f*****s
发帖数: 95 | 1 小时候学数论，老师说这素数的分布跟黎曼zeta函数的根的分布有关，zeta函数嘛，就是
zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ...
这有根吗？老师宽厚地一笑，这s是虚教，哦… 不过这能加成0吗. 这一疑惑，一搁就
是n年，不久前，跟一大妈同事聊天，东扯西拉，大妈说，就是那黎曼zeta 函数，你懂
的。我~~~。买本书读过，确实妙, 跟大伙分享哈。 |
C********n
发帖数: 6682 | 2 你想说啥
真要想看这玩艺，去看luchanghai.org
就是
【在 f*****s 的大作中提到】
: 小时候学数论，老师说这素数的分布跟黎曼zeta函数的根的分布有关，zeta函数嘛，就是
: zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ...
: 这有根吗？老师宽厚地一笑，这s是虚教，哦… 不过这能加成0吗. 这一疑惑，一搁就
: 是n年，不久前，跟一大妈同事聊天，东扯西拉，大妈说，就是那黎曼zeta 函数，你懂
: 的。我~~~。买本书读过，确实妙, 跟大伙分享哈。
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s*****V
发帖数: 21731 | 3 卢昌海怎么看懂的，他好像是搞物理出身的
【在 C********n 的大作中提到】
: 你想说啥
: 真要想看这玩艺，去看luchanghai.org
:
: 就是
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C********n
发帖数: 6682 | 4 作理论物理的，尤其是做超对称和超弦的
懂点代数几何阿啥的一点都不奇怪
何况大部分也不是那么难
【在 s*****V 的大作中提到】
: 卢昌海怎么看懂的，他好像是搞物理出身的
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f*****s
发帖数: 95 | 5 继续。黎曼的数学很具体，其实不难理解。倒是那些二流数学家，光 notation 就把你
淹死。
记 P(x)为不大于x的素数个数，P(x)是一个很不规则的阶梯函数，黎曼的中心思想是P(
x)可以近似为一个很和谐的函数的变换。这和谐函数，不用说就是 zeta 函数。
令 zeta(s) = \sum_{n=1,2...} 1/n^s. 这里 s 是复数。zeta(s) 在 Re(s)>1 时有定
义，根据欧拉公式，(以下 p 为素数）
zeta(s) = \prod_p (1+1/p^s+1/p^{2s}+...)
= \prod_p 1/(1-(1/p^s))
取对数并泰勒展开
log zeta(s) = \sum_p -log(1-(1/p^s))
= \sum_p \sum_k (1/k) p^{-k s}
~ \sum_p p^{-s}
为叙述简便，最后等式只保留了 k=1 的项，是个近似但略去的只是小项。记
f(s)=\sum_p p^{-s} ~ log zeta(s).
