o*******w
发帖数: 349 | 1 PDE
∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u )
在我的初始条件下的解是
z = - x(1+u) + u (1)
From (1) we have
∂u(x=0,z)/∂z = 1
∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)
(原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)
显然
∂u(x=0,z)/∂z ≠ 1/(1+u)*∂u(x,z=0)/∂x
i.e. 1 ≠ (1+u)
or 1 ≠ 1/(1-x)
矛盾了!
(原帖: ∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u 我觉得这个式子
更少一些confusing，这也是我原帖用
∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u的原因
) | T*******x
发帖数: 8565 | 2 你这个问题比较tricky，错误在后半段。前半段的解（1）是对的。
这种方程的定义本身就是很tricky的，我感觉在数学中是不常见的，应该是在经济学金
融之类的领域出现。它tricky的地方在于z依赖于x和u，而x又依赖于z和u，这里有循环
依赖的问题。数学中偏微分方程的定义一般没有这样的，都是自变量和函数变量清晰分
离的。
你这个问题实际上是求解一个(x,u,z)空间的一个曲面。从你的解(1)来看也是这样--一
个关于(x,u,z)关系的方程，或者说是(x,u,z)三个变量不能自由变化的一个constraint
，这就是(x,u,z)空间中的曲面。你验证的时候也要考虑这个限定。比如你做∂z(
0,u)/∂u的时候，你是设定x=0，而在一个曲面上(x=0,u=u)就完全决定了曲面上
的点，也就是说你z也已经定下来了：z=u。所以你再计算∂x(0,u)/∂u的时
候，你用的是(z=0,u=u)，这和前面那个不是曲面上的同一个点。你应该用(z=u,u=u)来
算就没矛盾了。
【在 o*******w 的大作中提到】
: PDE
: ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
: ( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u )
: 在我的初始条件下的解是
: z = - x(1+u) + u (1)
: From (1) we have
: ∂u(x=0,z)/∂z = 1
: ∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
: also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)
: (原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)
| w********a
发帖数: 29 | 3 在这个方程 ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x 下，u是x和z的函数，
并且（1）是这个方程的解。
∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u 并不与这个方程等价。除此之外，你
的计算也有错误（即便计算没有错误，这两个方程也不等价，所以不必试图修复计算错
误）
【在 o*******w 的大作中提到】
: PDE
: ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
: ( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u )
: 在我的初始条件下的解是
: z = - x(1+u) + u (1)
: From (1) we have
: ∂u(x=0,z)/∂z = 1
: ∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
: also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)
: (原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)
| T*******x
发帖数: 8565 | 4 你说的对。这两个方程从意义上看差很远。原方程的意义清楚，而他变换之后意义很
tricky。不过他给出的解确实满足远程，也满足变换之后的方程。我再想想为什么。
【在 w********a 的大作中提到】
: 在这个方程 ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x 下，u是x和z的函数，
: 并且（1）是这个方程的解。
: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u 并不与这个方程等价。除此之外，你
: 的计算也有错误（即便计算没有错误，这两个方程也不等价，所以不必试图修复计算错
: 误）
| T*******x
发帖数: 8565 | 5 你是对的。原方程意义清楚，他变换之后的方程即使能解释也会很费劲，没这个必要了
。而且用原方程后他后面的问题可能都不存在了。
【在 w********a 的大作中提到】
: 在这个方程 ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x 下，u是x和z的函数，
: 并且（1）是这个方程的解。
: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u 并不与这个方程等价。除此之外，你
: 的计算也有错误（即便计算没有错误，这两个方程也不等价，所以不必试图修复计算错
: 误）
| T*******x
发帖数: 8565 | 6 你按照watermajia说的，把你自作主张的变换的方程扔掉，用原方程，你后面的问题就
不存在了。哈哈。
【在 o*******w 的大作中提到】
: PDE
: ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
: ( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u )
: 在我的初始条件下的解是
: z = - x(1+u) + u (1)
: From (1) we have
: ∂u(x=0,z)/∂z = 1
: ∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
: also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)
: (原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)
| o*******w
发帖数: 349 | 7 我把原问题改成了对原PDE提问了（请看楼主贴）。
可能问题在这，应该写成是
∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x
rather than
∂u(0,z)/∂z ≠ 1/(1+u)*∂u(x,0)/∂x
但问题是，为什么会有
∂z(0,u)/∂u ≠ (1+u)*∂x(0,u)/∂u
（线性的方程就没有这个问题）
【在 T*******x 的大作中提到】
: 你按照watermajia说的，把你自作主张的变换的方程扔掉，用原方程，你后面的问题就
: 不存在了。哈哈。
| T*******x
发帖数: 8565 | 8 你用了原方程之后你后面验证的错误就看得很清楚了：你∂u(x=0,z)/∂z用
的是(x=0,z=z)，而另一边∂u(x,z=0)/∂x用的是(x=x,z=0)，根本就不是同
一个点，等式两边怎么可能相等呢？这就是为什么你用了原方程，你困惑的问题本身就
不存在了。
不过这个错误犯一下想清楚了也有好处。我就在一些书上见过你变换过的那种方程，确
实很confusing，但是也不是不可以make sense。
【在 o*******w 的大作中提到】
: PDE
: ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
: ( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u )
: 在我的初始条件下的解是
: z = - x(1+u) + u (1)
: From (1) we have
: ∂u(x=0,z)/∂z = 1
: ∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
: also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)
: (原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)
| T*******x
发帖数: 8565 | 9 这是对的。验证这个方程要逐点验证，等式两边必须是对同一个点。
你这个问题我第一个贴已经回答了。要点是验证这个方程要逐点验证，等式两边必须是
对同一个点。你左边∂z(0,u)/∂u是在(x=0,u=u)点，右边(1+u)*∂x(
0,u)/∂u是在(z=0,u=u)点，这两个不是同一个点。
这两个写法意义差别很大。原方程那个是自变量，哪个是函数变量，很清楚。你变换之
后自变量和函数变量的分离不清楚了。很难make sense。 | o*******w
发帖数: 349 | 10 谢谢解惑，老夫收益非浅，我想看众也多会有人受益。
但为什么线性方程，
∂z(x=0,u)/∂u = c*∂x(z=0,u)/∂u (2)
就没有这个问题（我验证过）。 左边是一个关于u的函数而右边也是一个u的函数（在(
0,0)点上 z(x=0,u) 和 x(z=0,u) 有相同的变化规律）。线性情况下，上式永远成立，
而非线性的永远不成立，除非边界条件特殊。难道这是线性和非线性的区别？进一步，
(2) 似乎是在说，线性情况下，∂z/∂u 和 ∂x/∂u是一回事，
这意味着什么？想不清楚。
Further more, 局部上，非线性PDE可被线性PDE描述（u很小，f=(1+u)=1), 那么, ...
脑子很乱，再想想
x(
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这是对的。验证这个方程要逐点验证，等式两边必须是对同一个点。
: 你这个问题我第一个贴已经回答了。要点是验证这个方程要逐点验证，等式两边必须是
: 对同一个点。你左边∂z(0,u)/∂u是在(x=0,u=u)点，右边(1+u)*∂x(
: 0,u)/∂u是在(z=0,u=u)点，这两个不是同一个点。
: 这两个写法意义差别很大。原方程那个是自变量，哪个是函数变量，很清楚。你变换之
: 后自变量和函数变量的分离不清楚了。很难make sense。
| | | T*******x
发帖数: 8565 | 11 嗯，挺好。你这个问题不是很清楚，我回答不了。但是有问题挺好，甚至有困惑而提不
出合适的问题也挺好。慢慢想吧。
在(
..
【在 o*******w 的大作中提到】
: 谢谢解惑，老夫收益非浅，我想看众也多会有人受益。
: 但为什么线性方程，
: ∂z(x=0,u)/∂u = c*∂x(z=0,u)/∂u (2)
: 就没有这个问题（我验证过）。 左边是一个关于u的函数而右边也是一个u的函数（在(
: 0,0)点上 z(x=0,u) 和 x(z=0,u) 有相同的变化规律）。线性情况下，上式永远成立，
: 而非线性的永远不成立，除非边界条件特殊。难道这是线性和非线性的区别？进一步，
: (2) 似乎是在说，线性情况下，∂z/∂u 和 ∂x/∂u是一回事，
: 这意味着什么？想不清楚。
: Further more, 局部上，非线性PDE可被线性PDE描述（u很小，f=(1+u)=1), 那么, ...
: 脑子很乱，再想想
| o*******w
发帖数: 349 | 12 我是这样理解的。
假设 u=c0 + c1*x, + c2*z + c3*x^2 + c4*z^2 +...
or z=c0 + c2*u +a2*x + ...
or x=c0 + c1*u +b2*z +...
