有圆的圆心必在这个虚拟圆内。）（虚拟圆是俺的辅助园，不是原来平面上有的圆。）
: 现在需要证明，当所有圆靠近时，这个虚拟的圆的圆心所能活动的范围必定扩大。
: 1，必存在一个面积最小的虚拟圆，使所有圆的圆心落在这个虚拟圆内，则必有三个园的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
: 2，设其他点都不动，A移动到A'点，与其他点的距离都变小。设最小面积虚拟圆的圆心为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范围变大。
: 3，其他点之间的距离变小，会使虚拟圆A的圆心的活动范围变大或不变。
: 所以当所有圆靠近时，所有圆的并增加。
:
: ，
| w******o
发帖数: 442 | 13 this circle is not the circle with area A.
上
范
【在 x******g 的大作中提到】
:
: 心
: 围
: 圆。）
: 的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上
: ，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
: 你假设的虚拟圆的面积不是A吗?怎么还有最小之说?
: 另外这个问题和原问题不一样的(不过我没细想这个问题是否好解决)
: 为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范
: 围变大。
| w******o
发帖数: 442 | 14 which problem is different your problem? my process 1?
上
范
【在 x******g 的大作中提到】
:
: 心
: 围
: 圆。）
: 的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上
: ，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
: 你假设的虚拟圆的面积不是A吗?怎么还有最小之说?
: 另外这个问题和原问题不一样的(不过我没细想这个问题是否好解决)
: 为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范
: 围变大。
| x******g
发帖数: 318 | 15 我的问题是：当所有的圆心之间的距离不增时，它们的并的面积不增
你想解决的问题是：当所有的圆心之间的距离不增时，它们的交面积不减.
这两个问题不等价吧?
【在 w******o 的大作中提到】
: which problem is different your problem? my process 1?
:
: 上
: 范
| x******g
发帖数: 318 | 16 文中明明说的是这个虚拟圆……
那你是指哪个圆呢?
【在 w******o 的大作中提到】
: this circle is not the circle with area A.
:
: 上
: 范
| w******o
发帖数: 442 | 17 俺要解决的问题是，当所有的圆心之间的距离增加时，它们的并在什么情况下增加。
【在 x******g 的大作中提到】
: 我的问题是：当所有的圆心之间的距离不增时，它们的并的面积不增
: 你想解决的问题是：当所有的圆心之间的距离不增时，它们的交面积不减.
: 这两个问题不等价吧?
| w******o
发帖数: 442 | 18 是俺表达不清楚，这个圆应该是能覆盖所有圆心的圆中最小的一个。（存在很多圆可以覆
盖所有你给出的所有圆的圆心）
【在 x******g 的大作中提到】
: 文中明明说的是这个虚拟圆……
: 那你是指哪个圆呢?
| x******g
发帖数: 318 | 19
心
围
圆。）
的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上
，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
上面这句话不对，有可能只有两个圆心在最小的虚拟圆上.
为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范
围变大。
【在 w******o 的大作中提到】
: 设圆的面积为A,当所有圆的圆心都落在一个面积为A的虚拟的圆内时,这个虚拟的圆的圆心
: 所能活动的范围为所有圆的并。（圆心所能活动的范围是指，当虚拟圆的圆心在这个范围
: 内，所有圆的圆心必在这个虚拟圆内。）（虚拟圆是俺的辅助园，不是原来平面上有的圆。）
: 现在需要证明，当所有圆靠近时，这个虚拟的圆的圆心所能活动的范围必定扩大。
: 1，必存在一个面积最小的虚拟圆，使所有圆的圆心落在这个虚拟圆内，则必有三个园的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
: 2，设其他点都不动，A移动到A'点，与其他点的距离都变小。设最小面积虚拟圆的圆心为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范围变大。
: 3，其他点之间的距离变小，会使虚拟圆A的圆心的活动范围变大或不变。
: 所以当所有圆靠近时，所有圆的并增加。
:
: ，
| w******o
发帖数: 442 | 20 I noticed this bug. Any way it is good you pointed it out.
This condition is easier the condition I pointed out.And it does not affect
the argue I proposed later.
If the only two points on the circle are A and B, pick what ever one of other
points, C, Then angle ACB > 90
上
范
【在 x******g 的大作中提到】
:
: 心
: 围
: 圆。）
: 的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上
: ，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
: 上面这句话不对，有可能只有两个圆心在最小的虚拟圆上.
: 为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范
: 围变大。
| | | x******g
发帖数: 318 | 21 能把3详细地说说吗?
心
围
圆。）
的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上
，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范
围变大。
【在 w******o 的大作中提到】
: 设圆的面积为A,当所有圆的圆心都落在一个面积为A的虚拟的圆内时,这个虚拟的圆的圆心
: 所能活动的范围为所有圆的并。（圆心所能活动的范围是指，当虚拟圆的圆心在这个范围
: 内，所有圆的圆心必在这个虚拟圆内。）（虚拟圆是俺的辅助园，不是原来平面上有的圆。）
: 现在需要证明，当所有圆靠近时，这个虚拟的圆的圆心所能活动的范围必定扩大。
: 1，必存在一个面积最小的虚拟圆，使所有圆的圆心落在这个虚拟圆内，则必有三个园的圆心落在这个虚拟圆上。设这三个圆的圆心为A,B,C。（若只有两个圆心落在虚拟圆上，则必存在比这面积小的虚拟圆。）
: 2，设其他点都不动，A移动到A'点，与其他点的距离都变小。设最小面积虚拟圆的圆心为O，那么面积为A的虚拟圆在AO方向上的活动范围变大, 面积为A的虚拟圆的圆心活动范围变大。
: 3，其他点之间的距离变小，会使虚拟圆A的圆心的活动范围变大或不变。
: 所以当所有圆靠近时，所有圆的并增加。
:
: ，
| x******g
发帖数: 318 | 22 关于这个问题我的一些想法
1.
