A**H
发帖数: 4797 | 1 散步的时候，娃看到节日快到了装饰了灯柱，说给我出一个题目
灯柱假设是圆柱体，八米高，30inch的半径（我说一米吧，好算）
一根线假定没有粗度
从底部绕道顶部
每绕一圈升高一米
问线有多长
走了几步，娃补充说
假定线绕到顶部回到出发点同一个位置（注，我觉得这里应该用相位来说明吧，反正就
那意思，你懂了就行）
我说，你说多少
不辣不辣算了之后，我说，把灯柱改成球，该怎么算？
第二天，娃说不知道，问我怎么算。
问题是，我只管一时痛快出了题目，也不知道怎么算。。。 |
t******l
发帖数: 10908 | 2 解析几何、三维空间、线积分、可解。。。大猩猩才纠结只用石块打蛋的问题。。。
【在 A**H 的大作中提到】
: 散步的时候，娃看到节日快到了装饰了灯柱，说给我出一个题目
: 灯柱假设是圆柱体，八米高，30inch的半径（我说一米吧，好算）
: 一根线假定没有粗度
: 从底部绕道顶部
: 每绕一圈升高一米
: 问线有多长
: 走了几步，娃补充说
: 假定线绕到顶部回到出发点同一个位置（注，我觉得这里应该用相位来说明吧，反正就
: 那意思，你懂了就行）
: 我说，你说多少
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A**H
发帖数: 4797 | 3 也就是说要用到高等数学积分微分的知识？那好，可以跟娃交代了。LOL
【在 t******l 的大作中提到】
: 解析几何、三维空间、线积分、可解。。。大猩猩才纠结只用石块打蛋的问题。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 4 本版贫困线通涨也不是第一次了，你打算再通涨一次大伙儿也没意见不是。
当然可能要通知一下拼图姐修改其发帖的 guideline，免得伊不小心发完贴
后发现不到贫困线。
【在 A**H 的大作中提到】
: 也就是说要用到高等数学积分微分的知识？那好，可以跟娃交代了。LOL
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s**********d
发帖数: 36899 | |
t******l
发帖数: 10908 | 6 球体没那么复杂，也可以用高中物理做，具体如下：
如果想象在时间中，一只蚂蚁从下面爬到上面。
那么底面投影上是 “匀角速度转动”，高度轴投影上是 “匀线速度
（指线高度）上升”。
根据速度的分解合成计算速度矢量。
由此计算速度矢量的绝对值作为时间变量的函数。
然后换元成速度矢量绝对值作为高度变量的函数。
然后沿高度轴积分一次，即可知道长度。
【在 s**********d 的大作中提到】
: 圆柱体太简单了吧，球体太复杂了吧。
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t******l
发帖数: 10908 | 7 细节之处发电报问牛顿，我不继续浪费时间在幼儿园大班题上了。
【在 t******l 的大作中提到】
: 球体没那么复杂，也可以用高中物理做，具体如下：
: 如果想象在时间中，一只蚂蚁从下面爬到上面。
: 那么底面投影上是 “匀角速度转动”，高度轴投影上是 “匀线速度
: （指线高度）上升”。
: 根据速度的分解合成计算速度矢量。
: 由此计算速度矢量的绝对值作为时间变量的函数。
: 然后换元成速度矢量绝对值作为高度变量的函数。
: 然后沿高度轴积分一次，即可知道长度。
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f**********n
发帖数: 29853 | |
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r*****n
发帖数: 1285 | 9 能不能把每米高展开成平面？高1米，底 2 * （PI) 米（半径1米），线就是斜边？
sqrt（1+4 PI * PI) |
t**********8
发帖数: 756 | |
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t******l
发帖数: 10908 | 11 这个办法圆柱可以。
但这办法圆球展不成平面，任意曲面更不行。
当然初中够了，反正初中数学老师离不开欧几里德。
【在 r*****n 的大作中提到】
: 能不能把每米高展开成平面？高1米，底 2 * （PI) 米（半径1米），线就是斜边？
: sqrt（1+4 PI * PI)
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t******l
发帖数: 10908 | 12 土豪，3D 打印很便宜么？
【在 t**********8 的大作中提到】
