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2011-11-03 23:35:00
我想谈谈过去五十年和我预测未来一百年的代数几何,我将一次次分开讨论,如果有兴趣
请支持:
1940-1965
代数几何在1900年以前,已经有了代数曲面的部分理论和代数曲线上的Riemann-Roch定
理,但是语言和概念处于一个混乱的状态.在1950到1965年间出现了三个巨大的革命.奠
定了代数几何的秩序描述了重要的问题,提供了未来发展的方向.她们是Hodge(加一堆人
)开创复几何, Kodaira的三大工作和Grothendieck的抽象语言及新定义(问题):
让我先讲第一项工作.
Hodge+Lefschetz+Kaehler考虑了复流形的定义和一般的性质,Kaehler引入了Kaehler度
量,Hodge利用了分析中着名的Elliptic regularity对Kaehler流形的上同调群作了至今
仍然神秘的Hodge分解,并且提出着名的Hodge猜想,Lefschetz证明了Hodge猜想的非常特
殊情形,并且证明了他的截面定理,用以连结一平滑代数簇和其截面的同调群.
这是一连串故事的开始,这个故事到现在,甚至以后一百年内都不会结束.
Kodaira的三大工作:
(1)Kodaira证明了当复流形上的Kaehler form的上同调是有理的时候,该复流行就可以
全纯嵌入到复射影空间之中.而且也证明这是唯一的条件.至今称为Kodaira embedding.
(2)Kodaira把意大利学派对复曲面初步工作做了全面性地毯式的推广,对复曲面利用他
的 “Kodaira dimension”作了一个本质上的分类,对分类中的几个大项都做了完全的
讨论,尤其是对曲面作为一个over曲线的fibration,对其sigular fiber(椭圆情形)作了
分类,至今称之为Kodaira Classification.
(3)Kodaira研究了复流形的变形理论,对一阶变形做了详细的了解.将一阶变形表达为切
丛的第一阶上同调群,证明了至今称为Kodaira Spencer映射的存在性。
这三个工作,不论是哪一个都是无比的巨大.每一个工作都没有做完,但都做了开创性的
一步,也显现了复曲面理论的三个主要观点:做为射影空间的子簇,作为over一个更低维
度流形的fibration,作为其他更好了解的复流形的变形.
配合Chow的工作,Kodaira和Chow完全刻画那些可以做为射影空间子簇的复流形,知道她
们正是那些用多项式在射影空间切出的子簇.复几何从此成为代数几何的心腹(大患)
嵌入定里使用了正曲率向量丛之上同调的消灭定理,这个消灭定理对高维流形的分类起
了作用,也引发了后续的研究比如寻找更强的消灭定理
对曲面的分类,留下了general surface和她们的moduli问题,其使用的fibration技术,
成为人们研究曲面和更高维流形的主要工具
变形理论被Kuranishi更一步拓展.证明了有名的Kuranishi Obstruction Theory(障碍
理论), 描述复流形变形的障碍,发现了Kuranishi 映射,成为理解曲面(或任何代数几何
研究对象)模空间局部图形的刻画方法.其数论面被Nicolas Katz研究其over Spec Z的
变形性质, 帮助了Deligne证明Weil猜想.
Kodaira是神
Grothendieck
Grothendieck,是一个很难听的名字.如果你学过德文,你会知道 Grothen 是大的意思,
Dick是老二的意思.所以合起来就是这个人的名字很Diaoˇ
他是真的很Diaoˇ,他伙同了一票同事和弟子,建立了他的Program of Scheme,写下了
EGA SGA 和FGA,就是代数几何初步,研习,和基础的意思.他又提出了Etatle Theory,
Topo的概念, Weil 猜想的可能解法, 证明了他的Grothendieck Riemann Roch公式
关于上述几个工作,我来讨论依下:Scheme(我想中国翻译成概形)是研究代数簇一定会要
关心的对象,主要有两个原因, 一是一个簇到另一个簇的映射,其fiber(一点的原象)不
一定是个簇,但一定是一个"概形",另一个理由是在研究算数几何时,要研究over不是复
数体的概形, 必须使用scheme的概念.
这只是一个简单的概念,基本上概形就是由几个交换代数黏贴起来的图形,所有的性质都
可以用交换代数描述的.但是在使用Cech上同调来讲sheaf的理论时,有特别得便利之处,
另外在变形理论中,复流形的变形比scheme的变形难描述的多.
