x********i
发帖数: 905 | 1 除了S^4，CP^2，还有没有别的例子？
thanks |
b*******h
发帖数: 722 | 2 用群作用作用。
单连通的情况下这个是fields奖级别的猜想，good luck。
【在 x********i 的大作中提到】
: 除了S^4，CP^2，还有没有别的例子？
: thanks
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l********e
发帖数: 3632 | 3 目前没有其他例子。如果考虑不可定向的话还有PR^4。另外4为定向正截面总是但联通
的。
可能的candidates有：S^2xS^2, CP^2#-CP^2，不过大家趋向于相信只有你说的2个例子
。其中S^2xS^2没有正界面曲率是著名的Hopf Conj.
【在 x********i 的大作中提到】
: 除了S^4，CP^2，还有没有别的例子？
: thanks
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b*******h
发帖数: 722 | 4 偶数维单连通和可定向都是等价的，如果曲率>0。
哦？ 难道现在大家否定了CP^2的低次连通和，比如说三次连通和也被否决了？那这是
个伟大的进步啊。 我只知道cp^2如果和自身连通和了太多次的话不能有非负的截面曲
率，这个是Gromov的betti数有界性得出的。
【在 l********e 的大作中提到】
: 目前没有其他例子。如果考虑不可定向的话还有PR^4。另外4为定向正截面总是但联通
: 的。
: 可能的candidates有：S^2xS^2, CP^2#-CP^2，不过大家趋向于相信只有你说的2个例子
: 。其中S^2xS^2没有正界面曲率是著名的Hopf Conj.
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l********e
发帖数: 3632 | 5 sorry，也许我的表达有误导。你是对的CP^2联通多次也是未知的。
我之所以提2次联通和，是因为有Bott Conj.在脑子里所以遗漏了多次联通和。
【在 b*******h 的大作中提到】
: 偶数维单连通和可定向都是等价的，如果曲率>0。
: 哦？ 难道现在大家否定了CP^2的低次连通和，比如说三次连通和也被否决了？那这是
: 个伟大的进步啊。 我只知道cp^2如果和自身连通和了太多次的话不能有非负的截面曲
: 率，这个是Gromov的betti数有界性得出的。
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x********i
发帖数: 905 | 6 Gromov的定理不是说betti数有上界吗？
那连通太多次应该就没有非正的截面曲率了吧？
【在 b*******h 的大作中提到】
: 偶数维单连通和可定向都是等价的，如果曲率>0。
: 哦？ 难道现在大家否定了CP^2的低次连通和，比如说三次连通和也被否决了？那这是
: 个伟大的进步啊。 我只知道cp^2如果和自身连通和了太多次的话不能有非负的截面曲
: 率，这个是Gromov的betti数有界性得出的。
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l********e
发帖数: 3632 | 7 他是笔误。
【在 x********i 的大作中提到】
: Gromov的定理不是说betti数有上界吗？
: 那连通太多次应该就没有非正的截面曲率了吧？
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b*******h
发帖数: 722 | 8 谢谢。
但是我没有笔误。
cp^2连同太多次的话必然影响第二个betti数， 但是这个不能太大，具体多大我印象中
好像是没有好的估计。Gromov的估计类似指数的指数的次幂。
所以我记得有人猜测过：第二个betti数的上界是1， 在四维正曲率的情况下。
It is very trivial for non-positively curved case. you know, simply-
connected non-positively curved manifolds are always diff to R^n where n is
the dim.
【在 l********e 的大作中提到】
: 他是笔误。
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