T****g 发帖数: 75 | 1 Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn
randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What
is the probability that their product is even? |
a*****g 发帖数: 19398 | 2 偷懒办法——
画个 3x3 阵列
每个交叉点是数的积
看看多少积是偶数
What
【在 T****g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn : randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What : is the probability that their product is even?
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n***p 发帖数: 7668 | 3 从一个箱子里抽出一个奇数的概率是2/3,从俩箱子里都抽出奇数的概率是2/3*2/3=4/9.
所以至少从某个箱子里抽出一个偶数的概率是1-4/9=5/9.
What
【在 T****g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn : randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What : is the probability that their product is even?
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j*p 发帖数: 780 | 4 The probability that the two chips' product is odd is 4/9. There are nine
total ways to draw two chips , and 1*1,1*3,3*1, and 3*3 are the only ways to
get an odd product. Since the product must either be odd or even, 1-4/9 is
the answer, so the answer is 5/9.
What
【在 T****g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn : randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What : is the probability that their product is even?
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t******l 发帖数: 10908 | 5 这个可能是个不错的例子,说明 prealgebra 阶段的 overly emphasize clear
explanation 可能反而会阻碍从 concrete thinking 进入 formal thinking。
具体而言,围棋哥的 explanation,是 arithmetic 阶段的 clear concrete thinking
w/ structure。没啥问题。
nonpp 的 explanation,是 formal thinking,虽然有些默认的属性,比如正交所以相
乘,没有详细解释,但对中小学普通娃而言,intuitional formal thinking 可能是一
个必经的阶段。(日常生活中没有多少 formal thinking,所以即使是 formal
thinking 的 intuition,很可能也需要在做题时建立。)
而 jxp 的 prealgebra 的阶段的 half-concrete thinking, half-formal thinking
的
explanation,其 explanation 本身很清晰、很明了、也无二义。
但无二义也是一个双刃剑。从思维发展的角度讲,如果 overly emphasize 此类
hybrid thinking, will this convenience of unambiguous explanation slow down
the leap to formal thinking? Because unambiguously explain a formal thinking
is a much harder job. So, will overly emphasize "clear & unambiguous (
hybrid) explanation" (in prealgebra stage) slow down the development of "
intuition for formal thinking"? |
y*******i 发帖数: 361 | 6 我是月光借来的马甲,碰巧今晚能有点时间,闲暇之余,看到你问的题目,
我是学理论的, 附图是专业解答模式,分成两页纸。
你看看能否读懂,这个解法是来自基本原理和模型的构建雏形,稍微难一点的都是以这
个方法论为起点而展开的
What
【在 T****g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn : randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What : is the probability that their product is even?
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y*******i 发帖数: 361 | 7 m=3, n=3的矩阵,很容易划,要是给出m=30, n=30的矩阵,就不好画了
所以,你给的答案,只能解答m和n很小的case,稍微大一点size的,就麻烦了。
小孩两只脚的脚丫子都上阵,都不够使唤的
【在 a*****g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 偷懒办法—— : 画个 3x3 阵列 : 每个交叉点是数的积 : 看看多少积是偶数 : : What
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y*******i 发帖数: 361 | 8 和anapig一样, 这种解释只能适用于基数很小的case或伯努利试验,如果是大的基数
或伯努利模型,这么解释就很难往下展开了,比如考你10个boxs,反复取,第7次取到
偶数,像你这么代入,小孩都得代晕了
我那种解释,直接把|A_1|=10,|A_11| = 5, k=7, k-1=6, {1,2...k-1,k} , 计算的
时候,把2换成5,把k直接代入,根本不用担心基数多大,k多大,简单多了。
to
is
【在 j*p 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : The probability that the two chips' product is odd is 4/9. There are nine : total ways to draw two chips , and 1*1,1*3,3*1, and 3*3 are the only ways to : get an odd product. Since the product must either be odd or even, 1-4/9 is : the answer, so the answer is 5/9. : : What
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t******l 发帖数: 10908 | 9 你这个是对于任意情况的通解,但在这题存在 inverse problem的情况,也就是乘积是
奇数的情况,导致每个柜子可以独立出柜,就不需要这么麻烦。也就是 nonpp 的解法/
解释。
另外你这个 notation 很严谨,但在对于中小学娃、或者是马工,不如用图论里的
decision tree 画一下更实用。
反正马工最终归结到无二义的 code,中小学生最终归结到无二义的选择支。
现代数学集合论的严格 notation,对于非数学专业,实用价值有限。当然对于学习课
程而言还是要学一下。
【在 y*******i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 我是月光借来的马甲,碰巧今晚能有点时间,闲暇之余,看到你问的题目, : 我是学理论的, 附图是专业解答模式,分成两页纸。 : 你看看能否读懂,这个解法是来自基本原理和模型的构建雏形,稍微难一点的都是以这 : 个方法论为起点而展开的 : : What
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t******l 发帖数: 10908 | 10 其实这个 inverse problem,好像也是 pre-algebra 和 post-algebra 娃娃们重新排
队的因子之一。
在 pre-algebra 阶段,换成解 inverse problem 似乎是一种尖端技巧。在这个阶段,
只有被认为非常 “聪明” 的娃才会玩那种。
而在 post-algebra 阶段,看看 inverse problem 是不是更容易解,基本是一种
routine。而在这个阶段,咋 inverse 都不出错,以及只要有 inverse 就不会漏掉的
,这种思维严谨的娃,至少在入门级的时候,比单纯的 “聪明” 似乎更有优势。
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 你这个是对于任意情况的通解,但在这题存在 inverse problem的情况,也就是乘积是 : 奇数的情况,导致每个柜子可以独立出柜,就不需要这么麻烦。也就是 nonpp 的解法/ : 解释。 : 另外你这个 notation 很严谨,但在对于中小学娃、或者是马工,不如用图论里的 : decision tree 画一下更实用。 : 反正马工最终归结到无二义的 code,中小学生最终归结到无二义的选择支。 : 现代数学集合论的严格 notation,对于非数学专业,实用价值有限。当然对于学习课 : 程而言还是要学一下。
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w**d 发帖数: 2334 | 11 这个和上面那些ID给的答案没什么区别,归根到底是这个问题太简单了,你这么写反而
搞得复杂 - 对这个问题而言,没几个类好分,看不出这么做的必要。
【在 y*******i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 我是月光借来的马甲,碰巧今晚能有点时间,闲暇之余,看到你问的题目, : 我是学理论的, 附图是专业解答模式,分成两页纸。 : 你看看能否读懂,这个解法是来自基本原理和模型的构建雏形,稍微难一点的都是以这 : 个方法论为起点而展开的 : : What
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w*********y 发帖数: 7895 | 12 只有这个解释我看懂了。。。
/9.
