d**e
发帖数: 2420 | 1 Given two positive nxn square matrices A and B with A>=B but A not equal to
B.
Here positive means each entry in A or B is positive.
then whether A's principal eigenvalue is strictly greater than B's?
非常感谢。 |
q********e
发帖数: 1255 | 2 given A, let B=2A
to
【在 d**e 的大作中提到】
: Given two positive nxn square matrices A and B with A>=B but A not equal to
: B.
: Here positive means each entry in A or B is positive.
: then whether A's principal eigenvalue is strictly greater than B's?
: 非常感谢。
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d**e
发帖数: 2420 | 3 this is not a counterexample. But still thanks.
【在 q********e 的大作中提到】
: given A, let B=2A
:
: to
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d******e
发帖数: 7844 | 4 你这个例子里，B的特征值是A的2倍
【在 q********e 的大作中提到】
: given A, let B=2A
:
: to
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d**e
发帖数: 2420 | 5 多半是敲错了，A=2B。
然后A的特征值是B的2倍，不是反例。
我手算了一下，对于2阶方阵，原帖中结论是对的。
对于一般的情况，我们知道A的主特征值大于或等于B的。
这里我假设了A，B都是正的矩阵，想知道，是否有A的主特征值严格大于B的。
谁知道，务请回复一下，十分感谢。
【在 d******e 的大作中提到】
: 你这个例子里，B的特征值是A的2倍
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q********e
发帖数: 1255 | 6 sorry,愚昧了，；）
【在 d******e 的大作中提到】
: 你这个例子里，B的特征值是A的2倍
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q********e
发帖数: 1255 | 7 ok,貌似answer is yes at least for symmetric real matrix，屡败屡战哈
根据singular value 的性质，只需要证明：
if A>B, then ||A||_2 >||B||_2. (这里A>0,B>0,A>B all according to your
definition, ||.||_2 是矩阵的2 norm).
证明这个只需要证明
sup_x {||Ax||_2/||x||_2}=sup_{x>0}{||Ax||_2/||x||_2}
貌似不难，因为A>0.
【在 d**e 的大作中提到】
: 多半是敲错了，A=2B。
: 然后A的特征值是B的2倍，不是反例。
: 我手算了一下，对于2阶方阵，原帖中结论是对的。
: 对于一般的情况，我们知道A的主特征值大于或等于B的。
: 这里我假设了A，B都是正的矩阵，想知道，是否有A的主特征值严格大于B的。
: 谁知道，务请回复一下，十分感谢。
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d**e
发帖数: 2420 | 8 ≥由Gelfand's formula易得，如何证明严格＞？苦恼呀。
谢谢你的热心帮助，多谢了！！
【在 q********e 的大作中提到】
: ok,貌似answer is yes at least for symmetric real matrix，屡败屡战哈
: 根据singular value 的性质，只需要证明：
: if A>B, then ||A||_2 >||B||_2. (这里A>0,B>0,A>B all according to your
: definition, ||.||_2 是矩阵的2 norm).
: 证明这个只需要证明
: sup_x {||Ax||_2/||x||_2}=sup_{x>0}{||Ax||_2/||x||_2}
: 貌似不难，因为A>0.
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d**e
发帖数: 2420 | 9 我的问题，可以再加些限制：
考虑A为正矩阵，且strictly diagonally dominant of its row entries, 那么当
对角线上的元素增加时，主特征值是否严格增大。 |
x******i
发帖数: 3022 | 10
I think the following is true:
suppose A and B are both symmetric and positive definite,
with B strictly positive definite, and suppose C= A+B
then if we list A's eigenvalues as
a_1>=a_2>=a_3>= ... >= a_n
and C's eigenvalues as
c_1>=c_2>=c_3>= ... >= c_n
then
c_1 > a_1
c_2 > a_2
c_3 > a_3
...
c_n > a_n
This can be easily proved by recognizing that the ellipsoid
corresponding to x*C*x = 1 lies strictly within the ellipsoid
corresponding to x*A*x = 1.
Suppose the eigenvectors corresponding to a_
【在 d**e 的大作中提到】
: 我的问题，可以再加些限制：
: 考虑A为正矩阵，且strictly diagonally dominant of its row entries, 那么当
: 对角线上的元素增加时，主特征值是否严格增大。
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d**e
发帖数: 2420 | 11 谢谢你认真仔细的回复。如果在对称正定矩阵，也许可以通过
同时对角化证明。再次感谢。
【在 x******i 的大作中提到】
:
: I think the following is true:
: suppose A and B are both symmetric and positive definite,
: with B strictly positive definite, and suppose C= A+B
: then if we list A's eigenvalues as
: a_1>=a_2>=a_3>= ... >= a_n
: and C's eigenvalues as
: c_1>=c_2>=c_3>= ... >= c_n
: then
: c_1 > a_1
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G******i
发帖数: 163 | 12 A>=B but A not equal to B, A>0, B>0
=> A^4 > B^4 (i.e., every entry of A^4 -B^4 is positive)
=> (The principal eigenvalue of A^4) > (the principal eigenvalue of B^4)
=> (The principal eigenvalue of A) > (The principal eigenvalue of B)
to
【在 d**e 的大作中提到】
: Given two positive nxn square matrices A and B with A>=B but A not equal to
: B.
: Here positive means each entry in A or B is positive.
: then whether A's principal eigenvalue is strictly greater than B's?
: 非常感谢。
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d**e
发帖数: 2420 | 13
You are right, it seems 3 is engouh such that A^3>B^3.
how do you get this result? thank you very much.
【在 G******i 的大作中提到】
: A>=B but A not equal to B, A>0, B>0
: => A^4 > B^4 (i.e., every entry of A^4 -B^4 is positive)
: => (The principal eigenvalue of A^4) > (the principal eigenvalue of B^4)
: => (The principal eigenvalue of A) > (The principal eigenvalue of B)
:
: to
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d**e
发帖数: 2420 | 14 great, that's right.
given A>B>0, we can choose sufficiently small d>0 such that
A-dI_n>B>0, then \rho(A-dI_n)>=\rho(B)
Note that \rho(A)=d+\rho(A-dI_n)>\rho(B).
The proof is complete.
非常感谢诸位的帮忙，实在让人敬佩。
【在 d**e 的大作中提到】
:
: You are right, it seems 3 is engouh such that A^3>B^3.
: how do you get this result? thank you very much.
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