h***l
发帖数: 3048 | 1 有一个scalar函数f在[0, \infty)上定义，并且总是正值，
那么从0到\infty对f^2积分，是否总小于或等于积分后
再平方？ |
s*x
发帖数: 3328 | 2 是吧......
【在 h***l 的大作中提到】
: 有一个scalar函数f在[0, \infty)上定义，并且总是正值，
: 那么从0到\infty对f^2积分，是否总小于或等于积分后
: 再平方？
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h***l
发帖数: 3048 | 3 有什么依据吗，这个形式很简单，可我就是
找不到哪里有。
【在 s*x 的大作中提到】
: 是吧......
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s*x
发帖数: 3328 | 4 直接根据定义，(a^2+b^b)<(a+b)^2，应该可以想办法构造出一个证明出来吧。
【在 h***l 的大作中提到】
: 有什么依据吗，这个形式很简单，可我就是
: 找不到哪里有。
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h***l
发帖数: 3048 | 5 我也想过，表示成黎曼和的形式，但是不这么简单，
后面有个dx也要平方的，这样就比较不出大小来了。
【在 s*x 的大作中提到】
: 直接根据定义，(a^2+b^b)<(a+b)^2，应该可以想办法构造出一个证明出来吧。
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R*********r
发帖数: 1855 | |
R*********r
发帖数: 1855 | 7 作个变量代换 x->ky，g(y)=f(ky)，自己看看两个表达式的变化。 |
c********7
发帖数: 10 | 8
False.
For example, f(x) = 1/[sqrt{x}(1 +x)] for x > 0 and f(0) = 1.
【在 h***l 的大作中提到】
: 有一个scalar函数f在[0, \infty)上定义，并且总是正值，
: 那么从0到\infty对f^2积分，是否总小于或等于积分后
: 再平方？
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q*****g
发帖数: 1568 | 9 a>b>0.
正例：
a^2 + b^2 < （a+b)^2;
反例：
a^2 * 1/2 + b^2 * 1/2 > (a/2 + b/2)^2
用积分的例子就是
f(x) = a, x \in (0, 1/2)
f(x) = b, x \in (1/2, 1)
f(x) = 0, elsewhere
【在 h***l 的大作中提到】
: 有一个scalar函数f在[0, \infty)上定义，并且总是正值，
: 那么从0到\infty对f^2积分，是否总小于或等于积分后
: 再平方？
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q*****g
发帖数: 1568 | 10 另外一个简单又深刻的反例：
dx ~ [0,1]上的均匀分布。这是一个概率分布。把f(X)看成是一个（复合）
随机变量。
\int f^2 dx - (\int f dx)^2 = Variance (f(X)) > 0, 如果f不是常数函数。
【在 h***l 的大作中提到】
: 有一个scalar函数f在[0, \infty)上定义，并且总是正值，
: 那么从0到\infty对f^2积分，是否总小于或等于积分后
: 再平方？
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h***l
发帖数: 3048 | 11 多谢
【在 q*****g 的大作中提到】
: 另外一个简单又深刻的反例：
: dx ~ [0,1]上的均匀分布。这是一个概率分布。把f(X)看成是一个（复合）
: 随机变量。
: \int f^2 dx - (\int f dx)^2 = Variance (f(X)) > 0, 如果f不是常数函数。
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