T*******x
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l**********3
发帖数: 10970 | 2 太简单
【在 T*******x 的大作中提到】
: 从中可以引出“荷”这个概念吧？
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T*******x
发帖数: 8565 | 3 Noether定理的设定是这样的：
有一个物理系统，它的状态用 ψ 表示，状态随时间演化，表示为 ψ_t，可以看成是
状态空间中的一条路径，时间演化路径。这条路径的给出，要靠最小作用量原理。最小
作用量原理是说，给一个状态空间上的函数，或泛函，Lagrangian，L(ψ)，对时间[0,
T]的路径积分，叫做作用量，作用量最小的那条路径 ψ_t，就是该物理系统的时间演
化路径（相对于该Lagrangian）。
在这个设定下，Noether定理说，如果该系统的Lagrangian，的形式，满足某种连续对
称性，也就是 ψ 里的参数，或 ψ 的取值，在某种变换方向下，Lagrangian不变，那
么该系统在其时间演化路径上，就有一个不随时间变化的量。
这里东西比较多：ψ，ψ_t，L，积分，连续对称性。。。要一一想清楚。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 从中可以引出“荷”这个概念吧？
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T*******x
发帖数: 8565 | 4 ψ 的参数是什么？取值又是什么？实际上问的就是 ψ:X --> Y，其中X是什么，Y是什
么，整个空间 H = { ψ:X --> Y } 又是什么。
牛顿力学中的 ψ，其 X 是什么，Y 是什么？X 是空间，时空？Y 是什么？好像都不大
对。X 应该是[n] = {1,2,3,...,n}。也就是对于一个 n 体系统，X 就是index空间。Y
才是三维空间。整个空间是 H = { ψ: [n] --> R^3 }。而一条时间演化路径就是 ψ
_t: [0,T] --> H。
场论中的 ψ，其 X 才是 空间 R^3，或者时空 R^4。其 Y 是什么？可以是 R，一维的
，也可以是 C，复数的，或者 C^2，C^3，。。。基本上是什么都行。
它为什么是什么都行呢？
0,
【在 T*******x 的大作中提到】
: Noether定理的设定是这样的：
: 有一个物理系统，它的状态用 ψ 表示，状态随时间演化，表示为 ψ_t，可以看成是
: 状态空间中的一条路径，时间演化路径。这条路径的给出，要靠最小作用量原理。最小
: 作用量原理是说，给一个状态空间上的函数，或泛函，Lagrangian，L(ψ)，对时间[0,
: T]的路径积分，叫做作用量，作用量最小的那条路径 ψ_t，就是该物理系统的时间演
: 化路径（相对于该Lagrangian）。
: 在这个设定下，Noether定理说，如果该系统的Lagrangian，的形式，满足某种连续对
: 称性，也就是 ψ 里的参数，或 ψ 的取值，在某种变换方向下，Lagrangian不变，那
: 么该系统在其时间演化路径上，就有一个不随时间变化的量。
: 这里东西比较多：ψ，ψ_t，L，积分，连续对称性。。。要一一想清楚。
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h*********e
发帖数: 85 | |
T*******x
发帖数: 8565 | 6 L，Lagrangian，是一个函数空间上的函数，或泛函，L: H --> R。为什么叫泛函，因
为它不是直接以 ψ 的参数为参数的，它是以 ψ 本身为参数的。给它一个 ψ，它以
某种方式给回一个数。比如对 ψ 求期望，求某点取值，求函数空间中的距离。
L 还可以显式依赖于时间，L: H * [0,T] --> R。
这样的一个L，可以和一条系统路径 ψ_t: [0,T]--> H，组合在一起：L(ψ_t)，或者
L(ψ_t,t)。然后沿着该路径积分 ∫ L(ψ_t) dt 或者 ∫ L(ψ_t,t) dt。这是作用量。
