k*****g
发帖数: 1 | 1 劣文产TheMatrix (TheMatrix)的低能笑话
发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 15:26:10 2021, 美东)
用傅立叶级数对函数进行逼近，该函数也得是局部的，或者周期的。
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发信人: kanting (kan), 信区: Military
标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 14:23:18 2021, 美东)
对任意函数的光滑性的要求是很低的，即本身和一阶导数的分（为由限段）的连续性，
（有限个分段处）是跳跃点。即使是在跳跃点，收敛值仍然是跳跃的算术平均值。
多美好的事儿。
这更贴近自然的连续对象。
为什么这样一个傅立叶表示是了不起的？
比较一下一般函数的多项式逼近（有限次加减乘运算逼近），即在一点附近的幂级数表
示。
1.它要求函数在所展开点的所有阶的导数
2.用这些导数写出幂级数，称泰勒级数，（除去这一点外任何点）不一定就收敛。
3.即使收敛，也不见得就收敛到这个函数。
3.这个收敛是局部的，该点附近的一个小范围。
傅立叶表示则是（就那个函数而言）是整体的。
函数的底要求就可以产生逼近展开所需的级数（解决 1）。
这级数整体表示了这函数（解决2，3，4）,且是如人所愿的最好结果。
了不起的结果。 |
k*****g
发帖数: 1 | 2 发信人: kanting (kan), 信区: Military
标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 16:09:02 2021, 美东)
即使这个函数在指定区间上的整体表示。
比如函数f, 要把它在区间（a,b）用傅立叶级数表示.
办法是把f周期拓成全直线上的周期函数F。
这个只是在（a,b)上的点才与f有相同的值。
所得到的傅立叶级数在全直线上所有连续点上是收敛到F这个周期函数的值，
在跳跃点上是收敛到F这个周期函数的跳跃点两值的平均的。
在(a,b)上的点，所得到的傅立叶级数在全直线上所有连续点上是收敛到f这个函数的值
在跳跃点上是收敛到f这个函数的跳跃点两值的平均的,因为在这些点上f的值与F的值相
同。
故在任何指定区间（a,b）上的任意（光滑）函数f,无需周期性，
可以在（a,b）上整体地用傅立叶(周期）级数逐点表示 f.
要点就在这里，这是傅立叶理论的伟大之处。
至于f可能在（a,b）之外有定义，它们的值与(a,b)上的傅立叶级数的值没有什么关系。
f可以是任何分段连续分段连续可导函数。
题外话：谈整体，你必须指出什么叫整体。比如谈整体最大值，你必须指出在那个区间
上函数的最大值。
给定义任意一个任何分段连续分段连续可导函数f，
如果f的定义域是有限区间（a,b）则可用傅立叶级数表示它。
甚至在f的定义域是直线的情况则可以用傅立叶积分。
要点周期函数可以精确逼近任意（非周期或周期）函数。
你说的周期函数是指F。傅立叶级数直线上（连续点上）自然是收敛到F的。
你看你都数学都是读的一点表面皮毛。以为只有周期函数才有傅立叶表示。 |
k*****g
发帖数: 1 | 3 发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 16:41:48 2021, 美东)
我一句话都说完了，你说那么多有啥意义啊？跟我一样，你就对了。跟我不一样，你就
回去再重新理解一下。
【在 k*****g 的大作中提到】
: 发信人: kanting (kan), 信区: Military
: 标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
: 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 16:09:02 2021, 美东)
:
: 即使这个函数在指定区间上的整体表示。
: 比如函数f, 要把它在区间（a,b）用傅立叶级数表示.