Etale cohomology是scheme/K在K不是複数时的类比于singular cohomology或DeRam
cohomology的东西.而Etale homotopy则是此情形的homotopy. 两者都和K的算数性很有
关系, 是类比于拓扑理论但是实际把Gal(K_1/K),包进去的概念,其中K_1是K的代数闭包
. 这 Etale cohomology后来被Deligne拿来解决Weil Conjecture的一部份, 其实很大
程度是只是表面的技术问题,但是想法是很突破性的: 把算术和几何做了一个很恰当的
合并.
Topo是很新的概念,当时没有人注意,但现在对(moduli)Stack(中文可能翻译为堆积)很
有影响当时是被拿来推广原来的"拓扑中的开集合",用于定义Etale cohomology和
homotopy.
Grothendick虽然做了很多重要的工作,对后人有很大的影响,但在本人的看法中,他的工
作主要是语言的建立,除了很多技术性的部分之外 ,他的直觉并不是一种往常意义下的
直觉, 而他是显然崇尚于"抽象化可以解决一切问题"的数学家, 据我所知有很多人学
EGA SGA学到死胡同里, 其实是他学派大部分的后人都是如此,只有少数几个例外, 其实
原因很简单,数学不应该是以抽象的语言为本质, 抽象化是数学的一大部分 ,但做为工
具的成分多于作为研究的对象的成分,就像算子论,纯代数等等工具,很快整个科目就会
枯竭,留下的价值是,所有人都要学习之,但并没有后续的问题.
毕竟数学真正的对象,除了物理问题以外,是几何(拓扑)与数,而方法只因为研究的对象
而重要.
1965-1980
这个时期得代数几何工作比较分散,很多结果都变成了启发后面1980-2000年工作的具体
例子.主要是模空间理论的出现逐渐成熟:这个时期的红人是David Mumford,单个较大的
工作团来自Griffith的领导,另外Daniel Quillen作了非常抽象但在2005的今天逐渐揭
示其重要性的工作:
(1)特殊曲面模空间:Kulikov和Robert Friedman完全刻画了K3曲面的semistable退化,
Lefshetz等人证明了K3的Torelli 定理,其中也用到了这个时期Kuranishi发展的障碍理
论,非常具有其特殊意义,人们开始关心模空间
(2)曲线模空间:Deligne和Mumford制造了亏格数为g的曲线的模空间及其紧化,在其上计
算了一些重要的几何上同调的相交数.引入了Moduli Stack的观念,其中用了
Grothendick Topos的语言,Artin研究了抽象Stack的局部-全域性质,Grothendick的学
生Illusie研究了重要的 Cotangent Complex,成为stack上一个酷毙的变形理论.
(3)向量丛的模空间:人们开始研究向量丛的模空间,Narasimhan和Seshadri一系列的工
作研究了曲线上向量丛模空间的製造和紧化, 研究他们的拓墣和几何性质.Atiyah-Bott
从微分几何的方向来考虑相同的问题, 对黎曼面上的向量丛模空间计算其betti数.是
Gauge(规范)理论在曲线上的经典之作
接下来我要讲这个时期中,David Mumford,Phillip Griffith,Daniel Quillen的工作
(1)Daniel Quillen:因为和Thom共同证明了有名的Cobordism Theorem,以及他开创了
Homotopic Algebra, 定义了Higher K theorem和发现其和Chow group of Scheme的关
系, 得到Fields medal.不同于Grothedick, Quillen的工作更具有数学上的价值,他的
homotopical algebra至今仍是一个谜,但是越来越多的数学问题都指向了解这个谜是终
极的方法,Higer K sheaf 的上同调等于Chow group,这个定理也是充满了神祕的面纱,
从1980到2005 没有人开清楚其中的真正的现象.
这次我想介绍一下David Mumford和Phillip Griffith的贡献和我对他们的个人意见.
David Mumford是一个奇才.他有两个主要的工作:
(1)发展了Geometric Invariant Theorem,也就是着名的几何不变量理论,这个理论研究
,当有一个群G作用在一个簇X的时候, 怎么样正确的找出X/G(称之为 Quotient by G)
上的scheme的结构.
