F***e
发帖数: 23 | 1 【 以下文字转载自 History 讨论区 】
发信人: FoxMe (FoxMe), 信区: History
标 题: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Sep 18 14:51:11 2021, 美东)
图见原帖：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_551bf6350101allc.html
中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》对勾股定理应用的记载为迄今所见存世最
早：“昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：‘窃闻
科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数
安从出？’商高曰：‘数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。
故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五
。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。’”
基于上述渊源，中国学者一般把此定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。
商高的回答实际上是对勾股定理的最早几何证明，赵爽评价这个陈述“将以施于万
事，而此先陈其率也”，汉文化中习惯性以“一生二、二生三、三生万物”、“九九归
一”来概括一切现象，而“勾三股四弦五”正是这种文化习惯的表现，只有一般性证明
之后才能找到这样的特例。这个证明过程，一直被错误地被认为是一个经验性代入数描
述，其证明方法“积矩法”的名称也一直未能得到正名，则是对于这种语言习惯的理解
偏差。
试译之：将一个长方形对角折叠得到两个直角三角形，比如矩形宽三为勾，长四为
股，则像墙角一样的折痕为直角三角形的弦，其长必五，（为什么不是5.01或者4.99呢
？如果说《周髀算经》的表述为特例表述，那么到这里就已经结束了，因为 32+42=52
已经无需证明了）这不是一个测量出来的经验值，试证之：先将矩形勾边和股边外引正
方形，复制折痕的外半边矩形，弦边首尾相接环成一个边长为三加四等于七的大正方形
“共盘”，这个“共盘”内接三个分别为勾、股、弦为边的正方形，简称勾方、股方、
弦方，边长分别为三、四、五，其中勾方九加股方十六和为二十五，与“共盘”内接的
积弦为方的矩形面积相等（这个内接弦方的面积等于“共盘”减去用来“环而共盘”的
四个三角形，即七七四十九减三四一十二除以二乘以四，等于四十九减二十四，得二十
五）。
剔除特例用纯数学语言描述即：将一个矩形对角折叠得到两个直角三角形，矩形宽
为勾，长为股，则像墙角一样的折痕为直角三角形的弦。先将矩形勾边和股边外引正方
形，复制折痕的外半边矩形，勾股交错首尾相接环成一个大正方形“共盘”，边长为勾
股之和，这个“共盘”内接三个分别为勾、股、弦为边的正方形，简称勾方、股方、弦
方。其中勾方加股方为“共盘”减去两个原始矩形，弦方面积为大正方形“共盘”减去
用来“环而共盘”的四个前面折叠所得三角形，积为两个原始矩形。这样勾方股方之和
与弦方均为“共盘”减去四个直角三角形累积成的两个原始矩形，即勾方股方和等于弦
方。这就是所谓的“积矩”，如图1。
这显然是一个放之四海而皆准的一般性证明，不能因为不懂得文言的描述习惯，而
刻舟求剑地怀疑古人的智慧。犹如“九九乘法表”，“九九”二字涵盖一切，显然古人
并不只知道“九九八十一”，他们对于“三七二十一”也不陌生。
赵爽约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其
中一段530余字的“勾股圆方图”注文给出了另外一种证明方法，这个证明被认为是中
国数学史上见诸文献的最早的一般性证明。
他将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”
证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之
差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”这个叙述很明确地将自己的证明归结为“又
”，即商高基础上的另一种证明法。
翻译出来就是：如图2，用勾（a）和股（b）相乘（a×b）等于两块红色三角形的
面积，乘以二（2ab）即为四块红色三角形的面积，以勾（a）股（b）的差（b-a）再平
方即为中间的黄色正方形，所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为
弦（c）为边长的正方形的面积。
数学表达式为：c2=(a-b)2+2ab=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2
41年后，三国时代魏国的数学家刘徽在魏景元四年（即公元 263 年）为古籍《九
章算术》作注释。也提出了一个勾股定理的证明，用的以形证数的方法，刘徽的证明原
也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出
入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”
后人根据这段文字补了一张图，如图3。大意是：直角三角形，以勾为边的正方形
为朱方，引弦为正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补。
弦方再开方即为弦长。
后人这个补图无疑是非常符合刘徽的文字描述，但笔者发现，直接用赵爽的弦图，
一样可以得出青朱出入相补证明勾股定理，如图4，此法仅仅使用了两块三角形出入相
补，无需额外画出弦方，弦图补青朱法可能是刘徽证明更为直接的原型。 | m*****n
发帖数: 3575 | | v**e
发帖数: 8422 | 3 收藏
【在 F***e 的大作中提到】
: 【 以下文字转载自 History 讨论区 】
: 发信人: FoxMe (FoxMe), 信区: History
: 标 题: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
: 发信站: BBS 未名空间站 (Sat Sep 18 14:51:11 2021, 美东)
: 图见原帖：
: http://blog.sina.com.cn/s/blog_551bf6350101allc.html
: 中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》对勾股定理应用的记载为迄今所见存世最
: 早：“昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：‘窃闻
: 科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数
: 安从出？’商高曰：‘数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。
| m*****n
发帖数: 3575 | 4 “故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四
五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”
——以叙述的严谨性来看，并不是他自己证明的，而是听说的。
这个听说就问题大了，因为有些高能灵拥有穿梭时空的能力。 |
|
