c**A
发帖数: 1474 | 1 两个质数的积是2^10+5^12, 求这两个质数的差。
问一下万能的数学版。。。 |
a****a
发帖数: 5763 | 2 用费马小丁力吧
【在 c**A 的大作中提到】
: 两个质数的积是2^10+5^12, 求这两个质数的差。
: 问一下万能的数学版。。。
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c**A
发帖数: 1474 | 3 愿闻其详。。。
【在 a****a 的大作中提到】
: 用费马小丁力吧
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a****a
发帖数: 5763 | 4 2^10=1024
5^12=244140625
2^10+5^12=244141649= 14567*16657
16657-14657=2000
【在 c**A 的大作中提到】
: 两个质数的积是2^10+5^12, 求这两个质数的差。
: 问一下万能的数学版。。。
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c**A
发帖数: 1474 | 5 先多谢了。
我自己也是这么算的。 跑个小程序搞定。
不过这是我儿子今天上午数学竞赛题中的一道，25题45分钟，又没有计算器。显然应该
有更巧的解法。
【在 a****a 的大作中提到】
: 2^10=1024
: 5^12=244140625
: 2^10+5^12=244141649= 14567*16657
: 16657-14657=2000
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I*******y
发帖数: 4893 | 6 a^4 + 4 b^4 = (a^2 + 2ab + 2 b^2) (a^2 - 2ab + 2 b^2)
【在 c**A 的大作中提到】
: 两个质数的积是2^10+5^12, 求这两个质数的差。
: 问一下万能的数学版。。。
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c**A
发帖数: 1474 | 7 靠。 牛逼。
多谢了。。。
【在 I*******y 的大作中提到】
: a^4 + 4 b^4 = (a^2 + 2ab + 2 b^2) (a^2 - 2ab + 2 b^2)
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n*****n
发帖数: 3123 | 8 初一就学因式分解了吗？
【在 c**A 的大作中提到】
: 两个质数的积是2^10+5^12, 求这两个质数的差。
: 问一下万能的数学版。。。
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c**A
发帖数: 1474 | 9 竞赛么，总是要超前一些的。
我看了看，基本上微积分以前的东东都在了。
不过说到因式分解，美国这边就是7年级教的。没这么难就是了。
【在 n*****n 的大作中提到】
: 初一就学因式分解了吗？
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n*****n
发帖数: 3123 | 10 这是什么竞赛？有链接吗，想看一下
【在 c**A 的大作中提到】
: 竞赛么，总是要超前一些的。
: 我看了看，基本上微积分以前的东东都在了。
: 不过说到因式分解，美国这边就是7年级教的。没这么难就是了。
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B****n
发帖数: 11290 | 11
就算有教也不太可能會教這種巴
a^4 + 4 b^4 = (a^2 + 2ab + 2 b^2) (a^2 - 2ab + 2 b^2)
競賽就是要學非常多的特殊解題技巧
【在 n*****n 的大作中提到】
: 初一就学因式分解了吗？
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c**A
发帖数: 1474 | 12 一个local的邀请赛。 没有试题链接。
其它题还好，像我这样20多年没碰过竞赛题的人还能对付。就是这倒题把我憋住了。
【在 n*****n 的大作中提到】
: 这是什么竞赛？有链接吗，想看一下
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a*****g
发帖数: 19398 | 13 我能想到是用因式分解的方法
但是我想不到是这个式子
【在 B****n 的大作中提到】
:
: 就算有教也不太可能會教這種巴
: a^4 + 4 b^4 = (a^2 + 2ab + 2 b^2) (a^2 - 2ab + 2 b^2)
: 競賽就是要學非常多的特殊解題技巧
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a****a
发帖数: 5763 | 14 me 2
刚开始想的是高斯的复数因式分解
a^2+b^2 = (a+ib)(a-ib)
这个真心想不到
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我能想到是用因式分解的方法
: 但是我想不到是这个式子
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S***p
发帖数: 19902 | 15 本意是要用中国剩余定理吧
mod 2, mod 5 ? |
S***p
发帖数: 19902 | 16 牛～
【在 I*******y 的大作中提到】
: a^4 + 4 b^4 = (a^2 + 2ab + 2 b^2) (a^2 - 2ab + 2 b^2)
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n*****n
发帖数: 3123 | 17 这个就是配平方。搞过竞赛的，做这个因式分解没有什么难度。
这个题难在给的是具体的数。我觉得远远超过初一的水平。
【在 B****n 的大作中提到】
:
: 就算有教也不太可能會教這種巴
: a^4 + 4 b^4 = (a^2 + 2ab + 2 b^2) (a^2 - 2ab + 2 b^2)
: 競賽就是要學非常多的特殊解題技巧
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B****n
发帖数: 11290 | 18 你說的有道理 而且比較奇怪的是質數這個條件並沒真正用到
所以可能出題的人有除了因式分解另外的思路
【在 n*****n 的大作中提到】
: 这个就是配平方。搞过竞赛的，做这个因式分解没有什么难度。
: 这个题难在给的是具体的数。我觉得远远超过初一的水平。
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n*******l
发帖数: 2911 | 19 质数条件决定了因式分解的唯一性.当然也许还有别的解法.