这个问题听起来很简单,如果只想做 X/G上的拓扑或微分结构,几句话就可以说完, 但是
想有一个簇或是 解析结构,就变的复杂,这是代数几何研究模空间的重要工具
几乎所有的模空间的制造都是这种X/G 的形式.比如说曲线的模空间,一个簇裡面的曲线
的模空间,向量丛的模空间,霍奇结构的模空间等等等等等等等模空间
(2)曲线和Abelian Variety的模空间的紧化问题:模空间的紧化一直是备受关注的问题
，人们想知道几何对象的退化会变成什么样子，Mumford研究上述两种对象模空间的紧
化，并证明了对任意几何物件退化的 “Semistable Degeneration”定理，Mumford也
对Abelien Group Scheme作了一些贡献，对算数几何起了重大的影响.
Phillip Griffith 相较之下，并没有这么杰出，他也就只做了一系列有关霍奇猜想的
工作，他带领了一堆学生和工作伙伴，对霍奇结构的变形理论，和霍奇结构退化时的理
论，作了相当的贡献，他主要的动机是想要研究霍奇猜想和Torelli问题.但是他失败了
(ps: 霍奇猜想可看成是torelli的特例)他也因此离开了数学界，留下了他的两个著名
著作:(a)和Joe Harris合写的Principles in Algebraic Geometry(b)和他的团队合写
的Topic in Transcendal Geometry
在1965-1980这个时期中Pierre Deligne还提出了他的Mixed Hodege Structure，也就
是混霍奇结构，是不平滑的簇的霍奇结构.另外Hironaka也证明了Resolution of
Singularity的大定理得到非尔兹奖.
作为此文的作者，我想说依下我的个人观点，虽然Mumford的工作比Griffith杰出，但
是我以为这只是短暂的历史现象，Mumford对他的学生非常恶劣.甚至盗取他的一位超强
女学生的工作，相较之下Griffith就带领出一批学生和合作者，他虽然失败于一个不可
能的任务:解决霍奇猜想，但他的学生在下一个时期中，持续的在这个纲领上工作，也
取得重要的结果，一直到1996镜对称猜想出现，代数几何界对霍奇结构的重视突然飙高
，随着这些故事，Griffith的精神永存.
1975-1992这个时期,是代数几何的一个黄金时期,这个时期有三个大猜想被解决,几个分
支先后出现,能人辈出,真说的上风起云涌:
解决的猜想:
(1)Weil猜想:Weil在50年代提出了一个猜想,认为over Z的一个簇的整数点的个数隐藏
了该簇的拓扑性质, 这是一个令人震惊的猜想,藉由几何物件连结了拓扑和算数,这个猜
想由Pierre Deligne解决,他用了etale cohomology的各种性质,比如Lefshetz固定点公
式,另外Weil将整数点合在一起写成一个生成函数,Deligne 证明了这个函数的黎曼猜想
,这些工作是Grothendieck的Etale theory,甚至是代数几何,开始受到数论学家重视的
原因.
(2)Mordell猜想:Mordell在20年代提出了他的着名猜想:说一个亏格大于等于2又定义
over Q的代数曲线, 只能有有限个有理数点.这个猜想非常的简短漂亮,人们知道亏格零
的曲线有有理数那么多有理数点,知道亏格一的曲线的有理数点形成一个有限生成交换
群(这是Mordell的定理),如果证明了Mordell猜想, 那就说明了曲线的有理数点结构决
定其Kodaira维数.这又是一个联结算数和几何的特别猜想.
(Kodaira维数是Canonical bundle的section的个数增长次数，曲线有三个Kodaira
dimension，亏格0->K.D.=复无限大，亏格1->K.D.=0，亏格大于等于二->K.D.=1)
这个猜想被Gerd Faltings 解决，Faltings据说是一个天生下来学习Grothendieck 语
言的数学家，他高中就把Bourbaki的代数念完，大学把EGA SGA念完，他证明Mordell猜
想的方法也是利用Abelian Variety 的理论，这个人和Pierre Deligne 是算数几何的
宗师.
(3) Calabi猜想: Calabi提出他的著名猜想:一个Kaehler形式可以调整为其Ricci曲率
为给定的形式，邱成桐证明了这个猜想，也证明了Kaehler Eisten曲率的存在性，在K
trivia 的时候就是著名的Calabi Yau流形，一维时是椭圆曲线，二维是K3曲面或
Abelian曲面，都只有一种拓扑结构，三维以上就不依样，至少有数万种Calabi Yau流
形有不同的拓扑，随着物理的镜对称理论和弦论，Calabi Yau流形变成了和 Eistein四
维时空流形(with Eistein测度)一样重要的物理概念，成为了到现在20年内代数几何得
重要研究对象.这个代数几何和物理的连结，某种意义上比前两个猜想的解决还要有意
义.(Yau的结果虽然是微分几何的，但对代数几何的应用非常多，也可能持续发现其应
用，比如说 P^2 上只有一个 Kaehler 结构也可用此证明)
下次我将说到Simon Donaldson，Maruyama+ David Gieseker，和Gromov的工作，虽然
第一个和第三个不能算是代数几何学家,但是在21世纪的今天,他们的工作队代数几何起
了深重的影响，就如邱成桐的一样.
