s*******a
发帖数: 4166 | 1 刚才在等飞机，做了点brain teaser打发时间，后来自己想到这个问题:
2个给定的三角形，如何判断一个能否被另一个三角形覆盖？不知道有没有比较初等的
方法，想了半天没想出来。 |
C********n
发帖数: 6682 | 2 三边小于最短边＋最长高小于最短高应该能确保吧
必要条件没想出来
【在 s*******a 的大作中提到】
: 刚才在等飞机，做了点brain teaser打发时间，后来自己想到这个问题:
: 2个给定的三角形，如何判断一个能否被另一个三角形覆盖？不知道有没有比较初等的
: 方法，想了半天没想出来。
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s*******a
发帖数: 4166 | 3 当然问的是必要条件啊......
【在 C********n 的大作中提到】
: 三边小于最短边＋最长高小于最短高应该能确保吧
: 必要条件没想出来
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s*******a
发帖数: 4166 | 4 如果是两个平行四边形的话非常简单
我一开始的想法是，每个三角形都可以生成3个不同的平行四边形，如果能证明三角形
覆盖与其中某一对平行四边形能覆盖是等价的，那就行了。不过我也没想出一个简单的
证明，也没想出反例。
【在 C********n 的大作中提到】
: 三边小于最短边＋最长高小于最短高应该能确保吧
: 必要条件没想出来
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s*****a
发帖数: 353 | 5 完全覆盖的话，难道不就是验证第二个的顶点是否全在第一个内？ |
C********n
发帖数: 6682 | 6 ....
是
但是第二个的坐标不是固定的啊，可以任意旋转平移啊
【在 s*****a 的大作中提到】
: 完全覆盖的话，难道不就是验证第二个的顶点是否全在第一个内？
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s*****V
发帖数: 21731 | 7 如果一个可以覆盖另外一个，则一定能找到一种情形，
当双方一个顶点重合，然后三角形1的该顶点角小于等于三角形2对应角度，两边也小于
等于三角形2的对应两边。
如果知道两个三角形的三点坐标，很好判断吧，把几种情形穷举一下就可以，也就是把
。3X3 9中情形。
说白了就是把两三角形一个顶点对住，然后旋转到一起比较一下。当然这是笨方法，
【在 s*******a 的大作中提到】
: 刚才在等飞机，做了点brain teaser打发时间，后来自己想到这个问题:
: 2个给定的三角形，如何判断一个能否被另一个三角形覆盖？不知道有没有比较初等的
: 方法，想了半天没想出来。
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s*******a
发帖数: 4166 | 8 貌似是对的，但是怎么证明你说的第一个前提一定是对的
【在 s*****V 的大作中提到】
: 如果一个可以覆盖另外一个，则一定能找到一种情形，
: 当双方一个顶点重合，然后三角形1的该顶点角小于等于三角形2对应角度，两边也小于
: 等于三角形2的对应两边。
: 如果知道两个三角形的三点坐标，很好判断吧，把几种情形穷举一下就可以，也就是把
: 。3X3 9中情形。
: 说白了就是把两三角形一个顶点对住，然后旋转到一起比较一下。当然这是笨方法，
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s*****V
发帖数: 21731 | 9 三个点坐标都知道的时候很好算，两个向量之间的夹角。
【在 s*******a 的大作中提到】
: 貌似是对的，但是怎么证明你说的第一个前提一定是对的
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s**e
发帖数: 1834 | 10 这个说法是错的，顶点可重合，但对应边不一定小。
反例：
三角形1顶点： （0，1）， （2，0），（3，0）
三角形2顶点：（0，1），（1，0），（4，0）
【在 s*****V 的大作中提到】
: 如果一个可以覆盖另外一个，则一定能找到一种情形，
: 当双方一个顶点重合，然后三角形1的该顶点角小于等于三角形2对应角度，两边也小于
: 等于三角形2的对应两边。
: 如果知道两个三角形的三点坐标，很好判断吧，把几种情形穷举一下就可以，也就是把
: 。3X3 9中情形。
: 说白了就是把两三角形一个顶点对住，然后旋转到一起比较一下。当然这是笨方法，
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s*****V
发帖数: 21731 | 11 你是对的，我的办法不行，当然修改一下还是可以的，
转一圈，如果两个顶点都不能TOUCH 第三条边，肯定可以。
如果有交点，转到交点位置，看看另外一个顶点在哪里。
写CODE没问题，可是方法不直观
【在 s**e 的大作中提到】
: 这个说法是错的，顶点可重合，但对应边不一定小。
: 反例：
: 三角形1顶点： （0，1）， （2，0），（3，0）
: 三角形2顶点：（0，1），（1，0），（4，0）
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s**e
发帖数: 1834 | 12 我觉得“双方一个顶点可重合”应该是对的，但需证明，
而且证明未必trivial.
【在 s*****V 的大作中提到】
: 你是对的，我的办法不行，当然修改一下还是可以的，
: 转一圈，如果两个顶点都不能TOUCH 第三条边，肯定可以。
: 如果有交点，转到交点位置，看看另外一个顶点在哪里。
: 写CODE没问题，可是方法不直观
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s**e
发帖数: 1834 | 13 非常有趣的题目，是自己构造出的吗？
以下假设小三角形（A'B'C'）可被大三角形（ABC）覆盖。
在此假设下，我先证明一个局部结果。
如果大家有兴趣再一步步来。
结论1: 存在一种覆盖使大小三角形有一个顶点重合。
在不改变题目性质下，我们先将ABC成比例缩到最小，
使得再小就无法完成覆盖A'B'C'.