【在 B****n 的大作中提到】
: 你說的有道理 而且比較奇怪的是質數這個條件並沒真正用到
: 所以可能出題的人有除了因式分解另外的思路
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c**A
发帖数: 1474 | 20 更简单的解法如下：
2^10+5^12=(2^5)^2+(5^6)^2= (2^5+5^6)^2-2*(2^5)(5^6)
=(2^5+5^6)^2 - (2^6)(5^6)
=(2^5+5^6)^2 - {(2^3)(5^3)}^2
=(2^5+5^6)^2 - 1000^2
=(2^5+5^6+1000)(2^5+5^6-1000)
一共用了两个简单的因式分解：
（a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
这个应该是出题者本来的思路。
【在 B****n 的大作中提到】
: 你說的有道理 而且比較奇怪的是質數這個條件並沒真正用到
: 所以可能出題的人有除了因式分解另外的思路
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I*******y
发帖数: 4893 | 21 a^4 + 4 b^4当然也是这么凑出来的，加个减个4 a^2 b^2，也是一个和平方一个平方差
，只是没写中间步骤而已，没什么区别。
【在 c**A 的大作中提到】
: 更简单的解法如下：
: 2^10+5^12=(2^5)^2+(5^6)^2= (2^5+5^6)^2-2*(2^5)(5^6)
: =(2^5+5^6)^2 - (2^6)(5^6)
: =(2^5+5^6)^2 - {(2^3)(5^3)}^2
: =(2^5+5^6)^2 - 1000^2
: =(2^5+5^6+1000)(2^5+5^6-1000)
: 一共用了两个简单的因式分解：
: （a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
: a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
: 这个应该是出题者本来的思路。
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c**A
发帖数: 1474 | 22 再问一道。。 呵呵。。
49^5 用11进制表示， 后三位数字是几？
用欧拉定理很容易搞定最后一位，不知道有没有简单的方法搞定剩下两位？
【在 c**A 的大作中提到】
: 两个质数的积是2^10+5^12, 求这两个质数的差。
: 问一下万能的数学版。。。
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g****t
发帖数: 31659 | 23 牛顿法手算ln(49),ln(11)这个approach,允许吗?
或者找个ln(x)的快速级数展开?
再问一道。。 呵呵。。
49^5 用11进制表示， 后三位数字是几？
用欧拉定理很容易搞定最后一位，不知道有没有简单的方法搞定剩下两位？
【在 c**A 的大作中提到】
: 再问一道。。 呵呵。。
: 49^5 用11进制表示， 后三位数字是几？
: 用欧拉定理很容易搞定最后一位，不知道有没有简单的方法搞定剩下两位？
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c**A
发帖数: 1474 | 24 应该不成吧。
毕竟是初一的题目。而且时间有限。
【在 g****t 的大作中提到】
: 牛顿法手算ln(49),ln(11)这个approach,允许吗?
: 或者找个ln(x)的快速级数展开?