下面建立 f(s) 与 P(x) 的关系。 |
f*****s
发帖数: 95 | 6 P(x) 和 f(s) 的关系是通过傅立叶变换，其实就是用到如下积分,
\int y^s/s ds = 0 if y < 1
= 2\pi i if y > 1
积分是在复平面上从 a-\inf i 到 a+\inf i for some a>1. 令 I(p
0 otherwise. 从以上公式我们有，
1/(2\pi i)\int (x/p)^s /s ds = I(p
所以
1/(2\pi i)\int f(s) x^s /s ds
= 1/(2\pi i)\int \sum_p p^{-s} x^s /s ds
= 1/(2\pi i)\sum_p \int (x/p)^s /s ds
= \sum_p I(p
= P(x)
这样，我们就大概有
P(x) = 1/(2\pi i) \int \log zeta(s) x^s/s ds
但如果 zeta(s) 算不出，上面也是空谈。黎曼的另一关键思想是把 zeta(s)从Re(s)>1
推延到整个复平面，并通过 zeta(s) 的根的分布来估计以上积分。
（待续） |
g**3
发帖数: 35 | 7 谢谢你的数学！ 不能把 TeX 排好，发图片在这里吗？
黎曼的数学很具体，其实不难理解。倒是那些二流数学家，光 notation 就把你淹死。
【在 f*****s 的大作中提到】
: P(x) 和 f(s) 的关系是通过傅立叶变换，其实就是用到如下积分,
: \int y^s/s ds = 0 if y < 1
: = 2\pi i if y > 1
: 积分是在复平面上从 a-\inf i 到 a+\inf i for some a>1. 令 I(p: 0 otherwise. 从以上公式我们有，
: 1/(2\pi i)\int (x/p)^s /s ds = I(p: 所以
: 1/(2\pi i)\int f(s) x^s /s ds
: = 1/(2\pi i)\int \sum_p p^{-s} x^s /s ds
: = 1/(2\pi i)\sum_p \int (x/p)^s /s ds
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f*****s
发帖数: 95 | 8 （从没试过中文Tex，有推荐吗？）
zeta(s) = \sum_n 1/n^s 不仅对Re(s)>1 有定义，还是一个解析函数, 所以可以把
zeta(s) 唯一的延展到整个复平面上的解析函数, 具体的形式是
zeta(s) = \Pi(-s)/(2\pi i) \int (-y)^s/(y(e^y -1)) dy
其中\Pi 是欧拉和高斯对阶乘函数的延展。虽然这个形式看起来很cute,但其实一点不
重要，重要的是
1. zeta(s) 在Re(s)>1时的值为 \sum_n 1/n^s；
2. zeta 是解析函数所以我们可以讨论zeta的积分微分;
3. zeta 函数除了 s=1 以外都有定义。
\Pi(-s) 在s为偶数时为0，除掉这些平凡根外，著名的黎曼假设是说zeta 函数的根只
能在复平面的 x=1/2 这条线上。
[Riemann's Hypothesis] zeta(s) = 0 only if Re(s) = 1/2 or s=-2,-4,...
小结一下，现在可以把 P(x) 这个怪物写成如下形式：
P(x) ~ 1/(2\pi i) \int \log zeta(s) x^s/s ds
where zeta(s) = \Pi(-s)/(2\pi i) \int (-y)^s/(y(e^y -1)) dy. 最后我们要说的
就是黎曼假设如何来界定 P(x) 的值。说两句八卦，
1. 黎曼的猜想并不是灵光一现，事实是他野蛮的算了很多根，发现都在 1/2 这条线上
，当然，他文章中没提，而是后人Siegel研究他手稿时才发现。 对，就是老张的旧文
On the Landau-Siegel Zeros Conjecture 中的那个 Siegel。
2. 拉玛努甘在给哈代的信中列了一个算式
1 + 2 + 3 + ... = -1/12
大家都把他当疯子，不过哈代惊到了，因为这正是 zeta(-1) 的值！
（待续）
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f*****s
发帖数: 95 | 9 （喝口水，把它写完。）
上面说到 zeta 是解析函数并且除了 s=1 以外都有定义。可以把zeta写成如下形式：
zeta(s) = z0 \Pi(-s) \prod_r (1-s/r) / (s-1)
其中 z0 是常数，而 r 过所有 zeta(s) 的根，主角终于登场了。这样
\log zeta(s) = -\log(s-1) + \sum_r \log(1-s/r) + \log z0 + \log \Pi(-s)
代入 P(x) ~ 1/(2\pi i) \int \log zeta(s) x^s/s ds， \log z0 及 \log\Pi(-s)
代入后积分都是小项，可以忽略，考虑另两项
1. -\log(s-1)
1/(2\pi i)\int -\log(s-1) x^s/s ds = Li(x) := \int_1^x 1/\log t dt 这正是
素数定理的主项，大概是 x/\log x.
