e*g
发帖数: 4981 | 1 存在无穷多互不相似的三角形T_n,边长a_n,b_n,c_n 为正整数且a_n^2,b_n^2,c_n^2 成
等差数列 |
t******l
发帖数: 10908 | 2 证明题要写成高考的形式，这个比较坑爹。但是思路我觉得应该差不多这样。
因为其平方是等差数列，所以
b^2 - a^2 = c^2 - b^2
平方差公式，得：
(b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
（思路，不用写在证明里：这里的 hint 是要组成三角形，所以要满足三角形的三边的
不等式，所以 b-a 和 c-b 要尽可能小，有因为不要相似，那就选两个最小的质数，比
如选 b-a = 2，c-b = 3。。。不过不行再换就是了。。。）
令 (b-a)=2, (c-b)=3，随便再找一个质数 p（可能合数也行，不过我懒得干体力活）
，凑成
(2)*(3*p) = (3)*(2*p)
也就是 b-a=2, b+a=3*p，c-b=3，c+b=2*p。。。可能没凑对，但差不多就是这个意思
，体力活。。。反正凑个无穷多组没有公约数的。。。
真心觉得高考证明题完全没有必要，美帝奥赛选拔到 National Top 500 强都是 AIME
填空题，不需要 USAMO 证明题。。。在 national top 500 强以外，证明题就跟八股
文差不多。。。
【在 e*g 的大作中提到】
: 存在无穷多互不相似的三角形T_n,边长a_n,b_n,c_n 为正整数且a_n^2,b_n^2,c_n^2 成
: 等差数列
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t******l
发帖数: 10908 | 3 我看了看，发现这题尼玛用哥德巴赫猜想来证明不是更方便？不仅可以做到不相似，而
且可以做到三边都是质数。比如这么证明：
引理：哥德巴赫猜想，任何偶数都可以写成两个质数的和。
所以我就随便找两个偶数 e1 e2，令 (b+a)=e1, (c+b)=e2。。。凑一凑撒三角形不等
式。。。齐活收工，不仅不相似，而且三边都是质数啦啦啦。。。至于引理嘛，判卷老
师打个电话问一下陈景润张益唐陶哲先不就完事了？
哈哈，run 了。。。当然我承认是搞笑。。。不过三边质数还是有可能的，不需要哥德
巴赫猜想，因为随便找两质数反过来加成偶数不需要哥德巴赫猜想。。。当然这个质数
还要满足三角形三边不等式，不知道是不是要张益唐新鲜证明的质数距离定理。。。体
力活我不干了。。。
【在 t******l 的大作中提到】
: 证明题要写成高考的形式，这个比较坑爹。但是思路我觉得应该差不多这样。
: 因为其平方是等差数列，所以
: b^2 - a^2 = c^2 - b^2
: 平方差公式，得：
: (b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
: （思路，不用写在证明里：这里的 hint 是要组成三角形，所以要满足三角形的三边的
: 不等式，所以 b-a 和 c-b 要尽可能小，有因为不要相似，那就选两个最小的质数，比
: 如选 b-a = 2，c-b = 3。。。不过不行再换就是了。。。）
: 令 (b-a)=2, (c-b)=3，随便再找一个质数 p（可能合数也行，不过我懒得干体力活）
: ，凑成
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t******l
发帖数: 10908 | 4 不过证明存在三边质数，可能还是要哥德巴赫猜想更方便，因为两质数的和，如果是个
偶数但是个 2乘以单个质数，那就分不开无法重组另两边。。。还是上哥德巴赫猜想算
了，我就凑一个偶数有 3 的倍数，在凑一个有 5 的倍数。。。当然可能还有个问题，
这俩等式还共享一个 b 这个质数，哥德巴赫好像不一定够用。。。尼玛人类数学理论
太原始了，定理根本就不全。。。震神马震，还不如买个震动棒算了。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我看了看，发现这题尼玛用哥德巴赫猜想来证明不是更方便？不仅可以做到不相似，而
: 且可以做到三边都是质数。比如这么证明：
: 引理：哥德巴赫猜想，任何偶数都可以写成两个质数的和。
: 所以我就随便找两个偶数 e1 e2，令 (b+a)=e1, (c+b)=e2。。。凑一凑撒三角形不等
: 式。。。齐活收工，不仅不相似，而且三边都是质数啦啦啦。。。至于引理嘛，判卷老
: 师打个电话问一下陈景润张益唐陶哲先不就完事了？
: 哈哈，run 了。。。当然我承认是搞笑。。。不过三边质数还是有可能的，不需要哥德
: 巴赫猜想，因为随便找两质数反过来加成偶数不需要哥德巴赫猜想。。。当然这个质数
: 还要满足三角形三边不等式，不知道是不是要张益唐新鲜证明的质数距离定理。。。体
: 力活我不干了。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 5 好像两个质数搞反了，c > b > a，所以 c+b > b+a，3p 和 2p 要换过来好像，凑合着
看思路。不要拘泥细节，其实我根本就没凑，就是搞笑一下。
【在 t******l 的大作中提到】
: 证明题要写成高考的形式，这个比较坑爹。但是思路我觉得应该差不多这样。
: 因为其平方是等差数列，所以
: b^2 - a^2 = c^2 - b^2
: 平方差公式，得：
: (b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