:
: 再问一道。。 呵呵。。
: 49^5 用11进制表示， 后三位数字是几？
: 用欧拉定理很容易搞定最后一位，不知道有没有简单的方法搞定剩下两位？
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a****a
发帖数: 5763 | 25 这个不是反复求模？
【在 c**A 的大作中提到】
: 再问一道。。 呵呵。。
: 49^5 用11进制表示， 后三位数字是几？
: 用欧拉定理很容易搞定最后一位，不知道有没有简单的方法搞定剩下两位？
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n***p
发帖数: 7668 | 26 可不可以用计算器? 当然手算也还可以。
7^10 mod 11^3 = 1112
1112 = 9*11^2 + 2*11 + 1
【在 c**A 的大作中提到】
: 应该不成吧。
: 毕竟是初一的题目。而且时间有限。
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c**A
发帖数: 1474 | 27 请问7^10 mod 11^3 = 1112 是如何手算得出的？
谢谢。。。
【在 n***p 的大作中提到】
: 可不可以用计算器? 当然手算也还可以。
: 7^10 mod 11^3 = 1112
: 1112 = 9*11^2 + 2*11 + 1
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c*******h
发帖数: 1096 | 28 将49表达成11进制45，然后做11进制乘法，记得逢11进1
答案921是对的
【在 c**A 的大作中提到】
: 再问一道。。 呵呵。。
: 49^5 用11进制表示， 后三位数字是几？
: 用欧拉定理很容易搞定最后一位，不知道有没有简单的方法搞定剩下两位？
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s***g
发帖数: 495 | 29 二项式定理？
【在 c**A 的大作中提到】
: 请问7^10 mod 11^3 = 1112 是如何手算得出的？
: 谢谢。。。
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g****t
发帖数: 31659 | 30 11进制乘法，乘5次。
笔算熟练的话，15分钟足够了吧。
应该不成吧。
毕竟是初一的题目。而且时间有限。
【在 c**A 的大作中提到】
: 应该不成吧。
: 毕竟是初一的题目。而且时间有限。
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n***p
发帖数: 7668 | 31 我用的是计算器,不过硬算也是可以的,用二项式定理
49^5 mod(11^3) = C(5,3)*44^2*5^3 +C(5,4)*44*5^4 + 5^5 mod(11^3)
= 10*16*125*11^2 + 5*4*5^4*11 + 5^5 mod(11^3)
= 10*5*4*11^2 + 4*5^5*11 + 5^5 mod(11^3)
= 200*11^2 + 4*5^5*11 +5^5 mod(11^3)
= 2*11^2 + 20*625*11 + 5*625 mod(11^3)
= 2*11^2 + (11+9)*(5*11^2+ 11+ 9)*11 + 5*(5*11^2 + 11 + 9) mod(11^3)
= 2*11^2 + 2* 9*11^2 + 81*11 + 25*11^2 + 5*11 + 45 mod(11^3)
= 11^2 (2 + 18 + 7 + 25 )
+ 11 (4+ 5 +4)
+ 1 mod(11^3)
= 9*11^2 + 2*11 + 1 mod(11^3)
【在 c**A 的大作中提到】
: 请问7^10 mod 11^3 = 1112 是如何手算得出的？
: 谢谢。。。
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g****t
发帖数: 31659 | 32 你这个恐怕还没有直接算乘法快吧.
不就是5道11进制乘法题么.
