a****z
发帖数: 290 | 1 泰勒级数的证明都是基于在中心点x=a附近。 可是为什么很多函数的泰勒级数都是以麦
克劳林级数x=0表达出来的，如 sin(x)=x - x^3/3! + x^7/7! - x^7/7!.....
而且大家都唐而璜之在离零点很远的地方使用麦克劳林级数来当做泰勒级数。我知道这
样算不会有错，可是有什么正式的证明吗？ 我知道收敛半径这个东西，可这什么都不
说明什么吧 |
l********e
发帖数: 3632 | 2 that's simple, either those "大家" that you refer to are wrong, or you didn'
t understand what is radius of convergence. |
p*******5
发帖数: 6446 | 3 这个泰勒级数在收敛半径内都成立啊，设a=0能让形式更简单，干吗不用？
【在 a****z 的大作中提到】
: 泰勒级数的证明都是基于在中心点x=a附近。 可是为什么很多函数的泰勒级数都是以麦
: 克劳林级数x=0表达出来的，如 sin(x)=x - x^3/3! + x^7/7! - x^7/7!.....
: 而且大家都唐而璜之在离零点很远的地方使用麦克劳林级数来当做泰勒级数。我知道这
: 样算不会有错，可是有什么正式的证明吗？ 我知道收敛半径这个东西，可这什么都不
: 说明什么吧
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a****z
发帖数: 290 | 4 泰勒级数在收敛半径收敛不假，但为什么收敛于原函数? 我见过的书上和网上都是证明
泰勒级数在x=a时收敛于原函数， 这个好理解。但为什么在a点展开的泰勒级数在远离a
点的b点(b在收敛半径内)也等于原函数，这个我看不到大学教材里有证明过。
【在 p*******5 的大作中提到】
: 这个泰勒级数在收敛半径内都成立啊，设a=0能让形式更简单，干吗不用？
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p*******5
发帖数: 6446 | 5 你对泰勒级数理解有误。泰勒级数是在收敛半径内所有点收敛于原函数，a只是展开中
心点而已。
离a
【在 a****z 的大作中提到】
: 泰勒级数在收敛半径收敛不假，但为什么收敛于原函数? 我见过的书上和网上都是证明
: 泰勒级数在x=a时收敛于原函数， 这个好理解。但为什么在a点展开的泰勒级数在远离a
: 点的b点(b在收敛半径内)也等于原函数，这个我看不到大学教材里有证明过。
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O*******9
发帖数: 32 | |
h****d
发帖数: 485 | 7 你是文科生吗？
【在 a****z 的大作中提到】
: 泰勒级数的证明都是基于在中心点x=a附近。 可是为什么很多函数的泰勒级数都是以麦
: 克劳林级数x=0表达出来的，如 sin(x)=x - x^3/3! + x^7/7! - x^7/7!.....
: 而且大家都唐而璜之在离零点很远的地方使用麦克劳林级数来当做泰勒级数。我知道这
: 样算不会有错，可是有什么正式的证明吗？ 我知道收敛半径这个东西，可这什么都不
: 说明什么吧
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a****z
发帖数: 290 | 8 泰勒级数在x=a收敛于原函数的证明很简单;
泰勒级数在收敛半径内收敛的证明佷简单;
可是泰勒级数在收敛半径内收敛于原函数, 这个证明一般书上有讲吗。
【在 p*******5 的大作中提到】
: 你对泰勒级数理解有误。泰勒级数是在收敛半径内所有点收敛于原函数，a只是展开中
: 心点而已。
:
: 离a
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p*******5
发帖数: 6446 | 9 我不知道你看的是什么"一般"书,反正我看的书上讲的都是第三种证明.
【在 a****z 的大作中提到】
: 泰勒级数在x=a收敛于原函数的证明很简单;
: 泰勒级数在收敛半径内收敛的证明佷简单;
: 可是泰勒级数在收敛半径内收敛于原函数, 这个证明一般书上有讲吗。
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a****z
发帖数: 290 | 10 哦? 书名?
【在 p*******5 的大作中提到】
: 我不知道你看的是什么"一般"书,反正我看的书上讲的都是第三种证明.
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p*******5
发帖数: 6446 | 11 任何一本微积分或复变函数的书. 我相信你看的书证明也是一样的,只是你没读懂而已.
【在 a****z 的大作中提到】
: 哦? 书名?
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l********e
发帖数: 3632 | 12 我来吹毛求疵一下
不是所有函数的泰勒级数在收敛域里面都收敛到原来的函数
具有上述性质的函数叫解析函数analytic function
学过微积分的都知道用指数函数构造的那个例子。 |
a****z
发帖数: 290 | 13 比如pi/4离0很远吧,
sin(pi/4)附近的f', f'', f''', f''''同sin(0)附近的f', f'', f''', f''''很不一
样吧. 用在0点的导数去算pi/4点的值, 这个不证明一下叫人怎末安心.
当然这个就是泰勒级数让人着迷的地方. 但我不是神秘论者, 我相信证明一定在某处,
只是普通大学教材不放出来而已.
【在 a****z 的大作中提到】
: 哦? 书名?
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a****z
发帖数: 290 | 14 同意.
有解析函数为什么"解析"的证明吗?
【在 l********e 的大作中提到】
: 我来吹毛求疵一下
: 不是所有函数的泰勒级数在收敛域里面都收敛到原来的函数
: 具有上述性质的函数叫解析函数analytic function
: 学过微积分的都知道用指数函数构造的那个例子。
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l********e
发帖数: 3632 | 15 这是解析函数的定义...
所以如果一个函数是解析的话，自然算出taylor级数收敛，那么自然收敛到他函数自己
，比如你说的sinx等。你所说的一点的导数，二阶导数等等决定‘很远’的值，正是解
析函数的定义。你不能混淆定义。
【在 a****z 的大作中提到】
: 同意.
: 有解析函数为什么"解析"的证明吗?
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p******e
发帖数: 1151 | 16 回去将教科书好好看看吧：
sin x， cos x， e^x 的级数展开收敛到原函数的证明很多书都有－－－就是余项估
计定理：
Lagrange中值定理的推广（应该也是Lagrange第一个严格证明的）。 |
a****z
发帖数: 290 | 17 好的, 多谢指点.
【在 p******e 的大作中提到】
: 回去将教科书好好看看吧：
: sin x， cos x， e^x 的级数展开收敛到原函数的证明很多书都有－－－就是余项估
: 计定理：
: Lagrange中值定理的推广（应该也是Lagrange第一个严格证明的）。
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a****z
发帖数: 290 | 18 这个说不通吧. 不可以因为sin的行为符合解析函数的定义, 所以我就不能问sin为什么
会解析吧.
【在 l********e 的大作中提到】
: 这是解析函数的定义...
: 所以如果一个函数是解析的话，自然算出taylor级数收敛，那么自然收敛到他函数自己
: ，比如你说的sinx等。你所说的一点的导数，二阶导数等等决定‘很远’的值，正是解
: 析函数的定义。你不能混淆定义。
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l********e
发帖数: 3632 | 19 我理解错你的问题了，答案是我楼上说的一样，余项估计
【在 a****z 的大作中提到】
: 这个说不通吧. 不可以因为sin的行为符合解析函数的定义, 所以我就不能问sin为什么
: 会解析吧.
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