: （思路，不用写在证明里：这里的 hint 是要组成三角形，所以要满足三角形的三边的
: 不等式，所以 b-a 和 c-b 要尽可能小，有因为不要相似，那就选两个最小的质数，比
: 如选 b-a = 2，c-b = 3。。。不过不行再换就是了。。。）
: 令 (b-a)=2, (c-b)=3，随便再找一个质数 p（可能合数也行，不过我懒得干体力活）
: ，凑成
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d****o
发帖数: 32610 | 6 高考不涉及数论吧
【在 t******l 的大作中提到】
: 证明题要写成高考的形式，这个比较坑爹。但是思路我觉得应该差不多这样。
: 因为其平方是等差数列，所以
: b^2 - a^2 = c^2 - b^2
: 平方差公式，得：
: (b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
: （思路，不用写在证明里：这里的 hint 是要组成三角形，所以要满足三角形的三边的
: 不等式，所以 b-a 和 c-b 要尽可能小，有因为不要相似，那就选两个最小的质数，比
: 如选 b-a = 2，c-b = 3。。。不过不行再换就是了。。。）
: 令 (b-a)=2, (c-b)=3，随便再找一个质数 p（可能合数也行，不过我懒得干体力活）
: ，凑成
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t******l
发帖数: 10908 | 7 我前面歌德巴赫猜想是搞笑，这题不是证明质数长度三边，只要不相似，也就是没有公
约数就好了。
: 高考不涉及数论吧
【在 d****o 的大作中提到】
: 高考不涉及数论吧
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N**G
发帖数: 392 | 8 要是没什么动机的话，AIME的题目感觉都是没什么意思的打发时间的。 |
t******l
发帖数: 10908 | 9 好吧我换一个高中解法好了。
设三边为 b-m , b , b+n。。。都是正整数
然后因为题目要求三边平方是等差数列，所以就是
b^2 - (b-m)^2 = (b+n)^2 - b^2
然后化简，<待续>
【在 d****o 的大作中提到】
: 高考不涉及数论吧
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t******l
发帖数: 10908 | 10 尼玛又是体力活化简这个 b^2 - (b-m)^2 = (b+n)^2 - b^2
b^2 - (b-m)^2 = (b+n)^2 - b^2
b^2 - b^2 +2*m*b - m^2 = b^2 + 2*n*b + n^2 - b^2
2*m*b - m^2 = 2*n*b + n^2
2*m*b - 2*n*b = m^2 + n^2
2*(m-n)*b = m^2 + n^2
这个办法好像不行。。。如果是 m^2 - n^2 那才可能解，否则不如前面的质数凑？至
少质数凑是显而易见肯定有结果，只是花多少力气凑而已。。。这个好像不行。
【在 t******l 的大作中提到】
: 好吧我换一个高中解法好了。
: 设三边为 b-m , b , b+n。。。都是正整数
: 然后因为题目要求三边平方是等差数列，所以就是
: b^2 - (b-m)^2 = (b+n)^2 - b^2
: 然后化简，<待续>
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t******l
发帖数: 10908 | 11 属实。。。但人生也很无聊就是了，有东西打发时间就不要抱怨了。。。
【在 N**G 的大作中提到】
: 要是没什么动机的话，AIME的题目感觉都是没什么意思的打发时间的。
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t******l
发帖数: 10908 | 12 唯一的办法是这么来：
2*m*b - m^2 = 2*n*b + n^2
m*(2*b - m) = n*(2*b + n)
不过这个又回到凑质数了，换汤不换药，要折腾转个大圈子。。。也就是本质上还是平
方差公式，而不是二项平方展开。。。平方二项展开避免质数好像行不通。。。
【在 t******l 的大作中提到】
: 尼玛又是体力活化简这个 b^2 - (b-m)^2 = (b+n)^2 - b^2
: b^2 - (b-m)^2 = (b+n)^2 - b^2
: b^2 - b^2 +2*m*b - m^2 = b^2 + 2*n*b + n^2 - b^2
: 2*m*b - m^2 = 2*n*b + n^2
: 2*m*b - 2*n*b = m^2 + n^2
: 2*(m-n)*b = m^2 + n^2
: 这个办法好像不行。。。如果是 m^2 - n^2 那才可能解，否则不如前面的质数凑？至
: 少质数凑是显而易见肯定有结果，只是花多少力气凑而已。。。这个好像不行。
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s*****r
发帖数: 11545 | |
N**G
发帖数: 392 | 14 I have an interesting question for you, it can be solved in elementary
school techniques. It comes from my own research.