: nm直接拿根绳子绕完一量不就得了
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t******l
发帖数: 10908 | 13 这个本质是约束形成的曲线的问题，只不过其中一个约束是函数值空间的约束，另一个
约束是函数的一阶导数的空间的约束。
或者也可以看成值空间的曲面，和一阶导数空间的“曲面” (好比法拉第的电力线“空
间”/“曲面”)，两空间曲面相交，形成相交曲线。
所以可以用中学物理速度的分解合成，加本科高数课的积分一次，得解。
【在 t******l 的大作中提到】
: 球体没那么复杂，也可以用高中物理做，具体如下：
: 如果想象在时间中，一只蚂蚁从下面爬到上面。
: 那么底面投影上是 “匀角速度转动”，高度轴投影上是 “匀线速度
: （指线高度）上升”。
: 根据速度的分解合成计算速度矢量。
: 由此计算速度矢量的绝对值作为时间变量的函数。
: 然后换元成速度矢量绝对值作为高度变量的函数。
: 然后沿高度轴积分一次，即可知道长度。
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A**H
发帖数: 4797 | 14 太难，跳过不做了
LOL
【在 t******l 的大作中提到】
: 这个本质是约束形成的曲线的问题，只不过其中一个约束是函数值空间的约束，另一个
: 约束是函数的一阶导数的空间的约束。
: 或者也可以看成值空间的曲面，和一阶导数空间的“曲面” (好比法拉第的电力线“空
: 间”/“曲面”)，两空间曲面相交，形成相交曲线。
: 所以可以用中学物理速度的分解合成，加本科高数课的积分一次，得解。
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x********e
发帖数: 35261 | 15 你娃给你出的题很简单啊。把圆柱竖着切一刀变长方形。绕一圈长度等于在以圆周长和
一米为边的长方形上画条对角线。
【在 A**H 的大作中提到】
: 散步的时候，娃看到节日快到了装饰了灯柱，说给我出一个题目
: 灯柱假设是圆柱体，八米高，30inch的半径（我说一米吧，好算）
: 一根线假定没有粗度
: 从底部绕道顶部
: 每绕一圈升高一米
: 问线有多长
: 走了几步，娃补充说
: 假定线绕到顶部回到出发点同一个位置（注，我觉得这里应该用相位来说明吧，反正就
: 那意思，你懂了就行）
: 我说，你说多少
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t******l
发帖数: 10908 | 16 我前面就是针对一般情况学究的说法。
对你这个具体问题，农民伯伯说，这特么也就是一旋转扶梯踏板们在一特大号痰盂上刻
一圈线不是？
【在 A**H 的大作中提到】
: 太难，跳过不做了
: LOL
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t******l
发帖数: 10908 | 17 对绕球一圈从南极到北极的问题，有没有刁钻的欧几里德解法？
我对古代数学没有心得，我只想知道答案。
【在 x********e 的大作中提到】
: 你娃给你出的题很简单啊。把圆柱竖着切一刀变长方形。绕一圈长度等于在以圆周长和
: 一米为边的长方形上画条对角线。
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A**H
发帖数: 4797 | 18 你这个圆柱体的情况，也就是娃一开始出的题目。这个容易。我是说球的情况，你说的
解法我觉得太难，不懂，又因为太难，觉得没必要跟娃讲，就告诉他需要微积分就算了
。LOL
【在 t******l 的大作中提到】
: 我前面就是针对一般情况学究的说法。
: 对你这个具体问题，农民伯伯说，这特么也就是一旋转扶梯踏板们在一特大号痰盂上刻
: 一圈线不是？
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t******l
发帖数: 10908 | 19 我是说概念上就是把旋转扶梯插在旁边那只花盆里。不仅限于圆柱体花盆。
我看看有没有更好的图。
【在 A**H 的大作中提到】
: 你这个圆柱体的情况，也就是娃一开始出的题目。这个容易。我是说球的情况，你说的
: 解法我觉得太难，不懂，又因为太难，觉得没必要跟娃讲，就告诉他需要微积分就算了
: 。LOL
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t******l
发帖数: 10908 | 20 这张图比较清楚。spiral stair 就是相同角度差导致相同高度差的数学图景，也就是
你说的 “每圈上一米”。
所以数学工具上可以用高中物理的速度的分解合成(约束下的伪矢量代数)。
