T****g
发帖数: 75 | 1 Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn
randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What
is the probability that their product is even? |
a*****g
发帖数: 19398 | 2 偷懒办法——
画个 3x3 阵列
每个交叉点是数的积
看看多少积是偶数
What
【在 T****g 的大作中提到】
: Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn
: randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What
: is the probability that their product is even?
|
n***p
发帖数: 7668 | 3 从一个箱子里抽出一个奇数的概率是2/3，从俩箱子里都抽出奇数的概率是2/3*2/3=4/9.
所以至少从某个箱子里抽出一个偶数的概率是1-4/9=5/9.
What
【在 T****g 的大作中提到】
: Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn
: randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What
: is the probability that their product is even?
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j*p
发帖数: 780 | 4 The probability that the two chips' product is odd is 4/9. There are nine
total ways to draw two chips , and 1*1,1*3,3*1, and 3*3 are the only ways to
get an odd product. Since the product must either be odd or even, 1-4/9 is
the answer, so the answer is 5/9.
What
【在 T****g 的大作中提到】
: Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn
: randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What
: is the probability that their product is even?
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t******l
发帖数: 10908 | 5 这个可能是个不错的例子，说明 prealgebra 阶段的 overly emphasize clear
explanation 可能反而会阻碍从 concrete thinking 进入 formal thinking。
具体而言，围棋哥的 explanation，是 arithmetic 阶段的 clear concrete thinking
w/ structure。没啥问题。
nonpp 的 explanation，是 formal thinking，虽然有些默认的属性，比如正交所以相
乘，没有详细解释，但对中小学普通娃而言，intuitional formal thinking 可能是一
个必经的阶段。(日常生活中没有多少 formal thinking，所以即使是 formal
thinking 的 intuition，很可能也需要在做题时建立。)
而 jxp 的 prealgebra 的阶段的 half-concrete thinking, half-formal thinking
的
explanation，其 explanation 本身很清晰、很明了、也无二义。
但无二义也是一个双刃剑。从思维发展的角度讲，如果 overly emphasize 此类
hybrid thinking, will this convenience of unambiguous explanation slow down
the leap to formal thinking? Because unambiguously explain a formal thinking
is a much harder job. So, will overly emphasize "clear & unambiguous (
hybrid) explanation" (in prealgebra stage) slow down the development of "
intuition for formal thinking"? |
y*******i
发帖数: 361 | 6 我是月光借来的马甲，碰巧今晚能有点时间，闲暇之余，看到你问的题目，
我是学理论的， 附图是专业解答模式，分成两页纸。
你看看能否读懂，这个解法是来自基本原理和模型的构建雏形，稍微难一点的都是以这
个方法论为起点而展开的
What
【在 T****g 的大作中提到】
: Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn
: randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What
: is the probability that their product is even?
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y*******i
发帖数: 361 | 7 m=3, n=3的矩阵，很容易划，要是给出m=30, n=30的矩阵，就不好画了
所以，你给的答案，只能解答m和n很小的case，稍微大一点size的，就麻烦了。
小孩两只脚的脚丫子都上阵，都不够使唤的
【在 a*****g 的大作中提到】
: 偷懒办法——
: 画个 3x3 阵列
: 每个交叉点是数的积
: 看看多少积是偶数
:
: What
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y*******i
发帖数: 361 | 8 和anapig一样， 这种解释只能适用于基数很小的case或伯努利试验，如果是大的基数
或伯努利模型，这么解释就很难往下展开了，比如考你10个boxs，反复取，第7次取到
偶数，像你这么代入，小孩都得代晕了
我那种解释，直接把|A_1|=10,|A_11| = 5, k=7, k-1=6, ｛1，2...k-1,k} , 计算的
时候，把2换成5，把k直接代入，根本不用担心基数多大，k多大，简单多了。
to
is
【在 j*p 的大作中提到】
: The probability that the two chips' product is odd is 4/9. There are nine
: total ways to draw two chips , and 1*1,1*3,3*1, and 3*3 are the only ways to
: get an odd product. Since the product must either be odd or even, 1-4/9 is
: the answer, so the answer is 5/9.