begin{equation}
(2-N)a+2b+d_1+d_2+ldots+d_5=1,\
Na^2-2ab+d_1^2+d_2^2+ldots+d_5^2=1
end{equation}
Show that the number of integral solutions $(a,b,d_1,d_2,ldots,d_5)$ is
independent of $N\geq 0,N\in\mathbb{Z}$.
【在 t******l 的大作中提到】
: 唯一的办法是这么来：
: 2*m*b - m^2 = 2*n*b + n^2
: m*(2*b - m) = n*(2*b + n)
: 不过这个又回到凑质数了，换汤不换药，要折腾转个大圈子。。。也就是本质上还是平
: 方差公式，而不是二项平方展开。。。平方二项展开避免质数好像行不通。。。
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J*********2
发帖数: 655 | 15 举例证明就行：
1) a^2=8
b^2=9
c^2=10
2) a^2=9
b^2=10
c^2=11
3) a^2=10
b^2=11
c^2=12
4) a^2=11
b^2=12
c^2=13
5) a^2=12
b^2=13
c^2=14
6)
...
7)
...
...
...
有无数个三角形，它们全部不同形。因为它们一个比一个更接近等边三角形。 |
t******l
发帖数: 10908 | 16 凑质数肯定可以证明的。。。就是个体力问题，只是不知道有没有更好的办法而已。
【在 s*****r 的大作中提到】
: O.5 hr gone.... Lol
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t******l
发帖数: 10908 | 17 尼玛题目要求 a b c 是整数。。。
【在 J*********2 的大作中提到】
: 举例证明就行：
: 1) a^2=8
: b^2=9
: c^2=10
: 2) a^2=9
: b^2=10
: c^2=11
: 3) a^2=10
: b^2=11
: c^2=12
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t******l
发帖数: 10908 | 18 你这个是存心找乐吧。。。都啥未知变量符号？
【在 N**G 的大作中提到】
: I have an interesting question for you, it can be solved in elementary
: school techniques. It comes from my own research.
: begin{equation}
: (2-N)a+2b+d_1+d_2+ldots+d_5=1,\
: Na^2-2ab+d_1^2+d_2^2+ldots+d_5^2=1
: end{equation}
: Show that the number of integral solutions $(a,b,d_1,d_2,ldots,d_5)$ is
: independent of $N\geq 0,N\in\mathbb{Z}$.
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T****t
发帖数: 11162 | 19 你是不是奥赛金牌，三句不离奥数，继贞三木后，又来了一位
: 证明题要写成高考的形式，这个比较坑爹。但是思路我觉得应该差不多这样。
: 因为其平方是等差数列，所以
: b^2 - a^2 = c^2 - b^2
: 平方差公式，得：
: (b-a)*(b a) = (c-b)*(c b)
: （思路，不用写在证明里：这里的 hint 是要组成三角形，所以要满足三角形的
三边的
: 不等式，所以 b-a 和 c-b 要尽可能小，有因为不要相似，那就选两个最小的质
数，比
: 如选 b-a = 2，c-b = 3。。。不过不行再换就是了。。。）
: 令 (b-a)=2, (c-b)=3，随便再找一个质数 p（可能合数也行，不过我懒得干体
力活）
: ，凑成
【在 t******l 的大作中提到】
: 你这个是存心找乐吧。。。都啥未知变量符号？
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t******l
发帖数: 10908 | 20 也就是多凑几个数搞出整数解，因为有 4 个变量。。。用质数的原因是要求互不相似
，所以搞个质数 p 弄成互相没有公约数。。。但不知道有没有更简单省力的办法。
【在 t******l 的大作中提到】
: 凑质数肯定可以证明的。。。就是个体力问题，只是不知道有没有更好的办法而已。
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T****t
发帖数: 11162 | 21 用数学归纳法，应该可以
: 高考不涉及数论吧
【在 d****o 的大作中提到】
: 高考不涉及数论吧
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N**G
发帖数: 392 | 22 (a,b,d_1,...d_5) is a tuple of variables.
N is parameter.
For example, you can try to show that for N=3 and N=4.
The number of integral solutions (a,b,d_1,...d_5) for the system equations
are the same.