在此假设下，我们来证明一个更强的结论。
结论2: 任一种覆盖都一定会有一个顶点重合。
如果证明了2，自然就证明了1.
大三角形的边记为a,b,c.
证明：
首先对任意覆盖，大三角形的三边一定都被碰到，
否则大三角形可继续缩小，与先前假设矛盾。
接下用反证法。如果没有一个顶点重合，那么A'B'C'的
每一个顶点都严格在ABC的一边的内部（不含在端点上）。
假设A'在BC上，B'在AC上，C'在AB上。
现在过A'作BC垂线，过B'作AC垂线，两线交与D。
我们现证明DC'一定与AB垂直。
否则以D为旋转中心来旋转A'B'C'一个小角度x，
A'离开BC距离为O(x^2), B'离开AC距离也为O(x^2),
而C'离开AB距离为O(x)。
适当选取x的正负，可继续缩小ABC比例O(x)
（可能还会有平移，但不需要旋转），使得仍可形成覆盖。
这与先前假设矛盾，所以DC'一定与AB垂直，
并且在旋转下C'离开AB距离也为O(x^2)。
仍以D为旋转中心来旋转A'B'C'一个小角度x，
想象一下如果ABC三边都黏在了A'B'C'定点上，
跟随变动但保持每边的方向不变，那么ABC
每一边都以”同样的“比例（和x有关，O(x^2)量级）
向D点靠拢。因此ABC可继续缩小同时保持覆盖，
这样就又矛盾了。
最后结论：大小三角形必有一点重合。
【在 s*******a 的大作中提到】
: 刚才在等飞机，做了点brain teaser打发时间，后来自己想到这个问题:
: 2个给定的三角形，如何判断一个能否被另一个三角形覆盖？不知道有没有比较初等的
: 方法，想了半天没想出来。
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s*******a
发帖数: 4166 | 14 是我昨天等飞机的时候想到的，其实可以推广到凸多边形或者高维单形。
另外你的证明我大概follow了一下，你说过A' 做BC的垂线，B' 做AC的垂线相交与D，
然后claim DC' 肯定垂直与AB，否则可以通过D旋转A'B'C'让他完全在ABC内部，我
画了一下貌似不大对啊，或者是证明里有typo？
因为是三角形，可以先假设ABC是正三角形的，你的大思路应该是对的，就假设A',B',C'
分别落在ABC三边上，然后讨论若干情况，但我刚才画了一下，如果A'B'C'是一个很
钝的三角形(比如A'在BC边上，然后B'C' 特别靠近BC边)，很容易画出一个情况使得无论
怎么旋转都会转出ABC，这种情况必须翻转A'B'C'然后再继续旋转。
没想到有同学还真认真想，呵呵。这题看来有点高中奥数的水平了，如果有比较简洁初等
的证明，我们可以给IMO or CMO推荐一下，但首先得保证有个初等证明才好。
【在 s**e 的大作中提到】
: 非常有趣的题目，是自己构造出的吗？
: 以下假设小三角形（A'B'C'）可被大三角形（ABC）覆盖。
: 在此假设下，我先证明一个局部结果。
: 如果大家有兴趣再一步步来。
: 结论1: 存在一种覆盖使大小三角形有一个顶点重合。
: 在不改变题目性质下，我们先将ABC成比例缩到最小，
: 使得再小就无法完成覆盖A'B'C'.
: 在此假设下，我们来证明一个更强的结论。
: 结论2: 任一种覆盖都一定会有一个顶点重合。
: 如果证明了2，自然就证明了1.