:
: What
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t******l
发帖数: 10908 | 9 你这个是对于任意情况的通解，但在这题存在 inverse problem的情况，也就是乘积是
奇数的情况，导致每个柜子可以独立出柜，就不需要这么麻烦。也就是 nonpp 的解法/
解释。
另外你这个 notation 很严谨，但在对于中小学娃、或者是马工，不如用图论里的
decision tree 画一下更实用。
反正马工最终归结到无二义的 code，中小学生最终归结到无二义的选择支。
现代数学集合论的严格 notation，对于非数学专业，实用价值有限。当然对于学习课
程而言还是要学一下。
【在 y*******i 的大作中提到】
: 我是月光借来的马甲，碰巧今晚能有点时间，闲暇之余，看到你问的题目，
: 我是学理论的， 附图是专业解答模式，分成两页纸。
: 你看看能否读懂，这个解法是来自基本原理和模型的构建雏形，稍微难一点的都是以这
: 个方法论为起点而展开的
:
: What
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t******l
发帖数: 10908 | 10 其实这个 inverse problem，好像也是 pre-algebra 和 post-algebra 娃娃们重新排
队的因子之一。
在 pre-algebra 阶段，换成解 inverse problem 似乎是一种尖端技巧。在这个阶段，
只有被认为非常 “聪明” 的娃才会玩那种。
而在 post-algebra 阶段，看看 inverse problem 是不是更容易解，基本是一种
routine。而在这个阶段，咋 inverse 都不出错，以及只要有 inverse 就不会漏掉的
，这种思维严谨的娃，至少在入门级的时候，比单纯的 “聪明” 似乎更有优势。
【在 t******l 的大作中提到】
: 你这个是对于任意情况的通解，但在这题存在 inverse problem的情况，也就是乘积是
: 奇数的情况，导致每个柜子可以独立出柜，就不需要这么麻烦。也就是 nonpp 的解法/
: 解释。
: 另外你这个 notation 很严谨，但在对于中小学娃、或者是马工，不如用图论里的
: decision tree 画一下更实用。
: 反正马工最终归结到无二义的 code，中小学生最终归结到无二义的选择支。
: 现代数学集合论的严格 notation，对于非数学专业，实用价值有限。当然对于学习课
: 程而言还是要学一下。
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w**d
发帖数: 2334 | 11 这个和上面那些ID给的答案没什么区别，归根到底是这个问题太简单了，你这么写反而
搞得复杂 - 对这个问题而言，没几个类好分，看不出这么做的必要。
【在 y*******i 的大作中提到】
: 我是月光借来的马甲，碰巧今晚能有点时间，闲暇之余，看到你问的题目，
: 我是学理论的， 附图是专业解答模式，分成两页纸。
: 你看看能否读懂，这个解法是来自基本原理和模型的构建雏形，稍微难一点的都是以这
: 个方法论为起点而展开的
:
: What
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w*********y
发帖数: 7895 | 12 只有这个解释我看懂了。。。
/9.
【在 n***p 的大作中提到】
: 从一个箱子里抽出一个奇数的概率是2/3，从俩箱子里都抽出奇数的概率是2/3*2/3=4/9.
: 所以至少从某个箱子里抽出一个偶数的概率是1-4/9=5/9.
:
: What
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w*********y
发帖数: 7895 | 13 这个我也看懂了。。。
to
is
【在 j*p 的大作中提到】
: The probability that the two chips' product is odd is 4/9. There are nine
: total ways to draw two chips , and 1*1,1*3,3*1, and 3*3 are the only ways to
: get an odd product. Since the product must either be odd or even, 1-4/9 is
: the answer, so the answer is 5/9.
:
: What
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y*******i
发帖数: 361 | 14 物理意义不一样啊
这是教科书的常见解答。 你见过哪本书上，直接丢给你数据1*1和1*3了，从头到尾都
是用排列和组合和集合来表达的，甚至要给出韦恩图的，就连中国教科书都这么标示，
更别说美国版教科书了， 美语版的描述就是我这个复杂度的。不信，你去看看高中教
材里的三角运算，就这么复杂的一路说下去的。
这是题目简单了，给你3个选的，每个盒子都只让你挑一次，要是给你n个boxs，让你每
个挑k次呢？或者让你第一个盒子挑k－1，第二个盒子挑k＋i次呢？ 你怎么办？ 是画
矩阵啊， 还是1*3啊
【在 w**d 的大作中提到】
: 这个和上面那些ID给的答案没什么区别，归根到底是这个问题太简单了，你这么写反而
: 搞得复杂 - 对这个问题而言，没几个类好分，看不出这么做的必要。
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t******l
发帖数: 10908 | 15 对马工而言，复杂的画图论的 decision tree 然后马 code。
因为矩阵也需要一定程度的对称和独立，对于更复杂的有 if-then-else 的情况的话，
矩阵也不一定管用。或者能管用的也是稀疏矩阵，直接 naive implement 的话，内存
也够呛。
【在 y*******i 的大作中提到】
: 物理意义不一样啊
: 这是教科书的常见解答。 你见过哪本书上，直接丢给你数据1*1和1*3了，从头到尾都
: 是用排列和组合和集合来表达的，甚至要给出韦恩图的，就连中国教科书都这么标示，
: 更别说美国版教科书了， 美语版的描述就是我这个复杂度的。不信，你去看看高中教
: 材里的三角运算，就这么复杂的一路说下去的。
: 这是题目简单了，给你3个选的，每个盒子都只让你挑一次，要是给你n个boxs，让你每