【在 t******l 的大作中提到】
: 你这个是存心找乐吧。。。都啥未知变量符号？
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t******l
发帖数: 10908 | 23 这么复杂的东西你是不是取笑我？
我前面是把 2 和 3 两个质数给了所以不好解，就好比把三边距离给定了。。。大不了
搞四个质数写成字母，总是可以得到整数解，然后大小范围定一下满足三角形即可。
: (a,b,d_1,...d_5) is a tuple of variables.
: N is parameter.
: For example, you can try to show that for N=3 and N=4.
: The number of integral solutions (a,b,d_1,...d_5) for the system
equations
: are the same.
【在 N**G 的大作中提到】
: (a,b,d_1,...d_5) is a tuple of variables.
: N is parameter.
: For example, you can try to show that for N=3 and N=4.
: The number of integral solutions (a,b,d_1,...d_5) for the system equations
: are the same.
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s*****r
发帖数: 11545 | 24 Can anyone prove the first part?
Remove the following:
且a_n^2,b_n^2,c_n^2 成等差数列 |
e*g
发帖数: 4981 | 25 要不来个简单的先热热身吧，把题目里三角形去掉
存在无穷多正整数组a_n,b_n,c_n，a_n^2,b_n^2,c_n^2 成等差数列 |
t******l
发帖数: 10908 | 26 我已经证明了不是？没人看懂？
: 要不来个简单的先热热身吧，把题目里三角形去掉
: 存在无穷多正整数组a_n,b_n,c_n，a_n^2,b_n^2,c_n^2 成等差数列
【在 e*g 的大作中提到】
: 要不来个简单的先热热身吧，把题目里三角形去掉
: 存在无穷多正整数组a_n,b_n,c_n，a_n^2,b_n^2,c_n^2 成等差数列
|
t******l
发帖数: 10908 | 27 我再敲一遍吧：
因为其平方是等差数列，所以
b^2 - a^2 = c^2 - b^2
平方差公式，得：
(b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
把这个等差的距离做 prime factorization，记作：
(b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b) = p1*p2*p3*...*p_n
其中 p1 , p2 , p3 ... p_n 都是质数。
这样的话，把质数切成两组，得
b-a = <一组质数>
b+a = <剩下的质数>
如法炮制，用不同的切法，切成不同两组，得：
c-b = <一组质数>
c+b = <剩下的质数>
四个方程四个未知数，线程方程，得整数或分数解。
如果是分数解，右边的质数组加上分母那些质数，总可以得到整数解。
我们有无穷无尽的质数，有无穷无尽的选择 set of prime，然后每个 set of prime
又有很多种切成两组的办法。所以有无穷无尽的整数解。QED。
其实这个问题非常非常的 trivial，如果从质数的角度看。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我已经证明了不是？没人看懂？
:
:
: 要不来个简单的先热热身吧，把题目里三角形去掉
:
: 存在无穷多正整数组a_n,b_n,c_n，a_n^2,b_n^2,c_n^2 成等差数列
:
|
t******l
发帖数: 10908 | 28 其实这个方程上的分数解，也就是 /2 的问题，多放几个 2 这个质数就完事了。。。
当然我就是纯思路的角度说。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我再敲一遍吧：
: 因为其平方是等差数列，所以
: b^2 - a^2 = c^2 - b^2
: 平方差公式，得：
: (b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
: 把这个等差的距离做 prime factorization，记作：
: (b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b) = p1*p2*p3*...*p_n
: 其中 p1 , p2 , p3 ... p_n 都是质数。
: 这样的话，把质数切成两组，得
: b-a = <一组质数>
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s*****r
发帖数: 11545 | 29 Can jefff or tigermeat solve this problem in 300 minutes? |
h*********g
发帖数: 9102 | 30 不存在。
c_n^2=3a_n^2
b_n^2=2a_n^2
c_n=sqrt(3)a_n
不存在这样的整数 |
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m******r
发帖数: 4351 | 31 这个题很简单啊，只是证存在性而已。只要构造一个问题的无穷的解集合就行
几分钟就能做出来
先把边长化简都除去公约数，那么里面必定有两个奇数。然后随便讨论一下，如果中间
那个是奇数，那么就有K^2=(n-m)(n+m+1) 再对K约束一下，剩下的就不用我说了吧
【在 e*g 的大作中提到】
: 存在无穷多互不相似的三角形T_n,边长a_n,b_n,c_n 为正整数且a_n^2,b_n^2,c_n^2 成
: 等差数列
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K**********r
发帖数: 235 | 32 菌斑的将军们就这个水平？ 这么trivial的题目！
解：
假定 a<=b<=c为一组勾股数： a^2+b^2=c^2,
则三边为(b-a, c, b+a)的三角形满足平方等差的条件。
(b-a, c, b+a)能构成三角形的条件是 b-a + c>b+a, => c>2a.
