l*3
发帖数: 2279 | 1 考虑高速旋转的陀螺受到扰动后在完全光滑的平面上的运动情况.
陀螺抽象成一个零质量支撑杆上面顶着一个均匀质量的圆盘, 支撑位置为圆盘中心C.
如图, 紫色四边形区域为支撑平面, 绿色是与支撑平面垂直的轴. 陀螺质量为m (平均
分布在圆盘上, 支撑杆无质量), 初始角速度w, 逆时针, 并且w是一个较大的值. 陀螺
中轴为红色线, 初始时刻与绿色轴夹角为a, a是一个很小的值 (相当于一个小扰动).
支撑平面足够光滑, 也就是说支撑平面只能给支点以向上的力, 并且保证支点不会运动
到支撑平面以下.
在这些条件下, 支撑平面只能给支点以向上的力, 所以陀螺的重心只能在那条绿线上移
动. 如果我们在支撑平面上以O点为原点建立坐标系, 那么P点的轨迹随时间的变化应该
是怎样的? | l*3
发帖数: 2279 | | C********n
发帖数: 6682 | 3 这难道不是标准的欧拉方程?
【在 l*3 的大作中提到】
: 考虑高速旋转的陀螺受到扰动后在完全光滑的平面上的运动情况.
: 陀螺抽象成一个零质量支撑杆上面顶着一个均匀质量的圆盘, 支撑位置为圆盘中心C.
: 如图, 紫色四边形区域为支撑平面, 绿色是与支撑平面垂直的轴. 陀螺质量为m (平均
: 分布在圆盘上, 支撑杆无质量), 初始角速度w, 逆时针, 并且w是一个较大的值. 陀螺
: 中轴为红色线, 初始时刻与绿色轴夹角为a, a是一个很小的值 (相当于一个小扰动).
: 支撑平面足够光滑, 也就是说支撑平面只能给支点以向上的力, 并且保证支点不会运动
: 到支撑平面以下.
: 在这些条件下, 支撑平面只能给支点以向上的力, 所以陀螺的重心只能在那条绿线上移
: 动. 如果我们在支撑平面上以O点为原点建立坐标系, 那么P点的轨迹随时间的变化应该
: 是怎样的?
| l*3
发帖数: 2279 | 4 请问是哪个欧拉方程?
具体表达式能写下吗?
【在 C********n 的大作中提到】
: 这难道不是标准的欧拉方程?
| l***o
发帖数: 7937 | 5 ＂在这些条件下, 支撑平面只能给支点以向上的力, 所以陀螺的重心只能在那条绿线上
移动？＂
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
这不是扯吗？陀螺的重心要围绕过P点的竖轴做圆周运动（所谓的procession)
【在 C********n 的大作中提到】
: 这难道不是标准的欧拉方程?
| l*3
发帖数: 2279 | 6 智商硬伤.
自己把模型看清楚再说话.
【在 l***o 的大作中提到】
: ＂在这些条件下, 支撑平面只能给支点以向上的力, 所以陀螺的重心只能在那条绿线上
: 移动？＂
: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: 这不是扯吗？陀螺的重心要围绕过P点的竖轴做圆周运动（所谓的procession)
| l***o
发帖数: 7937 | 7 okay。你不是牛么。这都不会？
【在 l*3 的大作中提到】
: 智商硬伤.
: 自己把模型看清楚再说话.
| l*3
发帖数: 2279 | 8 发现你这人有个问题就是从来不敢承认错误.
错了还要嘴硬, 非常没意思.
另外, 我从来没说我牛, 你自己犯了低级错误, 并不能衬托出我有多牛.
【在 l***o 的大作中提到】
: okay。你不是牛么。这都不会？
| l***o
发帖数: 7937 | 9 我是没仔细看你的题目，现在我认为系统没有水平外力的情况下，重心C应该在竖直轴
上移动。这个题的governing equation很难么？
【在 l*3 的大作中提到】
: 发现你这人有个问题就是从来不敢承认错误.
: 错了还要嘴硬, 非常没意思.
: 另外, 我从来没说我牛, 你自己犯了低级错误, 并不能衬托出我有多牛.
| l*3
发帖数: 2279 | 10 不会呀, 没学过.
