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发信人: threeheart (氷), 信区: Military
标 题: 电工科普：张汤姆素数对证明原理
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Feb 1 23:37:08 2015, 美东)
昨天贴了个关于张汤姆证明的帖子，引来几个装逼傻叉的质疑，怀疑老子装逼看不懂，
所以现在我觉得有必要科普一下张汤姆的证明原理。这里强调是原理，不是详细过程，
但这并非是因为我没看懂过程，而是因为张汤姆的文章有56页，要解释清楚每个证明大
概需要两倍的56页。而且，这是个需要大量函数和公式的证明，没有公式将极其难以说
清楚，而本版帖子是没法打公式的。所以，你要是看懂了没有公式的本贴，就知道叔是
如何的牛逼且又是如何的低调，而且也会发现你是多么的牛逼，能看懂张汤姆的素数对
是咋回事。
本贴分两部分，第一部分是给我一样的数论钓丝门外汉看的，第二部分是张汤姆文章导
读。重点是第一部分，如果你看懂了第一部分，那么看第二部分应该象上厕所一样的容
易。而如果你看懂了第二部分，自然会去读张汤姆的原文，那时也就没我什么事了。
不过还是有几个前提条件，一，你得去下载一份张的文章，可以与第二部分对照，原文
网上到处都是。二，如果你想看第二部分或原文，则至少应该对原文page 3 notation
中的概念有所了解，不然会造成写本贴和看本贴的人互骂一声傻逼的严重后果。也就是
你必须对如下概念有所了解，admissible set, residue class, HL conjecture, EH
conjecture, GPV paper, FI paper, BFI paper,BV Theorem, prime theorem,
Kloosterman sum, Ramanujan sum, Weyl shift, Mobius function,Euler totient
function,...还有很多，因为这些概念贯穿于张原文全文，是数论研究基础。不必都懂
，有些我也不懂，但至少知道它是干什么的，不然文章读不下去。这些概念网上都有，
原文中也有部分解释。
另外，数论其实是极其易懂的，孩子都知道整数素数奇偶数，极其困难的是理解证明过
程所用的devices and machinary。我没学过任何数论，智商惨不忍睹，但仅仅凭兴趣
也能看得懂，相信所有人不管是码工电工杀老鼠的还是涮试管的，只要有兴趣都可以去
看张汤姆的原文。你活八辈子可能也整不出牛顿三定律，但牛顿整出来了，写了课本上
可以是中学课本内容，简单易懂。张汤姆的东西不会比牛顿定律更牛逼，外行看看完全
没问题。
废话不讲，开扯。
一：
张汤姆要证明的问题很简单，就是孪生素数对猜想的一个弱化形式。存在一常数间距，
存在无穷多对素数，两素数间距小于该常数。其终极形式就是，存在无穷多对素数，其
间距是2。张汤姆文章证明了，在小于七千万的间距内，存在无穷多对素数。这是一个
无限到有限的转变，结果自然是相当牛逼。打个比方，现在大家都普遍认为宇宙是无界
的，但有一天李汤姆突然证明宇宙有边，你说牛不牛逼。这大概就是张的证明轰动的重
要原因，当然张汤姆个人经历也充满了drama因素。
素数对猜想起源于HL猜想，就是在一个admissible set H 里面，存在无穷多个非负整
数n, 使得H集合里的所有元素h加上n后，都是素数。对这个admissible set的理解
对理解其他一切内容至关重要，如果不能详细理解这个有限集合H的性质，后面的一切
将会变成扯蛋。这个有限集的基本性质就是其元素对一个素数p取模后的余数必须在该
集合内，也就是一个residue class，并且对于任意素数p，使得p跟
P(n):=(n+h1)(n+h2)...(n+hk)互为素数。为什么选这么个集合，很简单，如果你选
取一个任意整数数列或是其他什么数列，你会愁得蛋疼，因为这些数没有规律，你会无
从下手，不知道该干什么。而集合H的上面性质可以方便我们fuck and play。注意H
集合的这个性质决定了它的元素不连续，也不必是素数。例如一个admissible set H
可以是{0，2}，这时n可以等于1，你可以拿所有素数检验，都符合以上定义。
为什么这个性质就便于fuck and play，这与另外一个东西有关，就是素数间距变化的
快慢。这个也是张汤姆脚踩的别人的两个肩膀之一。小孩子都知道素数开始密集，间距
小，数越大，间距‘似乎’也在变大，素数是无穷的，所以，张汤姆之前，间距‘似乎
’也必须随之变得无穷大。但有人不信邪，认为素数分布还是受某些限制的，这就是