勾股数的通解是: (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) = (a, b, c),
取 n=1, 则对于所有 m>=4, c= m^2+1 > 2 a=4m. 由此构造的三角形满足所有条件。证
完！ |
s*****r
发帖数: 11545 | 33 How to prove that there are unlimited 勾股数?
: 菌斑的将军们就这个水平？ 这么trivial的题目！
: 解：
: 假定 a
: 则三边为(b-a, c, b a)的三角形满足平方等差的条件。
: (b-a, c, b a)能构成三角形的条件是 b-a c
【在 K**********r 的大作中提到】
: 菌斑的将军们就这个水平？ 这么trivial的题目！
: 解：
: 假定 a<=b<=c为一组勾股数： a^2+b^2=c^2,
: 则三边为(b-a, c, b+a)的三角形满足平方等差的条件。
: (b-a, c, b+a)能构成三角形的条件是 b-a + c>b+a, => c>2a.
: 勾股数的通解是: (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) = (a, b, c),
: 取 n=1, 则对于所有 m>=4, c= m^2+1 > 2 a=4m. 由此构造的三角形满足所有条件。证
: 完！
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t******l
发帖数: 10908 | 34 伊直接用了勾股数的定理。。。勾股数定理是一个挺强的定理，证明好像也是用平方差
公式然后还原的，不过一般人记不住，除非考前刷过。
: How to prove that there are unlimited 勾股数?
【在 s*****r 的大作中提到】
: How to prove that there are unlimited 勾股数?
:
:
: 菌斑的将军们就这个水平？ 这么trivial的题目！
:
: 解：
:
: 假定 a
: 则三边为(b-a, c, b a)的三角形满足平方等差的条件。
:
: (b-a, c, b a)能构成三角形的条件是 b-a c
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t******l
发帖数: 10908 | 35 你这个方法挺巧，只是要想得到。。。不是所有的奇数平方都是可以这么分解的。。。
本质上还是把质数乘积割开成两块，当然凑得巧就很快。
: 这个题很简单啊，只是证存在性而已。只要构造一个问题的无穷的解集合就行
: 几分钟就能做出来
: 先把边长化简都除去公约数，那么里面必定有两个奇数。然后随便讨论一下，如
果中间
: 那个是奇数，那么就有K^2=(n-m)(n m 1) 再对K约束一下，剩下的就不用我说了吧
【在 m******r 的大作中提到】
: 这个题很简单啊，只是证存在性而已。只要构造一个问题的无穷的解集合就行
: 几分钟就能做出来
: 先把边长化简都除去公约数，那么里面必定有两个奇数。然后随便讨论一下，如果中间
: 那个是奇数，那么就有K^2=(n-m)(n+m+1) 再对K约束一下，剩下的就不用我说了吧
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s*****r
发帖数: 11545 | 36 勾股定理 I know, but I never know there are unlimited sets of 勾股数.
: 伊直接用了勾股数的定理。。。勾股数定理是一个挺强的定理，证明好像
也是用
平方差
: 公式然后还原的，不过一般人记不住，除非考前刷过。
【在 t******l 的大作中提到】
: 你这个方法挺巧，只是要想得到。。。不是所有的奇数平方都是可以这么分解的。。。
: 本质上还是把质数乘积割开成两块，当然凑得巧就很快。
:
:
: 这个题很简单啊，只是证存在性而已。只要构造一个问题的无穷的解集合就行
:
: 几分钟就能做出来
:
: 先把边长化简都除去公约数，那么里面必定有两个奇数。然后随便讨论一下，如
: 果中间
:
: 那个是奇数，那么就有K^2=(n-m)(n m 1) 再对K约束一下，剩下的就不用我说了吧
:
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t******l
发帖数: 10908 | 37 如果仅仅是证明 unlimited set of 勾股数，平方差加素数分解唯一性就可以了。很简
单，比如这样：
a^2 + b^2 = c^2
a^2 = c^2 - b^2
a^2 = (c+b)*(c-b)
由素数分解唯一性，因为存在无数合数，a 能够分解为 (m1*m2)，那么
(m1*m2)^2 = (c+b)*(c-b)
重写成
(m1^2) * (m2^2) = (c+b)*(c-b)
解方程（假设 m2 > m1）：
c+b = m2^2
c-b = m1^2
如果 m1 , m2 是偶数，就有整数解。
所以有无数整数解。所以有无数组勾股数。
【在 s*****r 的大作中提到】
: 勾股定理 I know, but I never know there are unlimited sets of 勾股数.
:
:
: 伊直接用了勾股数的定理。。。勾股数定理是一个挺强的定理，证明好像
: 也是用
: 平方差
:
: 公式然后还原的，不过一般人记不住，除非考前刷过。
:
|
K**********r
发帖数: 235 | 38 Even your PE teacher will be deeply ashamed for this silly comment!