【在 n***p 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 从一个箱子里抽出一个奇数的概率是2/3,从俩箱子里都抽出奇数的概率是2/3*2/3=4/9. : 所以至少从某个箱子里抽出一个偶数的概率是1-4/9=5/9. : : What
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w*********y 发帖数: 7895 | 13 这个我也看懂了。。。
to
is
【在 j*p 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : The probability that the two chips' product is odd is 4/9. There are nine : total ways to draw two chips , and 1*1,1*3,3*1, and 3*3 are the only ways to : get an odd product. Since the product must either be odd or even, 1-4/9 is : the answer, so the answer is 5/9. : : What
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y*******i 发帖数: 361 | 14 物理意义不一样啊
这是教科书的常见解答。 你见过哪本书上,直接丢给你数据1*1和1*3了,从头到尾都
是用排列和组合和集合来表达的,甚至要给出韦恩图的,就连中国教科书都这么标示,
更别说美国版教科书了, 美语版的描述就是我这个复杂度的。不信,你去看看高中教
材里的三角运算,就这么复杂的一路说下去的。
这是题目简单了,给你3个选的,每个盒子都只让你挑一次,要是给你n个boxs,让你每
个挑k次呢?或者让你第一个盒子挑k-1,第二个盒子挑k+i次呢? 你怎么办? 是画
矩阵啊, 还是1*3啊
【在 w**d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 这个和上面那些ID给的答案没什么区别,归根到底是这个问题太简单了,你这么写反而 : 搞得复杂 - 对这个问题而言,没几个类好分,看不出这么做的必要。
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t******l 发帖数: 10908 | 15 对马工而言,复杂的画图论的 decision tree 然后马 code。
因为矩阵也需要一定程度的对称和独立,对于更复杂的有 if-then-else 的情况的话,
矩阵也不一定管用。或者能管用的也是稀疏矩阵,直接 naive implement 的话,内存
也够呛。
【在 y*******i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 物理意义不一样啊 : 这是教科书的常见解答。 你见过哪本书上,直接丢给你数据1*1和1*3了,从头到尾都 : 是用排列和组合和集合来表达的,甚至要给出韦恩图的,就连中国教科书都这么标示, : 更别说美国版教科书了, 美语版的描述就是我这个复杂度的。不信,你去看看高中教 : 材里的三角运算,就这么复杂的一路说下去的。 : 这是题目简单了,给你3个选的,每个盒子都只让你挑一次,要是给你n个boxs,让你每 : 个挑k次呢?或者让你第一个盒子挑k-1,第二个盒子挑k+i次呢? 你怎么办? 是画 : 矩阵啊, 还是1*3啊
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y*******i 发帖数: 361 | 16 说实在话,她写的,其实我没太看懂。 只能大致猜了。因为不知道那4对都是对应哪几
个cases。这很可能是和一个人表达事情的长期习惯有关。 我记得我从小写数学作业的
时候,都被老师要求过,变量定义或引用公理要写在第一行,或者推导的前面。因为你
不能再等到具体推导的时候,再回头把定义给补上。
【在 w*********y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 这个我也看懂了。。。 : : to : is
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A**H 发帖数: 4797 | 17 借道问一个概率问题 --- 对概率题目总是很迷惑。。。:(
一个披萨分八片相同的片,两个不同的人吃,每人可以吃0~8片,有几种吃法?三个不
同的人吃,每人可以吃0~8片,有几种吃法? |
t******l 发帖数: 10908 | 18 jxp 的 explanation 血肉人不可能看不懂把。除非是机器人只能懂上下文无关语法的
那种,看不懂倒是可以理解。
【在 y*******i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 说实在话,她写的,其实我没太看懂。 只能大致猜了。因为不知道那4对都是对应哪几 : 个cases。这很可能是和一个人表达事情的长期习惯有关。 我记得我从小写数学作业的 : 时候,都被老师要求过,变量定义或引用公理要写在第一行,或者推导的前面。因为你 : 不能再等到具体推导的时候,再回头把定义给补上。
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y*******i 发帖数: 361 | 19 这是dartmouth的概率教材(如图),不要告诉我,你指望孩子上了dartmouth college
以后才开始学习这种文字表述, 我都这把年纪了,连我读书的时候,这些基本功,我
都不是在藤校学来的,很小很早就开始了。
学习初等数学的前面,如果铺垫的马马虎虎的话,后面去读高等数学,根本就是读天书了
【在 w**d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 这个和上面那些ID给的答案没什么区别,归根到底是这个问题太简单了,你这么写反而 : 搞得复杂 - 对这个问题而言,没几个类好分,看不出这么做的必要。
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w**d 发帖数: 2334 | 20 这个就是排列组合。 x1+x2+x3=8, 然后变成八个苹果一排,用2根棍子分成左中右三堆
以前高中的时候没少干过 。。
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 借道问一个概率问题 --- 对概率题目总是很迷惑。。。:( : 一个披萨分八片相同的片,两个不同的人吃,每人可以吃0~8片,有几种吃法?三个不 : 同的人吃,每人可以吃0~8片,有几种吃法?