GPV paper。GPV证明了小于某个值的素数最大间距小于某个间距平均值。所以虽然素
数越大，间距似乎在变大，但至少我们知道间距不会大于一个范围。所以这个结果把无
限向有限推进了一步，尽管不知道间距是不是真的也会变无穷大。GPV结果也是张汤姆
证明的两个基础之一。另一个基础是prime dispersion，暂时与谈论无关，先放一下。
现在继续扯如何对集合H进行fuck and play。有了集合H后，虽然它具有某些奇特的性
质，但仍然让人愁得蛋疼，因为仍然无从下手。这时analytic number theory的惯用伎
俩来了，就是求和，这是数论分析的基本工具。因为对于一个离散的集合，不管有限无
限，通过求和，我们就存在把无限变成有限的可能，因为对求和函数就可以求导或求极
限，这样就能把无限的序列界定。所以，你会看到张汤姆的文章中从头到尾都充满了那
美丽的sigma符号，甚至是能把人吓得蛋疼的五六层的sigma。
求和怎么才跟素数关联？研究有限无限，很多时候我们只关心素数个数，所以可以把每
个素数用函数f(n)表示，如果n是素数，f(n)=1, else, f(n)=0。这样通过对函数f(n)
求和，就能得出小于某个数的素数个数，也就是GPV paper中的pi(x)。这个求和有鸟用
？这个求和就是证明素数对的关键，就是裤裆里要掏的那只鸟。如果你已经理解了上面
这个求和的解释，就会知道，我们只需要证明这个求和结果大于1即可。很简单，大于1
，则说明在这个H集合中至少有两个素数。这就是我们需要的一切，一个有限集中至少
有两个素数，并且存在无穷多个n，使得H中的所有元素加n都是素数，其他还证个鸟，
证毕。你只需要对有限集合给个下限，说明只要有限集H的元素个数大于这个下限，则
必定存在至少两个素数。张汤姆选个这个下限是3.5x10^6。在3.5*10^6到7*10^7之间必
定存在两个素数，其间距自然是小于7*10^7（page 5下方)。
现在继续谈对f(n)的求和。把素数用f(n)替代，让我们的fuck and play多少有了点意
思。但是，看看f(n), 我们仍然蛋疼，因为f(n)本质上算的还是素数的个数，我们研究
的是无限序列，数个数不好玩，所以必须对f(n)进行变换，而变换的唯一目的就是为了
fuck and play更容易一些，所以我们把f(n)换成一个weighing函数phi(n)，所以，现
在对H的求和变成了加权求和。现在我们又前进了一步，因为现在可以fuck这个权数了
。这个权数就是张汤姆的那个漏勺筛子的关键（看第二部分），因为通过富立爷变换后
，含有大素数factor的低频数可以过滤掉。
这个phi(n)还是不好玩，我们继续变换，因为phi(n)大于0，所以可以用lambda(n)^2替
代，这个转换没有什么玄机，还是跟f(n)到phi(n)的转换一样，为了便于我们fuck and
play。代入lambda(n)^2后, 我们可以把对H的求和变成两个和函数，也就是S1和S2 （
page 4, 2.1, 2.2)。lambda(n)的具体形式就是(page 4, 2.4)，这个lambda(n)的具体
公式是GPV给出的。这样，我们上面最开始谈到的一个有限集里找出至少两个素数，或
者对f(n)求和必须大于1，就变成了比较S1和S2的大小。只要证明S1〉S2，或者S1>log(
*)*S2（因为集合里的数可能很大,取对数才成）， 就一切都齐了。注意这个S1〉S2其
实就是最初的f(n)求和大于1，只不过已经穿了数层马甲。
当然这个S1，S2的马甲还没穿够，变换S1和S2函数，可以得出一个带参数T1，T2的函数
，就是那个page 5 2.6里那个T1和T2。这个带有T1,T2的公式是GPV推出的。而要证明S1
〉S2或是类似形式，只要分析T1和T2和误差即可（page 5 第二行）。张汤姆的一切核
心证明就是证明page 5 第二行那个误差O(*)有界。
当然为了这个证明，你得读完56页。尽管最初是由GPV导出的这个T1和T2，但这三人也
正是在这T1和T2失败的，他们搞不定这个T1和T2，以及无法界定误差O(*)，最后放弃了
，并估计很长一段时间也不会有人搞出来。结果张汤姆横空出世。张汤姆把上面那个
lambda(n)作了修改，他通过选取lambda(n)公式的参数omega的值（他选了1/1186），
这样含有大素数factor的数就被筛掉了，并引入了一个rho(n) (page 6 2.9), 这样可
以变换lambda(n)的形式。选取这个omega和引入这个rho(n)的目的是使得新误差公式可
以估计（page 5 2.7, page 42 14.7)。而使得误差可以估计的关键就是对d的分解，d=
rq (page 5 2.8)。一旦证明误差有界，倒推回去，一切清楚无比，文章嘎然而止，连
