T*******x
发帖数: 8565 | |
m*******k
发帖数: 839 | 2 hasn't been done by Miles already?
【在 T*******x 的大作中提到】
: 周末了，开始吧！
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T*******x
发帖数: 8565 | 3 Miles是谁？
【在 m*******k 的大作中提到】
: hasn't been done by Miles already?
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x****6
发帖数: 4339 | 4 文盲,那是andrew wiles,证明了费马大定理
【在 m*******k 的大作中提到】
: hasn't been done by Miles already?
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T*******x
发帖数: 8565 | 5 先从Gamma函数开始。
Gamma函数定义为，对x积分x^z/e^x，从0到无穷大，积出来是z的函数，叫Gamma(z+1)
。要想得到Gamma(z)，在公式中代入z-1。
Gamma函数很容易定义在z大于等于1的实数上，然后定义在实部大于1的复数上。然后通
过解析延拓定义在整个复平面上。
通过分部积分法，很容易得到等式
Gamma(z+1)=z Gamma(z)，
因此Gamma函数有阶乘函数的特点，是阶乘函数在全部复数域上的扩展。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 周末了，开始吧！
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C**o
发帖数: 10373 | 6 你用筷子扎自己头顶，试试看
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:周末了，开始吧！
:☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.07 |
T*******x
发帖数: 8565 | 7 为什么要研究Gamma函数呢？
再来看一个和Gamma函数非常相像的函数，叫Alpha函数吧，对x积分x^z/(e^x-1)，从0
到无穷大，积出来是z的函数，Alpha(z+1)，要想得到Alpha(z)，在公式中代入z-1。
是很相像吧？只有一点点不同，就是积分项分母有一个减1。其余和Gamma函数完全一样。
和黎曼Zeta函数的关系来了：
Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)
【在 T*******x 的大作中提到】
: 先从Gamma函数开始。
: Gamma函数定义为，对x积分x^z/e^x，从0到无穷大，积出来是z的函数，叫Gamma(z+1)
: 。要想得到Gamma(z)，在公式中代入z-1。
: Gamma函数很容易定义在z大于等于1的实数上，然后定义在实部大于1的复数上。然后通
: 过解析延拓定义在整个复平面上。
: 通过分部积分法，很容易得到等式
: Gamma(z+1)=z Gamma(z)，
: 因此Gamma函数有阶乘函数的特点，是阶乘函数在全部复数域上的扩展。
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C**o
发帖数: 10373 | 8 你再不闭嘴有人要抽你了
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:为什么要研究Gamma函数呢？
:再来看一个和Gamma函数非常相像的函数，叫Alpha函数吧，对x积分x^z/(e^x-1)，从0
:到无穷大，积出来是z的函数，Alpha(z+1)，要想得到Alpha(z)，在公式中代入z-1。
:是很相像吧？只有一点点不同，就是积分项分母有一个减1。其余和Gamma函数完全一
样。
:和黎曼Zeta函数的关系来了：
:Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)
:☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.07 |
T*******x
发帖数: 8565 | 9 所以研究黎曼Zeta函数，就等价于研究Gamma函数和Alpha函数。
先记录一下，缺一个基本事实：黎曼Zeta函数的级数定义，等价于用Gamma函数的定义，
sum 1/n^z =Alpha(z)/Gamma(z)。
0
样。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 为什么要研究Gamma函数呢？
: 再来看一个和Gamma函数非常相像的函数，叫Alpha函数吧，对x积分x^z/(e^x-1)，从0
: 到无穷大，积出来是z的函数，Alpha(z+1)，要想得到Alpha(z)，在公式中代入z-1。
: 是很相像吧？只有一点点不同，就是积分项分母有一个减1。其余和Gamma函数完全一样。
: 和黎曼Zeta函数的关系来了：
: Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)
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b******r
发帖数: 1 | |
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T*******x
发帖数: 8565 | 11 这里面所涉及的函数，Zeta，Gamma，Alpha，都是复数解析函数，或近乎解析函数，叫
meromorphic函数，也就是只在有限，或最多可数无限，且离散的几个点上无定义，在
其它大片的地方都是解析函数，也就是可导，复可导，可以展开成泰勒级数。
复近解析函数的这个性质非常好，可以放心的做除法，比如Alpha(z)/Gamma(z)。没问
题，在全复平面上几乎都有定义，最多在几个点上要小心研究：分母函数的零点，和分
母函数的无穷点。
义，
【在 T*******x 的大作中提到】
: 所以研究黎曼Zeta函数，就等价于研究Gamma函数和Alpha函数。
: 先记录一下，缺一个基本事实：黎曼Zeta函数的级数定义，等价于用Gamma函数的定义，
: sum 1/n^z =Alpha(z)/Gamma(z)。
:
: 0
: 样。
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T*******x
发帖数: 8565 | 12 解析函数的零点，也就是函数值为零的点，近距离观察，是非常简单的。比如a是一个
零点，那么函数在趋近于a的时候，是以(z-a)^n的方式趋近于零，也就是以一个简单幂
函数的方式趋近于零。n叫零点的阶，一阶零点，二阶零点，等等。
如果两个解析函数做除法，分母的零点，在分子不为零的情况下，变成了商函数的无穷
点。这叫pole。所以有一阶pole，二阶pole，等等。
一个近解析函数，在局部看都是由两个解析函数做除法得到的，所以pole，以及pole的
阶，对所有的近解析函数都适用。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这里面所涉及的函数，Zeta，Gamma，Alpha，都是复数解析函数，或近乎解析函数，叫
: meromorphic函数，也就是只在有限，或最多可数无限，且离散的几个点上无定义，在
: 其它大片的地方都是解析函数，也就是可导，复可导，可以展开成泰勒级数。
: 复近解析函数的这个性质非常好，可以放心的做除法，比如Alpha(z)/Gamma(z)。没问
: 题，在全复平面上几乎都有定义，最多在几个点上要小心研究：分母函数的零点，和分
: 母函数的无穷点。
:
: 义，
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T*******x
发帖数: 8565 | 13 近解析函数无定义的点，除了简单的pole之外，还有一个复杂的，叫essential
singularity。它不是以简单的幂函数倒数的方式趋近于无穷，在它的附近观察，它富
含结构。如果以复数数列趋近于它的话，数列可以有任何极限。这里面是不是有混沌的
现象啊？
essential singularity一般发生在近解析函数趋近于无穷的时候。比如e^z，sin(z)，
还有我们的Zeta，Gamma，Alpha函数，都是essential singularity发生在无穷远点。
但是做一个变换，essential singularity可以发生在任何点，比如e^(1/z)，发生在z=
0。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 解析函数的零点，也就是函数值为零的点，近距离观察，是非常简单的。比如a是一个
: 零点，那么函数在趋近于a的时候，是以(z-a)^n的方式趋近于零，也就是以一个简单幂
: 函数的方式趋近于零。n叫零点的阶，一阶零点，二阶零点，等等。
: 如果两个解析函数做除法，分母的零点，在分子不为零的情况下，变成了商函数的无穷
: 点。这叫pole。所以有一阶pole，二阶pole，等等。
: 一个近解析函数，在局部看都是由两个解析函数做除法得到的，所以pole，以及pole的
: 阶，对所有的近解析函数都适用。
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T*******x
发帖数: 8565 | 14 先研究一下Gamma函数的基本性质。
直接按定义计算可得Gamma(1)=1。
用等式Gamma(z+1)=z Gamma(z)，
可得Gamma(n+1)=n!