: 个挑k次呢？或者让你第一个盒子挑k－1，第二个盒子挑k＋i次呢？ 你怎么办？ 是画
: 矩阵啊， 还是1*3啊
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y*******i
发帖数: 361 | 16 说实在话，她写的，其实我没太看懂。 只能大致猜了。因为不知道那4对都是对应哪几
个cases。这很可能是和一个人表达事情的长期习惯有关。 我记得我从小写数学作业的
时候，都被老师要求过，变量定义或引用公理要写在第一行，或者推导的前面。因为你
不能再等到具体推导的时候，再回头把定义给补上。
【在 w*********y 的大作中提到】
: 这个我也看懂了。。。
:
: to
: is
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A**H
发帖数: 4797 | 17 借道问一个概率问题 --- 对概率题目总是很迷惑。。。:(
一个披萨分八片相同的片，两个不同的人吃，每人可以吃0～8片，有几种吃法？三个不
同的人吃，每人可以吃0～8片，有几种吃法？ |
t******l
发帖数: 10908 | 18 jxp 的 explanation 血肉人不可能看不懂把。除非是机器人只能懂上下文无关语法的
那种，看不懂倒是可以理解。
【在 y*******i 的大作中提到】
: 说实在话，她写的，其实我没太看懂。 只能大致猜了。因为不知道那4对都是对应哪几
: 个cases。这很可能是和一个人表达事情的长期习惯有关。 我记得我从小写数学作业的
: 时候，都被老师要求过，变量定义或引用公理要写在第一行，或者推导的前面。因为你
: 不能再等到具体推导的时候，再回头把定义给补上。
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y*******i
发帖数: 361 | 19 这是dartmouth的概率教材（如图），不要告诉我，你指望孩子上了dartmouth college
以后才开始学习这种文字表述， 我都这把年纪了，连我读书的时候，这些基本功，我
都不是在藤校学来的，很小很早就开始了。
学习初等数学的前面，如果铺垫的马马虎虎的话，后面去读高等数学，根本就是读天书了
【在 w**d 的大作中提到】
: 这个和上面那些ID给的答案没什么区别，归根到底是这个问题太简单了，你这么写反而
: 搞得复杂 - 对这个问题而言，没几个类好分，看不出这么做的必要。
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w**d
发帖数: 2334 | 20 这个就是排列组合。 x1+x2+x3=8, 然后变成八个苹果一排，用2根棍子分成左中右三堆
以前高中的时候没少干过 。。
【在 A**H 的大作中提到】
: 借道问一个概率问题 --- 对概率题目总是很迷惑。。。:(
: 一个披萨分八片相同的片，两个不同的人吃，每人可以吃0～8片，有几种吃法？三个不
: 同的人吃，每人可以吃0～8片，有几种吃法？
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y*******i
发帖数: 361 | 21 看不懂，因为前面没有specify每一组数据的各自定义的从属范围。
人家没给，我不能自己去硬套，只能大致去猜
【在 t******l 的大作中提到】
: jxp 的 explanation 血肉人不可能看不懂把。除非是机器人只能懂上下文无关语法的
: 那种，看不懂倒是可以理解。
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w**d
发帖数: 2334 | 22 要休息了，没时间扯了，大学开始的数学是称不上天数的，泛函开始有难度 。
college
书了
【在 y*******i 的大作中提到】
: 这是dartmouth的概率教材（如图），不要告诉我，你指望孩子上了dartmouth college
: 以后才开始学习这种文字表述， 我都这把年纪了，连我读书的时候，这些基本功，我
: 都不是在藤校学来的，很小很早就开始了。
: 学习初等数学的前面，如果铺垫的马马虎虎的话，后面去读高等数学，根本就是读天书了
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t******l
发帖数: 10908 | 23 两个人吃，一个 pivot 位置 0 到 8，所以 9 种吃法。
三个人吃，上两个 pivot，combination w/ repetition，C(9, 2) + C(9, 1) = 9*8/2
+
9 = 9*5 = 45 种。
【在 A**H 的大作中提到】
: 借道问一个概率问题 --- 对概率题目总是很迷惑。。。:(
: 一个披萨分八片相同的片，两个不同的人吃，每人可以吃0～8片，有几种吃法？三个不
: 同的人吃，每人可以吃0～8片，有几种吃法？
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y*******i
发帖数: 361 | 24 jxp是清华的，我记得好像是学CS的
我前些日子里指出过，清华读书的大陆孩子 PK MIT读书的ABC， 前者在很多方面都是
弱于后者的， 这个表述数学题的能力，就是其中一项差距。她自己明白这道题怎么算
，但写出来的，我都看不明白。所以大陆教授写出来的教科书，都很烂，他们培养出来
的研究生和学生，都这个模式的出来交流。
我是在中国长大的，但我专业课是在美国学的，跟ABC的高等教育体系比较接近了，所
以我表述的比较完整而细致，我前些日子那个两国学生的对比，就这个意思。
如果你问为什么要给出每一组数据的解释，无他，lz要求了，凡是题目里要求你做解释
的，（我不知道其他学校的情况），但我知道MIT／Harvard／Stanford，都是要你给出
全部的定义和假设过程的，通常一片report里，关于定义和假设部分，能占20～30%的
页纸份额，也就是10页纸里有2～3页纸都在讨论定义和假设。
【在 t******l 的大作中提到】
: jxp 的 explanation 血肉人不可能看不懂把。除非是机器人只能懂上下文无关语法的
: 那种，看不懂倒是可以理解。
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y*******i
发帖数: 361 | 25 你自己是faculty，但我感觉你对美国大学生的数学知识水平，知道甚少。
大学的数学是不是天书，你说了不算，那群选课的大学娃娃说了算。
我们现在讨论的是数学教育入门的基本功，没讨论理论要深到什么程度才算深－－－最
深的也不是泛函，而是1+1为什么等于2.