这可以说是一个路径的函数，或者说是整个路径空间的泛函。而其中取最小作用量的
那条路径，就是系统的，真正的，物理的，时间演化路径。这是最小作用量原理。
0,
【在 T*******x 的大作中提到】
: Noether定理的设定是这样的：
: 有一个物理系统，它的状态用 ψ 表示，状态随时间演化，表示为 ψ_t，可以看成是
: 状态空间中的一条路径，时间演化路径。这条路径的给出，要靠最小作用量原理。最小
: 作用量原理是说，给一个状态空间上的函数，或泛函，Lagrangian，L(ψ)，对时间[0,
: T]的路径积分，叫做作用量，作用量最小的那条路径 ψ_t，就是该物理系统的时间演
: 化路径（相对于该Lagrangian）。
: 在这个设定下，Noether定理说，如果该系统的Lagrangian，的形式，满足某种连续对
: 称性，也就是 ψ 里的参数，或 ψ 的取值，在某种变换方向下，Lagrangian不变，那
: 么该系统在其时间演化路径上，就有一个不随时间变化的量。
: 这里东西比较多：ψ，ψ_t，L，积分，连续对称性。。。要一一想清楚。
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T*******x
发帖数: 8565 | 7 L，Lagrangian，是靠给定的。L 的给定可以说是任意的。
这里的指导原则是什么？在牛顿力学中，L 的给定是为了最终符合牛顿定律，也就是给
定的L，按照最小作用量原理算出来的系统时间演化路径，必须符合由牛顿定律直接算
出来的系统时间演化路径。
经典场论也是这样。
但是量子场论基本上就是wild的了，因为没有参照。比想象力，比美学，当然最终还是
要解释实验现象。但是实验现象是一个弱约束，因为这里的自由度太大，很多种 L 都
可以解释实验现象。
者
量。
【在 T*******x 的大作中提到】
: L，Lagrangian，是一个函数空间上的函数，或泛函，L: H --> R。为什么叫泛函，因
: 为它不是直接以 ψ 的参数为参数的，它是以 ψ 本身为参数的。给它一个 ψ，它以
: 某种方式给回一个数。比如对 ψ 求期望，求某点取值，求函数空间中的距离。
: L 还可以显式依赖于时间，L: H * [0,T] --> R。
: 这样的一个L，可以和一条系统路径 ψ_t: [0,T]--> H，组合在一起：L(ψ_t)，或者
: L(ψ_t,t)。然后沿着该路径积分 ∫ L(ψ_t) dt 或者 ∫ L(ψ_t,t) dt。这是作用量。
: 这可以说是一个路径的函数，或者说是整个路径空间的泛函。而其中取最小作用量的
: 那条路径，就是系统的，真正的，物理的，时间演化路径。这是最小作用量原理。
:
: 0,
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T*******x
发帖数: 8565 | 8 这样一个 L，Lagrangian的给出，很自然会满足某种对称性。
比如一个 ψ: X --> C，取值为复数。在炮制 L 的时候，我可以说先对 ψ 的复数值
取模，再进行某种操作。那么这个系统就具有了 U(1) 对称性，也就是说 a e^{iθ}
和 a 对于最后的 L 没有任何区别。这个对称性是在 H = { ψ: X --> C } 空
间上的。这个对称性是连续对称性，U(1) 就是e^{iθ}，就是圆，是一维的。
牛顿力学中 L 的对称性，比如 ψ: [n] --> R^3，定 L 的时候，我说先取距离，然后
再做其他操作，那 L 就具有了平移和旋转对称性。旋转对称性 SO(3)，也是连续对称
性，是三维的，也就是说你可以找到空间参数沿着三种方向进行改变，系统 L 不变。
量子场论中可以有 ψ: X --> C^2 或 C^3，在炮制 L 的时候，我们可以比如先取 C^2
或者 C^3 上的模，然后再做其他操作，这样的 L 就具有 SU(2) 或 SU(3) 的对称性
，它们是3维和8维的对称性。维度指的都是实数维。
【在 T*******x 的大作中提到】
: L，Lagrangian，是靠给定的。L 的给定可以说是任意的。
: 这里的指导原则是什么？在牛顿力学中，L 的给定是为了最终符合牛顿定律，也就是给
