z****e
发帖数: 702 | 1 有p+1个R^p空间的单位矢量{x_k}_{k=1}^{p+1}，彼此之间有相同的内积（夹角），
以此K个矢量构成矩阵：\sum_{k=1}^{p+1} x_k (x_k)_^T，则此矩阵的行列式是多少？
这个看上去是个挺有意思的问题，但是我没有办法想清楚。 |
x******a
发帖数: 6336 | 2 那个求和表达式是个什么？K在哪？
【在 z****e 的大作中提到】
: 有p+1个R^p空间的单位矢量{x_k}_{k=1}^{p+1}，彼此之间有相同的内积（夹角），
: 以此K个矢量构成矩阵：\sum_{k=1}^{p+1} x_k (x_k)_^T，则此矩阵的行列式是多少？
: 这个看上去是个挺有意思的问题，但是我没有办法想清楚。
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z****e
发帖数: 702 | 3 3维空间里夹角两两相同的矢量有4个（正四面体的顶点们），2维空间里是3个，对吧。
想象一下，这些矢量都从原点出发，长度都为1，彼此夹角相同，
对于每个矢量，x, xx'是一个秩为一的矩阵，把这些秩为一的矩阵相加得到一个和矩阵
，则此和
矩阵的行列式是什么？假设不一定在3维空间，可以是在p维空间。
我算了2、3维的情况，答案似乎是: [(p+1)/p]^p，也就是说这个和矩阵是对角线元素
为(p+1)/p，其他元素为0的矩阵。但不知道怎么得到任意p维的解。
【在 x******a 的大作中提到】
: 那个求和表达式是个什么？K在哪？
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x******a
发帖数: 6336 | 4 一维矩阵的和还应该是一维矩阵吧？和矩阵难道不是一个数？
如果和矩阵是1*p的，行列式是怎么定义的？
【在 z****e 的大作中提到】
: 3维空间里夹角两两相同的矢量有4个（正四面体的顶点们），2维空间里是3个，对吧。
: 想象一下，这些矢量都从原点出发，长度都为1，彼此夹角相同，
: 对于每个矢量，x, xx'是一个秩为一的矩阵，把这些秩为一的矩阵相加得到一个和矩阵
: ，则此和
: 矩阵的行列式是什么？假设不一定在3维空间，可以是在p维空间。
: 我算了2、3维的情况，答案似乎是: [(p+1)/p]^p，也就是说这个和矩阵是对角线元素
: 为(p+1)/p，其他元素为0的矩阵。但不知道怎么得到任意p维的解。
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r**q
发帖数: 251 | 5 确定3维算的是对的？
跟据对称性， 这p+1个中每个向量都是和矩阵的特征向量， 然后你算下特征值， 特征值的p次方
就是了
【在 z****e 的大作中提到】
: 3维空间里夹角两两相同的矢量有4个（正四面体的顶点们），2维空间里是3个，对吧。
: 想象一下，这些矢量都从原点出发，长度都为1，彼此夹角相同，
: 对于每个矢量，x, xx'是一个秩为一的矩阵，把这些秩为一的矩阵相加得到一个和矩阵
: ，则此和
: 矩阵的行列式是什么？假设不一定在3维空间，可以是在p维空间。
: 我算了2、3维的情况，答案似乎是: [(p+1)/p]^p，也就是说这个和矩阵是对角线元素
: 为(p+1)/p，其他元素为0的矩阵。但不知道怎么得到任意p维的解。
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z****e
发帖数: 702 | 6 你说的是对的，能推出[(p+1)/p]^p是对的。谢谢。
征值的p次方
【在 r**q 的大作中提到】
: 确定3维算的是对的？
: 跟据对称性， 这p+1个中每个向量都是和矩阵的特征向量， 然后你算下特征值， 特征值的p次方
: 就是了
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c*******h
发帖数: 1096 | 7 X = [x_1, ... x_{p+1}]
你那个矩阵是 XX'，它的特征根和 X'X 的一样，除了特征根为 0 的情况
后面那个矩阵出来对角线是 1，非对角线的元素都是内积，假设是 a
因为 X'X 有一个特征根是 0，其它的都是 1-a，
所以 XX' 的行列式是 (1-a)^p
因为所有 x 加起来是 0，所以 X'X 的每行和都是 0，所以 a = -1/p
搞定
【在 z****e 的大作中提到】
: 有p+1个R^p空间的单位矢量{x_k}_{k=1}^{p+1}，彼此之间有相同的内积（夹角），
: 以此K个矢量构成矩阵：\sum_{k=1}^{p+1} x_k (x_k)_^T，则此矩阵的行列式是多少？
: 这个看上去是个挺有意思的问题，但是我没有办法想清楚。
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z****e
发帖数: 702 | 8 你这个也是对的，多谢了。但是实际上我的问题比这个更复杂：
有K*p维矩阵A（K<=p），行向量记为a_k,k=1,2,...,K。和p维列向量x。（a_k，和x都
为单位向量）。
先由A和x生成一个（用Logit function）K个分量的离散概率分布：
P(k)=exp(a_k*x)/\sum_{k=1}^K exp(a_k*x),k=1,2,...,p。
再由P(k)和A生成两个矩阵，一个是B，B是K个矩阵a_k'a_k用P(k)取期望；