【在 w**d 的大作中提到】
: 要休息了，没时间扯了，大学开始的数学是称不上天数的，泛函开始有难度 。
:
: college
: 书了
|
A**H
发帖数: 4797 | 26 谢了
我一边补课去 :(
/2
【在 t******l 的大作中提到】
: 两个人吃，一个 pivot 位置 0 到 8，所以 9 种吃法。
: 三个人吃，上两个 pivot，combination w/ repetition，C(9, 2) + C(9, 1) = 9*8/2
: +
: 9 = 9*5 = 45 种。
|
w*********y
发帖数: 7895 | 27 大学老师要求学生这么做，是为了解学生对概念的理解。这个概念的理解是说
在abstract上的，但是从数学语言解释出来。
但是解释问题，也需要知道听众的水平。如果听众是我们这些家长，你的复杂的
2页解释，估计没有人看，你也白写。也不需要写，这里多数家长都应该
知道这个概念。如果是给小孩看，我想大部分娃大概也看不懂，你的解释一样白写。
如果你可以从日常或者通俗的角度来解释这个问题，说明你对这个概念的理解
又上了一层。可以说比大家都好。但你也没有。
我看得懂另外2个人的是因为我知道这个概念，知道怎么套用。如果让我写2页的
解释我是写不出来，我也不会看这2页，非常数学语言的解释。
【在 y*******i 的大作中提到】
: jxp是清华的，我记得好像是学CS的
: 我前些日子里指出过，清华读书的大陆孩子 PK MIT读书的ABC， 前者在很多方面都是
: 弱于后者的， 这个表述数学题的能力，就是其中一项差距。她自己明白这道题怎么算
: ，但写出来的，我都看不明白。所以大陆教授写出来的教科书，都很烂，他们培养出来
: 的研究生和学生，都这个模式的出来交流。
: 我是在中国长大的，但我专业课是在美国学的，跟ABC的高等教育体系比较接近了，所
: 以我表述的比较完整而细致，我前些日子那个两国学生的对比，就这个意思。
: 如果你问为什么要给出每一组数据的解释，无他，lz要求了，凡是题目里要求你做解释
: 的，（我不知道其他学校的情况），但我知道MIT／Harvard／Stanford，都是要你给出
: 全部的定义和假设过程的，通常一片report里，关于定义和假设部分，能占20～30%的
|
w*********y
发帖数: 7895 | 28 我忘记总结我要表达的意思了，就是你说明事情的，忘记假设听众不同水平的情况下，
你要怎么解释了。。。
【在 w*********y 的大作中提到】
: 大学老师要求学生这么做，是为了解学生对概念的理解。这个概念的理解是说
: 在abstract上的，但是从数学语言解释出来。
: 但是解释问题，也需要知道听众的水平。如果听众是我们这些家长，你的复杂的
: 2页解释，估计没有人看，你也白写。也不需要写，这里多数家长都应该
: 知道这个概念。如果是给小孩看，我想大部分娃大概也看不懂，你的解释一样白写。
: 如果你可以从日常或者通俗的角度来解释这个问题，说明你对这个概念的理解
: 又上了一层。可以说比大家都好。但你也没有。
: 我看得懂另外2个人的是因为我知道这个概念，知道怎么套用。如果让我写2页的
: 解释我是写不出来，我也不会看这2页，非常数学语言的解释。
|
y*******i
发帖数: 361 | 29 这怎么能是大学老师才开始要求的呢？ 中学就有要求了，只是对于公立学校，老师根
本不care孩子follow instruction的精细程度罢了，你孩子可以不学数学，照样能毕业
的。但你不能说这是大学的教学大纲啊， 怎么可能呢！
概率这东西是中学内容，而且在美国，这部分上的还都比国内的早一拍的。
【在 w*********y 的大作中提到】
: 大学老师要求学生这么做，是为了解学生对概念的理解。这个概念的理解是说
: 在abstract上的，但是从数学语言解释出来。
: 但是解释问题，也需要知道听众的水平。如果听众是我们这些家长，你的复杂的
: 2页解释，估计没有人看，你也白写。也不需要写，这里多数家长都应该
: 知道这个概念。如果是给小孩看，我想大部分娃大概也看不懂，你的解释一样白写。
: 如果你可以从日常或者通俗的角度来解释这个问题，说明你对这个概念的理解
: 又上了一层。可以说比大家都好。但你也没有。
: 我看得懂另外2个人的是因为我知道这个概念，知道怎么套用。如果让我写2页的
: 解释我是写不出来，我也不会看这2页，非常数学语言的解释。
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w*********y
发帖数: 7895 | 30 看不懂。。哈哈。。。
/2
【在 t******l 的大作中提到】
: 两个人吃，一个 pivot 位置 0 到 8，所以 9 种吃法。
: 三个人吃，上两个 pivot，combination w/ repetition，C(9, 2) + C(9, 1) = 9*8/2
: +
: 9 = 9*5 = 45 种。
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t******l
发帖数: 10908 | 31 我跟我大娃讲过 pivoting (其实就是 partitioning 的一种) 的建模思想。但这破玩
意儿对普通娃好像也不是那么容易的。我娃能听懂，但是我目测她还不会依葫芦画瓢式
应用，灵活运用就不要想了。
普通娃总是需要时间的，大人要耐心是真的。
【在 A**H 的大作中提到】
: 谢了
: 我一边补课去 :(
:
: /2
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w*********y
发帖数: 7895 | 32 概率是中学的，但老师不会要求学生写这样的报告。。。
当然，这也可能是看学校要求，或者学生本身情况。。。
【在 y*******i 的大作中提到】
: 这怎么能是大学老师才开始要求的呢？ 中学就有要求了，只是对于公立学校，老师根
: 本不care孩子follow instruction的精细程度罢了，你孩子可以不学数学，照样能毕业
: 的。但你不能说这是大学的教学大纲啊， 怎么可能呢！
: 概率这东西是中学内容，而且在美国，这部分上的还都比国内的早一拍的。
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y*******i
发帖数: 361 | 33 其实美国顶级名校，本科生就可以写report和出paper了，而且他们所用的术语直接上
数学模式的，我这已经算照顾听众水平不同，写的够细了。
那个case 1，2，3， 是写给你们看的，如果是写给同行的，直接上数学表达式的。
【在 w*********y 的大作中提到】
: 我忘记总结我要表达的意思了，就是你说明事情的，忘记假设听众不同水平的情况下，
: 你要怎么解释了。。。
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y*******i
发帖数: 361 | 34 你连我写的汉语都听的不全懂，我对你孩子的数学基因，感到不容乐观，因为你自己不
但理解不了为什么这样要求，你还特别抵触， 那你孩子在你的管理模式下，还能比这
个情况好么？
我记得我以前书写数学题的时候，我老爸都说看完整个叙述过程是狗屁不通（他是学理
论物理的）。就这么不通的，把我放外面跟别的孩子对比，居然还能比其他孩子好很多。
【在 w*********y 的大作中提到】
: 概率是中学的，但老师不会要求学生写这样的报告。。。