: 定的L，按照最小作用量原理算出来的系统时间演化路径，必须符合由牛顿定律直接算
: 出来的系统时间演化路径。
: 经典场论也是这样。
: 但是量子场论基本上就是wild的了，因为没有参照。比想象力，比美学，当然最终还是
: 要解释实验现象。但是实验现象是一个弱约束，因为这里的自由度太大，很多种 L 都
: 可以解释实验现象。
:
: 者
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T*******x
发帖数: 8565 | 9 下面进入深水区了，因为我也不懂。
第一个问题只是对于我深水，还是在经典范围，但是我没有打通。
一个物理系统，以最小作用量原理算出了时间演化路径，另外还知道它的 Lagrangian
满足某种连续对称性。那么沿着时间演化路径走，到底哪些量是不变的呢？和 L 的连
续对称性，的一条一条维度，之间的对应关系是怎样的呢？
首先在系统的时间演化路径上，L 这个量本身并不是不变的。L 的不变性不在这个方向
上，它不变的方向是在连续对称性这个李群作用的方向上。这两个方向应该结合在一起
，来找到每个连续对称性方向所对应的不变量。这个地方我不知道是不是需要有 L 的
具体的形式才能接着走。
^2
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这样一个 L，Lagrangian的给出，很自然会满足某种对称性。
: 比如一个 ψ: X --> C，取值为复数。在炮制 L 的时候，我可以说先对 ψ 的复数值
: 取模，再进行某种操作。那么这个系统就具有了 U(1) 对称性，也就是说 a e^{iθ}
: 和 a 对于最后的 L 没有任何区别。这个对称性是在 H = { ψ: X --> C } 空
: 间上的。这个对称性是连续对称性，U(1) 就是e^{iθ}，就是圆，是一维的。
: 牛顿力学中 L 的对称性，比如 ψ: [n] --> R^3，定 L 的时候，我说先取距离，然后
: 再做其他操作，那 L 就具有了平移和旋转对称性。旋转对称性 SO(3)，也是连续对称
: 性，是三维的，也就是说你可以找到空间参数沿着三种方向进行改变，系统 L 不变。
: 量子场论中可以有 ψ: X --> C^2 或 C^3，在炮制 L 的时候，我们可以比如先取 C^2
: 或者 C^3 上的模，然后再做其他操作，这样的 L 就具有 SU(2) 或 SU(3) 的对称性
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T*******x
发帖数: 8565 | 10 系统 Lagrangian 的连续对称性，和系统时间演化路径上的某种守恒量的关系，我没有
完全打通。但是我觉得还是可以理解的。先接受下来。
这个守恒量就可以叫做一个“荷”。什么意思呢？
当然这都是猜。我认为这种理解在哪也找不到，它不是定义。它不是物理，也不是数学
。就是“理解”。
比如一个经典牛顿力学的多体的系统，角动量守恒，这是从Noether定理退出来的，一
般我们不把它，也就是角动量，当成一个“荷”。
但是其实也可以当成一个“荷”。因为如果把这个系统看成一个黑盒的话，没有内部结
构，或者无从观察内部结构，那么这个系统作为一个物体，一个抽象的物体，它的确有
一个量，一个属性，一个“荷”，一个“内禀”的东西，守恒。这个东西，打开一看，
当然就是角动量。
Lagrangian
【在 T*******x 的大作中提到】
: 下面进入深水区了，因为我也不懂。
: 第一个问题只是对于我深水，还是在经典范围，但是我没有打通。
: 一个物理系统，以最小作用量原理算出了时间演化路径，另外还知道它的 Lagrangian
: 满足某种连续对称性。那么沿着时间演化路径走，到底哪些量是不变的呢？和 L 的连
: 续对称性，的一条一条维度，之间的对应关系是怎样的呢？
: 首先在系统的时间演化路径上，L 这个量本身并不是不变的。L 的不变性不在这个方向
: 上，它不变的方向是在连续对称性这个李群作用的方向上。这两个方向应该结合在一起
: ，来找到每个连续对称性方向所对应的不变量。这个地方我不知道是不是需要有 L 的
: 具体的形式才能接着走。