【在 A**H 的大作中提到】
: 你这个圆柱体的情况，也就是娃一开始出的题目。这个容易。我是说球的情况，你说的
: 解法我觉得太难，不懂，又因为太难，觉得没必要跟娃讲，就告诉他需要微积分就算了
: 。LOL
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A**H
发帖数: 4797 | 21 应该是
太复杂了，我自己不能搞很懂，那就不去教娃了。
【在 t******l 的大作中提到】
: 这张图比较清楚。spiral stair 就是相同角度差导致相同高度差的数学图景，也就是
: 你说的 “每圈上一米”。
: 所以数学工具上可以用高中物理的速度的分解合成(约束下的伪矢量代数)。
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t******l
发帖数: 10908 | 22 又换了一张图，应该更好些。
术语上就是 helix surface intersect with sphere surface。
【在 t******l 的大作中提到】
: 这张图比较清楚。spiral stair 就是相同角度差导致相同高度差的数学图景，也就是
: 你说的 “每圈上一米”。
: 所以数学工具上可以用高中物理的速度的分解合成(约束下的伪矢量代数)。
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t******l
发帖数: 10908 | 23 更正规的术语应该是 Helicoid.
【在 t******l 的大作中提到】
: 又换了一张图，应该更好些。
: 术语上就是 helix surface intersect with sphere surface。
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d****g
发帖数: 7460 | 24 其实呢。。。。
如果投个影子，是个扩散的圈曲线。。这个有人研究吗？
然后考虑投影和立体曲线的关系的话，这个爬高一米的要求，和固定角度的要求还不一
样。。因为角度一样的话，在肚子上要爬的更高些。。
哈哈。搅浑水。 |
d**********h
发帖数: 2795 | 25 这个问题的数学本质是拉格朗日提出的变分原理。
具体到这个问题就是:任给一个曲面，求任何两点之间的最短路径，有时候也叫最速下
降线。
广义相对论里就是光在引力场中的行走路径
【在 d****g 的大作中提到】
: 其实呢。。。。
: 如果投个影子，是个扩散的圈曲线。。这个有人研究吗？
: 然后考虑投影和立体曲线的关系的话，这个爬高一米的要求，和固定角度的要求还不一
: 样。。因为角度一样的话，在肚子上要爬的更高些。。
: 哈哈。搅浑水。
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x********e
发帖数: 35261 | 26 这个应该用角度表示然后微积分比较容易。
【在 t******l 的大作中提到】
: 这张图比较清楚。spiral stair 就是相同角度差导致相同高度差的数学图景，也就是
: 你说的 “每圈上一米”。
: 所以数学工具上可以用高中物理的速度的分解合成(约束下的伪矢量代数)。
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x********e
发帖数: 35261 | 27 还没想特别清楚。目前的思路是绕z轴360度，从南到北180度。球体上只要角度均匀变
化，划过的弧应该是一样长度。角度变化可以用三余弦定理算。
【在 t******l 的大作中提到】
: 对绕球一圈从南极到北极的问题，有没有刁钻的欧几里德解法？
: 我对古代数学没有心得，我只想知道答案。
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h***n
发帖数: 1600 | 28 这道题很荒唐啊！一根线假定没有粗细尺寸，它从底部绕道顶部就是无限长!!!!
一根线假定有粗细尺寸，球如果不是很大，也就是绕上几十几百圈，就算不懂微积分也
可以算每一圈的周长2πr再加起来。而这个r是直角三角形的一直角边(它的另一直角边
是n根绳子的叠加厚度，它的斜边是球半径。n的值从0到最大值(半径除以绳子的厚度)
。
另外做到这一步也应该想象得出来绳子长度是球表面积除以绳子厚度。-想像一下把一
个气球剪成同等宽度的圈圈，再把这些圈圈再想像成绳子。圈圈宽度越细绳子总长越长
;所
有的圈圈拼起来就是那个气球。 |
d**********h
发帖数: 2795 | 29 人家说了:每绕一圈上升一定距离，不是用线覆盖表面
【在 h***n 的大作中提到】
: 这道题很荒唐啊！一根线假定没有粗细尺寸，它从底部绕道顶部就是无限长!!!!
