t*****r 发帖数: 42 | 1 给定三阶矩阵
M = [a*x, 0, c;
a, b*x, 0;
0, b, c*x]
其中a>0, b>0, c>0, x=(1/a+1/b+1/c)-1.
证明M有一个大于1的实特征值.
请版上高手相助,多谢! | F****z 发帖数: 12 | 2 In fact, M may always have a real eigenvalue which is >=3. However I don't
know how to prove it. | t*****r 发帖数: 42 | 3 谢谢,原问题有个小错误,事实上
x=(1/a+1/b+1/c)/3-1,而非(1/a+1/b+1/c)-1.
当然如果x=(1/a+1/b+1/c)/3-1,的确有“M has a real eigenvalue which is >=3.”
【在 F****z 的大作中提到】 : In fact, M may always have a real eigenvalue which is >=3. However I don't : know how to prove it.
| a******1 发帖数: 201 | 4 The below may be helpful.
Tr(M) = (a+b+c)x and |M| = abc(1+x^3)
and Tr equals to sum of eigenvalues, and || equals to product of eigenvalues
【在 t*****r 的大作中提到】 : 谢谢,原问题有个小错误,事实上 : x=(1/a+1/b+1/c)/3-1,而非(1/a+1/b+1/c)-1. : 当然如果x=(1/a+1/b+1/c)/3-1,的确有“M has a real eigenvalue which is >=3.”
| f***r 发帖数: 1126 | 5 只要证明 f(1)<=0即可,这里f是特征函数。
f(1)=(1-ax)(1-bx)(1-cx)-abc=abc[(1/a-x)(1/b-x)(1/c-x)-1]<=abc[(1/a-x+1/b-x+1
/c-x)^3/27-1]=0
【在 t*****r 的大作中提到】 : 给定三阶矩阵 : M = [a*x, 0, c; : a, b*x, 0; : 0, b, c*x] : 其中a>0, b>0, c>0, x=(1/a+1/b+1/c)-1. : 证明M有一个大于1的实特征值. : 请版上高手相助,多谢!
| t*****r 发帖数: 42 | 6 好主意,但是原问题并不保证x<=1/a,1/b,1/c同时成立。
例如,a=10, b=1/2, c=1/2,然后x=1/3+1/30>1/a=1/10.
谢谢。
+1
【在 f***r 的大作中提到】 : 只要证明 f(1)<=0即可,这里f是特征函数。 : f(1)=(1-ax)(1-bx)(1-cx)-abc=abc[(1/a-x)(1/b-x)(1/c-x)-1]<=abc[(1/a-x+1/b-x+1 : /c-x)^3/27-1]=0
| t*****r 发帖数: 42 | 7 谢谢,事实上假设y=(1/a+1/b+1/c)/3,则x=y-1.
det(M)=abc(1+x^3)=abc(1+(y-1)^3)=abcy(y^2-3y+3)>0.
然后呢?
eigenvalues
【在 a******1 的大作中提到】 : The below may be helpful. : Tr(M) = (a+b+c)x and |M| = abc(1+x^3) : and Tr equals to sum of eigenvalues, and || equals to product of eigenvalues
| f***r 发帖数: 1126 | 8 是的,但是当x>1/a时问题是trivial的:f(ax)=-abc<0。所以你一开始就可以假设x<=1
/a,1/b,1/c。
【在 t*****r 的大作中提到】 : 好主意,但是原问题并不保证x<=1/a,1/b,1/c同时成立。 : 例如,a=10, b=1/2, c=1/2,然后x=1/3+1/30>1/a=1/10. : 谢谢。 : : +1
| F****z 发帖数: 12 | 9 fleer's proof seems to be correct | t*****r 发帖数: 42 | 10 对!非常感谢各位的帮助。
【在 F****z 的大作中提到】 : fleer's proof seems to be correct
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