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y*******i 发帖数: 361 | 21 看不懂,因为前面没有specify每一组数据的各自定义的从属范围。
人家没给,我不能自己去硬套,只能大致去猜
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : jxp 的 explanation 血肉人不可能看不懂把。除非是机器人只能懂上下文无关语法的 : 那种,看不懂倒是可以理解。
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w**d 发帖数: 2334 | 22 要休息了,没时间扯了,大学开始的数学是称不上天数的,泛函开始有难度 。
college
书了
【在 y*******i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 这是dartmouth的概率教材(如图),不要告诉我,你指望孩子上了dartmouth college : 以后才开始学习这种文字表述, 我都这把年纪了,连我读书的时候,这些基本功,我 : 都不是在藤校学来的,很小很早就开始了。 : 学习初等数学的前面,如果铺垫的马马虎虎的话,后面去读高等数学,根本就是读天书了
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t******l 发帖数: 10908 | 23 两个人吃,一个 pivot 位置 0 到 8,所以 9 种吃法。
三个人吃,上两个 pivot,combination w/ repetition,C(9, 2) + C(9, 1) = 9*8/2
+
9 = 9*5 = 45 种。
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 借道问一个概率问题 --- 对概率题目总是很迷惑。。。:( : 一个披萨分八片相同的片,两个不同的人吃,每人可以吃0~8片,有几种吃法?三个不 : 同的人吃,每人可以吃0~8片,有几种吃法?
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y*******i 发帖数: 361 | 24 jxp是清华的,我记得好像是学CS的
我前些日子里指出过,清华读书的大陆孩子 PK MIT读书的ABC, 前者在很多方面都是
弱于后者的, 这个表述数学题的能力,就是其中一项差距。她自己明白这道题怎么算
,但写出来的,我都看不明白。所以大陆教授写出来的教科书,都很烂,他们培养出来
的研究生和学生,都这个模式的出来交流。
我是在中国长大的,但我专业课是在美国学的,跟ABC的高等教育体系比较接近了,所
以我表述的比较完整而细致,我前些日子那个两国学生的对比,就这个意思。
如果你问为什么要给出每一组数据的解释,无他,lz要求了,凡是题目里要求你做解释
的,(我不知道其他学校的情况),但我知道MIT/Harvard/Stanford,都是要你给出
全部的定义和假设过程的,通常一片report里,关于定义和假设部分,能占20~30%的
页纸份额,也就是10页纸里有2~3页纸都在讨论定义和假设。
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : jxp 的 explanation 血肉人不可能看不懂把。除非是机器人只能懂上下文无关语法的 : 那种,看不懂倒是可以理解。
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y*******i 发帖数: 361 | 25 你自己是faculty,但我感觉你对美国大学生的数学知识水平,知道甚少。
大学的数学是不是天书,你说了不算,那群选课的大学娃娃说了算。
我们现在讨论的是数学教育入门的基本功,没讨论理论要深到什么程度才算深---最
深的也不是泛函,而是1+1为什么等于2.