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T*******x
发帖数: 8565 | 11 这个地方留了个尾巴。就是一个系统的状态函数 ψ:X --> Y，其中 X 可以是 [n]，对
应 n-体，可以是R^3，R^4，对应场的空间。Y 是什么？可以是位置，可以是场强，这
都是实数，可以理解。那么为什么可以是 C，C^2，C^3...呢？
我认为这就是理论拟合实验。意思是，需要解释，但是还没有得到解释。没有得到从第
一原理出发推出全部那种解释，比如相对论就可以算成是从第一原理出发得到的解释，
因此相对论也算经典理论。
第一个横空出世的方程是薛定谔方程。薛定谔方程中的系统状态是波函数，ψ:R^3 -->
C。
这个方程已经很奇怪了。因为它实际上描述的是一个电子的运动，但是它的状态函数的
形式，却是一个场函数。按照经典理论描述一个电子的运动，状态函数应该是 ψ:[1]
--> R^3，但是这里却是 ψ:R^3 --> C。
也就是这里，intrinsically，有一个场，什么的场呢？这个不知道。但是最后知道是
和几率有关的一个场。
。Y
【在 T*******x 的大作中提到】
: ψ 的参数是什么？取值又是什么？实际上问的就是 ψ:X --> Y，其中X是什么，Y是什
: 么，整个空间 H = { ψ:X --> Y } 又是什么。
: 牛顿力学中的 ψ，其 X 是什么，Y 是什么？X 是空间，时空？Y 是什么？好像都不大
: 对。X 应该是[n] = {1,2,3,...,n}。也就是对于一个 n 体系统，X 就是index空间。Y
: 才是三维空间。整个空间是 H = { ψ: [n] --> R^3 }。而一条时间演化路径就是 ψ
: _t: [0,T] --> H。
: 场论中的 ψ，其 X 才是 空间 R^3，或者时空 R^4。其 Y 是什么？可以是 R，一维的
: ，也可以是 C，复数的，或者 C^2，C^3，。。。基本上是什么都行。
: 它为什么是什么都行呢？
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f****i
发帖数: 1 | 12 就是群作用对一个泛函的影响
你忘记了群
参阅classical field theory
http://library.lol/main/5D092B2DA3A967ED421F7DE1A70AF8AF
0,
【在 T*******x 的大作中提到】
: Noether定理的设定是这样的：
: 有一个物理系统，它的状态用 ψ 表示，状态随时间演化，表示为 ψ_t，可以看成是
: 状态空间中的一条路径，时间演化路径。这条路径的给出，要靠最小作用量原理。最小
: 作用量原理是说，给一个状态空间上的函数，或泛函，Lagrangian，L(ψ)，对时间[0,
: T]的路径积分，叫做作用量，作用量最小的那条路径 ψ_t，就是该物理系统的时间演
: 化路径（相对于该Lagrangian）。
: 在这个设定下，Noether定理说，如果该系统的Lagrangian，的形式，满足某种连续对
: 称性，也就是 ψ 里的参数，或 ψ 的取值，在某种变换方向下，Lagrangian不变，那
: 么该系统在其时间演化路径上，就有一个不随时间变化的量。
: 这里东西比较多：ψ，ψ_t，L，积分，连续对称性。。。要一一想清楚。
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T*******x
发帖数: 8565 | 13 谢谢。
又看见这个物理jargon了，on-shell。这次看明白了，原来就是在物理系统的时间演化
路径上，或者说在物理系统的真实演化路径上，或者说满足Euler-Lagrange Equation
，或者说是由最小作用量原理求出来的那条路径。
【在 f****i 的大作中提到】
: 就是群作用对一个泛函的影响
: 你忘记了群
: 参阅classical field theory
: http://library.lol/main/5D092B2DA3A967ED421F7DE1A70AF8AF
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