: 一根线假定有粗细尺寸，球如果不是很大，也就是绕上几十几百圈，就算不懂微积分也
: 可以算每一圈的周长2πr再加起来。而这个r是直角三角形的一直角边(它的另一直角边
: 是n根绳子的叠加厚度，它的斜边是球半径。n的值从0到最大值(半径除以绳子的厚度)
: 。
: 另外做到这一步也应该想象得出来绳子长度是球表面积除以绳子厚度。-想像一下把一
: 个气球剪成同等宽度的圈圈，再把这些圈圈再想像成绳子。圈圈宽度越细绳子总长越长
: ;所
: 有的圈圈拼起来就是那个气球。
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w**d
发帖数: 2334 | 30 misunderstanding. The line moves in 3D space - going up as well.
Actually, the problem is ambiguous. To be more precise, we should say L'(
theta) is constant, if that is
what he meant. Here L is the length of the line starting from the bottom,
and theta is the horizontal angle.
【在 h***n 的大作中提到】
: 这道题很荒唐啊！一根线假定没有粗细尺寸，它从底部绕道顶部就是无限长!!!!
: 一根线假定有粗细尺寸，球如果不是很大，也就是绕上几十几百圈，就算不懂微积分也
: 可以算每一圈的周长2πr再加起来。而这个r是直角三角形的一直角边(它的另一直角边
: 是n根绳子的叠加厚度，它的斜边是球半径。n的值从0到最大值(半径除以绳子的厚度)
: 。
: 另外做到这一步也应该想象得出来绳子长度是球表面积除以绳子厚度。-想像一下把一
: 个气球剪成同等宽度的圈圈，再把这些圈圈再想像成绳子。圈圈宽度越细绳子总长越长
: ;所
: 有的圈圈拼起来就是那个气球。
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t******l
发帖数: 10908 | 31 题目没有明显的 ambiguous，题目里说了 “每绕一圈上升一米”，也就是 “旋转角速
度” 和 “升高高度的线速度” 的比值是常数，导致 Helicoid 和 sphere 相交曲线。
角度不是恒量。
这题我前面已经用高中物理速度分解合成给了答案了。
【在 w**d 的大作中提到】
: misunderstanding. The line moves in 3D space - going up as well.
: Actually, the problem is ambiguous. To be more precise, we should say L'(
: theta) is constant, if that is
: what he meant. Here L is the length of the line starting from the bottom,
: and theta is the horizontal angle.
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w**d
发帖数: 2334 | 32 well, u need to assume it is constant. o/w, you can vary the rate of going
up - to make the 'average' is still
每绕一圈上升一米. Guess for high school problems, the constant rate is an
implicit assumption.
线。
【在 t******l 的大作中提到】
: 题目没有明显的 ambiguous，题目里说了 “每绕一圈上升一米”，也就是 “旋转角速
: 度” 和 “升高高度的线速度” 的比值是常数，导致 Helicoid 和 sphere 相交曲线。
: 角度不是恒量。
: 这题我前面已经用高中物理速度分解合成给了答案了。
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t******l
发帖数: 10908 | 33 或者我把我前面高中物理速度分解合成的解法的数学模型图景，重新解释一下：
你就想象在一个大球里，有一个匀角速度转动，同时又匀速上升高度的，单灯灯塔。灯
塔的光束照在球面上的光斑，形成曲线。
所以用速度和角速度分解合成，求出光斑移动速度矢量的绝对值，然后沿时间积分一次
得长度。(也就等效于线积分)。
如果要求曲线的具体参数方程，把光斑移动速度矢量求 x, y, z 三轴的正交分解分量
，然后在三轴分量上分别沿时间积分，即得三轴的分别对参数 t 的参数方程 (相当于
偏微分的 inverse，也可以通俗的说成偏积分)。
这么说是不是更清楚点？
【在 w**d 的大作中提到】
: misunderstanding. The line moves in 3D space - going up as well.
