m****d
发帖数: 12 | 1 正整数之正无理数次方为无理数的一个初等证明
摘要：例如要证明2^\pi为无理数，我们首先将\pi展开，得到两个形式：一个是
\pi=3.14159265...=3*1+1*1/10+1*1/25+1*1/1000+1*1/2000... (*)
一个是：
\pi=3.14159265...=3*1+1*1/10+1*4/100+1*1/1000+1*5/10000... (**)
显然，(*)和(**)是等价的。然后，证明：
2^\pi=
2^3*2^(1/10)*2^(1/25)*2^(1/100)*2^(1/2000)*2^(1/10000)*2^(-100000)*...
是由至多有限个正整数与无穷多个无理数之积，由数学归纳法可知，2^\pi也是一个无
理数。
引理：任何一个正无理数都可以表示为：
w=k_1*1+k_2*(1/2)+k_3*(1/3)+...，其中k_1是自然数，k_i=0或1或-1,i=2,3,...(1)
证明：
任何一个正无理数都可以表示成无限不循环小数的形式，即：
w=k_0*d_0+k_1*d_1 |
|