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s**e
发帖数: 1834 | 15 我没有说转的时候一定转到ABC内部。
如果固定ABC不动，A'，B'和C'有可能转到ABC外部。
但我这里让ABC跟着A'B'C'动。
先说如果DC' 不垂直于AB这种情况。
让ABC黏在A'B'C'顶点上随着A'B'C'旋转而
平行移动（边长可变）。
我们可以选择旋转角度x
的方向而使AB朝着或背着D的方向运动，变化率为O(x)。
BC和AC都朝着D的方向运动，但变化率仅为O(x^2)。
因此AB的移动决定了ABC变大或变小。
我们总可以选一个AB的方向（朝着或背着D），使得ABC变小。
以上证明不需用到ABC和A'B'C'的角度是钝角还是锐角。
,C'
无论
初等
【在 s*******a 的大作中提到】
: 是我昨天等飞机的时候想到的，其实可以推广到凸多边形或者高维单形。
: 另外你的证明我大概follow了一下，你说过A' 做BC的垂线，B' 做AC的垂线相交与D，
: 然后claim DC' 肯定垂直与AB，否则可以通过D旋转A'B'C'让他完全在ABC内部，我
: 画了一下貌似不大对啊，或者是证明里有typo？
: 因为是三角形，可以先假设ABC是正三角形的，你的大思路应该是对的，就假设A',B',C'
: 分别落在ABC三边上，然后讨论若干情况，但我刚才画了一下，如果A'B'C'是一个很
: 钝的三角形(比如A'在BC边上，然后B'C' 特别靠近BC边)，很容易画出一个情况使得无论
: 怎么旋转都会转出ABC，这种情况必须翻转A'B'C'然后再继续旋转。
: 没想到有同学还真认真想，呵呵。这题看来有点高中奥数的水平了，如果有比较简洁初等
: 的证明，我们可以给IMO or CMO推荐一下，但首先得保证有个初等证明才好。
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l***o
发帖数: 7937 | 16 将两个三角形的重心重合在一起会不会更简单？没仔细想，只是直觉会更简单一些。
【在 s**e 的大作中提到】
: 我没有说转的时候一定转到ABC内部。
: 如果固定ABC不动，A'，B'和C'有可能转到ABC外部。
: 但我这里让ABC跟着A'B'C'动。
: 先说如果DC' 不垂直于AB这种情况。
: 让ABC黏在A'B'C'顶点上随着A'B'C'旋转而
: 平行移动（边长可变）。
: 我们可以选择旋转角度x
: 的方向而使AB朝着或背着D的方向运动，变化率为O(x)。
: BC和AC都朝着D的方向运动，但变化率仅为O(x^2)。
: 因此AB的移动决定了ABC变大或变小。
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s**e
发帖数: 1834 | 17 因为重心只涉及平面的线性空间的性质，因而和度量，例如长度和角度，
没有直接关系(虽说和距离平方和有关，但和单个的距离确实没什么关系）。
而这个问题可以旋转三角形（旋转就是保距变幻，也保角），和长度与角度
都有关系。所以我很怀疑考虑重心会使题目变简单。
【在 l***o 的大作中提到】
: 将两个三角形的重心重合在一起会不会更简单？没仔细想，只是直觉会更简单一些。
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q********e
发帖数: 1255 | 18 不行
想象一个三角形，无钝角，底边最长，放在那里，
在此三角形 内 以同样底边构造一个矮三角形，
such that 稍微一动，矮的就跑出来了，以至于重心不能重合。
结论：如果让重心重合，会漏掉解。
【在 l***o 的大作中提到】
: 将两个三角形的重心重合在一起会不会更简单？没仔细想，只是直觉会更简单一些。
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l***o
发帖数: 7937 | 19 别的心呢？例如内接圆圆心？
【在 s**e 的大作中提到】
: 因为重心只涉及平面的线性空间的性质，因而和度量，例如长度和角度，
: 没有直接关系(虽说和距离平方和有关，但和单个的距离确实没什么关系）。
: 而这个问题可以旋转三角形（旋转就是保距变幻，也保角），和长度与角度
: 都有关系。所以我很怀疑考虑重心会使题目变简单。
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q********e
发帖数: 1255 | 20 呵呵，有无钝角无关系
接着soze的帖子，我猜测如果A cover B，那么让三边按长度对应，
然后让最长边重合，然后平移，应该也有一个covering.
不知道能否证明。
【在 q********e 的大作中提到】
: 不行
: 想象一个三角形，无钝角，底边最长，放在那里，
: 在此三角形 内 以同样底边构造一个矮三角形，
: such that 稍微一动，矮的就跑出来了，以至于重心不能重合。
: 结论：如果让重心重合，会漏掉解。
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q********e
发帖数: 1255 | 21 no, same reasoning as above
【在 l***o 的大作中提到】
: 别的心呢？例如内接圆圆心？
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s**e
发帖数: 1834 | 22 呵呵，这个不行。
让大三角形ABC是一个等腰锐角三角形，底边BC为最长边。
小三取顶点A，B，和AC上非常靠近C的一点。
那么小三和大三最长边没法重合。这里顶角是“锐角”很重要。
【在 q********e 的大作中提到】
: 呵呵，有无钝角无关系
: 接着soze的帖子，我猜测如果A cover B，那么让三边按长度对应，
: 然后让最长边重合，然后平移，应该也有一个covering.