: Actually, the problem is ambiguous. To be more precise, we should say L'(
: theta) is constant, if that is
: what he meant. Here L is the length of the line starting from the bottom,
: and theta is the horizontal angle.
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t******l
发帖数: 10908 | 34 这个就是 constant rate，只不过是水平面投影的角速度，相对于高度轴投影的线速度
，其比值是 constant rate。
【在 w**d 的大作中提到】
: well, u need to assume it is constant. o/w, you can vary the rate of going
: up - to make the 'average' is still
: 每绕一圈上升一米. Guess for high school problems, the constant rate is an
: implicit assumption.
:
: 线。
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t******l
发帖数: 10908 | 35 我前面不是说了 Helicoid？当然会有数学工作者吃饱了撑的去研究。你回帖不看贴嘛。
不过 Helicoid 的一般运用，不超过高中物理加大一微积分的程度，手算一下十分钟就
差不多了。Google 查找真不一定比自己算快，还得死记硬背 Helicoid 这种生僻词。
老实说这生僻词还是我半夜在床上吃饱了撑的，从数学图景里反 Google 出来的。要是
靠 Google 钻研来解题，这黄花菜都凉三百遍！！！
【在 d****g 的大作中提到】
: 其实呢。。。。
: 如果投个影子，是个扩散的圈曲线。。这个有人研究吗？
: 然后考虑投影和立体曲线的关系的话，这个爬高一米的要求，和固定角度的要求还不一
: 样。。因为角度一样的话，在肚子上要爬的更高些。。
: 哈哈。搅浑水。
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t******l
发帖数: 10908 | 36 或者说，这个解法的技巧在于，sphere 和 Helicoid 都是参数曲面，而且 Helicoid
本质上还是一阶导数的特性所生成的参数曲面。直接死算这两参数曲面相交得到的曲线
方程然后线积分，虽然不是不能求解，但多半今天不能收拾书包回家吃晚饭了。
所以技巧就是先根据曲面的数学图景本质，特别是 Helicoid 的本质，在一阶导数 (速
度) 上先用矢量代数求得一阶导数矢量，然后积分一次就可以收拾书包走人了。
其实本质上就是把高中物理课里的 “猴版约束力学” 里的 SM 常规捆绑技巧，拿过来
借用一下。// run
【在 t******l 的大作中提到】
: 或者我把我前面高中物理速度分解合成的解法的数学模型图景，重新解释一下：
: 你就想象在一个大球里，有一个匀角速度转动，同时又匀速上升高度的，单灯灯塔。灯
: 塔的光束照在球面上的光斑，形成曲线。
: 所以用速度和角速度分解合成，求出光斑移动速度矢量的绝对值，然后沿时间积分一次
: 得长度。(也就等效于线积分)。
: 如果要求曲线的具体参数方程，把光斑移动速度矢量求 x, y, z 三轴的正交分解分量
: ，然后在三轴分量上分别沿时间积分，即得三轴的分别对参数 t 的参数方程 (相当于
: 偏微分的 inverse，也可以通俗的说成偏积分)。
: 这么说是不是更清楚点？
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t******l
发帖数: 10908 | 37 Helicoid 的捆绑方式，用角度表示然后微积分并不容易。
这是因为对于 Helicoid 的方式捆绑波涛汹涌型的曲面的问题，Helicoid 所要求的表
面捆绑角度并不是常量。
所以对于 Helicoid 捆绑波涛汹涌的曲面，不如就让鞭子飞、让曲面转。也就是让速度
角速度自己去分解合成，具体而言，有点像套马那样：
在 space-time 里，线条粗旷的绳子，凭借着速度热情突进；而波涛汹涌的曲面，则利
用角速度轻盈旋转、默契地配合。直到亲密接触的那一刻，天旋地转、轻舞飞扬、一气
呵成。这样的牛顿式捆绑，简单而美丽。(画外音：其本质是高中猴版 SM 约束力学所
用的矢量代数。)
至于角度恒定的情况，也不是不存在，但仅限于捆绑水桶型飞机场这种口味奇特的搞法。
当然你要是问我初中欧几里德为毛口味这么有个性。这俺说不上来，你只能发电报问问
欧几里德这哥们。
【在 x********e 的大作中提到】
: 这个应该用角度表示然后微积分比较容易。
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A**H
