p******n
发帖数: 9144 | 1 有21个砝码，都是有理数质量
其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20个砝码分成数量相等的2组
使得两组的质量相同。
试证明：这21个砝码质量全部相同。 |
p******n
发帖数: 9144 | 2 由于考试中确实有人做出来了，所以压力很大
【在 p******n 的大作中提到】
: 有21个砝码，都是有理数质量
: 其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20个砝码分成数量相等的2组
: 使得两组的质量相同。
: 试证明：这21个砝码质量全部相同。
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s*****j
发帖数: 6435 | 3 嗯. 有难度.
【在 p******n 的大作中提到】
: 有21个砝码，都是有理数质量
: 其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20个砝码分成数量相等的2组
: 使得两组的质量相同。
: 试证明：这21个砝码质量全部相同。
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p**s
发帖数: 2707 | 4 如果不全相同，有理数可以化成整数，全部减去最小的数，再继续除2，直到出现奇数
，这21个数有0，有奇数，肯定不能满足去掉任何一个都还能分成相同的两组。 |
M******n
发帖数: 43051 | 5 现在小学就学有理数了么...
【在 p******n 的大作中提到】
: 有21个砝码，都是有理数质量
: 其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20个砝码分成数量相等的2组
: 使得两组的质量相同。
: 试证明：这21个砝码质量全部相同。
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y****i
发帖数: 12114 | |
M*****5
发帖数: 627 | 7 给个大学解法哈：）：）
这个对无理数也对。就是要证任何一个满足以下条件的21阶（一般地，2N+1阶）
矩阵的秩是20（一般地，2N）：
这种矩阵对角线都是0，每一行剩下的元一半是1，另一半是-1。
只需证明把此类矩阵的第一行换成全是1以后，得到的新矩阵可逆。对此，可以
考虑模2，经少许计算可发现该新矩阵的行列式都是奇数。 |
f**r
发帖数: 865 | 8 出汗⋯⋯ 还好不用再上小学了，压力太大了。:-) |
k******b
发帖数: 4501 | 9 递推法?
1. 证3 个砝码时成立
2. 假设2n+1个砝码时成立, 证(2n+1) + 2个时也成立
递推好像是大学才学的? |
b********t
发帖数: 5261 | 10 明明初中就用过，只不过是简单的case而已。
【在 k******b 的大作中提到】
: 递推法?
: 1. 证3 个砝码时成立
: 2. 假设2n+1个砝码时成立, 证(2n+1) + 2个时也成立
: 递推好像是大学才学的?
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w********0
发帖数: 2621 | |
b**u
发帖数: 254 | 12 用个反证法：
假设这21个砝码中确实质量有不同， 还能其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20
个砝码分成数量相等的2组使得两组的质量相同。
那么设有一次取出的砝码A（质量设为WA)跟任意剩下的20个砝码其中之一B（质量设
为WB)有质量不同的情况，
每组的总质量设为W。然后互换A和B，使得B原来所在组的质量变为W+WA-WB，因为WA
不等于WB，所以互换后质量跟原来的另外一组质量W不相等。
所以原假设不成立。
因此证明：这21个砝码质量全部相同。 |
p***7
发帖数: 535 | 13 Are we talking about Math in Elementary school in America? |
c*****6
发帖数: 2149 | 14 题目说可以分成两组，没说每次分组都是同样10个。
20
【在 b**u 的大作中提到】
: 用个反证法：
: 假设这21个砝码中确实质量有不同， 还能其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20
: 个砝码分成数量相等的2组使得两组的质量相同。
: 那么设有一次取出的砝码A（质量设为WA)跟任意剩下的20个砝码其中之一B（质量设
: 为WB)有质量不同的情况，
: 每组的总质量设为W。然后互换A和B，使得B原来所在组的质量变为W+WA-WB，因为WA
: 不等于WB，所以互换后质量跟原来的另外一组质量W不相等。
: 所以原假设不成立。
: 因此证明：这21个砝码质量全部相同。
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c*****6
发帖数: 2149 | 15 正解，不过写得也太简约了。这里是我的详细解答：