: 当然，这也可能是看学校要求，或者学生本身情况。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 35 其实楼上的争论，可能说明了现代数学的大部分 notation system，在实践上的大部分
情况，有可能死胡同化。
因为显然广大马工估计不用那套系统，物理工作者可能也够呛，好像只有数学系之间的
交流证明才使得上力好像。 |
t******l
发帖数: 10908 | 36 我说的可能有点极端，不过考虑到中小学教育实践上，将来去数学系的是极少数。我个
人觉得从 普通娃 一直到 AMO qualifiers 的广大娃群，只要不是打定主意去数学系的
娃，我觉得更适合用 “类似计算机图论的建模 + 类似物理建模的数学建模” 来给娃
解释。虽然不那么严格，但更实用给力。
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实楼上的争论，可能说明了现代数学的大部分 notation system，在实践上的大部分
: 情况，有可能死胡同化。
: 因为显然广大马工估计不用那套系统，物理工作者可能也够呛，好像只有数学系之间的
: 交流证明才使得上力好像。
|
t******l
发帖数: 10908 | 37 我忽然想到一个问题，美帝历次新数学、新新数学、新新新数学等等教改的失误的方面
，是不是一定程度上跟 policy maker 里面数学家的比重过大有关？
我这不是对数学家数学系有成见或偏见，而是我个人觉得在中小学数学基础教育方面，
应该给 CS 和 Physics 方面的 scientists 更大的发言权。
因为市场往往比象牙塔更显英雄本色。而 CS 和 Physics 才是中小学数学最最主要的
尖端市场。而 math advanced kids 的主流，将来工作时也集中在这两个领域、或者所
对应的工程领域，而不是数学系。
而真正数学系的，说实话，学不学中小学数学，其实都没太多关系。反正真正数学系的
，给人基本是一种往死里钻的感觉。 |
m*****t
发帖数: 239 | 38 你把8片pizza排成一排，然后再插进去两扇子屏风，把这一排pizza分成三份（屏风的
位置可以是在最前或最后）。也就是说，总共有10个东西排成一排，其中两个是屏风。
所以是C(10,2)=45。
Generally，把n个同样的东西分成k份（其中允许一份或数份是0）可能的方式数量是C(
n+k-1, k-1)。
【在 w*********y 的大作中提到】
: 看不懂。。哈哈。。。
:
: /2
|
m*****t
发帖数: 239 | 39 五六十年代那次新数学可能是，现在这些正相反，是math education的人太多
【在 t******l 的大作中提到】
: 我忽然想到一个问题，美帝历次新数学、新新数学、新新新数学等等教改的失误的方面
: ，是不是一定程度上跟 policy maker 里面数学家的比重过大有关？
: 我这不是对数学家数学系有成见或偏见，而是我个人觉得在中小学数学基础教育方面，
: 应该给 CS 和 Physics 方面的 scientists 更大的发言权。
: 因为市场往往比象牙塔更显英雄本色。而 CS 和 Physics 才是中小学数学最最主要的
: 尖端市场。而 math advanced kids 的主流，将来工作时也集中在这两个领域、或者所
: 对应的工程领域，而不是数学系。
: 而真正数学系的，说实话，学不学中小学数学，其实都没太多关系。反正真正数学系的
: ，给人基本是一种往死里钻的感觉。
|
m*****t
发帖数: 239 | 40 个人不觉得……这就一道AMC8的题，用一大堆notational system，真要“数学系之间
的交流起来”，岂不得写成四库全书的长度？
我们小时候，管这种在简单问题上过度纠结的写法叫rigor mortis……
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实楼上的争论，可能说明了现代数学的大部分 notation system，在实践上的大部分
: 情况，有可能死胡同化。
: 因为显然广大马工估计不用那套系统，物理工作者可能也够呛，好像只有数学系之间的
: 交流证明才使得上力好像。
|
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w**d
发帖数: 2334 | 41 就是这么回事，昨天太晚了，就随便说了两句没仔细说明。本来准备今天详细写，现在
没有必要了。
对了，上面那个公式是假设了每个人不一样。如果把问题变成把八块pizza分成三份，
有几种
分法？
C(
【在 m*****t 的大作中提到】
: 你把8片pizza排成一排，然后再插进去两扇子屏风，把这一排pizza分成三份（屏风的
: 位置可以是在最前或最后）。也就是说，总共有10个东西排成一排，其中两个是屏风。
: 所以是C(10,2)=45。
: Generally，把n个同样的东西分成k份（其中允许一份或数份是0）可能的方式数量是C(
: n+k-1, k-1)。
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m*****t
发帖数: 239 | 42 汗，这个你考住我了，我其实没怎么学过组合，不过记得有个partition function的吧
单就8块pizza分成3份，如果第一个数字是0，那么下面有0+8到4+4，共5种方法，如果
第一个数字是1，那么有1+6到3+4，共3种方法，如果第二个数字是2，那么有2+4，3+3
两种方法，所以总共是10种？
【在 w**d 的大作中提到】
: 就是这么回事，昨天太晚了，就随便说了两句没仔细说明。本来准备今天详细写，现在
: 没有必要了。
: 对了，上面那个公式是假设了每个人不一样。如果把问题变成把八块pizza分成三份，
: 有几种
: 分法？
:
: C(
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m*****t
发帖数: 239 | 43 刚才先自己写了个巨难看的recursion，然后又搜了一下：
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)#Restricted_part_size
_or_number_of_parts
不过这个公式是不允许0的，如果允许0的话，也就是说把n分成最多k份（每份都至少是
1），加一下吧
Q_k(n) = \Sum_{i=1}^{k} P_i(n)
（P_k(n)=把n分成k份，每份都至少是1，Q_k(n)=把n分成k份，有些份可以是0） |
w**d
发帖数: 2334 | 44 我也只是在高中学过排列组合。记不得有没有partiition function了。你这个思路是
对的，我也不知道能不能
把最后的答案简化成一个简单的公式，
3
【在 m*****t 的大作中提到】
: 汗，这个你考住我了，我其实没怎么学过组合，不过记得有个partition function的吧
: 单就8块pizza分成3份，如果第一个数字是0，那么下面有0+8到4+4，共5种方法，如果
: 第一个数字是1，那么有1+6到3+4，共3种方法，如果第二个数字是2，那么有2+4，3+3
: 两种方法，所以总共是10种？
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m*****t
发帖数: 239 | 45 有generating function，再简单的好像没有了
另：刚才脑子太僵化没转过弯来，允许不允许0之间的关系其实应该更简单，根本不用
加，