【在 s*****r 的大作中提到】
: 勾股定理 I know, but I never know there are unlimited sets of 勾股数.
:
:
: 伊直接用了勾股数的定理。。。勾股数定理是一个挺强的定理，证明好像
: 也是用
: 平方差
:
: 公式然后还原的，不过一般人记不住，除非考前刷过。
:
|
t******l
发帖数: 10908 | 39 这个仅仅证明有无数组勾股数，还是比较简单的。。。但 KingofSoccer 用的是一个更
强的定理，勾股数的生成式，能生成所有的勾股数。。。那个需要凑一下，需要点时间
try & error，或者 algebraic guess。。。但是概念还是一样，也就是利用要么平方
差公式，要么平方展开公式，然后因为是整数解，底层上还是素数分解唯一性。。。但
要生成式的话，需要换元和凑一下，不是那么直截了当。。。不是备考的刷过的话，一
般会需要花点时间猜测尝试。
【在 t******l 的大作中提到】
: 如果仅仅是证明 unlimited set of 勾股数，平方差加素数分解唯一性就可以了。很简
: 单，比如这样：
: a^2 + b^2 = c^2
: a^2 = c^2 - b^2
: a^2 = (c+b)*(c-b)
: 由素数分解唯一性，因为存在无数合数，a 能够分解为 (m1*m2)，那么
: (m1*m2)^2 = (c+b)*(c-b)
: 重写成
: (m1^2) * (m2^2) = (c+b)*(c-b)
: 解方程（假设 m2 > m1）：
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s*****r
发帖数: 11545 | 40 I don't think this is silly. 整数 Is the key issue you need to prove. Unless
it is known in high school textbook, you cannot use it without proving it.
: Even your PE teacher will be deeply ashamed for this silly comment!
【在 K**********r 的大作中提到】
: Even your PE teacher will be deeply ashamed for this silly comment!
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t******l
发帖数: 10908 | 41 这个我可以很负责的说，不是那么容易。。。如果事先知道答案，也就是传说中的 “
先看答案后作弊” 的解题方式，那当然很容易。。。否则的话，用 algebraic
factorization 结合 unique prime factorization 的概念，来解这类型但从来没见过
的 non-routine 题目，基本是 AIME problem #3 或以后的水准。。。网上牛人很多，
但 AIME 成绩的统计，每年全美有多少数学尖子能做出来，明明白白放在 MPAA 网站上
。那个是真实相对水平的数据。
我曾经给我家大娃说过这个类型的概念，algebraic factorization + unique prime
factorization，但是她离开能掌握还很远，基本我是当 mind-opening 介绍一下。
Unless
【在 s*****r 的大作中提到】
: I don't think this is silly. 整数 Is the key issue you need to prove. Unless
: it is known in high school textbook, you cannot use it without proving it.
:
:
: Even your PE teacher will be deeply ashamed for this silly comment!
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s*****r
发帖数: 11545 | 42 Thank you... Very nice of you.
: 如果仅仅是证明 unlimited set of 勾股数，平方差加素数分解唯一性就可以了
。很简
: 单，比如这样：
: a^2 b^2 = c^2
: a^2 = c^2 - b^2
: a^2 = (c b)*(c-b)
: 由素数分解唯一性，因为存在无数合数，a 能够分解为 (m1*m2)，那么
: (m1*m2)^2 = (c b)*(c-b)
: 重写成
: (m1^2) * (m2^2) = (c b)*(c-b)
: 解方程（假设 m2
【在 t******l 的大作中提到】
: 这个我可以很负责的说，不是那么容易。。。如果事先知道答案，也就是传说中的 “
: 先看答案后作弊” 的解题方式，那当然很容易。。。否则的话，用 algebraic
: factorization 结合 unique prime factorization 的概念，来解这类型但从来没见过
: 的 non-routine 题目，基本是 AIME problem #3 或以后的水准。。。网上牛人很多，
: 但 AIME 成绩的统计，每年全美有多少数学尖子能做出来，明明白白放在 MPAA 网站上
: 。那个是真实相对水平的数据。
: 我曾经给我家大娃说过这个类型的概念，algebraic factorization + unique prime
: factorization，但是她离开能掌握还很远，基本我是当 mind-opening 介绍一下。
:
: Unless
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t******l
发帖数: 10908 | 43 确切的说，应该是 algebraic factorization + unique prime factorization + set/
partition/combination/permutation (permutation/combination theory)
【在 t******l 的大作中提到】
: 这个我可以很负责的说，不是那么容易。。。如果事先知道答案，也就是传说中的 “
: 先看答案后作弊” 的解题方式，那当然很容易。。。否则的话，用 algebraic
: factorization 结合 unique prime factorization 的概念，来解这类型但从来没见过
: 的 non-routine 题目，基本是 AIME problem #3 或以后的水准。。。网上牛人很多，
: 但 AIME 成绩的统计，每年全美有多少数学尖子能做出来，明明白白放在 MPAA 网站上
: 。那个是真实相对水平的数据。
: 我曾经给我家大娃说过这个类型的概念，algebraic factorization + unique prime
: factorization，但是她离开能掌握还很远，基本我是当 mind-opening 介绍一下。
:
: Unless
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e*g
发帖数: 4981 | 44 三个未知数，你解不出来
【在 t******l 的大作中提到】
: 我再敲一遍吧：
: 因为其平方是等差数列，所以
: b^2 - a^2 = c^2 - b^2
: 平方差公式，得：
: (b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
: 把这个等差的距离做 prime factorization，记作：
: (b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b) = p1*p2*p3*...*p_n
: 其中 p1 , p2 , p3 ... p_n 都是质数。