我用的是计算器,不过硬算也是可以的,用二项式定理
49^5 mod(11^3) = C(5,3)*44^2*5^3 +C(5,4)*44*5^4 + 5^5 mod(11^3)
= 10*16*125*11^2 + 5*4*5^4*11 + 5^5 mod(11^3)
= 10*5*4*11^2 + 4*5^5*11 + 5^5 mod(11^3)
= 200*11^2 + 4*5^5*11 +5^5 mod(11^3)
= 2*11^2 + 20*625*11 + 5*625 mod(11^3)
= 2*11^2 + (11+9)*(5*11^2+ 11+ 9)*11 + 5*(5*11^2 + 11 + 9) mod(11^3)
= 2*11^2 + 2* 9*11^2 + 81*11 + 25*11^2 + 5*11 + 45 mod(11^3)
= 11^2 (2 + 18 + 7 + 25 )
+ 11 (4+ 5 +4)
+ 1 mod(11^3)
= 9*11^2 + 2*11 + 1 mod(11^3)
【在 n***p 的大作中提到】
: 我用的是计算器,不过硬算也是可以的,用二项式定理
: 49^5 mod(11^3) = C(5,3)*44^2*5^3 +C(5,4)*44*5^4 + 5^5 mod(11^3)
: = 10*16*125*11^2 + 5*4*5^4*11 + 5^5 mod(11^3)
: = 10*5*4*11^2 + 4*5^5*11 + 5^5 mod(11^3)
: = 200*11^2 + 4*5^5*11 +5^5 mod(11^3)
: = 2*11^2 + 20*625*11 + 5*625 mod(11^3)
: = 2*11^2 + (11+9)*(5*11^2+ 11+ 9)*11 + 5*(5*11^2 + 11 + 9) mod(11^3)
: = 2*11^2 + 2* 9*11^2 + 81*11 + 25*11^2 + 5*11 + 45 mod(11^3)
: = 11^2 (2 + 18 + 7 + 25 )
: + 11 (4+ 5 +4)
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c**A
发帖数: 1474 | 33 多谢了。 这个思路倒是没想过。
【在 c*******h 的大作中提到】
: 将49表达成11进制45，然后做11进制乘法，记得逢11进1
: 答案921是对的
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c**A
发帖数: 1474 | 34 拆49为44+5， 然后不停的往外分11？
恩。 这个也没想到过。。
【在 s***g 的大作中提到】
: 二项式定理？
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c**A
发帖数: 1474 | 35 45分钟25题呢。
这是最后一道。 肯定留不出15分钟来。
不过只计算后三位应该能快点。 呵呵。
【在 g****t 的大作中提到】
: 11进制乘法，乘5次。
: 笔算熟练的话，15分钟足够了吧。
:
: 应该不成吧。
: 毕竟是初一的题目。而且时间有限。
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c**A
发帖数: 1474 | 36 多谢，多谢。。
给这么详细的解答。
总体来说美国竞赛水平还是很让我惊讶的。 好像和他们平时上课的水平不太成比例。
【在 n***p 的大作中提到】
: 我用的是计算器,不过硬算也是可以的,用二项式定理
: 49^5 mod(11^3) = C(5,3)*44^2*5^3 +C(5,4)*44*5^4 + 5^5 mod(11^3)
: = 10*16*125*11^2 + 5*4*5^4*11 + 5^5 mod(11^3)
: = 10*5*4*11^2 + 4*5^5*11 + 5^5 mod(11^3)
: = 200*11^2 + 4*5^5*11 +5^5 mod(11^3)
: = 2*11^2 + 20*625*11 + 5*625 mod(11^3)
: = 2*11^2 + (11+9)*(5*11^2+ 11+ 9)*11 + 5*(5*11^2 + 11 + 9) mod(11^3)
: = 2*11^2 + 2* 9*11^2 + 81*11 + 25*11^2 + 5*11 + 45 mod(11^3)
: = 11^2 (2 + 18 + 7 + 25 )
: + 11 (4+ 5 +4)
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n***p
发帖数: 7668 | 37 我不是没想到11进制乘法这个方法么? 这好歹也算是个思路,尽管不是最优办法.
话说我尝试了一下11进制乘法,对于我这种被10进制禁锢了的头脑来说,还真的挺
别扭的.
【在 g****t 的大作中提到】
: 你这个恐怕还没有直接算乘法快吧.
: 不就是5道11进制乘法题么.
:
: 我用的是计算器,不过硬算也是可以的,用二项式定理
: 49^5 mod(11^3) = C(5,3)*44^2*5^3 +C(5,4)*44*5^4 + 5^5 mod(11^3)
: = 10*16*125*11^2 + 5*4*5^4*11 + 5^5 mod(11^3)
: = 10*5*4*11^2 + 4*5^5*11 + 5^5 mod(11^3)
: = 200*11^2 + 4*5^5*11 +5^5 mod(11^3)
: = 2*11^2 + 20*625*11 + 5*625 mod(11^3)
: = 2*11^2 + (11+9)*(5*11^2+ 11+ 9)*11 + 5*(5*11^2 + 11 + 9) mod(11^3)
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