P_k(n) = Q_k(n-k)，所以Q_k(n)= P_k(n+k)就行了
【在 w**d 的大作中提到】
: 我也只是在高中学过排列组合。记不得有没有partiition function了。你这个思路是
: 对的，我也不知道能不能
: 把最后的答案简化成一个简单的公式，
:
: 3
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w**d
发帖数: 2334 | 46 公式回头去看，怀疑答案只能是series之和，没法简化成一个简单公式
大于或等于0很好处理，这就是为什么我最早的帖子里写的x1 + x2 +x3=8，如果要都严
格大于1的话
直接每个减一就好了。这么写的话很容易推广
【在 m*****t 的大作中提到】
: 有generating function，再简单的好像没有了
: 另：刚才脑子太僵化没转过弯来，允许不允许0之间的关系其实应该更简单，根本不用
: 加，
: P_k(n) = Q_k(n-k)，所以Q_k(n)= P_k(n+k)就行了
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t******l
发帖数: 10908 | 47 对于允许 0 块 pizza 的，你这个 C(10, 2) 的 pivoting modelling 更简单，可以直
接用 combination wo/ repetition。谢谢。
我前面那个是从不允许 0 片 pizza 的 pivoting modelling 外推出来的，我那个会导
致 combination w/ repetition，不如你这个 modelling 好。
C(
【在 m*****t 的大作中提到】
: 你把8片pizza排成一排，然后再插进去两扇子屏风，把这一排pizza分成三份（屏风的
: 位置可以是在最前或最后）。也就是说，总共有10个东西排成一排，其中两个是屏风。
: 所以是C(10,2)=45。
: Generally，把n个同样的东西分成k份（其中允许一份或数份是0）可能的方式数量是C(
: n+k-1, k-1)。
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t******l
发帖数: 10908 | 48 如果假设你题目的意思是 order does matter， 5,2,1 和 1,2,5 是不同的三份分法。
那这个其实用我前面的不允许出现零的情况的 pivoting modelling 就行了 (
imaginary seat 的概念)。具体这么说：
八块 pizza 排成一排，任意相邻两块 pizza 之间形成一个 imaginary seat。总共 7
个 imaginary seat。index 成 1 到 7。
然后把两个 pivot (屏风) assign 在 imaginary seat 上，不允许坐同一个 seat。
以上等效为从 imaginary seat index set ｛1 .. 7 ｝ 里，choose 2 index, put
pivot there. (2 out of 7 combination wo/ repetition)。
所以是 C(7, 2) = 7*6/2 = 21 种。
【在 w**d 的大作中提到】
: 就是这么回事，昨天太晚了，就随便说了两句没仔细说明。本来准备今天详细写，现在
: 没有必要了。
: 对了，上面那个公式是假设了每个人不一样。如果把问题变成把八块pizza分成三份，
: 有几种
: 分法？
:
: C(
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t******l
发帖数: 10908 | 49 递归求和生成函数应该可行。
【在 m*****t 的大作中提到】
: 有generating function，再简单的好像没有了
: 另：刚才脑子太僵化没转过弯来，允许不允许0之间的关系其实应该更简单，根本不用
: 加，
: P_k(n) = Q_k(n-k)，所以Q_k(n)= P_k(n+k)就行了
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t******l
发帖数: 10908 | 50 其实这题的讨论似乎发现了教育的一个漏洞，combination w/ repetition 的
modelling 没有在中小学阶段强调，导致 permutation / combination 中小学基本公
式的桌子的四条腿缺了一条。
应该研究一下 mathsisfun 里面的娃版 modelling 教一下娃。自己也补个课，不要死
记公式。
http://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutatio |
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G***W
发帖数: 1967 | 51 Test
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实这题的讨论似乎发现了教育的一个漏洞，combination w/ repetition 的
: modelling 没有在中小学阶段强调，导致 permutation / combination 中小学基本公
: 式的桌子的四条腿缺了一条。
: 应该研究一下 mathsisfun 里面的娃版 modelling 教一下娃。自己也补个课，不要死
: 记公式。
: http://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutatio
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t******l
发帖数: 10908 | 52 娘的，combination w/ repetition 这玩意儿我们当初中小学就没好好教过。这下不用
死记公式不小心又忘了。
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实这题的讨论似乎发现了教育的一个漏洞，combination w/ repetition 的
: modelling 没有在中小学阶段强调，导致 permutation / combination 中小学基本公
: 式的桌子的四条腿缺了一条。
: 应该研究一下 mathsisfun 里面的娃版 modelling 教一下娃。自己也补个课，不要死
: 记公式。
: http://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutatio
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t******l
发帖数: 10908 | 53 我觉得这个其实是嘲讽 common core math 的 SBAC implementation 里：不强调老师
上课给娃把各种 math modelling 好好解释清楚，以及娃对 math modelling 的阅读理
解运用。over-emphasize 要求娃做的文科字数型 math explanation。
当然，这本质原因，是不是提高总体师资水平，比提高娃娃的水平，更困难的说？所以
只好让娃累点先。。。run
【在 m*****t 的大作中提到】
: 个人不觉得……这就一道AMC8的题，用一大堆notational system，真要“数学系之间