【在 w**d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 要休息了,没时间扯了,大学开始的数学是称不上天数的,泛函开始有难度 。 : : college : 书了
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A**H 发帖数: 4797 | 26 谢了
我一边补课去 :(
/2
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 两个人吃,一个 pivot 位置 0 到 8,所以 9 种吃法。 : 三个人吃,上两个 pivot,combination w/ repetition,C(9, 2) + C(9, 1) = 9*8/2 : + : 9 = 9*5 = 45 种。
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w*********y 发帖数: 7895 | 27 大学老师要求学生这么做,是为了解学生对概念的理解。这个概念的理解是说
在abstract上的,但是从数学语言解释出来。
但是解释问题,也需要知道听众的水平。如果听众是我们这些家长,你的复杂的
2页解释,估计没有人看,你也白写。也不需要写,这里多数家长都应该
知道这个概念。如果是给小孩看,我想大部分娃大概也看不懂,你的解释一样白写。
如果你可以从日常或者通俗的角度来解释这个问题,说明你对这个概念的理解
又上了一层。可以说比大家都好。但你也没有。
我看得懂另外2个人的是因为我知道这个概念,知道怎么套用。如果让我写2页的
解释我是写不出来,我也不会看这2页,非常数学语言的解释。
【在 y*******i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : jxp是清华的,我记得好像是学CS的 : 我前些日子里指出过,清华读书的大陆孩子 PK MIT读书的ABC, 前者在很多方面都是 : 弱于后者的, 这个表述数学题的能力,就是其中一项差距。她自己明白这道题怎么算 : ,但写出来的,我都看不明白。所以大陆教授写出来的教科书,都很烂,他们培养出来 : 的研究生和学生,都这个模式的出来交流。 : 我是在中国长大的,但我专业课是在美国学的,跟ABC的高等教育体系比较接近了,所 : 以我表述的比较完整而细致,我前些日子那个两国学生的对比,就这个意思。 : 如果你问为什么要给出每一组数据的解释,无他,lz要求了,凡是题目里要求你做解释 : 的,(我不知道其他学校的情况),但我知道MIT/Harvard/Stanford,都是要你给出 : 全部的定义和假设过程的,通常一片report里,关于定义和假设部分,能占20~30%的
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w*********y 发帖数: 7895 | 28 我忘记总结我要表达的意思了,就是你说明事情的,忘记假设听众不同水平的情况下,
你要怎么解释了。。。
【在 w*********y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 大学老师要求学生这么做,是为了解学生对概念的理解。这个概念的理解是说 : 在abstract上的,但是从数学语言解释出来。 : 但是解释问题,也需要知道听众的水平。如果听众是我们这些家长,你的复杂的 : 2页解释,估计没有人看,你也白写。也不需要写,这里多数家长都应该 : 知道这个概念。如果是给小孩看,我想大部分娃大概也看不懂,你的解释一样白写。 : 如果你可以从日常或者通俗的角度来解释这个问题,说明你对这个概念的理解 : 又上了一层。可以说比大家都好。但你也没有。 : 我看得懂另外2个人的是因为我知道这个概念,知道怎么套用。如果让我写2页的 : 解释我是写不出来,我也不会看这2页,非常数学语言的解释。
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y*******i 发帖数: 361 | 29 这怎么能是大学老师才开始要求的呢? 中学就有要求了,只是对于公立学校,老师根
本不care孩子follow instruction的精细程度罢了,你孩子可以不学数学,照样能毕业
的。但你不能说这是大学的教学大纲啊, 怎么可能呢!
概率这东西是中学内容,而且在美国,这部分上的还都比国内的早一拍的。
【在 w*********y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 大学老师要求学生这么做,是为了解学生对概念的理解。这个概念的理解是说 : 在abstract上的,但是从数学语言解释出来。 : 但是解释问题,也需要知道听众的水平。如果听众是我们这些家长,你的复杂的 : 2页解释,估计没有人看,你也白写。也不需要写,这里多数家长都应该 : 知道这个概念。如果是给小孩看,我想大部分娃大概也看不懂,你的解释一样白写。 : 如果你可以从日常或者通俗的角度来解释这个问题,说明你对这个概念的理解 : 又上了一层。可以说比大家都好。但你也没有。 : 我看得懂另外2个人的是因为我知道这个概念,知道怎么套用。如果让我写2页的 : 解释我是写不出来,我也不会看这2页,非常数学语言的解释。
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w*********y 发帖数: 7895 | 30 看不懂。。哈哈。。。
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【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 两个人吃,一个 pivot 位置 0 到 8,所以 9 种吃法。 : 三个人吃,上两个 pivot,combination w/ repetition,C(9, 2) + C(9, 1) = 9*8/2 : + : 9 = 9*5 = 45 种。
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t******l 发帖数: 10908 | 31 我跟我大娃讲过 pivoting (其实就是 partitioning 的一种) 的建模思想。但这破玩
意儿对普通娃好像也不是那么容易的。我娃能听懂,但是我目测她还不会依葫芦画瓢式
应用,灵活运用就不要想了。
普通娃总是需要时间的,大人要耐心是真的。
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 谢了 : 我一边补课去 :( : : /2
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w*********y 发帖数: 7895 | 32 概率是中学的,但老师不会要求学生写这样的报告。。。
当然,这也可能是看学校要求,或者学生本身情况。。。
【在 y*******i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 这怎么能是大学老师才开始要求的呢? 中学就有要求了,只是对于公立学校,老师根 : 本不care孩子follow instruction的精细程度罢了,你孩子可以不学数学,照样能毕业 : 的。但你不能说这是大学的教学大纲啊, 怎么可能呢! : 概率这东西是中学内容,而且在美国,这部分上的还都比国内的早一拍的。
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y*******i 发帖数: 361 | 33 其实美国顶级名校,本科生就可以写report和出paper了,而且他们所用的术语直接上
数学模式的,我这已经算照顾听众水平不同,写的够细了。
那个case 1,2,3, 是写给你们看的,如果是写给同行的,直接上数学表达式的。
【在 w*********y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 我忘记总结我要表达的意思了,就是你说明事情的,忘记假设听众不同水平的情况下, : 你要怎么解释了。。。
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y*******i 发帖数: 361 | 34 你连我写的汉语都听的不全懂,我对你孩子的数学基因,感到不容乐观,因为你自己不
但理解不了为什么这样要求,你还特别抵触, 那你孩子在你的管理模式下,还能比这
个情况好么?
