f*******w
发帖数: 1243 | 1 一个n维单位球的体积是
pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少…… |
f*******w
发帖数: 1243 | |
m*********a
发帖数: 2000 | 3 You can think of n random variables,each uniform in [0,1]
then by Law of Large Numbers, x1^2+x2^2+...+xn^2 is approximately of order n.
So that ball, which is defined by that sum being smaller than 1 is really
really small.
【在 f*******w 的大作中提到】
: 一个n维单位球的体积是
: pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
: 分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
: 事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
: 可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少……
|
f*******n
发帖数: 12623 | 4 But you are only considering the part of the n-ball in the all positive
coordinates part of the space. So e.g. for sphere in 3D you are only
considering 1/8 of the actual sphere.
n.
【在 m*********a 的大作中提到】
: You can think of n random variables,each uniform in [0,1]
: then by Law of Large Numbers, x1^2+x2^2+...+xn^2 is approximately of order n.
: So that ball, which is defined by that sum being smaller than 1 is really
: really small.
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m*********a
发帖数: 2000 | 5 you can easily adpat the argument la.
【在 f*******n 的大作中提到】
: But you are only considering the part of the n-ball in the all positive
: coordinates part of the space. So e.g. for sphere in 3D you are only
: considering 1/8 of the actual sphere.
:
: n.
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f*******w
发帖数: 1243 | 6
n.
It is still difficult to understand... although in each dimension the length
is really tiny, but there are infinity dimensions... can we said that when
n goes to infinity, the ball eventually goes to a point?
But that point does not have a volume? In mathematical point of view, that
is true
since the equation shows that. Intuitively, we are shrinking the diameter
but at the same time we increase the dimensions. It is still unclear for me
why it goes to zero.
Also, how can we explain there is a maximum point for volume of n-ball? n =
5, the volume achieves maximum. but why...
【在 m*********a 的大作中提到】
: You can think of n random variables,each uniform in [0,1]
: then by Law of Large Numbers, x1^2+x2^2+...+xn^2 is approximately of order n.
: So that ball, which is defined by that sum being smaller than 1 is really
: really small.
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N***m
发帖数: 4460 | 7 多维空间的结果本来就不是人类能直接想象的！
length
when
me
=
【在 f*******w 的大作中提到】
:
: n.
: It is still difficult to understand... although in each dimension the length
: is really tiny, but there are infinity dimensions... can we said that when
: n goes to infinity, the ball eventually goes to a point?
: But that point does not have a volume? In mathematical point of view, that
: is true
: since the equation shows that. Intuitively, we are shrinking the diameter
: but at the same time we increase the dimensions. It is still unclear for me
: why it goes to zero.
|
o*d
发帖数: 72 | 8 I guess the meaningful thing is the ratio between volumes of a unit cube and
its inscribed sphere, or vice versa. |
l********e
发帖数: 3632 | 9 单位都不一样，光数字有什么好比的？
你1美元和10日元有可比性吗？
【在 f*******w 的大作中提到】
: 一个n维单位球的体积是
: pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
: 分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
: 事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
: 可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少……
|
N***m
发帖数: 4460 | 10 ...
显然这个值也是单位球/单位格子的比值，无量纲的
另外，1美元和10日元当然也有可比性。
【在 l********e 的大作中提到】
: 单位都不一样，光数字有什么好比的？
: 你1美元和10日元有可比性吗？
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c****n
发帖数: 21367 | 11 这是个很好的问题，我尝试回答一下
从“直观”来说，n-球的体积是单位半径球跟单位半径“立方体”
所占空间的比值。这个比值的大小是与球跟“立方体”的贴合程度
直接相关的。比如二维情况，正方形4个角不属于圆的部分的面积，
三维情况，立方体8个角不属于球的部分的体积，以此类推。
这样一个关系并不是简单的。在n维下，有多少个角，每个角上不属于
n-球的部分的体积有多少，都会影响n-球的体积计算。所以完全可能
出现n-球的体积对于n是非单调函数的情况。
至于为什么n=5取到极值，我就不懂了。也许学低维拓扑的同志可以
给出巧妙而深刻的解释。
【在 f*******w 的大作中提到】
: 一个n维单位球的体积是
: pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
: 分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
: 事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
: 可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少……
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o*d
发帖数: 72 | |
a****y
发帖数: 1035 | 13 从直观上，我是这样理解的：
在n维空间，过原点和(1，1，1，1，。。。)点做直线。
考虑该直线与单位n维球面交点的坐标。容易得出交点处于：
(1/sqrt(n), 1/sqrt(n), 1/sqrt(n), 1/sqrt(n), ...)