如果保持其中n-1个点之间的距离不变只让第n个点与这n-1点的距离减少，那么可以用下
面的推理证明它们的交是不减的：第n个圆与其他n-1个圆的交集包含初始状态的交集.
(这个论证有问题)
这样我们就可以把问题转化成是否每一个距离的不增都可以用有限个(无限也没关系，因
为有连续性)固定n-1个点的距离的不增来实现.
2.
对于n=3的情况,可以证明能够实现，举一个具体的例子说明一下，开始的时候
|AB|=10,|BC|=11,|AC|=13,末状态为|A'B'|=2,|B'C'|=3,|A'C'|=4
用坐标表示即(10,11,13)->(2,3,4)
具体的过程如下
(10,11,13)->(2,11,13)->(2,3,4)
其它的情况类似的可以实现
3.对于n>3的情况,涉及到的点之间的距离比较复杂,我还没有一个统一的思路.
other
【在 w******o 的大作中提到】
: I noticed this bug. Any way it is good you pointed it out.
: This condition is easier the condition I pointed out.And it does not affect
: the argue I proposed later.
: If the only two points on the circle are A and B, pick what ever one of other
: points, C, Then angle ACB > 90
:
: 上
: 范
| x******g
发帖数: 318 | 23 1的正确地证明(借用tycolion的思路)
引理1）如果一条直线平移的去截两个任意区域A,B，在A上的截线总长都>=B上的截线
总长，则A的面积>=B的面积。（面积公理）
引理2）考虑直线上一组线段的分布，如果分布1的任意两条线段中点的距离都>=分布
2，则分布1交集的总长<=分布2的交集的总长。
现在我们固定其中n-1个点位置不变，让第n个点到其它n-1个点的距离都减少(或不增),这
时候我们考虑平行于OO'的直线(o,O'为第n个点的出末位置),利用引理就可以得到结论
从证明过程中容易看出，并不需要圆的半径一样
下
因
【在 x******g 的大作中提到】
: 关于这个问题我的一些想法
: 1.
: 如果保持其中n-1个点之间的距离不变只让第n个点与这n-1点的距离减少，那么可以用下
: 面的推理证明它们的交是不减的：第n个圆与其他n-1个圆的交集包含初始状态的交集.
: (这个论证有问题)
: 这样我们就可以把问题转化成是否每一个距离的不增都可以用有限个(无限也没关系，因
: 为有连续性)固定n-1个点的距离的不增来实现.
: 2.
: 对于n=3的情况,可以证明能够实现，举一个具体的例子说明一下，开始的时候
: |AB|=10,|BC|=11,|AC|=13,末状态为|A'B'|=2,|B'C'|=3,|A'C'|=4
| x******g
发帖数: 318 | 24 真遗憾！1)的转化思路是行不通的
比如，我们考虑一个6点组A1,B1,C1,A2,B2,C2.(A1,B1,C1),(A2,B2,C2)之间的距离
出末都一样，但其他点之间的距离减少,那么根据三角形全等容易知道,有时候是无法
只移动一个点来保证所有点的距离都不增的.
其实利用这个思路，可以构造一个4点的反例
(突然想起来，于是半夜爬起来发贴，是不是有点神经病?)
下
因
【在 x******g 的大作中提到】
: 关于这个问题我的一些想法
: 1.
: 如果保持其中n-1个点之间的距离不变只让第n个点与这n-1点的距离减少，那么可以用下
: 面的推理证明它们的交是不减的：第n个圆与其他n-1个圆的交集包含初始状态的交集.
: (这个论证有问题)
: 这样我们就可以把问题转化成是否每一个距离的不增都可以用有限个(无限也没关系，因
: 为有连续性)固定n-1个点的距离的不增来实现.
: 2.
: 对于n=3的情况,可以证明能够实现，举一个具体的例子说明一下，开始的时候
: |AB|=10,|BC|=11,|AC|=13,末状态为|A'B'|=2,|B'C'|=3,|A'C'|=4
| B********e
发帖数: 10014 | 25 年轻人有前途,天才都是神经病,大胆干吧,hehe
【在 x******g 的大作中提到】
: 真遗憾！1)的转化思路是行不通的
: 比如，我们考虑一个6点组A1,B1,C1,A2,B2,C2.(A1,B1,C1),(A2,B2,C2)之间的距离
: 出末都一样，但其他点之间的距离减少,那么根据三角形全等容易知道,有时候是无法
: 只移动一个点来保证所有点的距离都不增的.
: 其实利用这个思路，可以构造一个4点的反例
: (突然想起来，于是半夜爬起来发贴，是不是有点神经病?)
:
: 下
: 因
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