个conclusion都没有，完美收工。
所以，从上面看出，这个证明是这样一步一步演进的：素数对猜想->把素数转化为f（n
)->把找两个素数转化成f(n)求和大于1->把f(n)转化为带权数的phi(n) -> 把f(n)转化
为lambda(n) -> 把f(n)求和转化成比较S1,S2大小 ->转化成分析T1，T2加误差 -> 估
计误差，证明误差有界 -> GPV败了 -> 张汤姆胜了->完了！
张汤姆只是把GPV公式中的一个界定条件修改了（密筛子变成了漏勺，反过来说也行，
总之把含有大素数因子的数筛掉)，这个修改和证明误差可以确定估计，就是张汤姆的
一切贡献。当然这个过程相当复杂，所以你说他只是做了关键一点也行，说他牛逼无比
也行。
当然上面还有很多东西没讲，包括GPV定理跟EH猜想的联系，张的‘大’筛子是如何具
体实现的，这些在第二部分谈。
二：
要是你看明白了上面部分，再看张的paper，一切将变得一目了然，清晰无比。仅仅从
目录就能看明白张的证明过程是怎样的。张汤姆除了数学牛逼，文字水平也很高，文章
简练清晰，没有任何废话。
下面对其文章各个部分做一个简单注解。1-7页，谁都能读懂，其实就是我上面部分解
释的。如果你想简单了解张张的证明是怎么回事，看前7页就可以了。张证明了两个定
理，由定理1， 推出了abstract中结论，选k0=3.5*10^6, 自然就推出间距小于7千万（
page 2)。定理2(page 7)是误差估计。张把误差估计分解成了三部分，type I, II,
III。I，II是毛毛雨，他的牛逼都体现在type III，估计过程非常复杂，我还有好几个
地方没看明白，尽管大致知道他要干什么。但这个把误差分开估计是张得以成功的关
键。
Type III误差估计是在section 13, 14完成的，也是他文章最核心的部分。section 13
对type III误差进行了一系列让人蛋疼的变换后，包括替换特征函数（page 44)以及求
inner sum(page 45)，最后证明了第三类误差在经过weyl shift后，其误差和的平均值
有界，也就是结果13.16。有了13.6的结论，则就可以估计section 14中的P1， P2（14
.2，14.5）。P1，P2一旦可以估计，则14.6, 决定最终素数间距的误差，全文证明的关
键的关键，便可以确定估计。然后，定理２得证，然后，定理１得证，然后，就没有然
后了，敲起得胜鼓。
我漏掉什么没有？
尼玛，写累了，先写这些吧。 | m*****r
发帖数: 551 | 2 电工老师的intuition真是厉害，讲的深入浅出，我这农民都看懂了点。
感激不尽。以后把费尔马大定理也给我们讲讲吧，谢谢谢谢。 | o*******w
发帖数: 349 | 3 太好了！顶
【在 h*h 的大作中提到】
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: 所以现在我觉得有必要科普一下张汤姆的证明原理。这里强调是原理，不是详细过程，
: 但这并非是因为我没看懂过程，而是因为张汤姆的文章有56页，要解释清楚每个证明大
: 概需要两倍的56页。而且，这是个需要大量函数和公式的证明，没有公式将极其难以说
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| y******4
发帖数: 1404 | 4 真的蛋痛的易懂，连上小学三年级的外甥也明白了张教授的证明。
【在 h*h 的大作中提到】
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: 如何的牛逼且又是如何的低调，而且也会发现你是多么的牛逼，能看懂张汤姆的素数对
| h***i
发帖数: 3844 | 5 wow, 总结的有点意思
【在 h*h 的大作中提到】
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: 但这并非是因为我没看懂过程，而是因为张汤姆的文章有56页，要解释清楚每个证明大
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| w***z
发帖数: 771 | 6 "...大于1，则说明在这个H集合中至少有两个素数。这就是我们需要的一切，一个有限
集中至少有两个素数，并且存在无穷多个n，使得H中的所有元素加n都是素数，..."
这个好像说的不准确, 应该是"...使得H中的所有元素加n, 至少有两个是素数..." |
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