这次要介绍的是1980-1990中，承先启后的数学家，Simon Donaldson，Maruyama+
David Gieseker，和 Gromov :
先介绍 Gromov:Gromov的主要工作是辛流形中仿全纯曲线的构造，以及其模空间的紧化
，这个工作和代数曲线模空间的紧化有点类似，但不同的是仿全纯曲线只需要给定辛流
形上一个可行的近复结构(an compatible almost complex structure on the fixed
symplectic manifold)，不需要该近复结构是可积的，Gromove了解了这种曲线的"
specialization"，也就是一连串这种曲线的极限曲线，有名的Gromov Compactness(紧
化)和Uhlenbeck的紧化(见Donaldson)并称齐驱，后来Ruan Youn Bin和Tian Gang等人
以此构造了数学上的Gromov Witten不变量和所谓的量子上同调，现在是辛几何的主要
研究方法.这一工作对代数几何的重要性是很大的，至少Kaehler流形是辛几何和代数几
何的交会点，这上面的 Gromov Witten 不变量(也就是 数数看流行中有几条访全纯曲
线)是代数几何的一些古老问题解决的终极手段( 所谓的 Enumerative Algebraic
Geometry早有一百多年历史，只是一直没有系统的理论来统合，Gromov Witten 理论是
其中依个选择)
其次介绍 Maruyama，David Gieseker:他们的工作是层的模空间的构造，他们用了
David Mumford的几何不变量理论(Geometric Invariant Theory)考虑了一固定簇X，上
面给定其陈类(陈类是簇的完全拓扑信息)的所有的半稳定的层.这一(半)稳定性(semi-
stability)被称为Gieseker(semi)stability.这些层的搜集上面有一个天然的复结构，
也就是(半)稳定层的模空间的复结构，这个空间和所有稳定的映像C-->X 的模空间有相
似之处，在X唯一个点时就是曲线的模空间(十年前由Deligne+Mumford构造)Gieseker还
考虑了这种模空间的退化:随着簇的退化，模空间当然也跟着退化(degeneration)，这
个退化的手段这五年来慢慢成为代数几何的重要研究对象(当然簇的退化已经有很多例
子，比如说K3曲面，或是代数曲线的退化)。
最后讲 Simon Donaldson:
Donaldson 考虑四维流行上面某依个向量丛上面办自对偶的连络的模空间，再这个空间
上做一些天然同调类的相交，得到了一串量并证明这是该四维流形的微分结构不变量.
在他之前 smale 证明了大于四维的流形的Poincare猜想(和求同伦必和求同胚)，
Freedman证明了四微的猜想，当时最大的拓扑问题还是三维Poincare猜想，一直到最近
才被牛佩雷尔曼先生解决，但是人们对微分拓扑的Poincare猜想毫无了解，也就是问如
果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚.Donaldson用上述的模空间的方法构造了四
微微分流形的微分结构不变量，找出了一些拓扑流形上面不可能有任何微分结构，找出
一个拓扑流形其上有两个以上甚至无线多个微分结构.这些微分结构的判定就是靠上述
构造的相交数.称为Donalson不变量，当四维流形是代数曲面时，这个模空间和该向量
从上所有稳定的复结构的模空间是差不多的，John Morgan和李骏证明可用向亮丛的模
空间上的相交数算出一样的量，这个情形就完全是袋鼠几何的范畴，一直到现在都还是
一个很不清晰的状态。
后来有利用Spin结构造的Seiberg Witten不变量，比Donaldson的容易了解很多，人们
也开始比较重视 Donaldson不变量的代数几何面，因为其微分面很大部分已被Seiberg
Witten 取代，但是这个故事还没有完.Donaldson的几位弟子和他本人在下一个世纪中
继续的对数学做出创造性的贡献，他的弟子是Richard Thomas，Paul Sedal 等人. |
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