: 这样的话，把质数切成两组，得
: b-a = <一组质数>
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N**G
发帖数: 392 | 45 你还是把我那道题解出来吧
set/
【在 t******l 的大作中提到】
: 确切的说，应该是 algebraic factorization + unique prime factorization + set/
: partition/combination/permutation (permutation/combination theory)
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e*g
发帖数: 4981 | 46 还得证一下相似
【在 K**********r 的大作中提到】
: 菌斑的将军们就这个水平？ 这么trivial的题目！
: 解：
: 假定 a<=b<=c为一组勾股数： a^2+b^2=c^2,
: 则三边为(b-a, c, b+a)的三角形满足平方等差的条件。
: (b-a, c, b+a)能构成三角形的条件是 b-a + c>b+a, => c>2a.
: 勾股数的通解是: (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) = (a, b, c),
: 取 n=1, 则对于所有 m>=4, c= m^2+1 > 2 a=4m. 由此构造的三角形满足所有条件。证
: 完！
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K**********r
发帖数: 235 | 47 这是显然的，
三条边是(m^2-2m-1, m^2+1, m^2+2m-1),
最小两天边之比是 (m^2-2m-1)/(m^2+1)=1-2(m+1)/(m^2+1),对m>=4是单调增的，没有
相似。
【在 e*g 的大作中提到】
: 还得证一下相似
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K**********r
发帖数: 235 | 48 抱歉刚刚说话有点冲。
Unless
【在 s*****r 的大作中提到】
: I don't think this is silly. 整数 Is the key issue you need to prove. Unless
: it is known in high school textbook, you cannot use it without proving it.
:
:
: Even your PE teacher will be deeply ashamed for this silly comment!
:
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s*****r
发帖数: 11545 | 49 No no no, I am not offended. I admire you and timeoff. I had thought about
your method before you listed the key but obviously my math intuition is not
good. I did not even know a,b, and c can form a triangle so long as a plus
b is larger than c, but then it is obvious after I thought it over. I had
also thought about using triangle functions.
: 抱歉刚刚说话有点冲。
: Unless
【在 K**********r 的大作中提到】
: 抱歉刚刚说话有点冲。
:
: Unless
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t******l
发帖数: 10908 | 50 多个未知数好了：
(b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
(m1*m2)* ? = m1*(m2* ? )
? 是多出来的未知数，不过要保证整数解，这里可能偶数就可以了？
不过其实我也没看是不是整数解。。。
【在 e*g 的大作中提到】
: 三个未知数，你解不出来
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t******l
发帖数: 10908 | 51 不高兴。。。你就当我没头脑好了。。。没头脑和不高兴。。。
【在 N**G 的大作中提到】
: 你还是把我那道题解出来吧
:
: set/
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t******l
发帖数: 10908 | 52 我算了一下，这样应该可以写出生成式子。。。当然是有点吃饱了撑的体力活：
(b-a)*(b+a) = (c-b)*(c+b)
(2*m1*m2)*(2*m3) = (2*m1)*(2*m2*m3)
这个问题是 m1 m2 m3 不能任意选取，要满足一定关系，所以就先求解左边，得：
a = m3 - m1*m2
b = m3 + m1*m2
求解右边，得：
b = m2*m3 - m1
c = m2*m3 + m1
因为 b 只能有一个，所以 m1 m2 m3 需要满足：
m3 + m1*m2 = m2*m3 - m1
移项，得：
m1*m2 + m1 = m2*m3 - m3
factor out 得：
m1*(m2+1) = m3*(m2-1)
选择满足以上条件的 m1 m2 m3 即可。。。铺天盖地。。。
当然我承认我今天确实很无趣。。。对付完老大回来干这个体力活。。。这个办法确实
比较笨。。。
【在 e*g 的大作中提到】
: 三个未知数，你解不出来
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t******l
发帖数: 10908 | 53 我觉得你不用在意这个 math intuition。。。从某个角度而言，我们整个人类都没有
很好的 math intuition，证据就是哥德巴赫猜想这么简单的玩意儿。
而从这道题而言，这道题的无限种组合非常 trivial，比勾股数更 trivial。。。而用
刁钻的灵机一动的天花飞仙办法，就算证明了有无限组合，也说不上对这个平方后等差
的仨整数组的分布，有啥 math intuition，也就是管中窥豹一下而已。。。真要讲
math intuition，我觉得只能先上体力活，像上面那样用 algebraic factorization
和 unique prime factorization 的概念，写出某种生成式子，能完整的生成所有可能
的这种数（至少是绝大部分，而不是某些古怪特例），然后再看看是不是能讨论其数学
结构和分布。。。而不是投机取巧先找一些刁钻特例。
not
plus
【在 s*****r 的大作中提到】
: No no no, I am not offended. I admire you and timeoff. I had thought about
: your method before you listed the key but obviously my math intuition is not
: good. I did not even know a,b, and c can form a triangle so long as a plus
: b is larger than c, but then it is obvious after I thought it over. I had
: also thought about using triangle functions.
