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Mathematics版 - 紧急求教关于Lebesgue测度的两个问题。
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测度问题问个概率测度的问题
关于countably generated的概念开区间的特征函数是Borel可测函数?
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两个概率论问题问答大家个证明.
borel set 的问题Re: 请举个不可测集的例子
一个实分析的问题(L^p space)two questions
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话题: borel话题: lebesgue话题: measurable话题: exp话题: prove
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N*******e
发帖数: 10
1
紧急求教下列问题,请各位不吝赐教, 多谢了!
1. Suppose f: R^n -> R is continuous. Prove that f(F) is Borel for every
closed set F; f(U) is Borel for every open set U; and if f is surjective,
then f(B) is Borel for every Borel set B.
2. Let B be a non-Lebesgue-measurable subset of R, and let f:R->R be defined
by
f(x)=exp(x) if x is in B, and f(x)=exp(-x) if x is not in B. Prove that
f^(-1)({x}) is Lebesgue measurable for each x in R, but f is not Lebesgue
measurable.
p***c
发帖数: 2403
2
随便想了一下
1. 如果F是闭,f(F)就是至多可列紧集的并
U开,U是至多可列半开半闭正方形,对每个正方形,像是可测的,就是一个区间减去几
个或开或闭的区间
如果f是双射,那很简单,如果只是满的,应该也不难

defined

【在 N*******e 的大作中提到】
: 紧急求教下列问题,请各位不吝赐教, 多谢了!
: 1. Suppose f: R^n -> R is continuous. Prove that f(F) is Borel for every
: closed set F; f(U) is Borel for every open set U; and if f is surjective,
: then f(B) is Borel for every Borel set B.
: 2. Let B be a non-Lebesgue-measurable subset of R, and let f:R->R be defined
: by
: f(x)=exp(x) if x is in B, and f(x)=exp(-x) if x is not in B. Prove that
: f^(-1)({x}) is Lebesgue measurable for each x in R, but f is not Lebesgue
: measurable.

C*******r
发帖数: 10345
3
2. f^(-1)({x}) = 空集,或 {log(x)}, 或 {log(x),-log(x)}, 都是可测集。
let n=...-3,-2,-1,0,1,2,3...
存在n,such that [n,n+1)交B 是不可测集。(不然 并^(n){[n,n+1)交B}=B 是可测
集,矛盾)。
不失一般性,假设n>0 (不然用B补集,也是不可测集)。那么[exp(n),exp(n+1)) 是
Borel集,而 f^(-1)([exp(n),exp(n+1)))=([n,n+1)交B)并((-n-1,n]交B补)
这得到一个不可测集,不然 ([n,n+1)交B)并((-n-1,n]交B补)交[0,inf)
= n{[n,n+1)交B 推出 n{[n,n+1)交B 是可测集,矛盾。
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A question about measure theory and Lebesgue integration两个概率论问题
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请教读统计的同学一个问题,谢谢!一个实分析的问题(L^p space)
请教一个问题问measure的setwise convergence
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