i***z
发帖数: 7508 | 1 【 以下文字转载自 Piebridge 讨论区 】
发信人: isloz (慎独), 信区: Piebridge
标 题: 10个包子悬赏求解。
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Nov 23 02:07:13 2009, 美东)
a, b, c 是三角形的三条边长， R是外接圆半径。求证：
1/a +1/b +1/c 〉= sqrt(3)/R. sqrt(3）=根号3。
中学数学题。伤心的人做题吧， 就不会那么么难受了。 | l*****e
发帖数: 65 | 2 这个貌似很面熟， 看看有没有包子拿。
首先，利用外切园半径R和三个边长的关系，就是正弦定理， a/sinA = b/ sinB =
c/sinC = 2R, 把原题变成 1/sinA + 1/sinB +1/sinC >= 2 sqrt(3).
因为三个角 A+B+C= \pi (圆周率)， 这不等式变成
1/sinA + 1/sinB +1/sin（A+B） >= 2 sqrt(3).
其次，可以证明 1/sinA + 1/sinB 的最小值在A=B时取到。
也就是说， 我们可以证明 1/sinA + 1/sinB 〉= 2 / sin[(A+B)/2].
我是用了诸如和化积， 积化和之类的三角恒等式，最后归化于证明一个不等式
sin^2 [(A+B)/2] cos[(A-B)/2] >= [cos(A-B)-cos(A+B)]/2. 而这个， 利用半角不等
式， 不难看出 （汗， 很久以前擅长用‘不难看出’证明许多难题）。
最后，既然 1/sinA + 1/sinB 的最小值在A=B时取到， 那么1/sinA + 1/sinB +1/sinC
的最小值就只能在A=B=C时取到， | i***z
发帖数: 7508 | 3 有没有纯几何的证法？ 你这个思路是对的， 这个三角函数不等式题目是以前的国际奥
赛的一个题目。
1/sin(A) +1/sin(B) + 1/sin(C) >=2sqrt(3).
原题是一个纯几何的题目， 应该有个几何解法， 可是当时我想了一段时间， 觉得几
何上无从下手，后来做出的解法也就是用三角函数做的，然后就放下了。突然想起来了
， 看看那位能给出个几何证明。
给你5个包子， 那个给出几何证明， 继续发那十个包子。
【在 l*****e 的大作中提到】
: 这个貌似很面熟， 看看有没有包子拿。
: 首先，利用外切园半径R和三个边长的关系，就是正弦定理， a/sinA = b/ sinB =
: c/sinC = 2R, 把原题变成 1/sinA + 1/sinB +1/sinC >= 2 sqrt(3).
: 因为三个角 A+B+C= \pi (圆周率)， 这不等式变成
: 1/sinA + 1/sinB +1/sin（A+B） >= 2 sqrt(3).
: 其次，可以证明 1/sinA + 1/sinB 的最小值在A=B时取到。
: 也就是说， 我们可以证明 1/sinA + 1/sinB 〉= 2 / sin[(A+B)/2].
: 我是用了诸如和化积， 积化和之类的三角恒等式，最后归化于证明一个不等式
: sin^2 [(A+B)/2] cos[(A-B)/2] >= [cos(A-B)-cos(A+B)]/2. 而这个， 利用半角不等
: 式， 不难看出 （汗， 很久以前擅长用‘不难看出’证明许多难题）。
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