t*******r
发帖数: 22634 | 1 俺老前一阵死扣一道趣味题 N 久，俺觉得标准答案的表达
不容易直接理解。于是俺自己整了个图示（还搞了几个版本），
外加放羊式坚持（也就是等上 N 天，N > 30）了一下。
好像效果还过得去。今天俺吃得比较饱，贴上来：
======================================================
== 这个是题目：
5．某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面
分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．
当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在
位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：
最多能涂成多少种不同的积木块？
======================================================
== （晦涩的）标准答案：
5．【解】
总可以使下底面为红色．
如果上底面也是红色，通过翻动，可以使前面为黄色，左面
不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。
如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色，这时
又分两种情况：
(1)前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色，有2种。
(2)前面与上面不同色，通过翻动，可以使上面为黄色，前面为
蓝色，这时右面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。
因此，共可涂成2＋2＋2＝6种不同的积木块。 |
t*******r
发帖数: 22634 | |
t*******r
发帖数: 22634 | 3 前面那张最近版本图解释如下：
1）如前图，先把两个红色装到“前后上下”四个点构成的自由转动环
（矢状面）。（如果不在矢状面，总可以旋转到矢状面）。这样有
2 种。分别可转成“下+上”和“下+后”。
1.1）然后如果红色是“下+上”，解“前后左右”四个点构成的自由转动
且自由翻转环（横断面）。这样有 2 种。
1.2）如果红色是“下+后”，解“前上左右”四个点构成的环，但这个环不是
完全自由转动环，这个环只能做 180 度转动。因此有 4 种。
（具体证明略）。
所以是 2 + 4 = 6 。
不过上面是简单说说，跟娃说还是得更唐，并且光纸面还不行，最好有三维
玩具。最后还可能放放包袱，比如题目加强版上高维空间 N-cube 的话，
用环的概念就简单了，brutal-force 上高维多半翘翘。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺把最新版的图示弄上来先，解释待会儿跟进。
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t*******r
发帖数: 22634 | |
t*******r
发帖数: 22634 | 5 发现刚才把“前后上下左右”写错了。。。改了过来。。。
哈哈哈。。。吼吼吼。。。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 6 又看了看，刚才把 “冠状面” 和 “横断面” 给写错了，给改了过来。。。
想想像俺这种粗人，创造了多少 QA 的工作机会嘛。。。哼哼。。。 |
s******t
发帖数: 3572 | 7 (6*6 - 2*2*3)/ (2*2) = 6 |
s***i
发帖数: 503 | |
t*******r
发帖数: 22634 | 9 看来是牛办法，给点解一下？
【在 s******t 的大作中提到】
: (6*6 - 2*2*3)/ (2*2) = 6
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s******t
发帖数: 3572 | 10 每个面一种颜色的话，最多有6×6=36种不同。现在是三种颜色，每种颜色两块。所以
相同的颜色组合是 2x2x3=12。那么36-12=24 是所有不同颜色的组合。因为每种颜色是
两块，所以2x2=4种为一组不同色组。24/4=6，一共6组不同颜色组。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 看来是牛办法，给点解一下？
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s******t
发帖数: 3572 | 11 这也不算啥牛办法。属于笨办法。
标准答案其实挺好的。3x2，多简单。三个颜色里选1个，乘上剩下的两个颜色里选1个。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 看来是牛办法，给点解一下？
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t*******r
发帖数: 22634 | 12 我个人觉得标准答案不是乘法那么简单，我觉得标准答案实际上是通解。
很多数学题目用 cube 这种完全对称的例子，主要是学习的意义。现实一点的东东，比
如著名的基本的 simplex 算法，是能计算/优化任何的 N-polytope 的，否则实用价值
有限。
个。
【在 s******t 的大作中提到】
: 这也不算啥牛办法。属于笨办法。