在z=0附近用等式Gamma(z+1)=z Gamma(z)，可得z=0是Gamma函数的pole，而且是一阶
pole，它以简单的1/z的方式趋近于无穷。
继续在z等于负整数的附近用等式
Gamma(z+1)=z Gamma(z)，可得Gamma函数在所有负整数的地方都是一阶pole。
义，
【在 T*******x 的大作中提到】
: 所以研究黎曼Zeta函数，就等价于研究Gamma函数和Alpha函数。
: 先记录一下，缺一个基本事实：黎曼Zeta函数的级数定义，等价于用Gamma函数的定义，
: sum 1/n^z =Alpha(z)/Gamma(z)。
:
: 0
: 样。
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T*******x
发帖数: 8565 | 15 Gamma函数没有其它的pole。因为，还是用这个递推关系，
Gamma(z+1)=z Gamma(z)，
如果有一个非整数，或者非实数的pole，假设为w，那么w加上任意一个整数也是pole。
而从Gamma的积分定义看，Gamma函数在实部大于1的复平面上是解析的，没有任何pole。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 先研究一下Gamma函数的基本性质。
: 直接按定义计算可得Gamma(1)=1。
: 用等式Gamma(z+1)=z Gamma(z)，
: 可得Gamma(n+1)=n!
: 在z=0附近用等式Gamma(z+1)=z Gamma(z)，可得z=0是Gamma函数的pole，而且是一阶
: pole，它以简单的1/z的方式趋近于无穷。
: 继续在z等于负整数的附近用等式
: Gamma(z+1)=z Gamma(z)，可得Gamma函数在所有负整数的地方都是一阶pole。
:
: 义，
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T*******x
发帖数: 8565 | 16 再研究一下Gamma函数的零点。
根据Gamma函数的reflection formula，
Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)，
Gamma函数没有零点，因为等式右边不为零。
pole。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Gamma函数没有其它的pole。因为，还是用这个递推关系，
: Gamma(z+1)=z Gamma(z)，
: 如果有一个非整数，或者非实数的pole，假设为w，那么w加上任意一个整数也是pole。
: 而从Gamma的积分定义看，Gamma函数在实部大于1的复平面上是解析的，没有任何pole。
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T*******x
发帖数: 8565 | 17 Gamma函数的reflection formula我觉得很奇妙，也很有用。
这些函数，Zeta，Gamma等，都是通过复杂的积分定义出来的函数。它们相当于在初等
函数集合之外新增的特殊函数。就好像最开始我们有幂函数或多项式函数，然后在此之
外又增加了三角函数。三角函数刚增加的时候我们要研究很多三角函数的等式，等式越
多我们就对三角函数的性质越清楚，清楚到最后我们把它纳入出等函数的范畴里了。
Gamma函数也要研究关于它的等式，等式越多我们就对它越清楚。最基本的等式，也叫
functional equation，是递推公式，
Gamma(z+1)=z Gamma(z)。
第二个基本的functional equation就是这个reflection formula了。
Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)。
这两天我就在考虑这个证明。还没证出来。还不想在网上看。因为我觉得这个公式里面
有Gamma函数的重要性质，不光Gamma函数，Zeta函数也有类似性质。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 再研究一下Gamma函数的零点。
: 根据Gamma函数的reflection formula，
: Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)，
: Gamma函数没有零点，因为等式右边不为零。
:
: pole。
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C**o
发帖数: 10373 | 18 抽死你丫的
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:Gamma函数的reflection formula我觉得很奇妙，也很有用。
:这些函数，Zeta，Gamma等，都是通过复杂的积分定义出来的函数。它们相当于在初等
:函数集合之外新增的特殊函数。就好像最开始我们有幂函数或多项式函数，然后在此
之外又增加了三角函数。三角函数刚增加的时候我们要研究很多三角函数的等式，等式
越多我们就对三角函数的性质越清楚，清楚到最后我们把它纳入出等函数的范畴里了。
:Gamma函数也要研究关于它的等式，等式越多我们就对它越清楚。最基本的等式，也叫
:functional equation，是递推公式，
:Gamma(z+1)=z Gamma(z)。
:第二个基本的functional equation就是这个reflection formula了。
:Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)。
:这两天我就在考虑这个证明。还没证出来。还不想在网上看。因为我觉得这个公式里
面有Gamma函数的重要性质，不光Gamma函数，Zeta函数也有类似性质。
:☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.07 |
T*******x
发帖数: 8565 | 19 但是这个证明无疑是非常难，或者非常奇妙的。因为从定义来看，Gamma函数是积分定
义的，也就是无限求和来的。而reflection formula涉及到两个Gamma函数的乘积。无
限求和和乘法这两个运算就不调和，相当于把两个不同的模式联系起来，这都是非常难
的，或者说非常奇妙，揭示了深奥的关系。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Gamma函数的reflection formula我觉得很奇妙，也很有用。
: 这些函数，Zeta，Gamma等，都是通过复杂的积分定义出来的函数。它们相当于在初等
: 函数集合之外新增的特殊函数。就好像最开始我们有幂函数或多项式函数，然后在此之
: 外又增加了三角函数。三角函数刚增加的时候我们要研究很多三角函数的等式，等式越