: 的交流起来”，岂不得写成四库全书的长度？
: 我们小时候，管这种在简单问题上过度纠结的写法叫rigor mortis……
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w**d
发帖数: 2334 | 54 不需要記公式， permutation和combination的区别就是（1，2,3) 到底算几个。
前面我提到的八片pizza分三份几种分法更复杂些，因为（0，0，8）会重复3次，而 （
1，3，4）会重复6次。
【在 t******l 的大作中提到】
: 娘的，combination w/ repetition 这玩意儿我们当初中小学就没好好教过。这下不用
: 死记公式不小心又忘了。
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t******l
发帖数: 10908 | 55 我说的是 combination w/ repetition 的基本公式，也就是 combination 的时候，允
许(符号)重复使用。
我们祖国一般说的 combination / permutation，都是默认指 wo/ repetition，也就
是说不允许(符号)重复使用。
【在 w**d 的大作中提到】
: 不需要記公式， permutation和combination的区别就是（1，2,3) 到底算几个。
: 前面我提到的八片pizza分三份几种分法更复杂些，因为（0，0，8）会重复3次，而 （
: 1，3，4）会重复6次。
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t******l
发帖数: 10908 | 56 另外分 pizza 问题是更复杂的问题。我刚才说的 combination w/ repetition 是指基
本概念基本公式那个。
顺便引申一下，我觉得智商这种上帝管的玩意儿，家长没法指望。我们家长能指望的，
就是基本概念基础知识，娃给掌握巩固了。这样智商不照将来也能有饭吃管饱不是？
【在 w**d 的大作中提到】
: 不需要記公式， permutation和combination的区别就是（1，2,3) 到底算几个。
: 前面我提到的八片pizza分三份几种分法更复杂些，因为（0，0，8）会重复3次，而 （
: 1，3，4）会重复6次。
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t******l
发帖数: 10908 | 57 是不是 test 您老自己有没有把 combination w/ repetition 理解成 permutation (
wo/ repetition) 了？:-)
不过其实也就是个术语问题，祖国跟美帝用词有差异，按字面理解是容易引起误会。
【在 G***W 的大作中提到】
: Test
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t******l
发帖数: 10908 | 58 Counter-Test
【在 G***W 的大作中提到】
: Test
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t******l
发帖数: 10908 | 59 当然教娃的数学术语，最好跟美帝中小学接轨，以避免混乱。
在美帝中小学 combination / permutation 的术语里，repetition 特指 “Can I
repeatedly use the same item from the set?”。
这里的 repetition，不是我们中文里通俗的说 “区别排列和组合，看是不是有“重复
” ” 的 “重复” 的意思。
上面中文的 “重复” 的意思，在美帝中小学排列组合术语解释里，是用 “Does the
order matters or not?” 的说法。
澄清一下美帝中小学数学术语。 |
t*******d
发帖数: 12895 | 60 貌似原题没有要求全吃完
/2
【在 t******l 的大作中提到】
: 两个人吃，一个 pivot 位置 0 到 8，所以 9 种吃法。
: 三个人吃，上两个 pivot，combination w/ repetition，C(9, 2) + C(9, 1) = 9*8/2
: +
: 9 = 9*5 = 45 种。
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a**3
发帖数: 375 | 61 1-4/9=5/9
What
【在 T****g 的大作中提到】
: Each of two boxes contains three chips numbered 1, 2, 3. A chip is drawn
: randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What
: is the probability that their product is even?
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t******l
发帖数: 10908 | 62 没要求全吃完，那就多请一个流浪汉把剩下的全吃了不就完事了？
技术上就是多塞一个 pivot。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 貌似原题没有要求全吃完
:
: /2
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a**3
发帖数: 375 | 63 新数学时的所谓数学家的意见其实并非是所有数学家的意见
只是极小一部分数学家的意见
大概就是历史的误会
不过西方一直有这种抽象的传统
就像神学。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我忽然想到一个问题，美帝历次新数学、新新数学、新新新数学等等教改的失误的方面
: ，是不是一定程度上跟 policy maker 里面数学家的比重过大有关？
: 我这不是对数学家数学系有成见或偏见，而是我个人觉得在中小学数学基础教育方面，
: 应该给 CS 和 Physics 方面的 scientists 更大的发言权。
: 因为市场往往比象牙塔更显英雄本色。而 CS 和 Physics 才是中小学数学最最主要的
: 尖端市场。而 math advanced kids 的主流，将来工作时也集中在这两个领域、或者所
: 对应的工程领域，而不是数学系。
: 而真正数学系的，说实话，学不学中小学数学，其实都没太多关系。反正真正数学系的
: ，给人基本是一种往死里钻的感觉。
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N*********6
发帖数: 2302 | 64 我要减肥！！！
刚刚看一下穿跑步专业运动装的样子，吓了一跳，我怎么那么肥。。5555
以后少灌水了，告诉你的城管一下，晚上看裸照：）
【在 t******l 的大作中提到】
: 没要求全吃完，那就多请一个流浪汉把剩下的全吃了不就完事了？
: 技术上就是多塞一个 pivot。
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j*p
发帖数: 780 | 65 第一个问题其实是问从0到8九个数，其中两个数相加和是9，有几种加法？
0+8
1+7
......
