a***n
发帖数: 3633 | 1 f 是R->R的一个连续函数。集合X={t|f(t)=0}.
我说X是可数个互不相交的闭区间的并，这里我把单点集和空集也都算
作是闭区间。
这个结论对不对呢？我觉得好像是对的，我的想法是把R划分成可数个
闭区间In。这样在In∩X这个集合总应该能划分成有限个子区间，使得
每个子区间内或者f(t)处处为0，或者f(t)只有有限个零点。如果
不存在这样的划分就和f(t)是连续函数的定义有矛盾。这样就可以得到那个
结论。
请问这么做对不对，有没有更简单直接的证明，或者这要是什么一个定理就
更好了。谢谢。 |
s*****e
发帖数: 115 | 2
This statement is false!
It's easy to construct a continuous function f : R-->R such that X={t|f(t)=0
} is exactly the Cantor set, which is NOT the union of countably many
disjoint closed intervals (or points).
【在 a***n 的大作中提到】
: f 是R->R的一个连续函数。集合X={t|f(t)=0}.
: 我说X是可数个互不相交的闭区间的并，这里我把单点集和空集也都算
: 作是闭区间。
: 这个结论对不对呢？我觉得好像是对的，我的想法是把R划分成可数个
: 闭区间In。这样在In∩X这个集合总应该能划分成有限个子区间，使得
: 每个子区间内或者f(t)处处为0，或者f(t)只有有限个零点。如果
: 不存在这样的划分就和f(t)是连续函数的定义有矛盾。这样就可以得到那个
: 结论。
: 请问这么做对不对，有没有更简单直接的证明，或者这要是什么一个定理就
: 更好了。谢谢。
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a***n
发帖数: 3633 | 3 thank you. is that true if f now is absolutely continuous?
=0
【在 s*****e 的大作中提到】
:
: This statement is false!
: It's easy to construct a continuous function f : R-->R such that X={t|f(t)=0
: } is exactly the Cantor set, which is NOT the union of countably many
: disjoint closed intervals (or points).
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a***n
发帖数: 3633 | 4 sorry, even in AC's case, the conclusion still is not correct.
【在 a***n 的大作中提到】
: thank you. is that true if f now is absolutely continuous?
:
: =0
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s*****e
发帖数: 115 | 5 you got it.
【在 a***n 的大作中提到】
: sorry, even in AC's case, the conclusion still is not correct.
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