这题不在乎砝码质量的绝对值，所以可以对所有的砝码质量同时做加减乘除
1。将所有砝码质量化为整数
因为所有砝码的质量均为有理数，我们可以把所有的质量乘以分母的最小公倍数（其实
所有分母的乘积也可以）。这样所有砝码的质量都是整数。
2。将所有砝码质量减去最小的砝码质量。这样得到至少一个砝码质量为0。砝码质量被
标志为0，Q2,Q3,Q4…Q20,Q21 (所有 Q大于或等于0)
3。由题目得出：除质量为0的砝码外的20个砝码可等分成两组。所以这20个砝码总质量
为偶数。
4。由结论3得出，这20个砝码中质量为奇数的砝码数量必为偶数（否则总质量为奇数）。
5。假设质量为奇数的砝码数量不为0，任意取出一奇数质量砝码后，剩余砝码总质量为
奇数，不可能被分成两组，所以没有质量为奇数的砝码。
6。将所有砝码质量除以2。
7。重复步骤4－6。
7。如果砝码质量不全相同，重复多次后，所有砝码质量为0或奇数，与结论5相矛盾。
所以所有砝码质量相同。
【在 p**s 的大作中提到】
: 如果不全相同，有理数可以化成整数，全部减去最小的数，再继续除2，直到出现奇数
: ，这21个数有0，有奇数，肯定不能满足去掉任何一个都还能分成相同的两组。
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b**u
发帖数: 254 | 16
原题是：
有21个砝码，都是有理数质量
其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20个砝码分成数量相等的2组
使得两组的质量相同。
试证明：这21个砝码质量全部相同。
数量相等的2组 应指每组分10个。
【在 c*****6 的大作中提到】
: 题目说可以分成两组，没说每次分组都是同样10个。
:
: 20
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c*****6
发帖数: 2149 | 17 在你之前的解法中，你认为交换砝码a和b以后，所有其他的砝码仍然在原来的两组中。
而实际情况是，除a以外的20个砝码可以任意组成两个新的组（和第一次的两个组毫无
关系）。
【在 b**u 的大作中提到】
:
: 原题是：
: 有21个砝码，都是有理数质量
: 其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20个砝码分成数量相等的2组
: 使得两组的质量相同。
: 试证明：这21个砝码质量全部相同。
: 数量相等的2组 应指每组分10个。
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b**u
发帖数: 254 | 18
汗， 的确忽略了这点。 你的那个是正解，不过一般小学生，嗯 也许包括某些博士，
未经训练确实很难得出这个思路。
【在 c*****6 的大作中提到】
: 在你之前的解法中，你认为交换砝码a和b以后，所有其他的砝码仍然在原来的两组中。
: 而实际情况是，除a以外的20个砝码可以任意组成两个新的组（和第一次的两个组毫无
: 关系）。
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c*****6
发帖数: 2149 | 19 这个正常，我原来做得出来的题目，现在未必都做得出来。
【在 b**u 的大作中提到】
:
: 汗， 的确忽略了这点。 你的那个是正解，不过一般小学生，嗯 也许包括某些博士，
: 未经训练确实很难得出这个思路。
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c***z
发帖数: 6348 | 20 easy
反证法
【在 p******n 的大作中提到】
: 有21个砝码，都是有理数质量
: 其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20个砝码分成数量相等的2组
: 使得两组的质量相同。
: 试证明：这21个砝码质量全部相同。
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a********8
发帖数: 73 | 21
把题目中的每组“数量相等”条件去掉也可以证明
【在 p******n 的大作中提到】
: 有21个砝码，都是有理数质量
: 其中任意取出一个砝码，都可以将剩下的20个砝码分成数量相等的2组
: 使得两组的质量相同。
: 试证明：这21个砝码质量全部相同。
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f**r
发帖数: 865 | 22 No no no, 我一开始证不出来，就是没看见这个条件。后来想到
一个反例：
21个砝码，19个重量为1, 2个重量为19. 这样的话，如果拿掉一个
重量为1的砝码，可以分成2组，每组的重量是19＋ 1 ＊ 9 ＝ 28；
如果拿掉一个重量为19的砝码，另一个重量为19的砝码单独一组，
每组的重量为19 ＊1, 和 19，也相同。
现在回来一看题目，人家果然有说数量相等。:-P
【在 a********8 的大作中提到】
:
: 把题目中的每组“数量相等”条件去掉也可以证明
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