: 办法是把f周期拓成全直线上的周期函数F。
: 这个只是在（a,b)上的点才与f有相同的值。
: 所得到的傅立叶级数在全直线上所有连续点上是收敛到F这个周期函数的值，
: 在跳跃点上是收敛到F这个周期函数的跳跃点两值的平均的。
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k*****g
发帖数: 1 | 4 以上是系列帖的一部分。
首帖在这里
http://www.mitbbs.com/article_t1/Military/61152693_0_1.html
发信人: weiqu (微趣), 信区: Military
标 题: 爱因斯坦对音乐的描述
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 11:56:25 2021, 美东)
以前咱只是个人观察，这可是实证！
杰出的科学家对音乐情有独钟！
世间万事皆为（频）律！
：） |
T*******x
发帖数: 8565 | 5 靠。到现在你还不明白。你真是蠢的一逼。
给你个提示吧，傅立叶级数是指
sum _n a_n e^{inx}
【在 k*****g 的大作中提到】
: 劣文产TheMatrix (TheMatrix)的低能笑话
: 发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
: 标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
: 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 15:26:10 2021, 美东)
: 用傅立叶级数对函数进行逼近，该函数也得是局部的，或者周期的。
:
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: 发信人: kanting (kan), 信区: Military
: 标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
: 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 14:23:18 2021, 美东)
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C*****l
发帖数: 1 | 6 傅立叶级数和连续傅里叶变换是不一样的
【在 k*****g 的大作中提到】
: 劣文产TheMatrix (TheMatrix)的低能笑话
: 发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
: 标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
: 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 15:26:10 2021, 美东)
: 用傅立叶级数对函数进行逼近，该函数也得是局部的，或者周期的。
:
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: 发信人: kanting (kan), 信区: Military
: 标 题: Re: 爱因斯坦对音乐的描述
: 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jul 25 14:23:18 2021, 美东)
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T*******x
发帖数: 8565 | 7 对。
因为他前面把傅立叶变换和幂级数做比较，隐含的就应该是傅立叶级数，也就是离散的
，否则做比较不公平啊。
而用傅立叶级数做比较的话，傅立叶级数能逼近的函数也是局域的，或者周期的。这里
有一个相当深刻的定理，讲的是一个compact区域上的函数空间，和一个countable定义
域的函数空间，之间的关系。
【在 C*****l 的大作中提到】
: 傅立叶级数和连续傅里叶变换是不一样的
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g****t
发帖数: 31659 | 8 总体而言你们说的是对的。为防止弄混Fourier series与Fourier transform。我一般
与人讲会用三角函数多项式（Trigonometric Series
）这个名字。
唯一一点要注意的是。almost periodic function也有相关的三角函数多项式逼近定理
，有一个分支理论。
: 对。
: 因为他前面把傅立叶变换和幂级数做比较，隐含的就应该是傅立叶级数，也就是
离散的
: ，否则做比较不公平啊。
: 而用傅立叶级数做比较的话，傅立叶级数能逼近的函数也是局域的，或者周期的
。这里
: 有一个相当深刻的定理，讲的是一个compact区域上的函数空间，和一个
countable定义
: 域的函数空间，之间的关系。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 对。
: 因为他前面把傅立叶变换和幂级数做比较，隐含的就应该是傅立叶级数，也就是离散的
: ，否则做比较不公平啊。
: 而用傅立叶级数做比较的话，傅立叶级数能逼近的函数也是局域的，或者周期的。这里
: 有一个相当深刻的定理，讲的是一个compact区域上的函数空间，和一个countable定义
: 域的函数空间，之间的关系。
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C*****l
发帖数: 1 | 9 对，老一辈的人玩三角级数很熟练。
Fourier series有一个基频率f0，其他频率是这个频率的整数倍，所以Fourier Series
的频率有一个下限，但是没有上限。这个基频说明有一个最大特征尺度，也就是周期。
Fourier Transform则没有这个最小频率。
人类能解的东西很少，往往要借助于平面波展开来逼近。
【在 g****t 的大作中提到】
: 总体而言你们说的是对的。为防止弄混Fourier series与Fourier transform。我一般
: 与人讲会用三角函数多项式（Trigonometric Series
: ）这个名字。
: 唯一一点要注意的是。almost periodic function也有相关的三角函数多项式逼近定理
: ，有一个分支理论。
:
:
: 对。
:
: 因为他前面把傅立叶变换和幂级数做比较，隐含的就应该是傅立叶级数，也就是
: 离散的
:
: ，否则做比较不公平啊。
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k*****g
发帖数: 1 | 10
傅里叶变换是从傅里叶积分表示来的。
定义在全直线上的分段光滑函数在直线上绝对可积函数f(x),，
这个函数可以用带参数的累次积分来表示，namely,
f(x)=(1/2pi)int int f(t)e^iw(x-t)dtdw. （×）
这里所有积分都是在全直线上的。
这个累次积分的里面的一层积分的结果，配上适当的系数a，被称之为傅里叶
变换。记为 F{f(t)}(w)
这个累次积分的外面的一层积分的结果，配上适当的系数b，被称之为傅里叶
反变换。记为 G{g(w)}(x).
系数a,b可以有不同的选择，但要求是 a·b 必须 是(1/2pi).
这样傅里叶积分表示 (*)是说：
f(x)=(Gcirc F){f(t)}=G{F{f(t)}}，这里、circ 是合成运算。
傅里叶积分是说两层积分合成的结果会回到开始的那个函数。
故傅里叶变换是傅里叶积分的第一层，傅里叶反变换是傅里叶积分的第二层。
两层复合，就是的恒等，开始是什么函数结果还是那个函数。
傅里叶变换为什么有用?