我们不妨设c0=0, i.e.
u= c1*x, + c2*z + c3*x^2 + c4*z^2 +... (1)
or z= c2*u +a2*x +a3*x^2 +d*u^2+ ... (2)
or x= c1*u +b2*z +b3*x^2 +e*u^2+ ... (3)
不失一般性在零点(0,0), 下面的方程仅仅要求 c1=c2 -- 由(1)
∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x (4)
而
∂z(x=0,u)/∂u = (1+u)*∂x(z=0,u)/∂u (5)
除了c1=c2，还要求，d=e 等等。
总而言之，(5) 更强，满足(4)不一定满足(5) . 这是一个很有意思的observation. 因
为同样一个物理问题有时候需要更强的方程，比如在multi-valued的情况。我再想想。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 你说的对。这两个方程从意义上看差很远。原方程的意义清楚，而他变换之后意义很
: tricky。不过他给出的解确实满足远程，也满足变换之后的方程。我再想想为什么。
| T*******x
发帖数: 8565 | 13 (5)是怎么来的？是因为你没想清楚而来的，原方程并没有这个要求。另外泰勒展开也
不完整，少了交叉相乘的项。
【在 o*******w 的大作中提到】
: 我是这样理解的。
: 假设 u=c0 + c1*x, + c2*z + c3*x^2 + c4*z^2 +...
: or z=c0 + c2*u +a2*x + ...
: or x=c0 + c1*u +b2*z +...
: 我们不妨设c0=0, i.e.
: u= c1*x, + c2*z + c3*x^2 + c4*z^2 +... (1)
: or z= c2*u +a2*x +a3*x^2 +d*u^2+ ... (2)
: or x= c1*u +b2*z +b3*x^2 +e*u^2+ ... (3)
: 不失一般性在零点(0,0), 下面的方程仅仅要求 c1=c2 -- 由(1)
: ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x (4)
| o*******w
发帖数: 349 | 14 ": (5)是怎么来的？"
我是想说(4) and (5) are not exactly equivalent.
": 不完整，少了交叉相乘的项。"
省略了(后面有省略号）
【在 T*******x 的大作中提到】
: (5)是怎么来的？是因为你没想清楚而来的，原方程并没有这个要求。另外泰勒展开也
: 不完整，少了交叉相乘的项。
| o*******w
发帖数: 349 | 15 "要点是验证这个方程要逐点验证，等式两边必须是对同一个点。"
这个问题涉及到 how to interpret
∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z)/∂x
Consider Δx = Δz = Δ. 固定x, ∂u(x,z)/∂z 是 Δ 的函数, F(Δ).
Similarly, ∂u(x,z)/∂x 也是 Δ 的函数 G(Δ)
所以，∂u/∂z = ∂u/∂x 定义了一个一元函数关系，而不是0
元函数（一个点）
举例说明，如果u(x,z）is 方程 ∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z/∂x
的解，那末有，
u'(0,Δ）= u'(Δ,0) 这是曲线
x(
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这是对的。验证这个方程要逐点验证，等式两边必须是对同一个点。
: 你这个问题我第一个贴已经回答了。要点是验证这个方程要逐点验证，等式两边必须是
: 对同一个点。你左边∂z(0,u)/∂u是在(x=0,u=u)点，右边(1+u)*∂x(
: 0,u)/∂u是在(z=0,u=u)点，这两个不是同一个点。
: 这两个写法意义差别很大。原方程那个是自变量，哪个是函数变量，很清楚。你变换之
: 后自变量和函数变量的分离不清楚了。很难make sense。
| T*******x
发帖数: 8565 | 16 你这有点乱啊。你这个∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z)/∂x是从哪来
的？
.
0
x
【在 o*******w 的大作中提到】
: "要点是验证这个方程要逐点验证，等式两边必须是对同一个点。"
: 这个问题涉及到 how to interpret
: ∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z)/∂x
: Consider Δx = Δz = Δ. 固定x, ∂u(x,z)/∂z 是 Δ 的函数, F(Δ).
: Similarly, ∂u(x,z)/∂x 也是 Δ 的函数 G(Δ)
: 所以，∂u/∂z = ∂u/∂x 定义了一个一元函数关系，而不是0
: 元函数（一个点）
: 举例说明，如果u(x,z）is 方程 ∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z/∂x
: 的解，那末有，
: u'(0,Δ）= u'(Δ,0) 这是曲线
| o*******w
发帖数: 349 | 17 我省略了(1+u), 以为对问题的本质不重要。现重写如下。
方程 ∂u(x,z)/∂z = 1/(1+u(x,z))*∂u(x,z/∂x 定义了一条
曲线，即
u'(0,Δ）= 1/(1+u(Δ,0)) * u'(Δ,0) -- 简单起见这里考虑(0,0)点
where ∂u(x,z)/∂z = 1/(1+u(x,z))*∂u(x,z)/∂x is the
detailed description of
∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
总而言之，我还是觉得
∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x (4)
和
∂z(0,u)/∂u = (1+u)*∂x(0,u)/∂u (5)
是等价的, where, of course, the interpretation of (4) is
∂u(0,z)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,x)/∂x
with z and x being to zero.