另一个是C，C是先用P(k)对A的行向量取期望得到行向量a，C=a'a；
然后B-C，其实是一个Fisher信息矩阵，我希望找到使行列式|B-C|最大的那个矩阵A。
（即用行列式来衡量Fisher信息矩阵的大小，我不知道还有没有其他的衡量方法。）。
因为a_k,k=1,2,...,p 和x 都是在R^p空间内的单位向量，我自己从直观上认为使|B-C|
最大那个矩阵A，应是和x正交的子空间内，a_k之间有相等的最大夹角。这也就是我开
始提出的问题。这个问题的题设并不难，但是因为P(k)的引入，不知道该怎么解？
少？
【在 c*******h 的大作中提到】
: X = [x_1, ... x_{p+1}]
: 你那个矩阵是 XX'，它的特征根和 X'X 的一样，除了特征根为 0 的情况
: 后面那个矩阵出来对角线是 1，非对角线的元素都是内积，假设是 a
: 因为 X'X 有一个特征根是 0，其它的都是 1-a，
: 所以 XX' 的行列式是 (1-a)^p
: 因为所有 x 加起来是 0，所以 X'X 的每行和都是 0，所以 a = -1/p
: 搞定
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c*******h
发帖数: 1096 | 9 什么叫K个矩阵用P(k)取期望
我的理解是P(k)是x的函数，而x是向量
C|
【在 z****e 的大作中提到】
: 你这个也是对的，多谢了。但是实际上我的问题比这个更复杂：
: 有K*p维矩阵A（K<=p），行向量记为a_k,k=1,2,...,K。和p维列向量x。（a_k，和x都
: 为单位向量）。
: 先由A和x生成一个（用Logit function）K个分量的离散概率分布：
: P(k)=exp(a_k*x)/\sum_{k=1}^K exp(a_k*x),k=1,2,...,p。
: 再由P(k)和A生成两个矩阵，一个是B，B是K个矩阵a_k'a_k用P(k)取期望；
: 另一个是C，C是先用P(k)对A的行向量取期望得到行向量a，C=a'a；
: 然后B-C，其实是一个Fisher信息矩阵，我希望找到使行列式|B-C|最大的那个矩阵A。
: （即用行列式来衡量Fisher信息矩阵的大小，我不知道还有没有其他的衡量方法。）。
: 因为a_k,k=1,2,...,p 和x 都是在R^p空间内的单位向量，我自己从直观上认为使|B-C|
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z****e
发帖数: 702 | 10 x是个定值，而A是变化的。
K个矩阵用P(k)取期望是指：\sum_{k=1}^K P(k)a_k'a_k。
即每个A的行向量得到的秩为一的矩阵a_k'a_k，用P(k)的加权和。即B。
而C是先用P(k)对A的行向量取平均，得到一个均值行向量a，然后C=a'a。
即B是先求矩阵，再求期望；C是先求期望，再得到矩阵。
x都
A。
）。
B-
【在 c*******h 的大作中提到】
: 什么叫K个矩阵用P(k)取期望
: 我的理解是P(k)是x的函数，而x是向量
:
: C|
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c*******h
发帖数: 1096 | 11 K
【在 z****e 的大作中提到】
: x是个定值，而A是变化的。
: K个矩阵用P(k)取期望是指：\sum_{k=1}^K P(k)a_k'a_k。
: 即每个A的行向量得到的秩为一的矩阵a_k'a_k，用P(k)的加权和。即B。
: 而C是先用P(k)对A的行向量取平均，得到一个均值行向量a，然后C=a'a。
: 即B是先求矩阵，再求期望；C是先求期望，再得到矩阵。
:
: x都
: A。
: ）。
: B-
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z****e
发帖数: 702 | 12 那应该用行列式以外的东西来衡量B-C的“大小”了，
但是除了行列式，我不知道还有什么可以用来衡量Fisher信息矩阵了。
【在 c*******h 的大作中提到】
: K
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z****e
发帖数: 702 | 13 谢谢各位，我终于完整地解决了这个问题，谢谢。
C|
【在 z****e 的大作中提到】
: 你这个也是对的，多谢了。但是实际上我的问题比这个更复杂：
: 有K*p维矩阵A（K<=p），行向量记为a_k,k=1,2,...,K。和p维列向量x。（a_k，和x都
: 为单位向量）。
: 先由A和x生成一个（用Logit function）K个分量的离散概率分布：
: P(k)=exp(a_k*x)/\sum_{k=1}^K exp(a_k*x),k=1,2,...,p。
: 再由P(k)和A生成两个矩阵，一个是B，B是K个矩阵a_k'a_k用P(k)取期望；
: 另一个是C，C是先用P(k)对A的行向量取期望得到行向量a，C=a'a；
: 然后B-C，其实是一个Fisher信息矩阵，我希望找到使行列式|B-C|最大的那个矩阵A。
: （即用行列式来衡量Fisher信息矩阵的大小，我不知道还有没有其他的衡量方法。）。
: 因为a_k,k=1,2,...,p 和x 都是在R^p空间内的单位向量，我自己从直观上认为使|B-C|
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