: 多我们就对三角函数的性质越清楚，清楚到最后我们把它纳入出等函数的范畴里了。
: Gamma函数也要研究关于它的等式，等式越多我们就对它越清楚。最基本的等式，也叫
: functional equation，是递推公式，
: Gamma(z+1)=z Gamma(z)。
: 第二个基本的functional equation就是这个reflection formula了。
: Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)。
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T*******x
发帖数: 8565 | 20 这种把两个互不调和的模式联系起来的等式，都是深奥的。比如黎曼Zeta函数，最开始
是级数定义的，把它联系到由积分定义的两个函数相除，这就不平凡。
还有联系到无限乘积的形式，这也不平凡。
或者用幂级数，三角级数，或者其他函数级数展开，这都不平凡。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 但是这个证明无疑是非常难，或者非常奇妙的。因为从定义来看，Gamma函数是积分定
: 义的，也就是无限求和来的。而reflection formula涉及到两个Gamma函数的乘积。无
: 限求和和乘法这两个运算就不调和，相当于把两个不同的模式联系起来，这都是非常难
: 的，或者说非常奇妙，揭示了深奥的关系。
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T*******x
发帖数: 8565 | 21 记录一个不完全成功的尝试吧。
Gamma函数定义为，从0到无穷对x积分，
x^z/(xe^x)，结果为z的函数，z为复数，可以通过解析延拓把该函数定义到全复平面。
Gamma函数的reflection formula是
Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)。
我试证了一下，把两个积分integrand分别写为x和y的函数，然后积分乘积组合为二重
积分，再用换元法，
x=u^2，y=v^2，r^2=u^2+v^2，u/v=tan t，的方法，得到
Gamma(z)Gamma(1-z)=
2 integration 0 to pi/2 of (tan t)^(2z-1) dt。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Gamma函数的reflection formula我觉得很奇妙，也很有用。
: 这些函数，Zeta，Gamma等，都是通过复杂的积分定义出来的函数。它们相当于在初等
: 函数集合之外新增的特殊函数。就好像最开始我们有幂函数或多项式函数，然后在此之
: 外又增加了三角函数。三角函数刚增加的时候我们要研究很多三角函数的等式，等式越
: 多我们就对三角函数的性质越清楚，清楚到最后我们把它纳入出等函数的范畴里了。
: Gamma函数也要研究关于它的等式，等式越多我们就对它越清楚。最基本的等式，也叫
: functional equation，是递推公式，
: Gamma(z+1)=z Gamma(z)。
: 第二个基本的functional equation就是这个reflection formula了。
: Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)。
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C**o
发帖数: 10373 | 22 抽死你丫的
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:记录一个不完全成功的尝试吧。
:Gamma函数定义为，从0到无穷对x积分，
:x^z/(xe^x)，结果为z的函数，z为复数，可以通过解析延拓把该函数定义到全复平面。
:Gamma函数的reflection formula是
:Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)。
:我试证了一下，把两个积分integrand分别写为x和y的函数，然后积分乘积组合为二重
:积分，再用换元法，
:x=u^2，y=v^2，r^2=u^2+v^2，u/v=tan t，的方法，得到
:Gamma(z)Gamma(1-z)=
:☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.07 |
T*******x
发帖数: 8565 | 23 至少有一个连带结果，从0到pi/2对x积分，
2(tan x)^(2z-1)，结果是，pi/sin(z*pi)。
tan(x)换成cot(x)，指数变成1-2z，结果一样。
这个积分直接看收敛性的话，限定z的实部在0到0.5之间，比较容易看出收敛，因为cot
(x)在0附近区域无穷的方式和1/x一样，1-2z实部小于1，加了这个指数之后积分收敛。
然后再用Gamma(1+z)=z Gamma(z)可得到任意z的reflection formula。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 记录一个不完全成功的尝试吧。
: Gamma函数定义为，从0到无穷对x积分，
: x^z/(xe^x)，结果为z的函数，z为复数，可以通过解析延拓把该函数定义到全复平面。
: Gamma函数的reflection formula是
: Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)。
: 我试证了一下，把两个积分integrand分别写为x和y的函数，然后积分乘积组合为二重
: 积分，再用换元法，
: x=u^2，y=v^2，r^2=u^2+v^2，u/v=tan t，的方法，得到
: Gamma(z)Gamma(1-z)=
: 2 integration 0 to pi/2 of (tan t)^(2z-1) dt。
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T*******x
发帖数: 8565 | 24 这个证明尝试搁置了。
我看了一下网上的证明。不是我用的办法。应该很多种办法。有一个我走通的，是用
Gamma函数的Euler乘积定义。
z Gamma(z)= 无穷乘积 of (1+1/n)^z / (1+z/n)，n从1到无穷。
这个定义和积分定义等价。首先证明收敛，可以证明解析，然后证明递推关系，
Gamma(z+1)=z Gamma(z)。
然后证明两种定义在正整数点上取值相同，从而两个解析函数全同。
接下来用乘积形式证明Euler reflection formula，似乎容易点，但是中间也有一个难
点，就是sin函数的无穷乘积展开式，也是Euler发现的。我看了一下证明。不容易，是