我记得我以前书写数学题的时候,我老爸都说看完整个叙述过程是狗屁不通(他是学理
论物理的)。就这么不通的,把我放外面跟别的孩子对比,居然还能比其他孩子好很多。
【在 w*********y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 概率是中学的,但老师不会要求学生写这样的报告。。。 : 当然,这也可能是看学校要求,或者学生本身情况。。。
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t******l 发帖数: 10908 | 35 其实楼上的争论,可能说明了现代数学的大部分 notation system,在实践上的大部分
情况,有可能死胡同化。
因为显然广大马工估计不用那套系统,物理工作者可能也够呛,好像只有数学系之间的
交流证明才使得上力好像。 |
t******l 发帖数: 10908 | 36 我说的可能有点极端,不过考虑到中小学教育实践上,将来去数学系的是极少数。我个
人觉得从 普通娃 一直到 AMO qualifiers 的广大娃群,只要不是打定主意去数学系的
娃,我觉得更适合用 “类似计算机图论的建模 + 类似物理建模的数学建模” 来给娃
解释。虽然不那么严格,但更实用给力。
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 其实楼上的争论,可能说明了现代数学的大部分 notation system,在实践上的大部分 : 情况,有可能死胡同化。 : 因为显然广大马工估计不用那套系统,物理工作者可能也够呛,好像只有数学系之间的 : 交流证明才使得上力好像。
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t******l 发帖数: 10908 | 37 我忽然想到一个问题,美帝历次新数学、新新数学、新新新数学等等教改的失误的方面
,是不是一定程度上跟 policy maker 里面数学家的比重过大有关?
我这不是对数学家数学系有成见或偏见,而是我个人觉得在中小学数学基础教育方面,
应该给 CS 和 Physics 方面的 scientists 更大的发言权。
因为市场往往比象牙塔更显英雄本色。而 CS 和 Physics 才是中小学数学最最主要的
尖端市场。而 math advanced kids 的主流,将来工作时也集中在这两个领域、或者所
对应的工程领域,而不是数学系。
而真正数学系的,说实话,学不学中小学数学,其实都没太多关系。反正真正数学系的
,给人基本是一种往死里钻的感觉。 |
m*****t 发帖数: 239 | 38 你把8片pizza排成一排,然后再插进去两扇子屏风,把这一排pizza分成三份(屏风的
位置可以是在最前或最后)。也就是说,总共有10个东西排成一排,其中两个是屏风。
所以是C(10,2)=45。
Generally,把n个同样的东西分成k份(其中允许一份或数份是0)可能的方式数量是C(
n+k-1, k-1)。
【在 w*********y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 看不懂。。哈哈。。。 : : /2
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m*****t 发帖数: 239 | 39 五六十年代那次新数学可能是,现在这些正相反,是math education的人太多
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 我忽然想到一个问题,美帝历次新数学、新新数学、新新新数学等等教改的失误的方面 : ,是不是一定程度上跟 policy maker 里面数学家的比重过大有关? : 我这不是对数学家数学系有成见或偏见,而是我个人觉得在中小学数学基础教育方面, : 应该给 CS 和 Physics 方面的 scientists 更大的发言权。 : 因为市场往往比象牙塔更显英雄本色。而 CS 和 Physics 才是中小学数学最最主要的 : 尖端市场。而 math advanced kids 的主流,将来工作时也集中在这两个领域、或者所 : 对应的工程领域,而不是数学系。 : 而真正数学系的,说实话,学不学中小学数学,其实都没太多关系。反正真正数学系的 : ,给人基本是一种往死里钻的感觉。
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m*****t 发帖数: 239 | 40 个人不觉得……这就一道AMC8的题,用一大堆notational system,真要“数学系之间
的交流起来”,岂不得写成四库全书的长度?
我们小时候,管这种在简单问题上过度纠结的写法叫rigor mortis……
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 其实楼上的争论,可能说明了现代数学的大部分 notation system,在实践上的大部分 : 情况,有可能死胡同化。 : 因为显然广大马工估计不用那套系统,物理工作者可能也够呛,好像只有数学系之间的 : 交流证明才使得上力好像。
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w**d 发帖数: 2334 | 41 就是这么回事,昨天太晚了,就随便说了两句没仔细说明。本来准备今天详细写,现在
没有必要了。
对了,上面那个公式是假设了每个人不一样。如果把问题变成把八块pizza分成三份,
有几种
分法?
C(
【在 m*****t 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 你把8片pizza排成一排,然后再插进去两扇子屏风,把这一排pizza分成三份(屏风的 : 位置可以是在最前或最后)。也就是说,总共有10个东西排成一排,其中两个是屏风。 : 所以是C(10,2)=45。 : Generally,把n个同样的东西分成k份(其中允许一份或数份是0)可能的方式数量是C( : n+k-1, k-1)。
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m*****t 发帖数: 239 | 42 汗,这个你考住我了,我其实没怎么学过组合,不过记得有个partition function的吧
单就8块pizza分成3份,如果第一个数字是0,那么下面有0+8到4+4,共5种方法,如果
第一个数字是1,那么有1+6到3+4,共3种方法,如果第二个数字是2,那么有2+4,3+3
两种方法,所以总共是10种?