发帖数: 4797 | 38 哇塞，从娃的一道题说到了狭义相对论。。。太佩服你们了，尤其是时光崩塌 |
x********e
发帖数: 35261 | 39 只有我一个人看不懂这帖在说什么吗？
数。
法。
【在 t******l 的大作中提到】
: Helicoid 的捆绑方式，用角度表示然后微积分并不容易。
: 这是因为对于 Helicoid 的方式捆绑波涛汹涌型的曲面的问题，Helicoid 所要求的表
: 面捆绑角度并不是常量。
: 所以对于 Helicoid 捆绑波涛汹涌的曲面，不如就让鞭子飞、让曲面转。也就是让速度
: 角速度自己去分解合成，具体而言，有点像套马那样：
: 在 space-time 里，线条粗旷的绳子，凭借着速度热情突进；而波涛汹涌的曲面，则利
: 用角速度轻盈旋转、默契地配合。直到亲密接触的那一刻，天旋地转、轻舞飞扬、一气
: 呵成。这样的牛顿式捆绑，简单而美丽。(画外音：其本质是高中猴版 SM 约束力学所
: 用的矢量代数。)
: 至于角度恒定的情况，也不是不存在，但仅限于捆绑水桶型飞机场这种口味奇特的搞法。
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t******l
发帖数: 10908 | 40 接受建议，我又修改了一次原贴，新的表述方式应该更容易理解。
【在 x********e 的大作中提到】
: 只有我一个人看不懂这帖在说什么吗？
:
: 数。
: 法。
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x********e
发帖数: 35261 | 41 no offence
我是真心理解不了你的长篇大论
我就想知道是我跟你不在一个频道，还是说其他人也听不懂你在说什么
【在 t******l 的大作中提到】
: 接受建议，我又修改了一次原贴，新的表述方式应该更容易理解。
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d**********h
发帖数: 2795 | 42 这个靠谱，就是微分弧长表达，然后积分
ds=sqrt(dxdx+dydy+dzdz)
然后参数方程写出dx,dy,dz的关系，最终二维积分，关于theta和z
【在 t******l 的大作中提到】
: 或者我把我前面高中物理速度分解合成的解法的数学模型图景，重新解释一下：
: 你就想象在一个大球里，有一个匀角速度转动，同时又匀速上升高度的，单灯灯塔。灯
: 塔的光束照在球面上的光斑，形成曲线。
: 所以用速度和角速度分解合成，求出光斑移动速度矢量的绝对值，然后沿时间积分一次
: 得长度。(也就等效于线积分)。
: 如果要求曲线的具体参数方程，把光斑移动速度矢量求 x, y, z 三轴的正交分解分量
: ，然后在三轴分量上分别沿时间积分，即得三轴的分别对参数 t 的参数方程 (相当于
: 偏微分的 inverse，也可以通俗的说成偏积分)。
: 这么说是不是更清楚点？
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t******l
发帖数: 10908 | 43 我待会儿有空写个完整的解。现在先忙正事。
【在 d**********h 的大作中提到】
: 这个靠谱，就是微分弧长表达，然后积分
: ds=sqrt(dxdx+dydy+dzdz)
: 然后参数方程写出dx,dy,dz的关系，最终二维积分，关于theta和z
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t******l
发帖数: 10908 | 44 btw 你这么用 x y z 轴方向直接死算太累，你要用矢量代数，球切面向、球法向，球
切面向里搞底面投影圆切向、法向，用矢量代数，我待会儿算给你看，这个很快。
【在 d**********h 的大作中提到】
: 这个靠谱，就是微分弧长表达，然后积分
: ds=sqrt(dxdx+dydy+dzdz)
: 然后参数方程写出dx,dy,dz的关系，最终二维积分，关于theta和z
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t******l
发帖数: 10908 | 45 因为是刚体球面，法向分量都是零蛋，所以特简单。
【在 t******l 的大作中提到】
: btw 你这么用 x y z 轴方向直接死算太累，你要用矢量代数，球切面向、球法向，球
: 切面向里搞底面投影圆切向、法向，用矢量代数，我待会儿算给你看，这个很快。
|
B********e
发帖数: 10014 | 46 三个里面两个不是零。
你总得用线积分啊
【在 t******l 的大作中提到】
: 因为是刚体球面，法向分量都是零蛋，所以特简单。
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d**********h
发帖数: 2795 | 47 只说说弧长微分表达的意思
当然可以写在球系里，无非是r,theta,psi之类的。最终归结为两个变量的积分问题