: 不知道能否证明。
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q********e
发帖数: 1255 | 23 make sense, 3x
【在 s**e 的大作中提到】
: 呵呵，这个不行。
: 让大三角形ABC是一个等腰锐角三角形，底边BC为最长边。
: 小三取顶点A，B，和AC上非常靠近C的一点。
: 那么小三和大三最长边没法重合。这里顶角是“锐角”很重要。
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l***o
发帖数: 7937 | 24 对于圆，椭圆，正三角形，直角三角形等特殊情况，显然将中心或重心重合起来更简单
一点。对于三角形，我根据直觉推断将某个心先重合起来做判断更简单一点。甚至可以
推导出一个判断公式。
【在 q********e 的大作中提到】
: no, same reasoning as above
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f****p
发帖数: 18483 | 25 这个题很好解。
本质上三角形可以有角边角或者边角边来确定。这就是两个三角形恒等的判别法。
具体的定理论述我就不给了，不过我可以把想法说下。
假设有两个三角形ABC，和XYZ。A、B、C、X、Y、Z都是顶点。AB和XY分别是两个三角形
的最长边。
首先，将A和X重叠，AB和XY同方向，这个是个基点。
这样就有两种情况: （1）|AB| = |XY| （2） |AB| < |XY|
（1）比较容易，因为 角CAB 角ZXY 的情况可以用它们的cos来指导，分为一正一负，
两个全正，和两个全负三种。然后再比较值
（2）稍微麻烦点，因为情况得用cos值和|CA|、|ZX|来确定，但是也不难，因为你用那
个A到BC以及X到YZ的距离还有cos值就可以判断。
楼上用什么重心呀、内接圆之类的都在绕，都不可能是必要的。上面这个方法肯定是充
分和必要的。你自己去写成定理形式就行了。 |
q********e
发帖数: 1255 | 26 貌似你的arguments基于我上边被soze证伪的一个错误猜想
其实soze已经给出了答案，顶点依次订一起，转转看，3*3=9次。
然后镜像下，再转。总共转2*9＝18次即可。
【在 f****p 的大作中提到】
: 这个题很好解。
: 本质上三角形可以有角边角或者边角边来确定。这就是两个三角形恒等的判别法。
: 具体的定理论述我就不给了，不过我可以把想法说下。
: 假设有两个三角形ABC，和XYZ。A、B、C、X、Y、Z都是顶点。AB和XY分别是两个三角形
: 的最长边。
: 首先，将A和X重叠，AB和XY同方向，这个是个基点。
: 这样就有两种情况: （1）|AB| = |XY| （2） |AB| < |XY|
: （1）比较容易，因为 角CAB 角ZXY 的情况可以用它们的cos来指导，分为一正一负，
: 两个全正，和两个全负三种。然后再比较值
: （2）稍微麻烦点，因为情况得用cos值和|CA|、|ZX|来确定，但是也不难，因为你用那
|
s**e
发帖数: 1834 | 27 现在接着part 1来补全余下证明，相对简单得多，
没太多技巧。
仍假设ABC（大三角形）再缩小
就不能覆盖A'B'C'（小三角形）了。
根据之前的结论1，2，现假设A与A'重叠，
且ABC与A'B'C'同向。
因为ABC不能再缩小，所以覆盖只能有以下几种可能。
（1）B'与B重叠
（2）B'在AB内部，C'在BC内部
（3）B'与C'都在BC内部
（4）（类似（2）），C'在AC内部，B'在BC内部
（5）C'与C重叠
现在取消ABC不能再缩小去覆盖A'B'C'这个限制，
从新解读以上五条，我们得到：
(1') AB>=A'B'; angle A >= angle A'; angle B >= angle B'.
(2') AB>=A'B'; angle A >= angle A';
AB*sin(B) >= A'C'*sin(A'+B).
(3') BC边的高 >= B'C'边的高; angle B <= angle B';
angle C <= angle C';
(4') AC>=A'C'; angle A >= angle A';
AC*sin(C) >= A'B'*sin(A'+C).
(5') AC>=A'C'; angle A >= angle A'; angle C >= angle C'.
所以在A与A'重合且ABC与A'B'C'同向的前提下，
ABC覆盖A'B'C'的充要条件是满足(1')...(5')
五条之一既可。
考虑到A'B'C'和ABC可以由其它顶点来重合，而且A'B'C'可翻转。
把这些都考虑进去既可。
其中（1'）（5'）和（3'）可被大大简化为以下两条：
（1''）ABC某一边>=A'B'C'某一边,且对应相邻角是ABC的大。
（3''）ABC某一边的高>=A'B'C'某一边的高,且对应相邻角是A'B'C'的大。
大家若有兴趣可以试着简化一下（2'）和（4'）。
【在 s*******a 的大作中提到】
: 刚才在等飞机，做了点brain teaser打发时间，后来自己想到这个问题:
: 2个给定的三角形，如何判断一个能否被另一个三角形覆盖？不知道有没有比较初等的
: 方法，想了半天没想出来。
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f*****s
发帖数: 95 | 28 妙！不过三垂线交于三角形外一点D的情形要说明。假定D在BC边外，以D为中心旋转A'B
'C'对ABC的影响大概是 DBC面积 - （DAB面积 + DBC面积 ）〈 0. 所以ABC面积会缩
小。ABC换成任意凸多边形貌似也成立，也就是说 the only way to lock a triangle
is to corner it. 有趣！这个结论显见对四边形不成立。但对四面体呢？
【在 s**e 的大作中提到】
: 非常有趣的题目，是自己构造出的吗？
: 以下假设小三角形（A'B'C'）可被大三角形（ABC）覆盖。
: 在此假设下，我先证明一个局部结果。
: 如果大家有兴趣再一步步来。
: 结论1: 存在一种覆盖使大小三角形有一个顶点重合。
: 在不改变题目性质下，我们先将ABC成比例缩到最小，
: 使得再小就无法完成覆盖A'B'C'.
: 在此假设下，我们来证明一个更强的结论。
: 结论2: 任一种覆盖都一定会有一个顶点重合。
: 如果证明了2，自然就证明了1.
