做题了，定积分 - Military版 - 未名存档

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Military版 - 做题了，定积分

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T*******x 发帖数: 8565	1 此题错了。是我糊涂了。 ** 从0到pi/2积分，(tan x)^(ib)。这里b是任意实数，i是单位纯虚数，所以这个指数是个纯虚数。tan x在pi/2的地方趋于无穷，所以这是个暇积分。另外这个积分结果和b无关，所以如果设b=0的话，这个积分的结果应该是pi/2。
T*******x 发帖数: 8565	2 此题错了。是我糊涂了。此题的答案应该是 pi/(2cos(ib pi/2))，或者，pi/(2cosh(b pi/2))，是一个实数。【在 T*****x 的大作中提到】 : 此题错了。是我糊涂了。 : : 从0到pi/2积分，(tan x)^(ib)。 : 这里b是任意实数，i是单位纯虚数，所以这个指数是个纯虚数。tan x在pi/2的地方趋 : 于无穷，所以这是个暇积分。 : 另外这个积分结果和b无关，所以如果设b=0的话，这个积分的结果应该是pi/2。
T*******x 发帖数: 8565	3 介绍一下此题的背景吧。此题是证明Gamma函数的reflection formula中遇到的一步。 Gamma函数定义为，从0到无穷对x积分， x^z/(xe^x)，结果为z的函数，z为复数，可以通过解析延拓把该函数定义到全复平面。 Gamma函数的reflection formula是 Gamma(z)Gamma(1-z)=pi/sin(zpi)。我试证了一下，把两个积分integrand分别写为x和y的函数，然后积分乘积组合为二重积分，再用换元法， x=u^2，y=v^2，r^2=u^2+v^2，u/v=tan t，的方法，得到 Gamma(z)Gamma(1-z)= 2 integration 0 to pi/2 of (tan t)^(2z-1) dt。当z=0.5+ib时，积分应该给出reflection formula所给出的值。这就是此题的来源。【在 T******x 的大作中提到】 : 此题错了。是我糊涂了。此题的答案应该是 : pi/(2cos(ib pi/2))，或者，pi/(2cosh(b pi/2))，是一个实数。

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