能把支撑点轨迹算出来不? 我算的都是错的.
【在 l***o 的大作中提到】
: 我是没仔细看你的题目，现在我认为系统没有水平外力的情况下，重心C应该在竖直轴
: 上移动。这个题的governing equation很难么？
| | | l*3
发帖数: 2279 | 11 不会呀, 没学过.
能把支撑点轨迹算出来不? 我算的都是错的.
【在 l***o 的大作中提到】
: 我是没仔细看你的题目，现在我认为系统没有水平外力的情况下，重心C应该在竖直轴
: 上移动。这个题的governing equation很难么？
| l***o
发帖数: 7937 | 12 启发你一下吧：
P点水平不移动，C点做圆周运动，这是一个正常的陀螺。
C点水平不移动，P点作圆周运动，跟上面有何差别？
【在 l*3 的大作中提到】
: 不会呀, 没学过.
: 能把支撑点轨迹算出来不? 我算的都是错的.
| l*3
发帖数: 2279 | 13 主要是固定P点的我也算不对. 理论力学没学过.
我前两天看那个拉格朗日方程, 然后列式子, 算出来的不对.
你看看我这个固定支点的算法错哪儿了? :
http://www.mitbbs.com/article_t0/WaterWorld/2080805.html
【在 l***o 的大作中提到】
: 启发你一下吧：
: P点水平不移动，C点做圆周运动，这是一个正常的陀螺。
: C点水平不移动，P点作圆周运动，跟上面有何差别？
| l*3
发帖数: 2279 | 14 另, 按照标准力学教科书来看, 固定P点的话, C做的也不是圆周运动. 而是进动和章动
的复合. 相当于圆周运动上再附加一个 "震荡". 书上算出来是这样的, 我是不知道他
怎么算的.
反之, 如果书上是对的, 那C点水平不移动的话, 也会有上下的震荡, 同时P点也不是圆
周运动.
------
另外, 这俩运动虽然定性看上去差不多, 不过算起来还是有区别的. 就好像你固定住一
个杆的底端, 然后让杆整体从竖直不稳定的状态落到水平状态, 相比你直接把杆竖直放
置到完全光滑平面上然后再下落, 这算出来的运动过程不一样的. 不固定支点的话, 再
以支点为参考系就会多出一个惯性力, 方程没有原来那么好解了.
图示为 <定端点情况下均匀质量细杆的倾倒> 与 <光滑面上均匀质量细杆的倾倒> 的区
别:
【在 l***o 的大作中提到】
: 启发你一下吧：
: P点水平不移动，C点做圆周运动，这是一个正常的陀螺。
: C点水平不移动，P点作圆周运动，跟上面有何差别？
| l***o
发帖数: 7937 | 15 先考虑steady precession的情况。unsteady precession非常复杂, 结果有多种情形。
【在 l*3 的大作中提到】
: 另, 按照标准力学教科书来看, 固定P点的话, C做的也不是圆周运动. 而是进动和章动
: 的复合. 相当于圆周运动上再附加一个 "震荡". 书上算出来是这样的, 我是不知道他
: 怎么算的.
: 反之, 如果书上是对的, 那C点水平不移动的话, 也会有上下的震荡, 同时P点也不是圆
: 周运动.
: ------
: 另外, 这俩运动虽然定性看上去差不多, 不过算起来还是有区别的. 就好像你固定住一
: 个杆的底端, 然后让杆整体从竖直不稳定的状态落到水平状态, 相比你直接把杆竖直放
: 置到完全光滑平面上然后再下落, 这算出来的运动过程不一样的. 不固定支点的话, 再
: 以支点为参考系就会多出一个惯性力, 方程没有原来那么好解了.
| g****t
发帖数: 31659 | 16
转动动能不是你写的A*w^2.
你不能按陀螺绕杆的角速度来列方程。
因为杆本身就是转动的.
这就不是惯性系,后头你用Euler-L
方程全都是错的
需要把杆这个非惯性系的力补偿进去
不如你先把标准程序练熟,
先吃透如何在牛顿绝对时空的坐标系下解决问题
Step 1.
动能=T=三个角度的旋转
Step 2.