: 标准答案其实挺好的。3x2，多简单。三个颜色里选1个，乘上剩下的两个颜色里选1个。
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s******t
发帖数: 3572 | 13 介个你看小孩多大了。小孩没有 ready 的时候，再唐也没有用。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我个人觉得标准答案不是乘法那么简单，我觉得标准答案实际上是通解。
: 很多数学题目用 cube 这种完全对称的例子，主要是学习的意义。现实一点的东东，比
: 如著名的基本的 simplex 算法，是能计算/优化任何的 N-polytope 的，否则实用价值
: 有限。
:
: 个。
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t*******r
发帖数: 22634 | 14 等俺吃完再思考这个问题。。。
【在 s******t 的大作中提到】
: 介个你看小孩多大了。小孩没有 ready 的时候，再唐也没有用。
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t*******r
发帖数: 22634 | 15 你的第一句是不是指 6 种不同的颜色漆 cube 的 6 个面？
如果上面我没有理解错的话，那总是可以转动使 "颜色1" 在底面，那么顶面有 6-1=5
种可能，剩下横断面形成自由转动环，所以结果应该是 5 的整倍数？
俺陪娃逛 mall 中，不知道是不是俺哪里算错了？
【在 s******t 的大作中提到】
: 每个面一种颜色的话，最多有6×6=36种不同。现在是三种颜色，每种颜色两块。所以
: 相同的颜色组合是 2x2x3=12。那么36-12=24 是所有不同颜色的组合。因为每种颜色是
: 两块，所以2x2=4种为一组不同色组。24/4=6，一共6组不同颜色组。
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t*******r
发帖数: 22634 | 16 俺是说第一步 6*6 那个结果。。。
5
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你的第一句是不是指 6 种不同的颜色漆 cube 的 6 个面？
: 如果上面我没有理解错的话，那总是可以转动使 "颜色1" 在底面，那么顶面有 6-1=5
: 种可能，剩下横断面形成自由转动环，所以结果应该是 5 的整倍数？
: 俺陪娃逛 mall 中，不知道是不是俺哪里算错了？
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t*******r
发帖数: 22634 | 17 4 种颜色漆 4 点自由环，总可以让颜色1在下面，上面有 3 种，剩下左右不能互换。
所以 6 色 6 面应该是 5*3*2 = 30？
5
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你的第一句是不是指 6 种不同的颜色漆 cube 的 6 个面？
: 如果上面我没有理解错的话，那总是可以转动使 "颜色1" 在底面，那么顶面有 6-1=5
: 种可能，剩下横断面形成自由转动环，所以结果应该是 5 的整倍数？
: 俺陪娃逛 mall 中，不知道是不是俺哪里算错了？
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t*******r
发帖数: 22634 | 18 俺发现前面 3 色漆 6 面，每色漆 2 面那个解的陈述里，搞错一个地方，应该是 "自
由旋转且自由翻转"，虽然结果不变。。。俺刚才跟娃更正了，俺把前面那帖也修改过
来了。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 19 指是能自由转动但不允许翻转的环。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 4 种颜色漆 4 点自由环，总可以让颜色1在下面，上面有 3 种，剩下左右不能互换。
: 所以 6 色 6 面应该是 5*3*2 = 30？
:
: 5
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t*******r
发帖数: 22634 | 20 俺不知道这类题目理论上能不能简单使用排列组合公式来解。。。不过俺觉得至少理论
上的困难是: 排列组合都是序列上的操作（区别只是需要不需要保持有序），而这题明
显是在可旋转可翻转的环上的操作。。。序列这玩意儿总可以从头开始数一数二，可旋
转环这破玩意儿也不知道哪里是个头。。。另外俺们以前中学数学，重复猛刷那么多枯
燥排列组合题，真不知道是图个啥。。。
【在 s******t 的大作中提到】
: 每个面一种颜色的话，最多有6×6=36种不同。现在是三种颜色，每种颜色两块。所以
: 相同的颜色组合是 2x2x3=12。那么36-12=24 是所有不同颜色的组合。因为每种颜色是
: 两块，所以2x2=4种为一组不同色组。24/4=6，一共6组不同颜色组。
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t*******r
发帖数: 22634 | 21 俺是个实诚索男，俺把上面那些问号都跟娃竹筒倒豆子了。。。俺很老实地向娃承认，
老爸的排列组合刁钻题不行，这题能不能用排列组合刁钻办法解，老爸也不知道。。。 |
d******1
发帖数: 3 | 22 3*3*2*2*1*1/6=6.
