a***n
发帖数: 3633 | 1 存在光滑函数P和Q。他们都是从R^n -> R的。对于其中n个偏导都有
\frac{\partial P}{\partial x_i} >= \frac{\partial Q}{\partial x_i}
还有他们在A点的函数值相等 P(A)=Q(A)
那么对于B点，B的各个分量都大于A的相应分量 b_i>a_i
那么是否有 P(B)>=Q(B) ?
一维的很好说。多维的呢？如果不存在，有反例么？谢谢 |
C********n
发帖数: 6682 | 2 对一维的难道不是两个函数相等?
这难道不是一届微分方程的解得唯一性?
我想的是你如果让他们导数处处相等，然后又在同一点相等，难道不是根据
泰勒展开处处相等？
【在 a***n 的大作中提到】
: 存在光滑函数P和Q。他们都是从R^n -> R的。对于其中n个偏导都有
: \frac{\partial P}{\partial x_i} >= \frac{\partial Q}{\partial x_i}
: 还有他们在A点的函数值相等 P(A)=Q(A)
: 那么对于B点，B的各个分量都大于A的相应分量 b_i>a_i
: 那么是否有 P(B)>=Q(B) ?
: 一维的很好说。多维的呢？如果不存在，有反例么？谢谢
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B****n
发帖数: 11290 | 3 多變量函數的微分均值定理應該可以證明
【在 a***n 的大作中提到】
: 存在光滑函数P和Q。他们都是从R^n -> R的。对于其中n个偏导都有
: \frac{\partial P}{\partial x_i} >= \frac{\partial Q}{\partial x_i}
: 还有他们在A点的函数值相等 P(A)=Q(A)
: 那么对于B点，B的各个分量都大于A的相应分量 b_i>a_i
: 那么是否有 P(B)>=Q(B) ?
: 一维的很好说。多维的呢？如果不存在，有反例么？谢谢
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B********e
发帖数: 10014 | 4 should be yes
easy to see it's true for 1D
transform the problem to 1D
let x(t)=A+t(B-A),
consider S(t)=S(x(t)) and show S(1)\geq S(0)
show first S'(t)\geq 0\forall t
【在 a***n 的大作中提到】
: 存在光滑函数P和Q。他们都是从R^n -> R的。对于其中n个偏导都有
: \frac{\partial P}{\partial x_i} >= \frac{\partial Q}{\partial x_i}
: 还有他们在A点的函数值相等 P(A)=Q(A)
: 那么对于B点，B的各个分量都大于A的相应分量 b_i>a_i
: 那么是否有 P(B)>=Q(B) ?
: 一维的很好说。多维的呢？如果不存在，有反例么？谢谢
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B********e
发帖数: 10014 | 5 S=P-Q
【在 B********e 的大作中提到】
: should be yes
: easy to see it's true for 1D
: transform the problem to 1D
: let x(t)=A+t(B-A),
: consider S(t)=S(x(t)) and show S(1)\geq S(0)
: show first S'(t)\geq 0\forall t
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a***n
发帖数: 3633 | 6 谢谢楼上各位！
【在 B********e 的大作中提到】
: S=P-Q
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