s***t
发帖数: 69 | 1 \int_0^inf t^2/(1-e^t) dt
bow!! |
m****n
发帖数: 45 | |
D*******a
发帖数: 3688 | 3 //blush
看成1-e^(-t)了
【在 m****n 的大作中提到】
: 1-e^t <0 when t>0
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m****n
发帖数: 45 | 4 t^2/(e^t-1) = e^(-t)t^2/(1-e^(-t))=e^(-t)t^2 sum_{k=0..inf}e^(-kt)=
=t^2 sum_{k=1..inf}e^(-kt)
so int_{t=0..inf}t^2/(e^t-1)=sum_{k=1..inf}int_{t=0..inf}t^2 e^(-kt)dt
let kt=x, then
int_{t=0..inf}t^2 e^(-kt)dt=1/k^3 int_{x=0..inf}x^2 e^(-x)dx=1/k^3 Gamma(3)
=2/k^3
hence
int_{t=0..inf}t^2/(e^t-1)=2*sum_{k=1..inf} 1/k^3
【在 s***t 的大作中提到】
: \int_0^inf t^2/(1-e^t) dt
: bow!!
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s***t
发帖数: 69 | 5 怎么算出来的? bow
【在 m****n 的大作中提到】
: t^2/(e^t-1) = e^(-t)t^2/(1-e^(-t))=e^(-t)t^2 sum_{k=0..inf}e^(-kt)=
: =t^2 sum_{k=1..inf}e^(-kt)
: so int_{t=0..inf}t^2/(e^t-1)=sum_{k=1..inf}int_{t=0..inf}t^2 e^(-kt)dt
: let kt=x, then
: int_{t=0..inf}t^2 e^(-kt)dt=1/k^3 int_{x=0..inf}x^2 e^(-x)dx=1/k^3 Gamma(3)
: =2/k^3
: hence
: int_{t=0..inf}t^2/(e^t-1)=2*sum_{k=1..inf} 1/k^3
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m****n
发帖数: 45 | 6 1-e^t <0 when t>0
【在 D*******a 的大作中提到】
: //blush
: 看成1-e^(-t)了
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D*******a
发帖数: 3688 | 7 //blush
看成1-e^(-t)了
【在 m****n 的大作中提到】
: 1-e^t <0 when t>0
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