T*******x
发帖数: 8565 | 1 证明Z[sqrt(-3)] is not integrally closed. |
T*******x
发帖数: 8565 | 2 这么个小东西竟然不好证，我没证出来。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 证明Z[sqrt(-3)] is not integrally closed.
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T*******x
发帖数: 8565 | 3 解释一下这个题的意思。
Z是整数集合。
sqrt(-3)等于sqrt(3)*i，是一个纯虚数。
Z[sqrt(-3)]是整数环再加上sqrt(3)*i这个纯虚数所生成的环，也就是全部能写成如下
形式的复数：
m+n*sqrt(3)*i，其中m，n取整数。
不integrally closed是说存在一个多项式，单变量，系数在Z[sqrt(-3)]中取值，最高
项系数为1，比如
x^2+(1+sqrt(3)i)x+2
它有一个根r，可以写成a/b的形式，其中a,b都是Z[sqrt(-3)]中的数，但是r却不是Z[
sqrt(-3)]中的数。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 证明Z[sqrt(-3)] is not integrally closed.
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b******r
发帖数: 1 | 4 试试x^2加x加1=0
: 解释一下这个题的意思。
: Z是整数集合。
: sqrt(-3)等于sqrt(3)*i，是一个纯虚数。
: Z[sqrt(-3)]是整数环再加上sqrt(3)*i这个纯虚数所生成的环，也就是全部能写
成如下
: 形式的复数：
: m n*sqrt(3)*i，其中m，n取整数。
: 不integrally closed是说存在一个多项式，单变量，系数在Z[sqrt(-3)]中取值
，最高
: 项系数为1，比如
: x^2 (1 sqrt(3)i)x 2
: 它有一个根r，可以写成a/b的形式，其中a,b都是Z[sqrt(-3)]中的数，但是r却
不是Z[
【在 T*******x 的大作中提到】
: 解释一下这个题的意思。
: Z是整数集合。
: sqrt(-3)等于sqrt(3)*i，是一个纯虚数。
: Z[sqrt(-3)]是整数环再加上sqrt(3)*i这个纯虚数所生成的环，也就是全部能写成如下
: 形式的复数：
: m+n*sqrt(3)*i，其中m，n取整数。
: 不integrally closed是说存在一个多项式，单变量，系数在Z[sqrt(-3)]中取值，最高
: 项系数为1，比如
: x^2+(1+sqrt(3)i)x+2
: 它有一个根r，可以写成a/b的形式，其中a,b都是Z[sqrt(-3)]中的数，但是r却不是Z[
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T*******x
发帖数: 8565 | 5 对。谢谢！
我光想着系数里有根号3的了。嗯，这种情况很多。好。
【在 b******r 的大作中提到】
: 试试x^2加x加1=0
:
:
: 解释一下这个题的意思。
:
: Z是整数集合。
:
: sqrt(-3)等于sqrt(3)*i，是一个纯虚数。
:
: Z[sqrt(-3)]是整数环再加上sqrt(3)*i这个纯虚数所生成的环，也就是全部能写
: 成如下
:
: 形式的复数：
:
: m n*sqrt(3)*i，其中m，n取整数。
:
: 不integrally closed是说存在一个多项式，单变量，系数在Z[sqrt(-3)]中取值
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T*******x
发帖数: 8565 | 6 嗯，这个方法如果改常数项，可以证明任何根号4k+1非完全平方根的情况，都是不
integrally closed。嗯，这种数好像叫fundamental discriminant。看来有渊源啊。
但是Z[sqrt(-5)]就是integrally closed。我看看这个是什么情况。
【在 b******r 的大作中提到】
: 试试x^2加x加1=0
:
:
: 解释一下这个题的意思。
:
: Z是整数集合。
:
: sqrt(-3)等于sqrt(3)*i，是一个纯虚数。
:
: Z[sqrt(-3)]是整数环再加上sqrt(3)*i这个纯虚数所生成的环，也就是全部能写
: 成如下
:
: 形式的复数：
:
: m n*sqrt(3)*i，其中m，n取整数。
:
: 不integrally closed是说存在一个多项式，单变量，系数在Z[sqrt(-3)]中取值
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h*********3
发帖数: 1 | 7 不太懂
但是这个算吗?