weistrass发现的。
cot
【在 T*******x 的大作中提到】
: 至少有一个连带结果，从0到pi/2对x积分，
: 2(tan x)^(2z-1)，结果是，pi/sin(z*pi)。
: tan(x)换成cot(x)，指数变成1-2z，结果一样。
: 这个积分直接看收敛性的话，限定z的实部在0到0.5之间，比较容易看出收敛，因为cot
: (x)在0附近区域无穷的方式和1/x一样，1-2z实部小于1，加了这个指数之后积分收敛。
: 然后再用Gamma(1+z)=z Gamma(z)可得到任意z的reflection formula。
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T*******x
发帖数: 8565 | 25 不对。证明两种形式的定义等价，光证明在正整数点取值相同还不行，没有聚点。还得
另找证明。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个证明尝试搁置了。
: 我看了一下网上的证明。不是我用的办法。应该很多种办法。有一个我走通的，是用
: Gamma函数的Euler乘积定义。
: z Gamma(z)= 无穷乘积 of (1+1/n)^z / (1+z/n)，n从1到无穷。
: 这个定义和积分定义等价。首先证明收敛，可以证明解析，然后证明递推关系，
: Gamma(z+1)=z Gamma(z)。
: 然后证明两种定义在正整数点上取值相同，从而两个解析函数全同。
: 接下来用乘积形式证明Euler reflection formula，似乎容易点，但是中间也有一个难
: 点，就是sin函数的无穷乘积展开式，也是Euler发现的。我看了一下证明。不容易，是
: weistrass发现的。
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T*******x
发帖数: 8565 | 26 欧拉在数学上的地位不知道该怎么看。涉猎太广，到处都有他的印记。
我觉得人类可能真有转世投胎。拉曼努金应该是欧拉的转世投胎。
转世投胎可能不一定是死后马上投胎。耽误个几年也正常。而且伟大人物转世投胎之后
不一定还是伟大人物。可能需要激活。比如欧拉可能转世投胎几次才到拉曼努金，前几
次投胎可能没有激活。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个证明尝试搁置了。
: 我看了一下网上的证明。不是我用的办法。应该很多种办法。有一个我走通的，是用
: Gamma函数的Euler乘积定义。
: z Gamma(z)= 无穷乘积 of (1+1/n)^z / (1+z/n)，n从1到无穷。
: 这个定义和积分定义等价。首先证明收敛，可以证明解析，然后证明递推关系，
: Gamma(z+1)=z Gamma(z)。
: 然后证明两种定义在正整数点上取值相同，从而两个解析函数全同。
: 接下来用乘积形式证明Euler reflection formula，似乎容易点，但是中间也有一个难
: 点，就是sin函数的无穷乘积展开式，也是Euler发现的。我看了一下证明。不容易，是
: weistrass发现的。
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h**c
发帖数: 1979 | 27 我提议，建立以习近平为中心的攻克黎曼猜想领导小组，组织全党全军全国各族人民对
黎曼猜想开展大兵团会战，一举解决黎曼猜想，成为世界数学强国！ |
T*******x
发帖数: 8565 | 28 这个无穷乘积是Euler的定义。再记录一个Weierstrass的无穷乘积定义。
z e^(rz) Gamma(z) = 无穷乘积 of e^(z/n)/(1+z/n)，
n从1到无穷。r是一个欧拉常数，
r=1+1/2+1/3+...+1/n-ln(n)，取n趋近于无穷的极限。
这个和Euler定义的等价关系容易证明。但是它俩和积分定义的等价关系还未证明。可
以证明在正整数点上相等。但是没有聚点。聚于无穷，但无穷远点是essential
singularity。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个证明尝试搁置了。
: 我看了一下网上的证明。不是我用的办法。应该很多种办法。有一个我走通的，是用
: Gamma函数的Euler乘积定义。
: z Gamma(z)= 无穷乘积 of (1+1/n)^z / (1+z/n)，n从1到无穷。
: 这个定义和积分定义等价。首先证明收敛，可以证明解析，然后证明递推关系，
: Gamma(z+1)=z Gamma(z)。
: 然后证明两种定义在正整数点上取值相同，从而两个解析函数全同。
: 接下来用乘积形式证明Euler reflection formula，似乎容易点，但是中间也有一个难
: 点，就是sin函数的无穷乘积展开式，也是Euler发现的。我看了一下证明。不容易，是
: weistrass发现的。
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z*m
发帖数: 3227 | 29 组织民科就够了，上午学习大大精神，下午集体攻关。沌沌沌
【在 h**c 的大作中提到】
: 我提议，建立以习近平为中心的攻克黎曼猜想领导小组，组织全党全军全国各族人民对
: 黎曼猜想开展大兵团会战，一举解决黎曼猜想，成为世界数学强国！
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z*m
发帖数: 3227 | 30 建议由撸主担任攻关小组副组长。沌沌沌
【在 z*m 的大作中提到】
: 组织民科就够了，上午学习大大精神，下午集体攻关。沌沌沌
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T*******x
发帖数: 8565 | 31 嗡嗡嗡
【在 z*m 的大作中提到】
: 建议由撸主担任攻关小组副组长。沌沌沌
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T*******x
发帖数: 8565 | 32 我在这个基础上又往前推进了一步。
现在我证明到Gamma(z)Gamma(1-z)=
2 integration 0 to pi/2 of (cot t)^(1-2z) dt.
目标是 pi/sin(z*pi)。
因为Gamma(z)Gamma(1-z)和pi/sin(z*pi)都是解析函数，要证明它们相等只需选取一个
特殊数列，有聚点的数列，证明两个表达式在这组特殊数列上相等。
我选一个数列z，使得1-2z=1/n这个数列。那么z应该是(n-1)/(2n)这个数列，从n=2开
始吧。这个数列趋近于1/2，有聚点。
那么前面积分的表达式就变成了，
2 integration 0 to pi/2 of (cot t)^(1/n) dt.