所以，可以想象，n维球体其实是个海星形状。而且，随维数越高越瘦。
而海星的脚在坐标轴上：
(1,0,0,0,...)
(0,1,0,0,...) 等等
【在 o*d 的大作中提到】
: http://mathoverflow.net/questions/8258/whats-a-nice-argument-th
: http://divisbyzero.com/2010/05/09/volumes-of-n-dimensional-ball
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l********e
发帖数: 3632 | 14 不对，你想错了。
这里的球总是凸的。
【在 a****y 的大作中提到】
: 从直观上，我是这样理解的：
: 在n维空间，过原点和(1，1，1，1，。。。)点做直线。
: 考虑该直线与单位n维球面交点的坐标。容易得出交点处于：
: (1/sqrt(n), 1/sqrt(n), 1/sqrt(n), 1/sqrt(n), ...)
: 所以，可以想象，n维球体其实是个海星形状。而且，随维数越高越瘦。
: 而海星的脚在坐标轴上：
: (1,0,0,0,...)
: (0,1,0,0,...) 等等
|
a****y
发帖数: 1035 | 15 嗯,球面到原点距离的却总是1，所以总是凸的。
那么，我看可以这样理解:
把单位n维超立方体的放在原点。它的各顶点与原点距离都是sqrt(n)/2
所以随维数升高，单位立方体各顶点到球面的距离(sqrt(n)/2 - 1)，会无限增
大。所以单位球的体积相对于单位立方体（体积总是1）会趋于0. |
f*******w
发帖数: 1243 | 16 一个n维单位球的体积是
pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少…… |
f*******w
发帖数: 1243 | |
m*********a
发帖数: 2000 | 18 You can think of n random variables,each uniform in [0,1]
then by Law of Large Numbers, x1^2+x2^2+...+xn^2 is approximately of order n.
So that ball, which is defined by that sum being smaller than 1 is really
really small.
【在 f*******w 的大作中提到】
: 一个n维单位球的体积是
: pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
: 分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
: 事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
: 可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少……
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f*******n
发帖数: 12623 | 19 But you are only considering the part of the n-ball in the all positive
coordinates part of the space. So e.g. for sphere in 3D you are only
considering 1/8 of the actual sphere.
n.
【在 m*********a 的大作中提到】
: You can think of n random variables,each uniform in [0,1]
: then by Law of Large Numbers, x1^2+x2^2+...+xn^2 is approximately of order n.
: So that ball, which is defined by that sum being smaller than 1 is really
: really small.
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m*********a
发帖数: 2000 | 20 you can easily adpat the argument la.
【在 f*******n 的大作中提到】
: But you are only considering the part of the n-ball in the all positive
: coordinates part of the space. So e.g. for sphere in 3D you are only
: considering 1/8 of the actual sphere.
:
: n.
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f*******w
发帖数: 1243 | 21
n.
It is still difficult to understand... although in each dimension the length
is really tiny, but there are infinity dimensions... can we said that when
n goes to infinity, the ball eventually goes to a point?
But that point does not have a volume? In mathematical point of view, that
is true
since the equation shows that. Intuitively, we are shrinking the diameter
but at the same time we increase the dimensions. It is still unclear for me
why it goes to zero.
Also, how can we explain there is a maximum point for volume of n-ball? n =
5, the volume achieves maximum. but why...
【在 m*********a 的大作中提到】
: You can think of n random variables,each uniform in [0,1]
: then by Law of Large Numbers, x1^2+x2^2+...+xn^2 is approximately of order n.
: So that ball, which is defined by that sum being smaller than 1 is really
: really small.
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N***m
发帖数: 4460 | 22 多维空间的结果本来就不是人类能直接想象的！
length
when
me
=
【在 f*******w 的大作中提到】
:
: n.
: It is still difficult to understand... although in each dimension the length
: is really tiny, but there are infinity dimensions... can we said that when
: n goes to infinity, the ball eventually goes to a point?
: But that point does not have a volume? In mathematical point of view, that
: is true
: since the equation shows that. Intuitively, we are shrinking the diameter
: but at the same time we increase the dimensions. It is still unclear for me
: why it goes to zero.
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o*d
发帖数: 72 | 23 I guess the meaningful thing is the ratio between volumes of a unit cube and
its inscribed sphere, or vice versa. |
l********e
发帖数: 3632 | 24 单位都不一样，光数字有什么好比的？
你1美元和10日元有可比性吗？
【在 f*******w 的大作中提到】
: 一个n维单位球的体积是
: pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
: 分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
: 事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
: 可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少……
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N***m
发帖数: 4460 | 25 ...
