o**a
发帖数: 76 | 1 发信人: miaoh (miaomiao), 信区: Mathematics
标 题: 数学高手帮忙！(不等式难题)
发信站: 水木社区 (Sat Aug 20 08:20:52 2005), 站内
已知：非负实数a,b,c,满足ab+bc+ca=1
求证：1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=5/2
用了很多办法也没作出来
请哪位高手帮忙！！
非常感谢！！ | x******g
发帖数: 318 | 2 一个复杂的解法(而且用到了高等数学)
http://sq.k12.com.cn/bbs/index.php?t=getfile&id=26555&rid=827655
不过我在好像是数学通讯上看到一个简单的初等解法,但我找不到了
【在 o**a 的大作中提到】
: 发信人: miaoh (miaomiao), 信区: Mathematics
: 标 题: 数学高手帮忙！(不等式难题)
: 发信站: 水木社区 (Sat Aug 20 08:20:52 2005), 站内
: 已知：非负实数a,b,c,满足ab+bc+ca=1
: 求证：1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=5/2
: 用了很多办法也没作出来
: 请哪位高手帮忙！！
: 非常感谢！！
| o**a
发帖数: 76 | | x******g
发帖数: 318 | 4 不是我给的
我现在处于仰慕latex的阶段:)
【在 o**a 的大作中提到】
: 这个证明是你给的吗？很漂亮啊
: 不过里面有两处笔误
: http://www.anywhereenterprises.com:80/1/1/a?a=dF&p=pQZsOWrl1Y5iy7POAApQZOAApQZApz
: 你是用latex敲进去的吗？我发现LyX写一些小的数学文章非常方便
: http://wiki.lyx.org/
| o**a
发帖数: 76 | 5 在windows下使用ctexhttp://www.ctex.org特别方便
但是我觉得小文章使用LyX敲比直接写latex方便
LyX里使用latex一样的语法输入公式，所以不比latex慢（事实上LyX的后端也是latex）
而且它可以所见即所得
【在 x******g 的大作中提到】
: 不是我给的
: 我现在处于仰慕latex的阶段:)
| t**********r
发帖数: 256 | 6 maple 10转latex,html也很方便。
【在 o**a 的大作中提到】
: 这个证明是你给的吗？很漂亮啊
: 不过里面有两处笔误
: http://www.anywhereenterprises.com:80/1/1/a?a=dF&p=pQZsOWrl1Y5iy7POAApQZOAApQZApz
: 你是用latex敲进去的吗？我发现LyX写一些小的数学文章非常方便
: http://wiki.lyx.org/
| x******g
发帖数: 318 | 7 哦
谢谢
）
【在 o**a 的大作中提到】
: 在windows下使用ctexhttp://www.ctex.org特别方便
: 但是我觉得小文章使用LyX敲比直接写latex方便
: LyX里使用latex一样的语法输入公式，所以不比latex慢（事实上LyX的后端也是latex）
: 而且它可以所见即所得
| x***u
发帖数: 1087 | 8 How about Lagrange method?
f(a,b,c,lambda)=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)-lambda*(ab+bc+ca-1)
take derivatives of f with respect to a, b,c and lambda respectively, set
derivatives to be 0.
I guess we can get stronger result: f(a,b,c)>= 3*sqrt(3)/2 >5/2.
【在 o**a 的大作中提到】
: 发信人: miaoh (miaomiao), 信区: Mathematics
: 标 题: 数学高手帮忙！(不等式难题)
: 发信站: 水木社区 (Sat Aug 20 08:20:52 2005), 站内
: 已知：非负实数a,b,c,满足ab+bc+ca=1
: 求证：1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=5/2
: 用了很多办法也没作出来
: 请哪位高手帮忙！！
: 非常感谢！！
| o**a
发帖数: 76 | 9 不对的，5/2是可以取到的
如a=b=1,c=0
【在 x***u 的大作中提到】
: How about Lagrange method?
: f(a,b,c,lambda)=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)-lambda*(ab+bc+ca-1)
: take derivatives of f with respect to a, b,c and lambda respectively, set
: derivatives to be 0.
: I guess we can get stronger result: f(a,b,c)>= 3*sqrt(3)/2 >5/2.
| x***u
发帖数: 1087 | 10 Thank you. You are right. I did not do the Lagrange calculations.