3种选择，3种选择，2种选择，2种选择，。。。，除以6面重复。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 23 俺老实承认没看懂。。。
如果用同样的公式/解法，算 6 面 6 色，或者 4 面 2 色，4 面 4 色啥的，结果是啥？
【在 d******1 的大作中提到】
: 3*3*2*2*1*1/6=6.
: 3种选择，3种选择，2种选择，2种选择，。。。，除以6面重复。
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t*******r
发帖数: 22634 | 24 我有时觉得我们的中学数学，重复刷平几坑爹证明题，不知道图的是啥。。。形象化证
明一遍 mathematics foundation / fundamental concepts，比重复刷那些题，对娃的
长期，有价值多了。。。不过归根到底那些概念没法考试倒是真的，我觉的兴趣也许就
是帮助娃别扔了考试没法考的东东。。。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 25 这个最后的除以 6 是怎么整出来的？
如果俺不动脑子套用 6 面 6 色问题的话:
6*5*4*3*2*1 / 6 = 120？
俺的不动脑子套用显然不对，应该 / 24 才对，是不是？
【在 d******1 的大作中提到】
: 3*3*2*2*1*1/6=6.
: 3种选择，3种选择，2种选择，2种选择，。。。，除以6面重复。
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p**s
发帖数: 2707 | 26 2红2蓝2黄，染色有C(6,2)*C(4,2)=90种，其中
1，三种颜色都在对面，有6种，每种通过旋转，可以跟自身重合三次，所以有6*4=24
2，只有一种颜色在对面，有3*3*2*2=36种，这些每个通过旋转，可以跟自身重合一次
，有36*2=72
3，没有颜色在对面，有90-6-36=48种，这些通过旋转，跟自身都不会重合，有48
一共是24+72+48=144
144/24=6
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这个最后的除以 6 是怎么整出来的？
: 如果俺不动脑子套用 6 面 6 色问题的话:
: 6*5*4*3*2*1 / 6 = 120？
: 俺的不动脑子套用显然不对，应该 / 24 才对，是不是？
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w*********7
发帖数: 1718 | |
t*******r
发帖数: 22634 | 28 你第一步那个 C(6,2)*C(4,2) = 90 是怎么想出来的？
俺天生不太能从组合角度想问题，对于你第一步，俺想的是 P(6,6)/(P(2,2)^3) = 6*5
*4*3*2/(2*2*2) = 6*5*3 = 90。第一步的结果是一样的。
【在 p**s 的大作中提到】
: 2红2蓝2黄，染色有C(6,2)*C(4,2)=90种，其中
: 1，三种颜色都在对面，有6种，每种通过旋转，可以跟自身重合三次，所以有6*4=24
: 2，只有一种颜色在对面，有3*3*2*2=36种，这些每个通过旋转，可以跟自身重合一次
: ，有36*2=72
: 3，没有颜色在对面，有90-6-36=48种，这些通过旋转，跟自身都不会重合，有48
: 一共是24+72+48=144
: 144/24=6
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t*******r
发帖数: 22634 | 29 俺今天坦白一下，其实俺中学从来没记住过啥组合公式。。。俺每次看到组合就把两个
排列除一下，分子是选东东排列，分母是位子本身自己玩自己的排列。。。说实话俺连
排列公式都没有记住过，俺就记住排列就是一个线型序列，8*7*6*5 地往里填。但是古
板的老师不见阶乘不撒鹰，遂改写成两阶乘相除交账。。。吼吼吼。。。其实说白了不
就是一线型序列外加四则运算么？。。。// run
*5
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你第一步那个 C(6,2)*C(4,2) = 90 是怎么想出来的？
: 俺天生不太能从组合角度想问题，对于你第一步，俺想的是 P(6,6)/(P(2,2)^3) = 6*5
: *4*3*2/(2*2*2) = 6*5*3 = 90。第一步的结果是一样的。
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h*******s
发帖数: 3094 | |
