d*e
发帖数: 843 | 1 给定任意的一个单调增函数满足
g(t)<=t/2 for all t
g'(t)<1 for all t
g(t)->\infty，as t->\infty
可以构造函数 b 满足以下两个条件：
(i) b(\infty)=\infty
(ii) b(t)-b(g(t))=0
C是常数
可假设g光滑性，g，b皆为正值函数。 | m******o
发帖数: 1 | 2 g(t) = t/4;
b(t) = ln(t+2); | B********e
发帖数: 10014 | 3 if g is linear, let b=ln(t)
if g is power function, say t^{1/2} let b=ln(ln(t)).
general case might not be trivial, e.g.
if g=ln(t), there might be a negative proof
【在 d*e 的大作中提到】
: 给定任意的一个单调增函数满足
: g(t)<=t/2 for all t
: g'(t)<1 for all t
: g(t)->\infty，as t->\infty
: 可以构造函数 b 满足以下两个条件：
: (i) b(\infty)=\infty
: (ii) b(t)-b(g(t))=0
: C是常数
: 可假设g光滑性，g，b皆为正值函数。
| y**k
发帖数: 222 | 4 假定 g(t) 严格增（否则考虑 g(t)+t/2), 则 g(t) 有个逆函数 h(t). 令 b(t) =
integrate(C/(h(t)+1)).
b(t) - b(g(t)) = (t-g(t)) * b'(t0) for some t0 in (g(t), t). but b'(t0）
＝ C/(h(t0)+1) < C/(h(g(t))+1） ＝ C/(t+1). | B********e
发帖数: 10014 | 5 your b might not go to infinite if g is not linear,
say g=\sqrt(t) or ln(t)
【在 y**k 的大作中提到】
: 假定 g(t) 严格增（否则考虑 g(t)+t/2), 则 g(t) 有个逆函数 h(t). 令 b(t) =
: integrate(C/(h(t)+1)).
: b(t) - b(g(t)) = (t-g(t)) * b'(t0) for some t0 in (g(t), t). but b'(t0）
: ＝ C/(h(t0)+1) < C/(h(g(t))+1） ＝ C/(t+1).
| d*e
发帖数: 843 | 6 谢谢 是给定g 构造b
【在 m******o 的大作中提到】
: g(t) = t/4;
: b(t) = ln(t+2);
| d*e
发帖数: 843 | 7 谢谢啊
我也想构造g＝ln(t)的情形，搞不出来
b可以没有显式表达，分段构造也可以
如果有negative的proof，也行，有思路不？
【在 B********e 的大作中提到】
: if g is linear, let b=ln(t)
: if g is power function, say t^{1/2} let b=ln(ln(t)).
: general case might not be trivial, e.g.
: if g=ln(t), there might be a negative proof
| y**k
发帖数: 222 | 8 抱歉上面错了。看来不一步步验证是不行的。
分段是可以的。假定h(t)是g(t)的逆函数（如g非单射则定义h(t)最大的x使得g(x)=t),
我们有h(t)>t.
我们想构造増函数b(t), 使得b(t) 上界为无穷并且b(h(t)) -b(t)
取D为小于C／2的正常数。b在[0,1]之间线性，b(0)=D, b(1)=2D, 在区间[h^{n-1}(1),
h^n(1)] 取值[(n+1)D, (n+2)D].
【在 d*e 的大作中提到】
: 谢谢啊
: 我也想构造g＝ln(t)的情形，搞不出来
: b可以没有显式表达，分段构造也可以
: 如果有negative的proof，也行，有思路不？
| B********e
发帖数: 10014 | 9 good point， hehe,你应该写明端点取值不是h(1)的n次幂，而是h(1)的n重嵌套
补充说明一下yxtk的idea：
by construction of these intervals,
if t is in nth interval, then g(t) must be in the previous one.
then everything else is obvious.
3x
),
),
【在 y**k 的大作中提到】
: 抱歉上面错了。看来不一步步验证是不行的。
: 分段是可以的。假定h(t)是g(t)的逆函数（如g非单射则定义h(t)最大的x使得g(x)=t),
: 我们有h(t)>t.
: 我们想构造増函数b(t), 使得b(t) 上界为无穷并且b(h(t)) -b(t) : 取D为小于C／2的正常数。b在[0,1]之间线性，b(0)=D, b(1)=2D, 在区间[h^{n-1}(1),
: h^n(1)] 取值[(n+1)D, (n+2)D].
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