:
:
: 抱歉刚刚说话有点冲。
:
: Unless
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t******l
发帖数: 10908 | 54 其实推而广之。。。我觉得很多人看不起丢手绢的 AIME 十五道心算填空题，而对这种
找刁钻办法证一个 weak 但看着高大上的数学定理证明题，其实我觉得跟中小学数学教
育的初衷是背道而驰的。
我这么说，并不是空穴来风。。。绝大部分人中学毕业以后，不会去纯数学专业。。。
也就是这种高大上样子的定理（weak 不 weak 先不说），全美每年只要数学竞赛
USAMO National Top 500 个人头的足够了，或者我们把炮灰也算上，那 2000 个总绰
绰有余了。。。剩下的我等屌丝们，这种数学大定理屁用都没有。。。而 AIME 找丢手
绢题目的做派，讲真。。。不要说马工 debug 本质上就是找前面那个沙比把手绢丢在
几万行代码的算法里。。。就是屌丝周末修个车，那本质上也就是把那个卡住齿轮的手
绢给找出来不是？
当然，话说回来，如果是 USAMO National Top 500（或者把炮灰也算上，National
Top 2000 好了），那另说。。。总之我的意思是，这型证明题是做完 AIME 以后还能
在地上爬的，那挑战一下自己也没啥。。。但我等屌丝就算了，老老实实把 algebraic
factorization 和 unique prime factorization 这种下里巴人的数学基础概念搞搞
清楚，将来能做个刷题小马工，是正道。。。话糙理不糙！
【在 t******l 的大作中提到】
: 我觉得你不用在意这个 math intuition。。。从某个角度而言，我们整个人类都没有
: 很好的 math intuition，证据就是哥德巴赫猜想这么简单的玩意儿。
: 而从这道题而言，这道题的无限种组合非常 trivial，比勾股数更 trivial。。。而用
: 刁钻的灵机一动的天花飞仙办法，就算证明了有无限组合，也说不上对这个平方后等差
: 的仨整数组的分布，有啥 math intuition，也就是管中窥豹一下而已。。。真要讲
: math intuition，我觉得只能先上体力活，像上面那样用 algebraic factorization
: 和 unique prime factorization 的概念，写出某种生成式子，能完整的生成所有可能
: 的这种数（至少是绝大部分，而不是某些古怪特例），然后再看看是不是能讨论其数学
: 结构和分布。。。而不是投机取巧先找一些刁钻特例。
:
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s*****r
发帖数: 11545 | 55 那么会说话，人又那么聪明，实在难得，要俺是搞计算机的肯定就投奔您鸟， 可惜俺
搞生物的，脑子早就变成一块岩石鸟。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我觉得你不用在意这个 math intuition。。。从某个角度而言，我们整个人类都没有
: 很好的 math intuition，证据就是哥德巴赫猜想这么简单的玩意儿。
: 而从这道题而言，这道题的无限种组合非常 trivial，比勾股数更 trivial。。。而用
: 刁钻的灵机一动的天花飞仙办法，就算证明了有无限组合，也说不上对这个平方后等差
: 的仨整数组的分布，有啥 math intuition，也就是管中窥豹一下而已。。。真要讲
: math intuition，我觉得只能先上体力活，像上面那样用 algebraic factorization
: 和 unique prime factorization 的概念，写出某种生成式子，能完整的生成所有可能
: 的这种数（至少是绝大部分，而不是某些古怪特例），然后再看看是不是能讨论其数学
: 结构和分布。。。而不是投机取巧先找一些刁钻特例。
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