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t*******r
发帖数: 22634 | 31 俺认为基本看懂你的解法的主要精神，我觉得是对的。
另外最后那步 / 24 最好说明一下 : 正方体有 8 个顶点，每个顶点固定住后又有 3
种旋转对称，因此如果 6 色 6 面，每种会旋转对称重复出现 8*3 = 24 次。
上面这个拿来解 6 面 6 色倒是简单，P(6,6)/(8*3) = 6*5*4*3*2/(8*3) = 6*5 = 30
，跟前面用环概念的解法结果一致。
【在 p**s 的大作中提到】
: 2红2蓝2黄，染色有C(6,2)*C(4,2)=90种，其中
: 1，三种颜色都在对面，有6种，每种通过旋转，可以跟自身重合三次，所以有6*4=24
: 2，只有一种颜色在对面，有3*3*2*2=36种，这些每个通过旋转，可以跟自身重合一次
: ，有36*2=72
: 3，没有颜色在对面，有90-6-36=48种，这些通过旋转，跟自身都不会重合，有48
: 一共是24+72+48=144
: 144/24=6
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t*******r
发帖数: 22634 | 32 最近世界杯，大伙儿是不是与时俱进解个足球玩玩？// super fast run |
t*******r
发帖数: 22634 | 33 发现俺前面说哆嗦了，其实就是正方体 8 个顶点，每个顶点 3 条棱，三八二十四。所
以六面六色问题，解就是是 "屁六六除以三八"，收拾书包走人。。。
30
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺认为基本看懂你的解法的主要精神，我觉得是对的。
: 另外最后那步 / 24 最好说明一下 : 正方体有 8 个顶点，每个顶点固定住后又有 3
: 种旋转对称，因此如果 6 色 6 面，每种会旋转对称重复出现 8*3 = 24 次。
: 上面这个拿来解 6 面 6 色倒是简单，P(6,6)/(8*3) = 6*5*4*3*2/(8*3) = 6*5 = 30
: ，跟前面用环概念的解法结果一致。
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t*******r
发帖数: 22634 | 34 忘了这个 24 还有更简单的推导: 取任何一个面当底面，6 种; 任意一底面时，旋转侧
面，4 种。4*6 = 24。。。当然，环概念的影子似乎又如影随形了。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 发现俺前面说哆嗦了，其实就是正方体 8 个顶点，每个顶点 3 条棱，三八二十四。所
: 以六面六色问题，解就是是 "屁六六除以三八"，收拾书包走人。。。
:
: 30
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p**s
发帖数: 2707 | 35 6个面选2个染红，C(6,2)
剩下4个选2个染蓝，C(4,2)
*5
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你第一步那个 C(6,2)*C(4,2) = 90 是怎么想出来的？
: 俺天生不太能从组合角度想问题，对于你第一步，俺想的是 P(6,6)/(P(2,2)^3) = 6*5
: *4*3*2/(2*2*2) = 6*5*3 = 90。第一步的结果是一样的。
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t*******r
发帖数: 22634 | 36 I see. 你这个从逐步选面染色的角度想的（selection-construction 算法）。
俺没有想到不按照序列顺序填空的方法。
谢谢。
【在 p**s 的大作中提到】
: 6个面选2个染红，C(6,2)
: 剩下4个选2个染蓝，C(4,2)
:
: *5
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t*******r
发帖数: 22634 | 37 其是我整这类题主要目的是为娃兴趣，而不是具体解法。。。我家娃的一大问题是: 难
题抱怨不会做，简单题抱怨太枯燥。。。比如排列组合的浅显概念，娃会觉得枯燥无趣
。。。通过讨论这类题目引入兴趣，我觉得也算一种办法。。。至于具体能理解多少，
对俺家娃，我觉得是个相对次要的问题了。能为娃将来学排列组合 pattern 啥的打个
兴趣的基础，我觉得就值了。。。
【在 s******t 的大作中提到】
: 介个你看小孩多大了。小孩没有 ready 的时候，再唐也没有用。
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