用换元法，cot(t)=u^n，画一个直角三角形，直角边为x和y，斜边为r。
以u来表示x，y和r。积分化成了一个rational function的积分。
2n integration 0 to infinity of u^n/(u^(2n)+1) du
这个积分我不会积。但是我认为它一定能积出来，肯定有现成的。
积出来必然等于pi/sin(z*pi)，其中z=(n-1)/(2n)。
这个可以算证毕吧。
:)
【在 T*******x 的大作中提到】
: 记录一个不完全成功的尝试吧。
: Gamma函数定义为，从0到无穷对x积分，
: x^z/(xe^x)，结果为z的函数，z为复数，可以通过解析延拓把该函数定义到全复平面。
: Gamma函数的reflection formula是
: Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(z*pi)。
: 我试证了一下，把两个积分integrand分别写为x和y的函数，然后积分乘积组合为二重
: 积分，再用换元法，
: x=u^2，y=v^2，r^2=u^2+v^2，u/v=tan t，的方法，得到
: Gamma(z)Gamma(1-z)=
: 2 integration 0 to pi/2 of (tan t)^(2z-1) dt。
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T*******x
发帖数: 8565 | 33 这个rational function不难积，根据代数基本定理，分母上的实系数polynomial可以
分解成一次和二次irreducible polynomial的乘积，然后待定系数法，把这个rational
function分解成小的rational function的和，每个小的rational function的分母为
最高二次的多项式，分别积分，积出来会含有三角函数。
当然含有一个parameter n的这种可能不好积，不过我想先试几个具体的n，然后可能可
以用数学归纳法吧。不管了。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我在这个基础上又往前推进了一步。
: 现在我证明到Gamma(z)Gamma(1-z)=
: 2 integration 0 to pi/2 of (cot t)^(1-2z) dt.
: 目标是 pi/sin(z*pi)。
: 因为Gamma(z)Gamma(1-z)和pi/sin(z*pi)都是解析函数，要证明它们相等只需选取一个
: 特殊数列，有聚点的数列，证明两个表达式在这组特殊数列上相等。
: 我选一个数列z，使得1-2z=1/n这个数列。那么z应该是(n-1)/(2n)这个数列，从n=2开
: 始吧。这个数列趋近于1/2，有聚点。
: 那么前面积分的表达式就变成了，
: 2 integration 0 to pi/2 of (cot t)^(1/n) dt.
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T*******x
发帖数: 8565 | 34 我现在开始研究Alpha(z)了。这是黎曼Zeta函数的分子，分母是Gamma函数。研究黎曼
Zeta函数的零点，等价于研究Alpha函数和Gamma函数的零点和pole。
Alpha(z)=integration 0 to infinity of
1/(e^x-1) x^(z-1) dx
这个函数的直接定义域是实部大于1的复数，这和Gamma函数不一样了，Gamma函数的直
接定义域是实部大于0的复数。
直接看一下z=0.5+ib，这是黎曼猜想零点所在的直线。代入积分定义，先看一下实部，
integrand变成，
1/(e^x-1) 1/sqrt(x) cos(b*ln(x))，
先看x=0附近，integrand第一部分以1/x的方式趋于无穷，第二部分是根号倒数，合起
来以1/x^1.5的方式趋于无穷，不可积。第三部分cos提供了正负变号的部分，合在一起
还是不可积。
所以积分在这里无定义，不管是实部还是虚部。Alpha函数在z=0.5+ib的直线上必须通
过解析延拓来定义。
我在想，怎么才能算出比如z=0.5+i的Alpha函数值。 |
T*******x
发帖数: 8565 | 35 研究了一下Gamma函数的integrand，x^n/e^x，
如图橙黄色曲线是n=6。能看出一些性质。
首先最高点在x=6。这个时候被积函数是n^n/e^n，这是Stirling formula，结果～n!。
其次，积分的主要部分就是曲线下面积，尾部到无穷远基本可以忽略。
如果把曲线近似看作一个三角形的话，高和底都和Stirling formula给出的值有关，是
三角形的面积近似等于n!。
再考虑z=n+bi也就是z有虚部的情况，
x^(bi)=e^(ib ln(x))，也就是只提供相位，对modulus无贡献。b ln(x)随x不均匀变化
，所以考虑一个x=e^y的变换。蓝色曲线就是变换后的函数。横坐标方向压缩了。
考虑b越来越大的情况，也就是相位变化，一圈一圈的越来越快。形象的看就是x方向拧
螺旋，拧的圈数越来越多，螺旋越来越密。对于任意固定的n，b越大积分越小，因为相
位的变化，都相互抵消了。所以不管实部是多少，沿着虚部向无穷远处走，Gamma函数
都趋于0。
Alpha函数，也就是把被积函数分母替换为e^x-1。这个被积函数画个图可以看出和
Gamma函数的被积函数基本重合。所以性状是相似的。
但是细微的部分肯定是不同的。尤其是实部比较小的时候。实部在01之间的时候，积分
无定义，需要由解析延拓把它拓展进去，这是黎曼猜想关心的区域。我正在想如何把函
数拓展进去。 |
c****8
发帖数: 1 | 36 高点在x=7处严格发散
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:研究了一下Gamma函数的integrand，x^n/e^x，
:如图橙黄色曲线是n=6。能看出一些性质。
:首先最高点在x=6。这个时候被积函数是n^n/e^n，这是Stirling formula，结果～n!。
:其次，积分的主要部分就是曲线下面积，尾部到无穷远基本可以忽略。
:如果把曲线近似看作一个三角形的话，高和底都和Stirling formula给出的值有关，
是三角形的面积近似等于n!。
:再考虑z=n+bi也就是z有虚部的情况，
:x^(bi)=e^(ib ln(x))，也就是只提供相位，对modulus无贡献。b ln(x)随x不均匀变
化，所以考虑一个x=e^y的变换。蓝色曲线就是变换后的函数。横坐标方向压缩了。
:考虑b越来越大的情况，也就是相位变化，一圈一圈的越来越快。形象的看就是x方向
拧螺旋，拧的圈数越来越多，螺旋越来越密。对于任意固定的n，b越大积分越小，因为
相位的变化，都相互抵消了。所以不管实部是多少，沿着虚部向无穷远处走，Gamma函数
:都趋于0。
:Alpha函数，也就是把被积函数分母替换为e^x-1。这个被积函数画个图可以看出和
:.......... |
w*******2
发帖数: 2199 | 37 煞笔，初等数学证明李曼猜想
你这个煞笔智商堪比虎桑和李奇微
【在 T*******x 的大作中提到】
: 研究了一下Gamma函数的integrand，x^n/e^x，
: 如图橙黄色曲线是n=6。能看出一些性质。
: 首先最高点在x=6。这个时候被积函数是n^n/e^n，这是Stirling formula，结果～n!。