显然这个值也是单位球/单位格子的比值，无量纲的
另外，1美元和10日元当然也有可比性。
【在 l********e 的大作中提到】
: 单位都不一样，光数字有什么好比的？
: 你1美元和10日元有可比性吗？
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c****n
发帖数: 21367 | 26 这是个很好的问题，我尝试回答一下
从“直观”来说，n-球的体积是单位半径球跟单位半径“立方体”
所占空间的比值。这个比值的大小是与球跟“立方体”的贴合程度
直接相关的。比如二维情况，正方形4个角不属于圆的部分的面积，
三维情况，立方体8个角不属于球的部分的体积，以此类推。
这样一个关系并不是简单的。在n维下，有多少个角，每个角上不属于
n-球的部分的体积有多少，都会影响n-球的体积计算。所以完全可能
出现n-球的体积对于n是非单调函数的情况。
至于为什么n=5取到极值，我就不懂了。也许学低维拓扑的同志可以
给出巧妙而深刻的解释。
【在 f*******w 的大作中提到】
: 一个n维单位球的体积是
: pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
: 分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
: 事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
: 可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少……
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o*d
发帖数: 72 | |
a****y
发帖数: 1035 | 28 从直观上，我是这样理解的：
在n维空间，过原点和(1，1，1，1，。。。)点做直线。
考虑该直线与单位n维球面交点的坐标。容易得出交点处于：
(1/sqrt(n), 1/sqrt(n), 1/sqrt(n), 1/sqrt(n), ...)
所以，可以想象，n维球体其实是个海星形状。而且，随维数越高越瘦。
而海星的脚在坐标轴上：
(1,0,0,0,...)
(0,1,0,0,...) 等等
【在 o*d 的大作中提到】
: http://mathoverflow.net/questions/8258/whats-a-nice-argument-th
: http://divisbyzero.com/2010/05/09/volumes-of-n-dimensional-ball
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l********e
发帖数: 3632 | 29 不对，你想错了。
这里的球总是凸的。
【在 a****y 的大作中提到】
: 从直观上，我是这样理解的：
: 在n维空间，过原点和(1，1，1，1，。。。)点做直线。
: 考虑该直线与单位n维球面交点的坐标。容易得出交点处于：
: (1/sqrt(n), 1/sqrt(n), 1/sqrt(n), 1/sqrt(n), ...)
: 所以，可以想象，n维球体其实是个海星形状。而且，随维数越高越瘦。
: 而海星的脚在坐标轴上：
: (1,0,0,0,...)
: (0,1,0,0,...) 等等
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a****y
发帖数: 1035 | 30 嗯,球面到原点距离的却总是1，所以总是凸的。
那么，我看可以这样理解:
把单位n维超立方体的放在原点。它的各顶点与原点距离都是sqrt(n)/2
所以随维数升高，单位立方体各顶点到球面的距离(sqrt(n)/2 - 1)，会无限增
大。所以单位球的体积相对于单位立方体（体积总是1）会趋于0. |
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s*****V
发帖数: 21731 | 31 综合一下大家的观点是,不是球的体积减少,而是单位超立方体变得越来越大,当维度趋
于无穷的，时候，超立方体的对顶点之间距离变成无穷大。
【在 f*******w 的大作中提到】
: 一个n维单位球的体积是
: pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
: 分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
: 事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
: 可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少……
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z***e
发帖数: 5600 | 32 Can either use the central limit theorem on the distribution of Sum( Xi^2/N )
or simply consider this
For Sum(xi^2) to be < 1, we can not have more than 4 xi's to be greater than
1/2. It is quite clear as n->inf, that probability goes to 0 as n^4 / 2^n
-> 0
length
when
me
=
【在 f*******w 的大作中提到】
:
: n.
: It is still difficult to understand... although in each dimension the length
: is really tiny, but there are infinity dimensions... can we said that when
: n goes to infinity, the ball eventually goes to a point?
: But that point does not have a volume? In mathematical point of view, that
: is true
: since the equation shows that. Intuitively, we are shrinking the diameter
: but at the same time we increase the dimensions. It is still unclear for me
: why it goes to zero.
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S*********N
发帖数: 6151 | 33
可以这样想象：
正方形-》圆
正方体-》球
【在 f*******w 的大作中提到】
: 一个n维单位球的体积是
: pi^(n/2) / gamma(n/2+1)
: http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area
: 分子是指数，分母是阶乘，所以当n充分大的时候，单位球的体积是不断减少的
: 事实上很容易就能算出，n>6的时候就开始下降了
: 可是直觉上很难理解啊……为什么维数增加，体积会减少……
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