......
7+1
8+0
一共九种。
第一个答案可以帮助解决第二题 --
八个pizza，两人有九种分法
七个pizza，两人有八种分法
.....
.....
一个pizza，两人有两种分法
零个pizza，两人有一种分法
当第三人加入时，可以吃到0，1，....，7，8个pizza
如果吃0，其余两人八个pizza，有九种吃法
如果吃1，其余两人七个pizza，有八种吃法
....
....
如果吃7，其余两人一个pizza，有两种吃法
如果吃8，其余两人都没有吃的，一种
一共9+8+7+....+2+1=45种
这种方法小学和初中生可以理解，能够想出来。从9连加到1的和，一些孩子可以记住的。
【在 A**H 的大作中提到】
: 借道问一个概率问题 --- 对概率题目总是很迷惑。。。:(
: 一个披萨分八片相同的片，两个不同的人吃，每人可以吃0～8片，有几种吃法？三个不
: 同的人吃，每人可以吃0～8片，有几种吃法？
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a**3
发帖数: 375 | 66 呵呵 不少math circle里面都有这个handout
【在 j*p 的大作中提到】
: 第一个问题其实是问从0到8九个数，其中两个数相加和是9，有几种加法？
: 0+8
: 1+7
: ......
: ......
: 7+1
: 8+0
: 一共九种。
: 第一个答案可以帮助解决第二题 --
: 八个pizza，两人有九种分法
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A**H
发帖数: 4797 | 67 非常谢谢大家热烈讨论披萨怎么吃的问题，LOL
先回一个问题，披萨确实没吃完！上个周末我和娃爷俩斗一个大号披萨，虽然我确实能
饭，但最后还是剩了两片，主要是娃的战斗力不行。
当时娃用的基本上就是jxp的解法。我因为一碰到排列组合问题就头大，所以我出了题
目之后，就放手给娃边吃边想了。后来娃做出来了，我觉得是对的，但是我不知道是不
是有捷径，所以就没有深入下去。大家讨论之后，发现我自己不懂，基本上没法子教娃
--- 联系到其他很多方面我也不是很懂，认真问一句，我是不是该给娃请一个数学私
教？
另，这好像也遗传：我对排列组合问题很头痛；娃昨天晚上也这么说。昨天晚上，我想
娃把披萨的问题优化解答一下，所以给了一个简单版本的组合问题给娃当作催眠题目。
结果娃说，他不喜欢这种“几种摆罚几种路径”的题目，他喜欢质数和几何。。。
【在 j*p 的大作中提到】
: 第一个问题其实是问从0到8九个数，其中两个数相加和是9，有几种加法？
: 0+8
: 1+7
: ......
: ......
: 7+1
: 8+0
: 一共九种。
: 第一个答案可以帮助解决第二题 --
: 八个pizza，两人有九种分法
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a*****g
发帖数: 19398 | 68 数学家和数学教育是两码事
【在 a**3 的大作中提到】
: 新数学时的所谓数学家的意见其实并非是所有数学家的意见
: 只是极小一部分数学家的意见
: 大概就是历史的误会
: 不过西方一直有这种抽象的传统
: 就像神学。
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t******l
发帖数: 10908 | 69 我认真的回一个：建议考虑请拼图姐做私教。
【在 A**H 的大作中提到】
: 非常谢谢大家热烈讨论披萨怎么吃的问题，LOL
: 先回一个问题，披萨确实没吃完！上个周末我和娃爷俩斗一个大号披萨，虽然我确实能
: 饭，但最后还是剩了两片，主要是娃的战斗力不行。
: 当时娃用的基本上就是jxp的解法。我因为一碰到排列组合问题就头大，所以我出了题
: 目之后，就放手给娃边吃边想了。后来娃做出来了，我觉得是对的，但是我不知道是不
: 是有捷径，所以就没有深入下去。大家讨论之后，发现我自己不懂，基本上没法子教娃
: --- 联系到其他很多方面我也不是很懂，认真问一句，我是不是该给娃请一个数学私
: 教？
: 另，这好像也遗传：我对排列组合问题很头痛；娃昨天晚上也这么说。昨天晚上，我想
: 娃把披萨的问题优化解答一下，所以给了一个简单版本的组合问题给娃当作催眠题目。
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G***W
发帖数: 1967 | 70 请她教怎么熬佛跳墙比较接地气，那道菜太难做了，今年春节我一定要试试看，到时候
请福州老乡来吃！
【在 t******l 的大作中提到】
: 我认真的回一个：建议考虑请拼图姐做私教。
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s***e
发帖数: 5242 | 71 跪了
【在 y*******i 的大作中提到】
: 我是月光借来的马甲，碰巧今晚能有点时间，闲暇之余，看到你问的题目，
: 我是学理论的， 附图是专业解答模式，分成两页纸。
: 你看看能否读懂，这个解法是来自基本原理和模型的构建雏形，稍微难一点的都是以这
: 个方法论为起点而展开的
:
: What
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