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s**e
发帖数: 1834 | 29 如果用有向面积的话，D在里还是外就关系不大了。
高维不好说，因为每个顶点的立体角都怪怪的，
不是小的角就一定能放的进去。
好多看似简单的三角形问题刚到三维就不对了。
例如说四面体就没有垂心。
'B
triangle
【在 f*****s 的大作中提到】
: 妙！不过三垂线交于三角形外一点D的情形要说明。假定D在BC边外，以D为中心旋转A'B
: 'C'对ABC的影响大概是 DBC面积 - （DAB面积 + DBC面积 ）〈 0. 所以ABC面积会缩
: 小。ABC换成任意凸多边形貌似也成立，也就是说 the only way to lock a triangle
: is to corner it. 有趣！这个结论显见对四边形不成立。但对四面体呢？
|
f*****s
发帖数: 95 | 30 n 维空间里的运动有 n(n+1)/2 个自由度，直观的，限制住这 n(n+1)/2 自由度至少需
要 n(n+1)/2+1个面，所以有如下猜测：
任何 n 维空间中 n(n+1)/2 个顶点的凸多面体不可能被 n(n+1)/2 个平面 lock (不能
local的
移动）， 并使得每个顶点在面的内部（即任一顶点不在任两个面的交上）。n=1
trivially true. 如上证的是 n=2 的情形。 |
|
|
y**k
发帖数: 222 | 31 不是要抢包子，不过上面 soze 的方法似乎可以大大简化。
引理： 如果A'在BC上, B' 在 AC内部, C' 在 AB 内部（即 B', C' 不与三角形 ABC
任何一顶点重合）， 那么可以找到一个与A'B'C' 相似的更大的三角形 A'B''C''被ABC
覆盖。
证明： 不失一般性， 可以假定直线 A'B' 跟 AC 不重合， 那么可以使用一个线性变
换在所有点上， 使得 A'B' 跟 AC 垂直。让三角形 A'B'C' 沿着A'做顺时针或逆时针
小幅旋转， 一定可以使B' 和 C' 落在三角形 ABC 内部。
下略。 |
s**e
发帖数: 1834 | 32 这个线性变换（使得 A'B' 跟 AC 垂直）不是保距变换。
不能保持旋转的性质。
ABC
【在 y**k 的大作中提到】
: 不是要抢包子，不过上面 soze 的方法似乎可以大大简化。
: 引理： 如果A'在BC上, B' 在 AC内部, C' 在 AB 内部（即 B', C' 不与三角形 ABC
: 任何一顶点重合）， 那么可以找到一个与A'B'C' 相似的更大的三角形 A'B''C''被ABC
: 覆盖。
: 证明： 不失一般性， 可以假定直线 A'B' 跟 AC 不重合， 那么可以使用一个线性变
: 换在所有点上， 使得 A'B' 跟 AC 垂直。让三角形 A'B'C' 沿着A'做顺时针或逆时针
: 小幅旋转， 一定可以使B' 和 C' 落在三角形 ABC 内部。
: 下略。
|
y**k
发帖数: 222 | 33 确实不是， 也不需要是。
【在 s**e 的大作中提到】
: 这个线性变换（使得 A'B' 跟 AC 垂直）不是保距变换。
: 不能保持旋转的性质。
:
: ABC
|
s**e
发帖数: 1834 | 34 可能我还没有完全理解你的意思。
这是我的粗浅理解。先来一个线性变幻T，
然后在小三角形上再来一个旋转S，
然后变换后的小三角形 ST(small)
就转到变换后的大三角形 T(big) 里了。
再来一个线性逆变幻 T^(-1),
就可得到 T^(-1)ST(small) 在大三角形里。
但 T^(-1)ST(small)已不是最初的
小三角形了。
【在 y**k 的大作中提到】
: 确实不是， 也不需要是。
|
y**k
发帖数: 222 | 35 嗯， 你说得对。
【在 s**e 的大作中提到】
: 可能我还没有完全理解你的意思。
: 这是我的粗浅理解。先来一个线性变幻T，
: 然后在小三角形上再来一个旋转S，
: 然后变换后的小三角形 ST(small)
: 就转到变换后的大三角形 T(big) 里了。
: 再来一个线性逆变幻 T^(-1),
: 就可得到 T^(-1)ST(small) 在大三角形里。
: 但 T^(-1)ST(small)已不是最初的
: 小三角形了。
|
c***s
发帖数: 15 | 36 好像是一个组合问题：假设两三角形ABC，abc，面积分别为S和s。不失一般性，令S>=s
, 要求ABC覆盖abc，我们寻找ABC的相似三角形ABC'，最小面积S'，使得顶角A'和a重合
并且底边重合，则 S' = (cot B + cot C)/(cot b + cot c)s并且要求B<= b并且C<=c.
这就要求我们遍历所有的组合{(X,x)(Y,y)} = {(X <= x, Y <= y)| X,Y \in ABC, x,
y \in abc }，可由二分图的匹配给出。所以ABC覆盖abc的充要条件是 S >= s min_{{(
X,x)(Y,y)}} r((X,x)(Y,y)), 这里r((X,x)(Y,y)) = (cot X + cot Y)/(cot x + cot
y). |
c***s
发帖数: 15 | 37 哦，需要修正一下
如果BC，bc不能保证B <= b & C <= c或者 B <= c & C <= b，那么最优的ABC'有一个
侧边
和abc重合（非底边），不失一般性令 b > B >= C >= c （顶角A>= a），则A'C' = ac
S' = (cot a + cot c)/(cot A + cot C) s，这个对应一条边完全重合，而b >= B的情
况。
所以r((X, Y, x ,y)) = (cot X + cot Y)/(cot x + cot y) if X <= x & Y <= y
or = (cot x + cot y)/(cot X + cot Y), if X >= x & Y >= y.
