w*****3 发帖数: 683 | 1 问个问题:
Pi 的 N 次方( N > 1,整数)是不是不可能是有理数?有证明吗? |
a*o 发帖数: 25262 | |
C****u 发帖数: 911 | |
a*o 发帖数: 25262 | 4 帮你找个证明吧, n = 2.
For any positive integers n and x in (0,1) we can define
2n
x^n (1 - x)
^n 1 --- j
f(x) = ---------------- = ---- ) c_j x
n! n! ---
j=n
Here, c_j are integers. For x in (0,1) we have,
0 < f(x) < 1/n!
Now, suppose that positive integers a and b exist such that
2 a
pi = ---
b
Define
n / 2n 2n-2 2n+4 (4)
P(x) = b | pi f(x) - pi f"(x) + pi f (x) - ...
n (2n)
... + (-1) f (x) |
/
Now, we know that
f(0) = 0
We also know that
(j)
f (0) = 0 for all j < n or j > 2n
But for n <= j <= 2n, we have ...
(j) j!
f (0) = ---- c_j
n!
... which is an integer. Hence f(x) and all its derivatives have integer
values at x = 0. Since f(1 - x) = f(x), the same is true at x = 1.
Now, because P(0) and P(1) are integers, we have
d /
----|P'(x)Sin(pi x) - pi P(x) Cos(pi x)| = Sin(pi x) (P"(x) + pi^2 P(x))
dx /
This can be simplified to
n 2n+2 2 n
b pi f(x) Sin(pi x) = pi a Sin(pi x) f(x)
Now,
- 1 - - 1
| n | P'(x)Sin(pi x) |
pi | a Sin(pi x)f(x)dx = | ---------------- - P(x)Cos(pi x) |
| | pi |
- 0 - - 0
= P(0) + P(1)
This is an integer. But notice the inequalities:
- 1 n
| n pi a
0 < pi | a Sin(pi x) f(x) dx < ------- < 1
| n!
- 0
For a large enough n, we reach a contradiction. So pi^2 can't be written
as a/b, as we originally assumed. Therefore, it's irrational. |
C****u 发帖数: 911 | 5 天哪,这排版,怎么看
楼主可以看一下 超越数 的概念
pi和e都是超越数,它们有一条性质,就是它们的有理数次方都是无理数
^n 1 --- j
【在 a*o 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 帮你找个证明吧, n = 2. : For any positive integers n and x in (0,1) we can define : 2n : x^n (1 - x) : ^n 1 --- j : f(x) = ---------------- = ---- ) c_j x : n! n! --- : j=n : Here, c_j are integers. For x in (0,1) we have, : 0 < f(x) < 1/n!
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a*o 发帖数: 25262 | 6 首先都是从定义下手,然后得出结果和定义不对头。。
也就证明了。逻辑啊逻辑。。LOL。。
【在 C****u 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 天哪,这排版,怎么看 : 楼主可以看一下 超越数 的概念 : pi和e都是超越数,它们有一条性质,就是它们的有理数次方都是无理数 : : ^n 1 --- j
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w*****3 发帖数: 683 | 7 看看去,超越数你都懂,你改名叫Niuniu吧。
【在 C****u 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 天哪,这排版,怎么看 : 楼主可以看一下 超越数 的概念 : pi和e都是超越数,它们有一条性质,就是它们的有理数次方都是无理数 : : ^n 1 --- j
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a*o 发帖数: 25262 | 8 超越数你都不懂。。。唉,你连数学都没学过。。
学好数理化,走遍天下都不怕。。
除非这是拍马屁的话。
【在 w*****3 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 看看去,超越数你都懂,你改名叫Niuniu吧。
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z*****0 发帖数: 91 | 9 pi 是无理数, 然后 常数 x 无理数 = 无理数, 无理数 x 无理数 = 无聊数 =》 无
聊数的N(n>2)次方 = 无理数。
呵呵,应该是这逻辑,仅供参考 |
y*********p 发帖数: 56 | 10 无聊数是啥。。
无理数 x 无理数 = 无理数 是不成立的,e.g. sqrt(2)是无理数,sqrt(2)*sqrt(2)=2
是有理数
Pi的N次方是无理数的证明过程还是很复杂的,没有这么想当然
【在 z*****0 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : pi 是无理数, 然后 常数 x 无理数 = 无理数, 无理数 x 无理数 = 无聊数 =》 无 : 聊数的N(n>2)次方 = 无理数。 : 呵呵,应该是这逻辑,仅供参考
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j*a 发帖数: 14423 | 11 Pi的方根是无理数的证明很容易对不对
=2
【在 y*********p 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 无聊数是啥。。 : 无理数 x 无理数 = 无理数 是不成立的,e.g. sqrt(2)是无理数,sqrt(2)*sqrt(2)=2 : 是有理数 : Pi的N次方是无理数的证明过程还是很复杂的,没有这么想当然
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y*********p 发帖数: 56 | 12 对。
【在 j*a 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Pi的方根是无理数的证明很容易对不对 : : =2
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L******k 发帖数: 33825 | |
f***r 发帖数: 1126 | 14 +1
超越数的整数次方都是超越数;超越数的有理数次方都是无理数。
【在 C****u 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 天哪,这排版,怎么看 : 楼主可以看一下 超越数 的概念 : pi和e都是超越数,它们有一条性质,就是它们的有理数次方都是无理数 : : ^n 1 --- j
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e*******c 发帖数: 804 | 15 what about pi^0 and e^0?
【在 C****u 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 天哪,这排版,怎么看 : 楼主可以看一下 超越数 的概念 : pi和e都是超越数,它们有一条性质,就是它们的有理数次方都是无理数 : : ^n 1 --- j
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a*o 发帖数: 25262 | 16 哈哈。。
【在 e*******c 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : what about pi^0 and e^0?
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