f*****y
发帖数: 444 | |
s*x
发帖数: 3328 | 2 好像在考察实数定义
【在 f*****y 的大作中提到】
: 0.999.... 无线循环 等于1么？
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f*****y
发帖数: 444 | 3 从极限的概念上可以论证这两个是完全相等的。因为任意取一个小的数e, 随着0.999..
.不断逼近，这两个数的差会小于e，因此这两个数完全相等。
另外还有一个论证更加容易理解，明天给。:) |
z****h
发帖数: 74 | 4 0.999.. = 9*0.111... = 9*(1/10 + 1/10^2 + 1/10^3 +..) = 9*1/10*1/(1-1/10) =
1
..
【在 f*****y 的大作中提到】
: 从极限的概念上可以论证这两个是完全相等的。因为任意取一个小的数e, 随着0.999..
: .不断逼近，这两个数的差会小于e，因此这两个数完全相等。
: 另外还有一个论证更加容易理解，明天给。:)
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l********e
发帖数: 3632 | 5 中间一段过度，多余了。
直接上几何级数。
=
【在 z****h 的大作中提到】
: 0.999.. = 9*0.111... = 9*(1/10 + 1/10^2 + 1/10^3 +..) = 9*1/10*1/(1-1/10) =
: 1
:
: ..
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L******k
发帖数: 33825 | 6 我们教育课上讲的 教中学生的方法是
let N=0.9999.......
and then 10N=9.99999999..........
10N-N=9N=9---->N=1
Calculus 课上教授说的是 Geometric series
http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
【在 f*****y 的大作中提到】
: 0.999.... 无线循环 等于1么？
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p*********g
发帖数: 5964 | 7 这问题相当有水平，
【在 f*****y 的大作中提到】
: 0.999.... 无线循环 等于1么？
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h*******e
发帖数: 225 | 8 这只是你照本宣科的答案，事实上这个问题完全没有这么简单，而牵涉了集合论最本质
的一些问题，比如无限性，比如选择公理Axiom of choice。单纯从逻辑角度来看，引
入极限概念来重新定义“相等”，是因为无法解释0.999...这种无限逼近表示和直观上
“相等”涵义之间的矛盾，或者说，数学家在用非常聪明的办法来合法化无穷表示----
符号化，比如谁也说不清pi的精确值3.14159...，没关系，我们谁都没见过，但是姑且
就叫它pi好了；谁也没见过0.99999....的精确样子，没关系，就叫1好了，反正差别是
个无穷小。
什么叫“无穷小”，直观点说，就是你“任取”一个小数epsilon，它都比你取的还小
。到这里，拐弯抹角地，数学家用极限的思想，把无限性这种动态和有限性的静态之间
的逻辑矛盾，转化成为了在无限集合里“任取”这种符合直观的问题，让我们自然而然
觉得okay. 为什么可以在无限集合里“任取”？因为凭经验（直观主义）我们在有限集
合里可以“任取”，所以我们觉得无限的应该似乎大概可能也可以。。。好吧，那就当
成公理好了。。。。。。--- AC公理
类似的逻辑问题还有很多，比
【在 f*****y 的大作中提到】
: 从极限的概念上可以论证这两个是完全相等的。因为任意取一个小的数e, 随着0.999..
: .不断逼近，这两个数的差会小于e，因此这两个数完全相等。
: 另外还有一个论证更加容易理解，明天给。:)
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a***s
发帖数: 616 | 9 admire
【在 h*******e 的大作中提到】
: 这只是你照本宣科的答案，事实上这个问题完全没有这么简单，而牵涉了集合论最本质
: 的一些问题，比如无限性，比如选择公理Axiom of choice。单纯从逻辑角度来看，引
: 入极限概念来重新定义“相等”，是因为无法解释0.999...这种无限逼近表示和直观上
: “相等”涵义之间的矛盾，或者说，数学家在用非常聪明的办法来合法化无穷表示----
: 符号化，比如谁也说不清pi的精确值3.14159...，没关系，我们谁都没见过，但是姑且
: 就叫它pi好了；谁也没见过0.99999....的精确样子，没关系，就叫1好了，反正差别是
: 个无穷小。
: 什么叫“无穷小”，直观点说，就是你“任取”一个小数epsilon，它都比你取的还小
: 。到这里，拐弯抹角地，数学家用极限的思想，把无限性这种动态和有限性的静态之间
: 的逻辑矛盾，转化成为了在无限集合里“任取”这种符合直观的问题，让我们自然而然
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f*****y
发帖数: 444 | 10 简单证明如下
1/9 = 0.1111。。。
两边乘以9，
1 = 0.999.。。。 |
w**a
发帖数: 1024 | 11 1/3 = 0.33333...
3x1/3 = 1 = 0.99999
【在 f*****y 的大作中提到】
: 0.999.... 无线循环 等于1么？
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