config(X,Y, x, y)从(A,B,C)和(a,b,c)各取两个共有9种，同时要求不能最大和最小值
来自于同一个三角形。
S >= s min_{(X,Y,x,y)} r((X,Y, x, y), where r(X, Y, x, y) = max
((cot X + cot Y)/(cot x + cot y), (cot x + cot y)/(cot X + cot X))
=s
c.
cot
【在 c***s 的大作中提到】
: 好像是一个组合问题：假设两三角形ABC，abc，面积分别为S和s。不失一般性，令S>=s
: , 要求ABC覆盖abc，我们寻找ABC的相似三角形ABC'，最小面积S'，使得顶角A'和a重合
: 并且底边重合，则 S' = (cot B + cot C)/(cot b + cot c)s并且要求B<= b并且C<=c.
: 这就要求我们遍历所有的组合{(X,x)(Y,y)} = {(X <= x, Y <= y)| X,Y \in ABC, x,
: y \in abc }，可由二分图的匹配给出。所以ABC覆盖abc的充要条件是 S >= s min_{{(
: X,x)(Y,y)}} r((X,x)(Y,y)), 这里r((X,x)(Y,y)) = (cot X + cot Y)/(cot x + cot
: y).
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s*****V
发帖数: 21731 | 38 有一个猜想，如果一个三角形的三条高A都比另外一个三角形三条高A'不重复的都大，
则A可以覆盖A。应该是必要条件，不知道充分不充分。 |
c*******1
发帖数: 240 | 39 the set
W_a,b,c = {x,y,z in R3 : triangle with side length x,y,z can be covered by
triangle of side length a,b,c}
is a convex hyperbolic polyhedron with some flat faces. |
i*****s
发帖数: 4596 | 40 你的证明没写完啊，DC'垂直于AB这种情况呢？这时候三边的距离变化都是O(x^2)，如
果D在三角形之外的话，三边与D的距离不一定都是往一个方向变，你说得清ABC是变大
还是变小么。
事实上你的猜想可能是正确的，但你并没有完全证明出来。
【在 s**e 的大作中提到】
: 我没有说转的时候一定转到ABC内部。
: 如果固定ABC不动，A'，B'和C'有可能转到ABC外部。
: 但我这里让ABC跟着A'B'C'动。
: 先说如果DC' 不垂直于AB这种情况。
: 让ABC黏在A'B'C'顶点上随着A'B'C'旋转而
: 平行移动（边长可变）。
: 我们可以选择旋转角度x
: 的方向而使AB朝着或背着D的方向运动，变化率为O(x)。
: BC和AC都朝着D的方向运动，但变化率仅为O(x^2)。
: 因此AB的移动决定了ABC变大或变小。
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s**e
发帖数: 1834 | 41 呵呵，我应该是说了。
见“－ Part 1”贴。
“那么ABC
每一边都以”同样的“比例（和x有关，O(x^2)量级）
向D点靠拢。”
这时无论x是正还是负，ABC三边都以cos(x)
的比例向D点“靠拢”。因此ABC也以cos(x)
的比例在缩小，而这是和D点在ABC内还是外
是没有关系的。
当然如果D在ABC外，那么ABC不是直接向内部
缩小，看起来好像没有D在ABC内部那么直观。
【在 i*****s 的大作中提到】
: 你的证明没写完啊，DC'垂直于AB这种情况呢？这时候三边的距离变化都是O(x^2)，如
: 果D在三角形之外的话，三边与D的距离不一定都是往一个方向变，你说得清ABC是变大
: 还是变小么。
: 事实上你的猜想可能是正确的，但你并没有完全证明出来。
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i*****s
发帖数: 4596 | 42 是我没仔细想，你是对的。
【在 s**e 的大作中提到】
: 呵呵，我应该是说了。
: 见“－ Part 1”贴。
: “那么ABC
: 每一边都以”同样的“比例（和x有关，O(x^2)量级）
: 向D点靠拢。”
: 这时无论x是正还是负，ABC三边都以cos(x)
: 的比例向D点“靠拢”。因此ABC也以cos(x)
: 的比例在缩小，而这是和D点在ABC内还是外
: 是没有关系的。
: 当然如果D在ABC外，那么ABC不是直接向内部
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s**e
发帖数: 1834 | 43 谢谢你仔细帮助校对。
【在 i*****s 的大作中提到】
: 是我没仔细想，你是对的。
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s***5
发帖数: 203 | 44 三角形ABC可以覆盖三角形DEF的充要条件：点D，E，F在三角形ABC内部（含在边界的情
形）。
证明非常简单：
必要性：如果三角形ABC可以覆盖三角形DEF，当然点D，E，F在三角形ABC内部（含在边
界的情形）
充分性：如果点D，E，F在三角形ABC内部（含在边界的情形），
1）由于三角形ABC是凸的，可知线段DE，EF，DF，都在三角形ABC内部，
2）对于三角形DEF内部不在边界上的点X，延长DX，就可以交于线段EF，把交点叫Y吧，
由1）知Y也在三角形ABC内部，这样点D和Y都在三角形ABC内部，由于三角形ABC是凸的
，线段DY在三角形ABC内部，当然线段DY上的点X在三角形ABC内部。（含在边界的情形）
图不好，见笑了。
A
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ B
＊ F Y E ＊
＊ 。。。。。。。 ＊
＊ 。X 。 。 ＊
＊ 。 。 。 ＊
＊ 。 ＊
＊ D ＊
＊
C
【在 s*******a 的大作中提到】
: 刚才在等飞机，做了点brain teaser打发时间，后来自己想到这个问题:
: 2个给定的三角形，如何判断一个能否被另一个三角形覆盖？不知道有没有比较初等的
: 方法，想了半天没想出来。
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s*****j
发帖数: 6435 | 45 我觉得见笑的不是图.
