w*****3
发帖数: 683 | 1 问个问题：
Pi 的 N 次方（ N > 1，整数）是不是不可能是有理数？有证明吗？ |
a*o
发帖数: 25262 | |
C****u
发帖数: 911 | |
a*o
发帖数: 25262 | 4 帮你找个证明吧， n = 2.
For any positive integers n and x in (0,1) we can define
2n
x^n (1 - x)
^n 1 --- j
f(x) = ---------------- = ---- ) c_j x
n! n! ---
j=n
Here, c_j are integers. For x in (0,1) we have,
0 < f(x) < 1/n!
Now, suppose that positive integers a and b exist such that
2 a
pi = ---
b
Define
n / 2n 2n-2 2n+4 (4)
P(x) = b | pi f(x) - pi f"(x) + pi f (x) - ...
n (2n)
... + (-1) f (x) |
/
Now, we know that
f(0) = 0
We also know that
(j)
f (0) = 0 for all j < n or j > 2n
But for n <= j <= 2n, we have ...
(j) j!
f (0) = ---- c_j
n!
... which is an integer. Hence f(x) and all its derivatives have integer
values at x = 0. Since f(1 - x) = f(x), the same is true at x = 1.
Now, because P(0) and P(1) are integers, we have
d /
----|P'(x)Sin(pi x) - pi P(x) Cos(pi x)| = Sin(pi x) (P"(x) + pi^2 P(x))
dx /
This can be simplified to
n 2n+2 2 n
b pi f(x) Sin(pi x) = pi a Sin(pi x) f(x)
Now,
- 1 - - 1
| n | P'(x)Sin(pi x) |
pi | a Sin(pi x)f(x)dx = | ---------------- - P(x)Cos(pi x) |
| | pi |
- 0 - - 0
= P(0) + P(1)
This is an integer. But notice the inequalities:
- 1 n
| n pi a
0 < pi | a Sin(pi x) f(x) dx < ------- < 1
| n!
- 0
For a large enough n, we reach a contradiction. So pi^2 can't be written
as a/b, as we originally assumed. Therefore, it's irrational. |
C****u
发帖数: 911 | 5 天哪，这排版，怎么看
楼主可以看一下 超越数 的概念
pi和e都是超越数，它们有一条性质，就是它们的有理数次方都是无理数
^n 1 --- j
【在 a*o 的大作中提到】
: 帮你找个证明吧， n = 2.
: For any positive integers n and x in (0,1) we can define
: 2n
: x^n (1 - x)
: ^n 1 --- j
: f(x) = ---------------- = ---- ) c_j x
: n! n! ---
: j=n
: Here, c_j are integers. For x in (0,1) we have,
: 0 < f(x) < 1/n!
|
a*o
发帖数: 25262 | 6 首先都是从定义下手，然后得出结果和定义不对头。。
也就证明了。逻辑啊逻辑。。LOL。。
【在 C****u 的大作中提到】
: 天哪，这排版，怎么看
: 楼主可以看一下 超越数 的概念
: pi和e都是超越数，它们有一条性质，就是它们的有理数次方都是无理数
:
: ^n 1 --- j
|
w*****3
发帖数: 683 | 7 看看去，超越数你都懂，你改名叫Niuniu吧。
【在 C****u 的大作中提到】
: 天哪，这排版，怎么看
: 楼主可以看一下 超越数 的概念
: pi和e都是超越数，它们有一条性质，就是它们的有理数次方都是无理数
:
: ^n 1 --- j
|
a*o
发帖数: 25262 | 8 超越数你都不懂。。。唉，你连数学都没学过。。
学好数理化，走遍天下都不怕。。
除非这是拍马屁的话。
【在 w*****3 的大作中提到】
: 看看去，超越数你都懂，你改名叫Niuniu吧。
|
z*****0
发帖数: 91 | 9 pi 是无理数， 然后 常数 x 无理数 = 无理数， 无理数 x 无理数 = 无聊数 =》 无
聊数的N（n>2）次方 = 无理数。
呵呵，应该是这逻辑，仅供参考 |
y*********p
发帖数: 56 | 10 无聊数是啥。。
无理数 x 无理数 = 无理数 是不成立的，e.g. sqrt(2)是无理数，sqrt(2)*sqrt(2)=2
是有理数
Pi的N次方是无理数的证明过程还是很复杂的，没有这么想当然
【在 z*****0 的大作中提到】
: pi 是无理数， 然后 常数 x 无理数 = 无理数， 无理数 x 无理数 = 无聊数 =》 无
: 聊数的N（n>2）次方 = 无理数。
: 呵呵，应该是这逻辑，仅供参考
|
|
|
j*a
发帖数: 14423 | 11 Pi的方根是无理数的证明很容易对不对
=2
【在 y*********p 的大作中提到】
: 无聊数是啥。。
: 无理数 x 无理数 = 无理数 是不成立的，e.g. sqrt(2)是无理数，sqrt(2)*sqrt(2)=2
: 是有理数
: Pi的N次方是无理数的证明过程还是很复杂的，没有这么想当然
|
y*********p
发帖数: 56 | 12 对。
【在 j*a 的大作中提到】
: Pi的方根是无理数的证明很容易对不对
:
: =2
|
L******k
发帖数: 33825 | |
f***r
发帖数: 1126 | 14 +1
超越数的整数次方都是超越数；超越数的有理数次方都是无理数。
【在 C****u 的大作中提到】
: 天哪，这排版，怎么看
: 楼主可以看一下 超越数 的概念
: pi和e都是超越数，它们有一条性质，就是它们的有理数次方都是无理数
:
: ^n 1 --- j
|
e*******c
发帖数: 804 | 15 what about pi^0 and e^0?
【在 C****u 的大作中提到】
: 天哪，这排版，怎么看
: 楼主可以看一下 超越数 的概念
: pi和e都是超越数，它们有一条性质，就是它们的有理数次方都是无理数
:
: ^n 1 --- j
|
a*o
发帖数: 25262 | 16 哈哈。。
【在 e*******c 的大作中提到】
: what about pi^0 and e^0?
|