【在 w**d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 就是这么回事,昨天太晚了,就随便说了两句没仔细说明。本来准备今天详细写,现在 : 没有必要了。 : 对了,上面那个公式是假设了每个人不一样。如果把问题变成把八块pizza分成三份, : 有几种 : 分法? : : C(
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m*****t 发帖数: 239 | 43 刚才先自己写了个巨难看的recursion,然后又搜了一下:
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)#Restricted_part_size
_or_number_of_parts
不过这个公式是不允许0的,如果允许0的话,也就是说把n分成最多k份(每份都至少是
1),加一下吧
Q_k(n) = \Sum_{i=1}^{k} P_i(n)
(P_k(n)=把n分成k份,每份都至少是1,Q_k(n)=把n分成k份,有些份可以是0) |
w**d 发帖数: 2334 | 44 我也只是在高中学过排列组合。记不得有没有partiition function了。你这个思路是
对的,我也不知道能不能
把最后的答案简化成一个简单的公式,
3
【在 m*****t 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 汗,这个你考住我了,我其实没怎么学过组合,不过记得有个partition function的吧 : 单就8块pizza分成3份,如果第一个数字是0,那么下面有0+8到4+4,共5种方法,如果 : 第一个数字是1,那么有1+6到3+4,共3种方法,如果第二个数字是2,那么有2+4,3+3 : 两种方法,所以总共是10种?
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m*****t 发帖数: 239 | 45 有generating function,再简单的好像没有了
另:刚才脑子太僵化没转过弯来,允许不允许0之间的关系其实应该更简单,根本不用
加,
P_k(n) = Q_k(n-k),所以Q_k(n)= P_k(n+k)就行了
【在 w**d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 我也只是在高中学过排列组合。记不得有没有partiition function了。你这个思路是 : 对的,我也不知道能不能 : 把最后的答案简化成一个简单的公式, : : 3
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w**d 发帖数: 2334 | 46 公式回头去看,怀疑答案只能是series之和,没法简化成一个简单公式
大于或等于0很好处理,这就是为什么我最早的帖子里写的x1 + x2 +x3=8,如果要都严
格大于1的话
直接每个减一就好了。这么写的话很容易推广
【在 m*****t 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 有generating function,再简单的好像没有了 : 另:刚才脑子太僵化没转过弯来,允许不允许0之间的关系其实应该更简单,根本不用 : 加, : P_k(n) = Q_k(n-k),所以Q_k(n)= P_k(n+k)就行了
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t******l 发帖数: 10908 | 47 对于允许 0 块 pizza 的,你这个 C(10, 2) 的 pivoting modelling 更简单,可以直
接用 combination wo/ repetition。谢谢。
我前面那个是从不允许 0 片 pizza 的 pivoting modelling 外推出来的,我那个会导
致 combination w/ repetition,不如你这个 modelling 好。
C(
【在 m*****t 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 你把8片pizza排成一排,然后再插进去两扇子屏风,把这一排pizza分成三份(屏风的 : 位置可以是在最前或最后)。也就是说,总共有10个东西排成一排,其中两个是屏风。 : 所以是C(10,2)=45。 : Generally,把n个同样的东西分成k份(其中允许一份或数份是0)可能的方式数量是C( : n+k-1, k-1)。
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t******l 发帖数: 10908 | 48 如果假设你题目的意思是 order does matter, 5,2,1 和 1,2,5 是不同的三份分法。
那这个其实用我前面的不允许出现零的情况的 pivoting modelling 就行了 (
imaginary seat 的概念)。具体这么说:
八块 pizza 排成一排,任意相邻两块 pizza 之间形成一个 imaginary seat。总共 7
个 imaginary seat。index 成 1 到 7。
然后把两个 pivot (屏风) assign 在 imaginary seat 上,不允许坐同一个 seat。
以上等效为从 imaginary seat index set {1 .. 7 } 里,choose 2 index, put
pivot there. (2 out of 7 combination wo/ repetition)。
所以是 C(7, 2) = 7*6/2 = 21 种。
【在 w**d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 就是这么回事,昨天太晚了,就随便说了两句没仔细说明。本来准备今天详细写,现在 : 没有必要了。 : 对了,上面那个公式是假设了每个人不一样。如果把问题变成把八块pizza分成三份, : 有几种 : 分法? : : C(
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t******l 发帖数: 10908 | 49 递归求和生成函数应该可行。
【在 m*****t 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 有generating function,再简单的好像没有了 : 另:刚才脑子太僵化没转过弯来,允许不允许0之间的关系其实应该更简单,根本不用 : 加, : P_k(n) = Q_k(n-k),所以Q_k(n)= P_k(n+k)就行了
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t******l 发帖数: 10908 | 50 其实这题的讨论似乎发现了教育的一个漏洞,combination w/ repetition 的
modelling 没有在中小学阶段强调,导致 permutation / combination 中小学基本公
式的桌子的四条腿缺了一条。
应该研究一下 mathsisfun 里面的娃版 modelling 教一下娃。自己也补个课,不要死
记公式。
http://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutatio |
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G***W 发帖数: 1967 | 51 Test
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 其实这题的讨论似乎发现了教育的一个漏洞,combination w/ repetition 的 : modelling 没有在中小学阶段强调,导致 permutation / combination 中小学基本公 : 式的桌子的四条腿缺了一条。 : 应该研究一下 mathsisfun 里面的娃版 modelling 教一下娃。自己也补个课,不要死 : 记公式。 : http://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutatio
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t******l 发帖数: 10908 | 52 娘的,combination w/ repetition 这玩意儿我们当初中小学就没好好教过。这下不用
死记公式不小心又忘了。