形）
【在 s***5 的大作中提到】
: 三角形ABC可以覆盖三角形DEF的充要条件：点D，E，F在三角形ABC内部（含在边界的情
: 形）。
: 证明非常简单：
: 必要性：如果三角形ABC可以覆盖三角形DEF，当然点D，E，F在三角形ABC内部（含在边
: 界的情形）
: 充分性：如果点D，E，F在三角形ABC内部（含在边界的情形），
: 1）由于三角形ABC是凸的，可知线段DE，EF，DF，都在三角形ABC内部，
: 2）对于三角形DEF内部不在边界上的点X，延长DX，就可以交于线段EF，把交点叫Y吧，
: 由1）知Y也在三角形ABC内部，这样点D和Y都在三角形ABC内部，由于三角形ABC是凸的
: ，线段DY在三角形ABC内部，当然线段DY上的点X在三角形ABC内部。（含在边界的情形）
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s***5
发帖数: 203 | 46 再进一步，三角形ABC，坐标A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1,c2), 以及另一个点D坐标(d1,
d2)，D在三角形ABC内部（含在边界的情 形）的充要条件是？
答案：
max（角DCA，角DCB） 《＝ 角BCA 且
max（角DAC，角DAB） 《＝ 角ACB 且
max（角DBC，角DBA） 《＝ 角ABC
A＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ B
＊ ＊
＊ D ＊
＊ 。 ＊
＊ ＊
＊ ＊
＊ ＊
＊
C
实际计算，可以用计算角的余铉cos，因为cos是在（0，pi）单调递减的，也就是：
min（cos(角DCA)，cos(角DCB)） >＝ cos(角BCA) 且
min（cos(角DAC)，cos(角DAB)） >＝ cos(角ACB) 且
min（cos(角DBC)，cos(角DBA)） >＝ cos(角ABC)
cos（角DCA）＝〈CD，CA〉／ （||CD|| ＊ ||CA||）
其中〈CD，CA〉是向量CD和CA的内积，||CD|| 和 ||CA||是向量CD和CA的模，
〈CD，CA〉＝(d1-c1)*(a1-c1) +(d2-c2)*(a2-c2)
||CD|| =sqrt( ( d1-c1 )*(d1-c1) + ( d2-c2 )*(d2-c2))
||CA|| =sqrt( ( a1-c1 )*(a1-c1) + ( a2-c2 )*(a2-c2))
其余类推。
同样，对点E， F，就可以解决ABC可以覆盖三角形DEF的充要条件。
把公式都写出来就太苯了，编程序要清爽些。
顺便说一下，应该先验证ABC三点不在一条线上，然后再用这个算法。
形）
【在 s***5 的大作中提到】
: 三角形ABC可以覆盖三角形DEF的充要条件：点D，E，F在三角形ABC内部（含在边界的情
: 形）。
: 证明非常简单：
: 必要性：如果三角形ABC可以覆盖三角形DEF，当然点D，E，F在三角形ABC内部（含在边
: 界的情形）
: 充分性：如果点D，E，F在三角形ABC内部（含在边界的情形），
: 1）由于三角形ABC是凸的，可知线段DE，EF，DF，都在三角形ABC内部，
: 2）对于三角形DEF内部不在边界上的点X，延长DX，就可以交于线段EF，把交点叫Y吧，
: 由1）知Y也在三角形ABC内部，这样点D和Y都在三角形ABC内部，由于三角形ABC是凸的
: ，线段DY在三角形ABC内部，当然线段DY上的点X在三角形ABC内部。（含在边界的情形）
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s***5
发帖数: 203 | 47 请兄台明示。
【在 s*****j 的大作中提到】
: 我觉得见笑的不是图.