因为f的导数f^{(n)}的傅里叶变换可以用f的傅里叶变换来表示,
F{f^{(n)}(t)}(w)=iwF{f(t)}(w).
利用上述性质和积分的线性性质，
一个关于未知函数的f(t)以及导数们f^{(n)}(t)的常系数线性微分方程就化为
关于
F{f(t)}(w)这一单一未知函数的代数方程，
而不是关于F{f(t)}(w)，F{f'(t)}(w)，...,F{f^{(n)}(t)}(w) n个未知函数的
代数方程。
从关于F{f(t)}(w)这一单一未知函数的代数方程，常常可以代数方法
解出函数F{f(t)}(w)。
再利用已知知识，对已解出的函数F{f(t)}(w)应用傅里叶反变换可得出
原来那个微分方程的未知函数解f(t)。
【在 C*****l 的大作中提到】
: 傅立叶级数和连续傅里叶变换是不一样的
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T*******x
发帖数: 8565 | 11 靠。跟你说啥也没用，你就是自顾自说话，说你那点知识，用的还是台湾方言。
【在 k*****g 的大作中提到】
:
: 傅里叶变换是从傅里叶积分表示来的。
: 定义在全直线上的分段光滑函数在直线上绝对可积函数f(x),，
: 这个函数可以用带参数的累次积分来表示，namely,
: f(x)=(1/2pi)int int f(t)e^iw(x-t)dtdw. （×）
: 这里所有积分都是在全直线上的。
: 这个累次积分的里面的一层积分的结果，配上适当的系数a，被称之为傅里叶
: 变换。记为 F{f(t)}(w)
: 这个累次积分的外面的一层积分的结果，配上适当的系数b，被称之为傅里叶
: 反变换。记为 G{g(w)}(x).
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g****t
发帖数: 31659 | 12 芝加哥分析学派的祖师。Tao的师傅的师傅的师傅那本书就叫三角多项式。此分支出了
两个Fields奖。
我认为从物理上来讲。这个离散性是能量量子化，也就是离散化的基础。
: 对，老一辈的人玩三角级数很熟练。
: Fourier series有一个基频率f0，其他频率是这个频率的整数倍，所以Fourier
Series
: 的频率有一个下限，但是没有上限。这个基频说明有一个最大特征尺度，也就是
周期。
: Fourier Transform则没有这个最小频率。
: 人类能解的东西很少，往往要借助于平面波展开来逼近。
【在 C*****l 的大作中提到】
: 对，老一辈的人玩三角级数很熟练。
: Fourier series有一个基频率f0，其他频率是这个频率的整数倍，所以Fourier Series
: 的频率有一个下限，但是没有上限。这个基频说明有一个最大特征尺度，也就是周期。
: Fourier Transform则没有这个最小频率。
: 人类能解的东西很少，往往要借助于平面波展开来逼近。
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g****t
发帖数: 31659 | 13 他不是科班出身的。一般数学分析课本大二就会讲清楚此事。收敛定理一般会讲抵力可
来定理。
Fourier transform因为要讲广义函数和泛函。会在大三讲。
: 靠。跟你说啥也没用，你就是自顾自说话，说你那点知识，用的还是台湾
方言。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 靠。跟你说啥也没用，你就是自顾自说话，说你那点知识，用的还是台湾方言。
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h**c
发帖数: 2890 | |
h**c
发帖数: 2890 | 15 iwater是不是the matrix的马甲？LOL |
k*****g
发帖数: 1 | 16
你很能搞笑嘛。不说你了。
【在 g****t 的大作中提到】
: 他不是科班出身的。一般数学分析课本大二就会讲清楚此事。收敛定理一般会讲抵力可
: 来定理。
: Fourier transform因为要讲广义函数和泛函。会在大三讲。
:
:
: 靠。跟你说啥也没用，你就是自顾自说话，说你那点知识，用的还是台湾
: 方言。
:
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k*****g
发帖数: 1 | 17
不晓得哎。你智商高。看马甲的本是也大，你说是，可能性就比较大。：）
【在 h**c 的大作中提到】
: iwater是不是the matrix的马甲？LOL
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h**c
发帖数: 2890 | 18 LOL那个the matrix回我的帖子只会破口大骂
，所以我去年就把它拉黑了LOL
所以看不到它发帖。看你发帖批斗它，我搭车LOL
【在 k*****g 的大作中提到】
:
: 不晓得哎。你智商高。看马甲的本是也大，你说是，可能性就比较大。：）
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T*********s
发帖数: 20444 | |
k*****g
发帖数: 1 | 20
【在 T*********s 的大作中提到】
: 属实
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