2. \sum_r \log(1-s/r)
更进一步 zeta 的根都是 r, 1-r 成对出现, 这样成对来加，相应的积分值是 Li(x
^r) + Li(x^{1-r}). 如果黎曼假设成立，则 Re(r)=1/2, 这些项加起来就是 O(\sqrt{
x}). 所以黎曼假设蕴含以下命题
P(x) = Li(x) + O(\sqrt{x})
这就是老张，小陶以及无数高富帅吊丝们梦寐追求的数学王冠上的明珠。
（完） |
D**o
发帖数: 2653 | 10 可以结合《黎曼猜想漫谈》来看
【在 f*****s 的大作中提到】
: （喝口水，把它写完。）
: 上面说到 zeta 是解析函数并且除了 s=1 以外都有定义。可以把zeta写成如下形式：
: zeta(s) = z0 \Pi(-s) \prod_r (1-s/r) / (s-1)
: 其中 z0 是常数，而 r 过所有 zeta(s) 的根，主角终于登场了。这样
: \log zeta(s) = -\log(s-1) + \sum_r \log(1-s/r) + \log z0 + \log \Pi(-s)
: 代入 P(x) ~ 1/(2\pi i) \int \log zeta(s) x^s/s ds， \log z0 及 \log\Pi(-s)
: 代入后积分都是小项，可以忽略，考虑另两项
: 1. -\log(s-1)
: 1/(2\pi i)\int -\log(s-1) x^s/s ds = Li(x) := \int_1^x 1/\log t dt 这正是
: 素数定理的主项，大概是 x/\log x.
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f*****s
发帖数: 95 | 11 卢昌海的东东还是不错的，但美中不足的是他没有说明书的技术部分的来源，基本译自
Edwards的书，列在了参考书目中，但他后记没提，倒是提到了三本八卦书。同于
Edwards, 他的叙述用到J(x)，Stieltjes积分，及傅立叶变换，是严格了，不过不易懂
, 而有些步骤Edwards没细提，他书中也就一带而过（甚至当成家庭作业），不免有脱
节之感。我个人觉得我这四个posts比他清楚完全，不然也不用辛辛苦苦码这些字。 |
D**o
发帖数: 2653 | 12 同意，但你的post还没来得及看
【在 f*****s 的大作中提到】
: 卢昌海的东东还是不错的，但美中不足的是他没有说明书的技术部分的来源，基本译自
: Edwards的书，列在了参考书目中，但他后记没提，倒是提到了三本八卦书。同于
: Edwards, 他的叙述用到J(x)，Stieltjes积分，及傅立叶变换，是严格了，不过不易懂
: , 而有些步骤Edwards没细提，他书中也就一带而过（甚至当成家庭作业），不免有脱
: 节之感。我个人觉得我这四个posts比他清楚完全，不然也不用辛辛苦苦码这些字。
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v*******e
发帖数: 11604 | 13 想用中文tex，我建议用texlive自带的xelatex,直接用不需要任何设置。 |
f*****s
发帖数: 95 | |
g**3
发帖数: 35 | 15 Edwards的书是Riemann's Zeta Function最佳的入门书了吧？
Aleksandar Ivic ，Titchmarsh, E.C 的书更难。
【在 f*****s 的大作中提到】
: 卢昌海的东东还是不错的，但美中不足的是他没有说明书的技术部分的来源，基本译自
: Edwards的书，列在了参考书目中，但他后记没提，倒是提到了三本八卦书。同于
: Edwards, 他的叙述用到J(x)，Stieltjes积分，及傅立叶变换，是严格了，不过不易懂
: , 而有些步骤Edwards没细提，他书中也就一带而过（甚至当成家庭作业），不免有脱
: 节之感。我个人觉得我这四个posts比他清楚完全，不然也不用辛辛苦苦码这些字。
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g**3
发帖数: 35 | 16 楼主仅仅把这帖子，贴在这里？ 有木有写在支持 TeX 的地方? |
f*****s
发帖数: 95 | 17 书我只看过Edwards的，写得很清楚 （除了我前贴提到的几处）。我有时间试试中文
latex, work 的话就帖在这里。 |