: 其次，积分的主要部分就是曲线下面积，尾部到无穷远基本可以忽略。
: 如果把曲线近似看作一个三角形的话，高和底都和Stirling formula给出的值有关，是
: 三角形的面积近似等于n!。
: 再考虑z=n+bi也就是z有虚部的情况，
: x^(bi)=e^(ib ln(x))，也就是只提供相位，对modulus无贡献。b ln(x)随x不均匀变化
: ，所以考虑一个x=e^y的变换。蓝色曲线就是变换后的函数。横坐标方向压缩了。
: 考虑b越来越大的情况，也就是相位变化，一圈一圈的越来越快。形象的看就是x方向拧
|
c****8
发帖数: 1 | 38 明明是高等数学
盹盹盹
[在 wsbioguy2 (postdog) 的大作中提到：]
:煞笔，初等数学证明李曼猜想
:你这个煞笔智商堪比虎桑和李奇微 |
T*******x
发帖数: 8565 | 39 你狗屁不懂。跟你说浪费我时间。
【在 w*******2 的大作中提到】
: 煞笔，初等数学证明李曼猜想
: 你这个煞笔智商堪比虎桑和李奇微
|
w*******2
发帖数: 2199 | 40 叔的数学好过你一百万个李奇微
lol
【在 T*******x 的大作中提到】
: 你狗屁不懂。跟你说浪费我时间。
|
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T*******x
发帖数: 8565 | 41 好。那我给你个机会，证明你自己的资格。黎曼Zeta函数在z=1.5+100i，的解析函数展
开，的radius of convergence是多少？
我看你怎么自取其辱。
【在 w*******2 的大作中提到】
: 叔的数学好过你一百万个李奇微
: lol
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c****8
发帖数: 1 | 42 你想让他免费教你？算盘打得不错
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:好。那我给你个机会，证明你自己的资格。黎曼Zeta函数在z=1.5+100i，的解析函数
展开，的radius of convergence是多少？
:我看你怎么自取其辱。
:☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.07 |
T*******x
发帖数: 8565 | 43 看来你还是知难而退的。
【在 c****8 的大作中提到】
: 你想让他免费教你？算盘打得不错
: 盹盹盹
: [在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
: :好。那我给你个机会，证明你自己的资格。黎曼Zeta函数在z=1.5+100i，的解析函数
: 展开，的radius of convergence是多少？
: :我看你怎么自取其辱。
: :☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.07
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w*******2
发帖数: 2199 | 44 全是歪瓜裂枣，盹盹盹
【在 T*******x 的大作中提到】
: 好。那我给你个机会，证明你自己的资格。黎曼Zeta函数在z=1.5+100i，的解析函数展
: 开，的radius of convergence是多少？
: 我看你怎么自取其辱。
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c****8
发帖数: 1 | 45 我只进不退
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:看来你还是知难而退的。
:☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.07 |
T*******x
发帖数: 8565 | 46 You are dismissed.
【在 w*******2 的大作中提到】
: 全是歪瓜裂枣，盹盹盹
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T*******x
发帖数: 8565 | 47 Gamma函数的积分定义可以计算z的实部大于0处的函数值，再加上递推公式Gamma(z+1)=
z Gamma(z)，可以推导任意z处函数值。
黎曼Zeta函数积分定义为Alpha(z)/Gamma(z)。其中Alpha函数为另一个积分，和Gamma
非常相像。但是只能定义在z实部大于1的地方，因此黎曼Zeta函数的积分定义也只能定
义在实部大于1的地方。黎曼Zeta函数的其他定义，比如级数定义，乘积定义，都是如
此。这也不奇怪，因为黎曼Zeta函数在z=1点趋于无穷，定义不过去。
黎曼Zeta函数也有functional equation，
Zeta(z)=f(z)Zeta(1-z)，
根据z实部大于1处的函数值可以退出z实部小于0处函数值，但是z实部在01之间的Zeta
函数值推不出来，要另想办法。
最有效的应该还是一种functional equation。这种functional equation是非常有用的
，黎曼零点的计算肯定也依靠它。
理论上也应该考虑一下，泰勒展开也就是解析函数的解析展开，的radius of
convergence。比如考虑Alpha函数，也就是黎曼Zeta函数的分子。它在z=1点有一个
pole。比如在z=2点展开，那么它的radius of convergence等于1，它不能拓展到z=1的
左边。
那么如果看z=2+100i，这个点处的解析展开，它的radius of convergence是多少呢？
我觉得应该是它到z=1点的距离，道理上仍然是不能展开越过一个已知的pole。
定义一个函数A(n,z)=(d/dz)^n Alpha(z)，
定义R(z)=lim(n to infinity) |A(n,z)/A(n+1,z)|，
这就是Alpha函数在各z点解析展开的radius of convergence。
A(n,z)函数的积分定义是很容易导出的，表达式也很简单，但是不知道怎么算。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 研究了一下Gamma函数的integrand，x^n/e^x，
: 如图橙黄色曲线是n=6。能看出一些性质。
: 首先最高点在x=6。这个时候被积函数是n^n/e^n，这是Stirling formula，结果～n!。
: 其次，积分的主要部分就是曲线下面积，尾部到无穷远基本可以忽略。
: 如果把曲线近似看作一个三角形的话，高和底都和Stirling formula给出的值有关，是
: 三角形的面积近似等于n!。
: 再考虑z=n+bi也就是z有虚部的情况，
: x^(bi)=e^(ib ln(x))，也就是只提供相位，对modulus无贡献。b ln(x)随x不均匀变化
: ，所以考虑一个x=e^y的变换。蓝色曲线就是变换后的函数。横坐标方向压缩了。
: 考虑b越来越大的情况，也就是相位变化，一圈一圈的越来越快。形象的看就是x方向拧
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s***h