势能=V
Step 3.
L=T-V
你的第一步错了
【在 l*3 的大作中提到】
: 主要是固定P点的我也算不对. 理论力学没学过.
: 我前两天看那个拉格朗日方程, 然后列式子, 算出来的不对.
: 你看看我这个固定支点的算法错哪儿了? :
: http://www.mitbbs.com/article_t0/WaterWorld/2080805.html
| s*****V
发帖数: 21731 | 17 支撑点不固定能解除解析解么？
【在 g****t 的大作中提到】
:
: 转动动能不是你写的A*w^2.
: 你不能按陀螺绕杆的角速度来列方程。
: 因为杆本身就是转动的.
: 这就不是惯性系,后头你用Euler-L
: 方程全都是错的
: 需要把杆这个非惯性系的力补偿进去
: 不如你先把标准程序练熟,
: 先吃透如何在牛顿绝对时空的坐标系下解决问题
: Step 1.
| g****t
发帖数: 31659 | 18
As I remembered,
应该没有解析解
这种方程一般都有sin y,cos y
之类的项和x混合
前面Luobo说的多种情况
和各种小参数或者大参数假设下
的近似解有关
如果能用摄动近似搞定一个新的分类
并且能在实验验证出来稳定出现的
物理现象
我想就是很好的论文了
【在 s*****V 的大作中提到】
: 支撑点不固定能解除解析解么？
| l*3
发帖数: 2279 | 19 我没说转动动能只有A*w^2啊. 我是说绕杆部分的转动能是A*w^2
支点相对重心转动的那部分的能量, 和绕杆转动的角速度w是无关的呀.
--------
你的意思是说, 拉格朗日方程是要求广义坐标都要是惯性系下的可观测量吗?
我只看了一点点, 一知半解就拿来用了. 不知道拉格朗日方程里对广义坐标有什么要求
.
但是我看书上好像有一个讲圆盘滚动的例子, 还有两个小球通过线连接起来摆动的例子
, 就拿了非惯性系下的参数当做广义坐标?
【在 g****t 的大作中提到】
:
: As I remembered,
: 应该没有解析解
: 这种方程一般都有sin y,cos y
: 之类的项和x混合
: 前面Luobo说的多种情况
: 和各种小参数或者大参数假设下
: 的近似解有关
: 如果能用摄动近似搞定一个新的分类
: 并且能在实验验证出来稳定出现的
| l*3
发帖数: 2279 | 20 比如这里的step 1.
平动能和r,theta及这俩的导数有关.
支撑杆相对重心的转动带来的转动动能, 也只与r,theta,r',theta'有关.
陀螺主体相对支撑杆的转动动能, 只与w有关.
动能不应该是这三者的和么?
【在 g****t 的大作中提到】
:
: As I remembered,
: 应该没有解析解
: 这种方程一般都有sin y,cos y
: 之类的项和x混合
: 前面Luobo说的多种情况
: 和各种小参数或者大参数假设下
: 的近似解有关
: 如果能用摄动近似搞定一个新的分类
: 并且能在实验验证出来稳定出现的
| | | s*****V
发帖数: 21731 | 21 先考虑一个简单的情形吧，就是支点固定的情形，这就是拉格朗日陀螺，或者重力场中
的欧拉陀螺。这个解已经不是那么简单了。
【在 l*3 的大作中提到】
: 我没说转动动能只有A*w^2啊. 我是说绕杆部分的转动能是A*w^2
: 支点相对重心转动的那部分的能量, 和绕杆转动的角速度w是无关的呀.
: --------
: 你的意思是说, 拉格朗日方程是要求广义坐标都要是惯性系下的可观测量吗?
: 我只看了一点点, 一知半解就拿来用了. 不知道拉格朗日方程里对广义坐标有什么要求
: .
: 但是我看书上好像有一个讲圆盘滚动的例子, 还有两个小球通过线连接起来摆动的例子
: , 就拿了非惯性系下的参数当做广义坐标?
| g****t
发帖数: 31659 | 22 假定一个质点绕支撑杆运动
你这么算
明显漏了支撑杆本身运动的动能阿
这部分如果你按惯性力算也是可以的
但你没算惯性力
所以两头都没算进去
【在 l*3 的大作中提到】
: 比如这里的step 1.