:
: 形）
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l***o
发帖数: 7937 | 48 充要条件是DEF经过适当平移和旋转后，D,E,F全在ABC内部或边界上。或者说可以找到
一个平移和旋转，使得D,E,F三点在ABC内部或边界上。
形）
【在 s***5 的大作中提到】
: 三角形ABC可以覆盖三角形DEF的充要条件：点D，E，F在三角形ABC内部（含在边界的情
: 形）。
: 证明非常简单：
: 必要性：如果三角形ABC可以覆盖三角形DEF，当然点D，E，F在三角形ABC内部（含在边
: 界的情形）
: 充分性：如果点D，E，F在三角形ABC内部（含在边界的情形），
: 1）由于三角形ABC是凸的，可知线段DE，EF，DF，都在三角形ABC内部，
: 2）对于三角形DEF内部不在边界上的点X，延长DX，就可以交于线段EF，把交点叫Y吧，
: 由1）知Y也在三角形ABC内部，这样点D和Y都在三角形ABC内部，由于三角形ABC是凸的
: ，线段DY在三角形ABC内部，当然线段DY上的点X在三角形ABC内部。（含在边界的情形）
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s***5
发帖数: 203 | 49 有意思，这个题出的有点二义性，或者说不同的解题人有不同理解。我原来以为，两个
三角形都固定了。
那我倒要问问，ABC 坐标是{ (0,0), (1,0), (0,2) }, DEF坐标是 { (0,0), (1,0),
(0,-2)}
按照您的说法，ABC能覆盖DEF吗？
如果能，请给出平移和／或旋转，使得D,E,F全在ABC内部。
如果不能，请根据您自己列的充要条件解释。
【在 l***o 的大作中提到】
: 充要条件是DEF经过适当平移和旋转后，D,E,F全在ABC内部或边界上。或者说可以找到
: 一个平移和旋转，使得D,E,F三点在ABC内部或边界上。
:
: 形）
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s*******a
发帖数: 4166 | 50 这个就有点钻牛角尖了，我已经说过了，这个是我在机场等飞机的时候想到的一个问题
,表达不精确也属难免。
你可以这么理解，给你一个三角形的盒子，再给你一个三角形的cookie，找到能把
cookie放进盒子里的充要条件，当然假设都是2D的。这问题也可以推广到三维（4面体
的盒子，4面体的粽子，呵呵）
,
【在 s***5 的大作中提到】
: 有意思，这个题出的有点二义性，或者说不同的解题人有不同理解。我原来以为，两个
: 三角形都固定了。
: 那我倒要问问，ABC 坐标是{ (0,0), (1,0), (0,2) }, DEF坐标是 { (0,0), (1,0),
: (0,-2)}
: 按照您的说法，ABC能覆盖DEF吗？
: 如果能，请给出平移和／或旋转，使得D,E,F全在ABC内部。
: 如果不能，请根据您自己列的充要条件解释。
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s***5
发帖数: 203 | 51 好了，出题人解释了，明白了。
ABC 坐标是{ (0,0), (1,0), (0,2) }, DEF坐标是 { (0,0), (1,0), (0,-2)}。
按照菠萝的充要条件，ABC不能覆盖DEF。
按照你的cookie模型，ABC就能覆盖DEF。
【在 s*******a 的大作中提到】
: 这个就有点钻牛角尖了，我已经说过了，这个是我在机场等飞机的时候想到的一个问题
: ,表达不精确也属难免。
: 你可以这么理解，给你一个三角形的盒子，再给你一个三角形的cookie，找到能把
: cookie放进盒子里的充要条件，当然假设都是2D的。这问题也可以推广到三维（4面体
: 的盒子，4面体的粽子，呵呵）
:
: ,
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s*******a
发帖数: 4166 | 52 thanks soze's proof. I think the proof I modified is good and clean. Please
let me know if there is anything wrong in the proof.
(x
后A
【在 s*******a 的大作中提到】
: 刚才在等飞机，做了点brain teaser打发时间，后来自己想到这个问题:
: 2个给定的三角形，如何判断一个能否被另一个三角形覆盖？不知道有没有比较初等的
: 方法，想了半天没想出来。
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l***o
发帖数: 7937 | 53 You are not correct in saying 按照菠萝的充要条件，ABC不能覆盖DEF。I don't
have time to explain why because I am too busy right now. Maybe flip or
mirror or reflection should be added to the condition.
【在 s***5 的大作中提到】
: 好了，出题人解释了，明白了。
: ABC 坐标是{ (0,0), (1,0), (0,2) }, DEF坐标是 { (0,0), (1,0), (0,-2)}。
: 按照菠萝的充要条件，ABC不能覆盖DEF。
: 按照你的cookie模型，ABC就能覆盖DEF。
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s**e
发帖数: 1834 | 54 包子已收到，谢谢。
Please
【在 s*******a 的大作中提到】
: thanks soze's proof. I think the proof I modified is good and clean. Please
: let me know if there is anything wrong in the proof.
:
: (x
: 后A
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s***5
发帖数: 203 | 55 you got it! Need to add flip/reflection.
【在 l***o 的大作中提到】
: You are not correct in saying 按照菠萝的充要条件，ABC不能覆盖DEF。I don't
: have time to explain why because I am too busy right now. Maybe flip or
: mirror or reflection should be added to the condition.
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l***o
发帖数: 7937 | 56 For clarity, yes. But remember reflection is a special case of rotation. It
is a special case of rotation of 180°about a line (which you choose) in xy
plane passing through the origin. This way the problem can be well defined
mathematically and the math formulation should not be that complicated.
【在 s***5 的大作中提到】
: you got it! Need to add flip/reflection.
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s**e
发帖数: 1834 | 57 这个直角三角形的假设和31楼
的想法有些类似，我在34楼
解释了一下为什么失去了一般性。
Please
【在 s*******a 的大作中提到】
: thanks soze's proof. I think the proof I modified is good and clean. Please
: let me know if there is anything wrong in the proof.
:
: (x
: 后A
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