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 其实这题的讨论似乎发现了教育的一个漏洞,combination w/ repetition 的 : modelling 没有在中小学阶段强调,导致 permutation / combination 中小学基本公 : 式的桌子的四条腿缺了一条。 : 应该研究一下 mathsisfun 里面的娃版 modelling 教一下娃。自己也补个课,不要死 : 记公式。 : http://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutatio
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t******l 发帖数: 10908 | 53 我觉得这个其实是嘲讽 common core math 的 SBAC implementation 里:不强调老师
上课给娃把各种 math modelling 好好解释清楚,以及娃对 math modelling 的阅读理
解运用。over-emphasize 要求娃做的文科字数型 math explanation。
当然,这本质原因,是不是提高总体师资水平,比提高娃娃的水平,更困难的说?所以
只好让娃累点先。。。run
【在 m*****t 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 个人不觉得……这就一道AMC8的题,用一大堆notational system,真要“数学系之间 : 的交流起来”,岂不得写成四库全书的长度? : 我们小时候,管这种在简单问题上过度纠结的写法叫rigor mortis……
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w**d 发帖数: 2334 | 54 不需要記公式, permutation和combination的区别就是(1,2,3) 到底算几个。
前面我提到的八片pizza分三份几种分法更复杂些,因为(0,0,8)会重复3次,而 (
1,3,4)会重复6次。
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 娘的,combination w/ repetition 这玩意儿我们当初中小学就没好好教过。这下不用 : 死记公式不小心又忘了。
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t******l 发帖数: 10908 | 55 我说的是 combination w/ repetition 的基本公式,也就是 combination 的时候,允
许(符号)重复使用。
我们祖国一般说的 combination / permutation,都是默认指 wo/ repetition,也就
是说不允许(符号)重复使用。
【在 w**d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 不需要記公式, permutation和combination的区别就是(1,2,3) 到底算几个。 : 前面我提到的八片pizza分三份几种分法更复杂些,因为(0,0,8)会重复3次,而 ( : 1,3,4)会重复6次。
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t******l 发帖数: 10908 | 56 另外分 pizza 问题是更复杂的问题。我刚才说的 combination w/ repetition 是指基
本概念基本公式那个。
顺便引申一下,我觉得智商这种上帝管的玩意儿,家长没法指望。我们家长能指望的,
就是基本概念基础知识,娃给掌握巩固了。这样智商不照将来也能有饭吃管饱不是?
【在 w**d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 不需要記公式, permutation和combination的区别就是(1,2,3) 到底算几个。 : 前面我提到的八片pizza分三份几种分法更复杂些,因为(0,0,8)会重复3次,而 ( : 1,3,4)会重复6次。
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t******l 发帖数: 10908 | 57 是不是 test 您老自己有没有把 combination w/ repetition 理解成 permutation (
wo/ repetition) 了?:-)
不过其实也就是个术语问题,祖国跟美帝用词有差异,按字面理解是容易引起误会。
【在 G***W 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Test
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t******l 发帖数: 10908 | 58 Counter-Test
【在 G***W 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Test
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t******l 发帖数: 10908 | 59 当然教娃的数学术语,最好跟美帝中小学接轨,以避免混乱。
在美帝中小学 combination / permutation 的术语里,repetition 特指 “Can I
repeatedly use the same item from the set?”。
这里的 repetition,不是我们中文里通俗的说 “区别排列和组合,看是不是有“重复
” ” 的 “重复” 的意思。
上面中文的 “重复” 的意思,在美帝中小学排列组合术语解释里,是用 “Does the
order matters or not?” 的说法。
澄清一下美帝中小学数学术语。 |
t*******d 发帖数: 12895 | 60 貌似原题没有要求全吃完
/2
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 两个人吃,一个 pivot 位置 0 到 8,所以 9 种吃法。 : 三个人吃,上两个 pivot,combination w/ repetition,C(9, 2) + C(9, 1) = 9*8/2 : + : 9 = 9*5 = 45 种。
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a**3 发帖数: 375 | 61 1-4/9=5/9
What
【在 T****g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn : randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What : is the probability that their product is even?
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t******l 发帖数: 10908 | 62 没要求全吃完,那就多请一个流浪汉把剩下的全吃了不就完事了?
技术上就是多塞一个 pivot。
【在 t*******d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 貌似原题没有要求全吃完 : : /2
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a**3 发帖数: 375 | 63 新数学时的所谓数学家的意见其实并非是所有数学家的意见
只是极小一部分数学家的意见
大概就是历史的误会
不过西方一直有这种抽象的传统
就像神学。
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 我忽然想到一个问题,美帝历次新数学、新新数学、新新新数学等等教改的失误的方面 : ,是不是一定程度上跟 policy maker 里面数学家的比重过大有关? : 我这不是对数学家数学系有成见或偏见,而是我个人觉得在中小学数学基础教育方面, : 应该给 CS 和 Physics 方面的 scientists 更大的发言权。 : 因为市场往往比象牙塔更显英雄本色。而 CS 和 Physics 才是中小学数学最最主要的 : 尖端市场。而 math advanced kids 的主流,将来工作时也集中在这两个领域、或者所 : 对应的工程领域,而不是数学系。 : 而真正数学系的,说实话,学不学中小学数学,其实都没太多关系。反正真正数学系的 : ,给人基本是一种往死里钻的感觉。
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N*********6 发帖数: 2302 | 64 我要减肥!!!
