e**c
发帖数: 195 | 1 问题：
不定方程 X(1)+X(2)+...+X(n) = k共有多少组解？
0<=k<=2*n
X(i)=0,1,或2
本人不是研究数学的，数学功底也不行。最近一个research问题可以归结为以上问题。
如果k是0，1，2，可以用排列组合数出来，一般性的解法实在是想不出来。请大虾们指
教。 | r******o
发帖数: 122 | 2
每组 (X(1),X(2),...X(n)) 皆满足提设, 每个 X(i) 的选择都有3个数值,
故总数为 3^n.
【在 e**c 的大作中提到】
: 问题：
: 不定方程 X(1)+X(2)+...+X(n) = k共有多少组解？
: 0<=k<=2*n
: X(i)=0,1,或2
: 本人不是研究数学的，数学功底也不行。最近一个research问题可以归结为以上问题。
: 如果k是0，1，2，可以用排列组合数出来，一般性的解法实在是想不出来。请大虾们指
: 教。
| h**********c
发帖数: 4120 | 3 My answer is
\sigma _{m = min(0,k-n)}^{k div 2} ((m,n)+(k-2m,n-m)). | c*******t
发帖数: 1095 | 4 ....打回重读题设
【在 r******o 的大作中提到】
:
: 每组 (X(1),X(2),...X(n)) 皆满足提设, 每个 X(i) 的选择都有3个数值,
: 故总数为 3^n.
| R*********r
发帖数: 1855 | 5 用容斥原理。跟那个抽奖出现连号的计算方法一样。
易知方程X(1)+...+X(n)=m有C(m+n-1,m)个非负整数解。
设A(i)=方程满足X(i)>=s的解集，i=1..n，由容斥原理，原方程的至少有一个X(i)>=s
的解总数为|UA(i)|=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^(i-1) C(n,i)C(m+n-i*s-1,m-i*s)，于
是原方程的满足X(i)
，本题中m=k=0..2n，s=3。 | c*****n
发帖数: 33 | 6 The coefficient of $x^k$ in the polynomial (1+x+x^2)^n. You can now get the
number yourself by binomial expansions. This kind of trick was first
extensively used by Euler. | h**********c
发帖数: 4120 | 7 这个题我这样理解的（初等方法），
k 个 豆放到n 个盒子里， 每盒可放0，1，2
m 个 盒放两个， m \in [max(k-n,0), k div 2]
那么剩下 k-2m个豆，放到 n-m 个盒子里，
\sigma _{m = max(0,k-n)}^{k div 2} ((m,n)+(k-2m,n-m)). |
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