发帖数: 487 | 48 这个线程写得有趣而易懂，应该置顶。
: 欧拉在数学上的地位不知道该怎么看。涉猎太广，到处都有他的印记。
: 我觉得人类可能真有转世投胎。拉曼努金应该是欧拉的转世投胎。
: 转世投胎可能不一定是死后马上投胎。耽误个几年也正常。而且伟大人物转世投
胎之后
: 不一定还是伟大人物。可能需要激活。比如欧拉可能转世投胎几次才到拉曼努金
，前几
: 次投胎可能没有激活。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Gamma函数的积分定义可以计算z的实部大于0处的函数值，再加上递推公式Gamma(z+1)=
: z Gamma(z)，可以推导任意z处函数值。
: 黎曼Zeta函数积分定义为Alpha(z)/Gamma(z)。其中Alpha函数为另一个积分，和Gamma
: 非常相像。但是只能定义在z实部大于1的地方，因此黎曼Zeta函数的积分定义也只能定
: 义在实部大于1的地方。黎曼Zeta函数的其他定义，比如级数定义，乘积定义，都是如
: 此。这也不奇怪，因为黎曼Zeta函数在z=1点趋于无穷，定义不过去。
: 黎曼Zeta函数也有functional equation，
: Zeta(z)=f(z)Zeta(1-z)，
: 根据z实部大于1处的函数值可以退出z实部小于0处函数值，但是z实部在01之间的Zeta
: 函数值推不出来，要另想办法。
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s***h
发帖数: 487 | 49 当然易懂是相对而言的，还是要置顶慢慢看。
不过这个倒是给出了解析延拓的意义。很多离散问题，比如著名的歌德和巴赫的猜想，
一个很大的困难，是在一维离散空间里，可能的 proof path 非常受限。
解析延拓把问题拓展在复平面二维连续空间，有可能可以增加可能的 proof path，只
要有一条走通即得到证明。
这个就好比帅哥也不能保证搞定某个特定的超模，但如果一个帅哥能让世上所有的超模
都给发一张备胎卡。。。
: 这个线程写得有趣而易懂，应该置顶。
: 胎之后
: ，前几
【在 s***h 的大作中提到】
: 这个线程写得有趣而易懂，应该置顶。
:
:
: 欧拉在数学上的地位不知道该怎么看。涉猎太广，到处都有他的印记。
:
: 我觉得人类可能真有转世投胎。拉曼努金应该是欧拉的转世投胎。
:
: 转世投胎可能不一定是死后马上投胎。耽误个几年也正常。而且伟大人物转世投
: 胎之后
:
: 不一定还是伟大人物。可能需要激活。比如欧拉可能转世投胎几次才到拉曼努金
: ，前几
:
: 次投胎可能没有激活。
:
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T*******x
发帖数: 8565 | 50 嗯。这个评论很好。通过拓展增加维度，以走出一条新的路径，这是数学中很深刻的方
法。
【在 s***h 的大作中提到】
: 当然易懂是相对而言的，还是要置顶慢慢看。
: 不过这个倒是给出了解析延拓的意义。很多离散问题，比如著名的歌德和巴赫的猜想，
: 一个很大的困难，是在一维离散空间里，可能的 proof path 非常受限。
: 解析延拓把问题拓展在复平面二维连续空间，有可能可以增加可能的 proof path，只
: 要有一条走通即得到证明。
: 这个就好比帅哥也不能保证搞定某个特定的超模，但如果一个帅哥能让世上所有的超模
: 都给发一张备胎卡。。。
:
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: 这个线程写得有趣而易懂，应该置顶。
:
: 胎之后
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T*******x
发帖数: 8565 | 51 继续。Zeta函数或者Gamma函数Alpha函数在z虚部不为零的情况下如何计算，这个还没
有进展。回头再补一些已知的gap。其中一个是还没有证明Zeta函数的级数定义与积分
定义等价。
Zeta函数的级数定义是
Zeta(z)=1/1^z+1/2^z+1/3^z+...
Zeta函数的积分定义是Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)，
Alpha(z)=integration from 0 to infinity of x^(z-1)/(e^x-1) dx，
Gamma(z)=integration from 0 to infinity of x^(z-1)/e^x dx，
这两个的等价性还没有证明。
考虑一个具体的特例：z=2。
Gamma(2)=1，这个容易证明。
因此要证明integration from 0 to infinity of x/(e^x-1) dx
=1/1^2+1/2^2+1/3^2+...
这个也不容易啊。
思路是把integrand用泰勒级数展开，分别积分就会出现级数。
但是困难是积分的上下限是0到无穷，无法分项做定积分。
解决思路是做变量换元，使0到无穷的上下限变成最好是0到1上下限。
我试了各种变换，
x=y/(1-y)，这个y上下限为0到1，但是泰勒级数系数很难求。
x=tan(y)，y的上下限为0到pi/2，还是系数难求。
还有一些有意思的变换：x=e^y。
最后找到了这个变换：
x=-ln(y)，再做一个1-y=t，
积分变成
integration from 0 to 1 of (-)ln(1-x)/x dx，
(-)ln(1-x)可以展开成
x+x^2/2+x^3/3+...
除以x之后再分项积分，正好等于
1/1^2+1/2^2+1/3^2+...
perfect。
这个我挺高兴。
)=
Gamma
Zeta
【在 T*******x 的大作中提到】
: Gamma函数的积分定义可以计算z的实部大于0处的函数值，再加上递推公式Gamma(z+1)=
: z Gamma(z)，可以推导任意z处函数值。
: 黎曼Zeta函数积分定义为Alpha(z)/Gamma(z)。其中Alpha函数为另一个积分，和Gamma
: 非常相像。但是只能定义在z实部大于1的地方，因此黎曼Zeta函数的积分定义也只能定
: 义在实部大于1的地方。黎曼Zeta函数的其他定义，比如级数定义，乘积定义，都是如
: 此。这也不奇怪，因为黎曼Zeta函数在z=1点趋于无穷，定义不过去。
: 黎曼Zeta函数也有functional equation，
: Zeta(z)=f(z)Zeta(1-z)，
: 根据z实部大于1处的函数值可以退出z实部小于0处函数值，但是z实部在01之间的Zeta
: 函数值推不出来，要另想办法。
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s***h
发帖数: 487 | 52 对数函数换元和三角函数换元，确实是计算科学里改善数字积分时的 condition
number 的巧妙办法。
不过还是有很多情况不容易。
Well-condition ill-posed problem 也是实用数学里的 meta-heuristics 的一个重要
且实用的事情。
: 继续。Zeta函数或者Gamma函数Alpha函数在z虚部不为零的情况下如何计算，这
个还没
: 有进展。回头再补一些已知的gap。其中一个是还没有证明Zeta函数的级数定义
与积分
: 定义等价。
: Zeta函数的级数定义是
: Zeta(z)=1/1^z 1/2^z 1/3^z ...