【在 o**a 的大作中提到】
: 不对的，5/2是可以取到的
: 如a=b=1,c=0
| | | x******g
发帖数: 318 | 11 我见过的那个初等解答比这个简单多了
【在 o**a 的大作中提到】
: 这个证明是你给的吗？很漂亮啊
: 不过里面有两处笔误
: http://www.anywhereenterprises.com:80/1/1/a?a=dF&p=pQZsOWrl1Y5iy7POAApQZOAApQZApz
: 你是用latex敲进去的吗？我发现LyX写一些小的数学文章非常方便
: http://wiki.lyx.org/
| w******o
发帖数: 442 | 12 我的方法：:)
f(a,b,c)=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)
1）已知条件中和求证的等式中a,b,c没有区别，
所以极值在，a=b=c 或边界中。（whosewho猜想）
2) a=b=c, then a=b=c=1/sqrt(3)
f(a,b,c)=3*sqrt(3)/2 > 5/2
3) 边界条件：（1）c=0, a,b != 0
f(a,b,c) = a+b + 1/(a+b) 〉=5/2 when a=b=1 f(a,b,c)=5/2
c=infinite, or c=b=0 ab+bc+ca!=1
Then f(a,b,c) > = 5/2
Over
【在 o**a 的大作中提到】
: 发信人: miaoh (miaomiao), 信区: Mathematics
: 标 题: 数学高手帮忙！(不等式难题)
: 发信站: 水木社区 (Sat Aug 20 08:20:52 2005), 站内
: 已知：非负实数a,b,c,满足ab+bc+ca=1
: 求证：1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=5/2
: 用了很多办法也没作出来
: 请哪位高手帮忙！！
: 非常感谢！！
| x******g
发帖数: 318 | 13 1)要证明，难度估计不小
【在 w******o 的大作中提到】
: 我的方法：:)
: f(a,b,c)=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)
: 1）已知条件中和求证的等式中a,b,c没有区别，
: 所以极值在，a=b=c 或边界中。（whosewho猜想）
: 2) a=b=c, then a=b=c=1/sqrt(3)
: f(a,b,c)=3*sqrt(3)/2 > 5/2
: 3) 边界条件：（1）c=0, a,b != 0
: f(a,b,c) = a+b + 1/(a+b) 〉=5/2 when a=b=1 f(a,b,c)=5/2
:
: c=infinite, or c=b=0 ab+bc+ca!=1
| b****o
发帖数: 3 | 14 Seems the lagrangian method is simplest. Anyway, here is an elementary proof.
Let C=a+b (C is upper case), similarly for A, B
Note A, B, C must all >=0
ab+bc+ca=1 -> 4(AB-1)=(A+B-C)^2
-> (1) AB>=1
(2) C=C+=A+B+2*sqrt(AB-1) or C-=A+B-2*sqrt(AB-1)
Now
f=1/A+1/B+1/C
>=1/A+1/B+1/(C+) (C- gives larger f)
Note that each term on the RHS side always grows with
increasing A or B, which can be proved elementarily
(just fix A or B, consider how each term changes).
Considering the value of f on t
【在 x******g 的大作中提到】
: 一个复杂的解法(而且用到了高等数学)
: http://sq.k12.com.cn/bbs/index.php?t=getfile&id=26555&rid=827655
: 不过我在好像是数学通讯上看到一个简单的初等解法,但我找不到了
| x******g
发帖数: 318 | 15 咋用初等方法说明取最小值时AB=1
.
【在 b****o 的大作中提到】
: Seems the lagrangian method is simplest. Anyway, here is an elementary proof.
: Let C=a+b (C is upper case), similarly for A, B
: Note A, B, C must all >=0
: ab+bc+ca=1 -> 4(AB-1)=(A+B-C)^2
: -> (1) AB>=1
: (2) C=C+=A+B+2*sqrt(AB-1) or C-=A+B-2*sqrt(AB-1)
: Now
: f=1/A+1/B+1/C
: >=1/A+1/B+1/(C+) (C- gives larger f)
: Note that each term on the RHS side always grows with
| t**********r
发帖数: 256 | 16 不用分析似乎是不可能的.
我刚才算了一下，设(ab)^(1/2)=x等等，
约束是x^2+y^2+z^2=1。
原式通分再平方，最后可以归结为一个p(x,y)
无约束多项式的极值。把微积分通俗化，用所谓的局部调整法，
可求出极值点。
用纯代数方法，估计很难作。
【在 x******g 的大作中提到】
: 咋用初等方法说明取最小值时AB=1
:
: .
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