刚刚看一下穿跑步专业运动装的样子,吓了一跳,我怎么那么肥。。5555
以后少灌水了,告诉你的城管一下,晚上看裸照:)
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 没要求全吃完,那就多请一个流浪汉把剩下的全吃了不就完事了? : 技术上就是多塞一个 pivot。
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j*p 发帖数: 780 | 65 第一个问题其实是问从0到8九个数,其中两个数相加和是9,有几种加法?
0+8
1+7
......
......
7+1
8+0
一共九种。
第一个答案可以帮助解决第二题 --
八个pizza,两人有九种分法
七个pizza,两人有八种分法
.....
.....
一个pizza,两人有两种分法
零个pizza,两人有一种分法
当第三人加入时,可以吃到0,1,....,7,8个pizza
如果吃0,其余两人八个pizza,有九种吃法
如果吃1,其余两人七个pizza,有八种吃法
....
....
如果吃7,其余两人一个pizza,有两种吃法
如果吃8,其余两人都没有吃的,一种
一共9+8+7+....+2+1=45种
这种方法小学和初中生可以理解,能够想出来。从9连加到1的和,一些孩子可以记住的。
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 借道问一个概率问题 --- 对概率题目总是很迷惑。。。:( : 一个披萨分八片相同的片,两个不同的人吃,每人可以吃0~8片,有几种吃法?三个不 : 同的人吃,每人可以吃0~8片,有几种吃法?
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a**3 发帖数: 375 | 66 呵呵 不少math circle里面都有这个handout
【在 j*p 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 第一个问题其实是问从0到8九个数,其中两个数相加和是9,有几种加法? : 0+8 : 1+7 : ...... : ...... : 7+1 : 8+0 : 一共九种。 : 第一个答案可以帮助解决第二题 -- : 八个pizza,两人有九种分法
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A**H 发帖数: 4797 | 67 非常谢谢大家热烈讨论披萨怎么吃的问题,LOL
先回一个问题,披萨确实没吃完!上个周末我和娃爷俩斗一个大号披萨,虽然我确实能
饭,但最后还是剩了两片,主要是娃的战斗力不行。
当时娃用的基本上就是jxp的解法。我因为一碰到排列组合问题就头大,所以我出了题
目之后,就放手给娃边吃边想了。后来娃做出来了,我觉得是对的,但是我不知道是不
是有捷径,所以就没有深入下去。大家讨论之后,发现我自己不懂,基本上没法子教娃
--- 联系到其他很多方面我也不是很懂,认真问一句,我是不是该给娃请一个数学私
教?
另,这好像也遗传:我对排列组合问题很头痛;娃昨天晚上也这么说。昨天晚上,我想
娃把披萨的问题优化解答一下,所以给了一个简单版本的组合问题给娃当作催眠题目。
结果娃说,他不喜欢这种“几种摆罚几种路径”的题目,他喜欢质数和几何。。。
【在 j*p 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 第一个问题其实是问从0到8九个数,其中两个数相加和是9,有几种加法? : 0+8 : 1+7 : ...... : ...... : 7+1 : 8+0 : 一共九种。 : 第一个答案可以帮助解决第二题 -- : 八个pizza,两人有九种分法
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a*****g 发帖数: 19398 | 68 数学家和数学教育是两码事
【在 a**3 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 新数学时的所谓数学家的意见其实并非是所有数学家的意见 : 只是极小一部分数学家的意见 : 大概就是历史的误会 : 不过西方一直有这种抽象的传统 : 就像神学。
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t******l 发帖数: 10908 | 69 我认真的回一个:建议考虑请拼图姐做私教。
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 非常谢谢大家热烈讨论披萨怎么吃的问题,LOL : 先回一个问题,披萨确实没吃完!上个周末我和娃爷俩斗一个大号披萨,虽然我确实能 : 饭,但最后还是剩了两片,主要是娃的战斗力不行。 : 当时娃用的基本上就是jxp的解法。我因为一碰到排列组合问题就头大,所以我出了题 : 目之后,就放手给娃边吃边想了。后来娃做出来了,我觉得是对的,但是我不知道是不 : 是有捷径,所以就没有深入下去。大家讨论之后,发现我自己不懂,基本上没法子教娃 : --- 联系到其他很多方面我也不是很懂,认真问一句,我是不是该给娃请一个数学私 : 教? : 另,这好像也遗传:我对排列组合问题很头痛;娃昨天晚上也这么说。昨天晚上,我想 : 娃把披萨的问题优化解答一下,所以给了一个简单版本的组合问题给娃当作催眠题目。
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G***W 发帖数: 1967 | 70 请她教怎么熬佛跳墙比较接地气,那道菜太难做了,今年春节我一定要试试看,到时候
请福州老乡来吃!
【在 t******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 我认真的回一个:建议考虑请拼图姐做私教。
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s***e 发帖数: 5242 | 71 跪了
【在 y*******i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 我是月光借来的马甲,碰巧今晚能有点时间,闲暇之余,看到你问的题目, : 我是学理论的, 附图是专业解答模式,分成两页纸。 : 你看看能否读懂,这个解法是来自基本原理和模型的构建雏形,稍微难一点的都是以这 : 个方法论为起点而展开的 : : What
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