T*******x
发帖数: 8565 | 1 刚才出了个题，出简单了。再出个难点的：
let A be the set of ordered pair of positive coprime integer (p,q). For
example (1,1), (1,3), (3,1), (15,8).
Find sum of 1/(p*q*(p+q)), where (p,q) runs through set A. | c****8
发帖数: 1 | 2 你今天跪了几个老黑？
盹盹盹
：刚才出了个题，出简单了。再出个难点的：
：let A be the set of ordered pair of positive coprime integer (p,q). For
：example (1,1), (1,3), (3,1), (15,8).
：Find sum of 1/(p*q*(p+q)), where (p,q) runs through set A.
：☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.10
【在 T*******x 的大作中提到】
: 刚才出了个题，出简单了。再出个难点的：
: let A be the set of ordered pair of positive coprime integer (p,q). For
: example (1,1), (1,3), (3,1), (15,8).
: Find sum of 1/(p*q*(p+q)), where (p,q) runs through set A.
| T*******x
发帖数: 8565 | 3 这个题是一个入口。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 刚才出了个题，出简单了。再出个难点的：
: let A be the set of ordered pair of positive coprime integer (p,q). For
: example (1,1), (1,3), (3,1), (15,8).
: Find sum of 1/(p*q*(p+q)), where (p,q) runs through set A.
| g*********r
发帖数: 1 | 4 sum n,m = 1 to infinity 1/[nm(n+m)]= sum d=1 to infinity 1/d^3 sum p,q
coprime 1/[pq(p+q)]。所以只需算等式左边，再除以zeta(3)即可。记等式左边的二重
级数和为S。如把二重级数按k=m+n归类，得 S = sum k=2 to infinity 2/k^2 *(1+1/2
+...+1/(k-1))。如把二重级数按m归类，得 S = sum m=1 to infinity 1/m^2 *(1+1/2
+...+1/m)。用 2S-S 易得 S=2zeta(3)。所以题目所求的值为2。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 刚才出了个题，出简单了。再出个难点的：
: let A be the set of ordered pair of positive coprime integer (p,q). For
: example (1,1), (1,3), (3,1), (15,8).
: Find sum of 1/(p*q*(p+q)), where (p,q) runs through set A.
| T*******x
发帖数: 8565 | 5 结果正确！
但是如何用2S-S 易得 S=2zeta(3)？
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【在 g*********r 的大作中提到】
: sum n,m = 1 to infinity 1/[nm(n+m)]= sum d=1 to infinity 1/d^3 sum p,q
: coprime 1/[pq(p+q)]。所以只需算等式左边，再除以zeta(3)即可。记等式左边的二重
: 级数和为S。如把二重级数按k=m+n归类，得 S = sum k=2 to infinity 2/k^2 *(1+1/2
: +...+1/(k-1))。如把二重级数按m归类，得 S = sum m=1 to infinity 1/m^2 *(1+1/2
: +...+1/m)。用 2S-S 易得 S=2zeta(3)。所以题目所求的值为2。
| T*******x
发帖数: 8565 | 6 漂亮！
E. L. Stark 证明了 S = 2zeta(3). Wolfram 上有链接。我看到了这个结果，再用以
前推出的Harmonic Series 的公式代入，做一些变换，得到这个题目，及其结果。
但是我并不知道 E.L. Stark 的结果是怎么证明的。看来就是这么证明的。
这个证明同时给出两个不平凡的结果：
一个是 EL Stark 的结果，也就是 S = 2zeta(3)。
另一个是本题的结果，也就是这个coprime sum等于2。
两个结果都很好！
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【在 g*********r 的大作中提到】
: sum n,m = 1 to infinity 1/[nm(n+m)]= sum d=1 to infinity 1/d^3 sum p,q
: coprime 1/[pq(p+q)]。所以只需算等式左边，再除以zeta(3)即可。记等式左边的二重
: 级数和为S。如把二重级数按k=m+n归类，得 S = sum k=2 to infinity 2/k^2 *(1+1/2
: +...+1/(k-1))。如把二重级数按m归类，得 S = sum m=1 to infinity 1/m^2 *(1+1/2
: +...+1/m)。用 2S-S 易得 S=2zeta(3)。所以题目所求的值为2。
| T*******x
发帖数: 8565 | 7 这个题在格点上求级数，每一条coprime格点所在的射线上有一个zeta(3)。这种方法明
显有好几种方式可以扩展。我本希望有方法直接算coprime格点上的级数和，硬算。现
在这个办法有点迂回，我感觉。当然，它不依赖于Stark的结果，是直接证明。
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【在 g*********r 的大作中提到】
: sum n,m = 1 to infinity 1/[nm(n+m)]= sum d=1 to infinity 1/d^3 sum p,q
: coprime 1/[pq(p+q)]。所以只需算等式左边，再除以zeta(3)即可。记等式左边的二重
: 级数和为S。如把二重级数按k=m+n归类，得 S = sum k=2 to infinity 2/k^2 *(1+1/2
: +...+1/(k-1))。如把二重级数按m归类，得 S = sum m=1 to infinity 1/m^2 *(1+1/2
: +...+1/m)。用 2S-S 易得 S=2zeta(3)。所以题目所求的值为2。
| b******r
发帖数: 1 | 8 用这么复杂吗？
难道不是简单变形求极限。结果不是pi^2/6?......
: 这个题在格点上求级数，每一条coprime格点所在的射线上有一个zeta(3)。这种
方法明
: 显有好几种方式可以扩展。我本希望有方法直接算coprime格点上的级数和，硬
算。现
: 在这个办法有点迂回，我感觉。当然，它不依赖于Stark的结果，是直接证明。
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【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个题在格点上求级数，每一条coprime格点所在的射线上有一个zeta(3)。这种方法明
: 显有好几种方式可以扩展。我本希望有方法直接算coprime格点上的级数和，硬算。现
: 在这个办法有点迂回，我感觉。当然，它不依赖于Stark的结果，是直接证明。
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| T*******x
发帖数: 8565 | 9 pi^2/6是zeta(2)，这个是zeta(3)。
据Wolfram说，zeta函数在奇数点要难一些，至少现在还没有象pi^2/6这样的closed
form。
【在 b******r 的大作中提到】
: 用这么复杂吗？
: 难道不是简单变形求极限。结果不是pi^2/6?......
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: 这个题在格点上求级数，每一条coprime格点所在的射线上有一个zeta(3)。这种
: 方法明
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: 显有好几种方式可以扩展。我本希望有方法直接算coprime格点上的级数和，硬
: 算。现
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: 在这个办法有点迂回，我感觉。当然，它不依赖于Stark的结果，是直接证明。
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