: Zeta函数的积分定义是Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)，
: Alpha(z)=integration from 0 to infinity of x^(z-1)/(e^x-1) dx，
: Gamma(z)=integration from 0 to infinity of x^(z-1)/e^x dx，
: 这两个的等价性还没有证明。
: 考虑一个具体的特例：z=2。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 继续。Zeta函数或者Gamma函数Alpha函数在z虚部不为零的情况下如何计算，这个还没
: 有进展。回头再补一些已知的gap。其中一个是还没有证明Zeta函数的级数定义与积分
: 定义等价。
: Zeta函数的级数定义是
: Zeta(z)=1/1^z+1/2^z+1/3^z+...
: Zeta函数的积分定义是Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)，
: Alpha(z)=integration from 0 to infinity of x^(z-1)/(e^x-1) dx，
: Gamma(z)=integration from 0 to infinity of x^(z-1)/e^x dx，
: 这两个的等价性还没有证明。
: 考虑一个具体的特例：z=2。
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T*******x
发帖数: 8565 | 53 嗯。你这段评论不错，我记住了。
【在 s***h 的大作中提到】
: 对数函数换元和三角函数换元，确实是计算科学里改善数字积分时的 condition
: number 的巧妙办法。
: 不过还是有很多情况不容易。
: Well-condition ill-posed problem 也是实用数学里的 meta-heuristics 的一个重要
: 且实用的事情。
:
:
: 继续。Zeta函数或者Gamma函数Alpha函数在z虚部不为零的情况下如何计算，这
: 个还没
:
: 有进展。回头再补一些已知的gap。其中一个是还没有证明Zeta函数的级数定义
: 与积分
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T*******x
发帖数: 8565 | 54 终于把黎曼Zeta函数的级数定义和积分定义的等价关系证明了。用到了很多试验和技巧
。不容易啊。当然了，知道结果去证明，再难也不算什么。不过还是很高兴。记录一下。
先定义一个函数，叫Beta吧，是个二元复变函数，这个函数肯定有用。
Beta(z,x)=sum from n=1 of x^n/n^z
这个函数代入x=1，它就是黎曼Zeta函数。x也可以取复数值，直接收敛区域是x在单位
圆内，但是可以解析延拓到单位圆之外。z的直接收敛区域是实部大于1，也可以解析延
拓到实部小于1。注意单位圆和实部为1的直线还可以相互转化，这个地方的对偶性可能
值得开发一下。
再看另一个等式，
Zeta(z+1)=integration from 0 to 1 of
Beta(z,x)/x dx
我要证明
Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)
其中，
Alpha(z)=integration from 0 to infinity of
x^(z-1)/(e^x-1) dx
Gamma(z)=integration from 0 to infinity of
x^(z-1)/e^x dx
下面贴个图。 |
s***h
发帖数: 487 | 55 先 bookmark 一下。
: 终于把黎曼Zeta函数的级数定义和积分定义的等价关系证明了。用到了很多试验
和技巧
: 。不容易啊。当然了，知道结果去证明，再难也不算什么。不过还是很高兴。记
录一下。
: 先定义一个函数，叫Beta吧，是个二元复变函数，这个函数肯定有用。
: Beta(z,x)=sum from n=1 of x^n/n^z
: 这个函数代入x=1，它就是黎曼Zeta函数。x也可以取复数值，直接收敛区域是x
在单位
: 圆内，但是可以解析延拓到单位圆之外。z的直接收敛区域是实部大于1，也可以
解析延
: 拓到实部小于1。注意单位圆和实部为1的直线还可以相互转化，这个地方的对偶
性可能
: 值得开发一下。
: 再看另一个等式，
: Zeta(z 1)=integration from 0 to 1 of
【在 T*******x 的大作中提到】
: 终于把黎曼Zeta函数的级数定义和积分定义的等价关系证明了。用到了很多试验和技巧
: 。不容易啊。当然了，知道结果去证明，再难也不算什么。不过还是很高兴。记录一下。
: 先定义一个函数，叫Beta吧，是个二元复变函数，这个函数肯定有用。
: Beta(z,x)=sum from n=1 of x^n/n^z
: 这个函数代入x=1，它就是黎曼Zeta函数。x也可以取复数值，直接收敛区域是x在单位
: 圆内，但是可以解析延拓到单位圆之外。z的直接收敛区域是实部大于1，也可以解析延
: 拓到实部小于1。注意单位圆和实部为1的直线还可以相互转化，这个地方的对偶性可能
: 值得开发一下。
: 再看另一个等式，
: Zeta(z+1)=integration from 0 to 1 of
|
c****8
发帖数: 1 | 56 抽死你丫的
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:终于把黎曼Zeta函数的级数定义和积分定义的等价关系证明了。用到了很多试验和技
巧。不容易啊。当然了，知道结果去证明，再难也不算什么。不过还是很高兴。记录一
下。
:先定义一个函数，叫Beta吧，是个二元复变函数，这个函数肯定有用。
:Beta(z,x)=sum from n=1 of x^n/n^z
:这个函数代入x=1，它就是黎曼Zeta函数。x也可以取复数值，直接收敛区域是x在单位
:圆内，但是可以解析延拓到单位圆之外。z的直接收敛区域是实部大于1，也可以解析
延拓到实部小于1。注意单位圆和实部为1的直线还可以相互转化，这个地方的对偶性可
能值得开发一下。
:再看另一个等式，
:Zeta(z+1)=integration from 0 to 1 of
:Beta(z,x)/x dx
:我要证明
:Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)
:.......... |