: 平动能和r,theta及这俩的导数有关.
: 支撑杆相对重心的转动带来的转动动能, 也只与r,theta,r',theta'有关.
: 陀螺主体相对支撑杆的转动动能, 只与w有关.
: 动能不应该是这三者的和么?
| g****t
发帖数: 31659 | 23 简单地说
绝对坐标下
L=T-V
现在因为你用非惯性系
你改了T
那么在随后步骤中
自然需要改点别的才行
你查查
惯性力
科里奥力
的定义看看
非惯性系E-L方程也可以用
但我记得形式非常麻烦
【在 g****t 的大作中提到】
: 假定一个质点绕支撑杆运动
: 你这么算
: 明显漏了支撑杆本身运动的动能阿
: 这部分如果你按惯性力算也是可以的
: 但你没算惯性力
: 所以两头都没算进去
| l*3
发帖数: 2279 | 24 我似乎已经明白错在哪了.
角速度w的积分是一个说不清楚的物理量, 并不是一个 "广义坐标".
T和V的表达式本身都是对的, 但是还没有定义清楚广义坐标, 所以就没有拉格朗日量的
具体函数表达式, 因为连自变量都没搞清楚.
这个应该不是惯性系非惯性系的问题. | g****t
发帖数: 31659 | 25 物理上来讲,就是惯性系的问题.你的方法本质上是错误的.
你用E-L方程的时候,一会儿惯性系,一会儿非惯性系.能对吗?
【在 l*3 的大作中提到】
: 我似乎已经明白错在哪了.
: 角速度w的积分是一个说不清楚的物理量, 并不是一个 "广义坐标".
: T和V的表达式本身都是对的, 但是还没有定义清楚广义坐标, 所以就没有拉格朗日量的
: 具体函数表达式, 因为连自变量都没搞清楚.
: 这个应该不是惯性系非惯性系的问题.
| l*3
发帖数: 2279 | 26 等我再问问别人拉格朗日方程具体是怎么回事之后, 再来向你讨教..
【在 g****t 的大作中提到】
: 物理上来讲,就是惯性系的问题.你的方法本质上是错误的.
: 你用E-L方程的时候,一会儿惯性系,一会儿非惯性系.能对吗?
| l*3
发帖数: 2279 | 27 我没用非惯性系呀, 原点和坐标轴不是都标清楚了么.
【在 g****t 的大作中提到】
: 物理上来讲,就是惯性系的问题.你的方法本质上是错误的.
: 你用E-L方程的时候,一会儿惯性系,一会儿非惯性系.能对吗?
| g****t
发帖数: 31659 | 28 你不是按陀螺绕杆的角速度w列的方程么?
"
陀螺还有一个自由度, 是绕杆的角速度w
"
"
所以拉格朗日量的表达式是这样的: L = A*w^2 + f(r,theta,r',theta')
其中A*w^2表示的是陀螺绕杆自转的转动能.
"
在惯性系下,你写的陀螺绕杆自转的动能是错误的.
A*w^2是对的,但w不是绕杆的角速度.
陀螺绕杆的动能,除了和绕杆的角速度有关,也必然和杆的转动速度有关.
一个postition r(t)的导数,分成两个部分,有一个部分是叉乘,
这个叉乘你给漏了.
【在 l*3 的大作中提到】
: 我没用非惯性系呀, 原点和坐标轴不是都标清楚了么.
| l*3
发帖数: 2279 | 29 你说的绕杆角速度和我说的绕杆角速度不是一个东西.
我说的不是欧拉自转角对时间的导数.
【在 g****t 的大作中提到】
: 你不是按陀螺绕杆的角速度w列的方程么?
: "
: 陀螺还有一个自由度, 是绕杆的角速度w
: "
: "
: 所以拉格朗日量的表达式是这样的: L = A*w^2 + f(r,theta,r',theta')
: 其中A*w^2表示的是陀螺绕杆自转的转动能.
: "
: 在惯性系下,你写的陀螺绕杆自转的动能是错误的.
: A*w^2是对的,但w不是绕杆的角速度.
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