(x-(1+sqrt(3)i)/2)(x-(1-sqrt(3)i)/2) = x^2 - x + 1
看了下跟定一车的一样 |
T*******x
发帖数: 8565 | 8 是。
【在 h*********3 的大作中提到】
: 不太懂
: 但是这个算吗?
: (x-(1+sqrt(3)i)/2)(x-(1-sqrt(3)i)/2) = x^2 - x + 1
: 看了下跟定一车的一样
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T*******x
发帖数: 8565 | 9 Z[sqrt(-5)] integrally closed这个，现在我还差一点，没证出来。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 嗯，这个方法如果改常数项，可以证明任何根号4k+1非完全平方根的情况，都是不
: integrally closed。嗯，这种数好像叫fundamental discriminant。看来有渊源啊。
: 但是Z[sqrt(-5)]就是integrally closed。我看看这个是什么情况。
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c****8
发帖数: 1 | 10 说说你今天性舔黑人男友的情况
盹盹盹
：Z[sqrt(-5)] integrally closed这个，现在我还差一点，没证出来。这些都是高深理
：论的入口，我现在渐渐能感觉到一些。
：☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.10
【在 T*******x 的大作中提到】
: Z[sqrt(-5)] integrally closed这个，现在我还差一点，没证出来。
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T*******x
发帖数: 8565 | 11 差的这一点在“出个题”中补齐了。
现在我记录一下这个证明：证明Z[sqrt(-5)] is integrally closed.
1. the integral closure of Z[sqrt(-5)] in Q[sqrt(-5)]=Q(sqrt(-5)) is equal
to the integral closure of Z in Q(sqrt(-5)).
2. The integral closure of Z in Q(sqrt(-5)) is Z[sqrt(-5)].
Therefore, the integral closure of Z[sqrt(-5)] in Q(sqrt(-5)) is itself, and
thus it's integrally closed.
1比较容易，因为any element alpha integral over R=Z[sqrt(-5)] has a monic
polynomial r(x) in R[x] such that r(alpha)=0. 把r(x)的系数按照整数和带sqrt(-
5)的数分开，分成等式两边，然后平方，再合到一起，就变成了一个monic polynomial
in Z[x]。所以alpha也integral over Z。
证明2. 假设alpha=a/b + c/d sqrt(-5) in Q(sqrt(-5))，其中a,b,c,d都为整数，满
足coprime条件。把这个数按照包不包含sqrt(-5)分到两边，再平方，再合并，可以看
出alpha satisfies a degree 2 monic polynomial q(x) in Q[x]. 假定alpha is
integral over Z，那么alpha另外satisfies a monic polynomial r(x) in Z[x].
(**)我们要证明degree最小的r(x)必须就是q(x)，从而q(x)的系数必须只能是整数，
然后再根据abcd的条件，证明alpha只能是m + n sqrt(-5)的形式，也就是说alpha就在
Z[
sqrt(-5)]中。从而证明了2. 这一步有一些根据平方和的分类，但都是常规议论。这个
议论同时也证明了sqrt(4k+3)形式的都是integrally closed. 网上看了一下，好像很
多议论都是证明这一步，而没有前面的(**)。
(**)这步看起来几乎显然，但是就差那么一点！我就想看看这里到底差了哪一点。差的
那点就在“出个题”里，妈的，被删了。这一点用到了Gauss Lemma. 也不容易！凡是
叫lemma的，还有名字的，都不是很平凡的结论，尤其是这个名字是Gauss！
【在 T*******x 的大作中提到】
: Z[sqrt(-5)] integrally closed这个，现在我还差一点，没证出来。
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