【在 T*******x 的大作中提到】
: 你这有点乱啊。你这个∂u(x,z)/∂z = ∂u(x,z)/∂x是从哪来
: 的？
:
: .
: 0
: x
| T*******x
发帖数: 8565 | 18 方程
∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
的一个解是
z = - x(1+u) + u
这是(z,x,u)空间中的一个曲面。
写到这里，事情还没清楚吗？
【在 o*******w 的大作中提到】
: 我省略了(1+u), 以为对问题的本质不重要。现重写如下。
: 方程 ∂u(x,z)/∂z = 1/(1+u(x,z))*∂u(x,z/∂x 定义了一条
: 曲线，即
: u'(0,Δ）= 1/(1+u(Δ,0)) * u'(Δ,0) -- 简单起见这里考虑(0,0)点
: where ∂u(x,z)/∂z = 1/(1+u(x,z))*∂u(x,z)/∂x is the
: detailed description of
: ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
: 总而言之，我还是觉得
: ∂u(0,0)/∂z = 1/(1+u)*∂u(0,0)/∂x (4)
: 和
| o*******w
发帖数: 349 | 19 不才试解惑如下。
(i) ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x (4)
∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u (5)
是等价的。理由如下。
Generally, (4) 的通解是
z = - x*f + C(u), where f=(1+u), C(u) is u 的任意函数.
可以很容易的验证，这也是(5) 的通解：
C' - x*f' = f * (C' - x * f')/f
~~~~~ ~~~~~~~~~~~~
\ \
∂z/∂u f*∂x/∂u
其实由
∂u(x,z)/∂z = 1/∂z(x,u)/∂u (x is constant) 和
∂u(x,z)/∂x = 1/∂x(z,u)/∂u (z is constant)
可得(4) 和(5)是一回事。
(ii) ∂u(x=0,z)/∂z ≠ 1/(1+u)*∂u(x,z=0)/∂x ？
解释如下。
∂u(x=0, z)/∂z 是一个一元函数, 由 u'(0,Δ) := h(Δ) 所确定。注
意自变量用什么符号无所谓, 这里用Δ。
Similarly,
∂u(x, z=0)/∂x 是一个一元函数,由 u'(Δ,0) := g(Δ) 所确定。
h(Δ) 和 1/(1+u(Δ,0))*g(Δ), i.e.
∂u(0,z)/∂z 和 1/(1+u(x,0))*∂u(x,0)/∂x
只在下列条件之一相等：
(a) f(u) 是一个常数，就是说，对线性的PDE 我们有
∂u(x=0,z)/∂z = C*∂u(x,z=0)/∂x
直观的解释就是u在latitude方向上的函数, i.e. u(x,0), 跟u在longitude方向上的函
数u(0,z) 是identical 的 (需适当变换x或z的坐标单位)。
(b) 对于非线性PDE，在特殊边界条件下会有
∂u(0,z)/∂z = 1/f(u)*∂u(x,0)/∂x
一般情况下是不等的，i.e.
h(Δ) ≠ 1/(1+u(Δ,0))*g(Δ)
但是 h(0) = 1/(1+u(0,0))*g(0) 总是成立的.
感谢 TheMatrix. I was more and more clear on this issue only after
discussion with him/her.
【在 o*******w 的大作中提到】
: PDE
: ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x
: ( 原帖: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u )
: 在我的初始条件下的解是
: z = - x(1+u) + u (1)
: From (1) we have
: ∂u(x=0,z)/∂z = 1
: ∂u(x,z=0)/∂x = (1+u)^2
: also = 1/(1-x)^2 because u(x,0) = x/(1-x), i.e. 1+u(x,0)=1/(1-x)
: (原帖: ∂x(1,u)/∂u = 1/(1+u) - u/(1+u)^2 =1/(1+u)^2)
| T*******x
发帖数: 8565 | 20 嗯。差不多。(i)的通解我没有仔细验证。
但是对∂z/∂u以及∂x/∂u的解释意思是对的。
偏导数有tricky的地方，主要是符号记法带来的，在金融经济甚至在物理中都有迷惑人
的地方--但是在数学中没有--思考一下有好处，我也有收益，谢谢。
【在 o*******w 的大作中提到】
: 不才试解惑如下。
: (i) ∂u/∂z = 1/(1+u)*∂u/∂x (4)
: ∂z/∂u = (1+u)*∂x/∂u (5)
: 是等价的。理由如下。
: Generally, (4) 的通解是
: z = - x*f + C(u), where f=(1+u), C(u) is u 的任意函数.
: 可以很容易的验证，这也是(5) 的通解：
: C' - x*f' = f * (C' - x * f')/f
: ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~
: \ \
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