你要是愿意，还可以写在随动坐标系里，那就是微分几何的概念了，坐标轴的微分也不
再是零了。在扯一扯就出来克里斯托付符号，在扯一扯就是广义相对论里的那个g张量
你可以写，但是不一定能积出来。复杂曲面，复杂路径说不定最后就出个椭圆积分之类
的东西
以上为半吊子民科呓语
【在 t******l 的大作中提到】
: btw 你这么用 x y z 轴方向直接死算太累，你要用矢量代数，球切面向、球法向，球
: 切面向里搞底面投影圆切向、法向，用矢量代数，我待会儿算给你看，这个很快。
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B********e
发帖数: 10014 | 48 线积分不算二娃积分，最终都是theta一个
【在 d**********h 的大作中提到】
: 这个靠谱，就是微分弧长表达，然后积分
: ds=sqrt(dxdx+dydy+dzdz)
: 然后参数方程写出dx,dy,dz的关系，最终二维积分，关于theta和z
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B********e
发帖数: 10014 | 49 而且没有其他方向的约束条件，你算什么呢
圆柱时候每转一圈升一米的要求，在球体时是什么？
【在 t******l 的大作中提到】
: 因为是刚体球面，法向分量都是零蛋，所以特简单。
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w**d
发帖数: 2334 | 50 都喜欢争啊，就是L'（theta）是常数，然后绕一圈的话L增加1.
【在 B********e 的大作中提到】
: 而且没有其他方向的约束条件，你算什么呢
: 圆柱时候每转一圈升一米的要求，在球体时是什么？
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n***p
发帖数: 7668 | 51 都是闲得蛋疼，其实就是写出曲线的参数方程然后积分。
【在 w**d 的大作中提到】
: 都喜欢争啊，就是L'（theta）是常数，然后绕一圈的话L增加1.
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B********e
发帖数: 10014 | 52 你这样要求当然把搽屁股纸都省了
问题是这样合理吗？想象antman在球上扯着绳子跑，切速度常量比较合理。所以
timefall的建议值得考虑。我只是帮助他细化一下哈哈
【在 w**d 的大作中提到】
: 都喜欢争啊，就是L'（theta）是常数，然后绕一圈的话L增加1.
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B********e
发帖数: 10014 | 53 龙吸早就说明白了，你跟着念一遍么
【在 n***p 的大作中提到】
: 都是闲得蛋疼，其实就是写出曲线的参数方程然后积分。
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n***p
发帖数: 7668 | 54 对了，应该引用你们俩的帖子。
【在 B********e 的大作中提到】
: 龙吸早就说明白了，你跟着念一遍么
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t******l
发帖数: 10908 | 55 娘的，算个球的 helix 这么简单的情况哪有你说的那么烦？
我先不贴图和计算，就把过程的 text 给贴一下：
conditions:
1) radius of sphere is 1
2) it take one revolution for "single helicoid curve-up" from
south pole to north pole
----------------------
h = t
alpha = pi * t
----------------------
v_latitude
= sqrt(1-t^2) * d(alpha)/dt
= pi * sqrt(1-t^2)
v_longitude
= 1/sqrt(1-t^2) * d(h)/dt
= 1/sqrt(1-t^2)
------------------------
vector_abs(v_vector)
= sqrt( v_latitude ^ 2 + v_longitude ^ 2 )
------------------------
length
= 2 * integral_t_from_0_to_1(vector_abs(v_vector))
------------------------
剩下计算部分烦交吉米多维奇去算。
【在 d**********h 的大作中提到】
: 只说说弧长微分表达的意思
: 当然可以写在球系里，无非是r,theta,psi之类的。最终归结为两个变量的积分问题
: 你要是愿意，还可以写在随动坐标系里，那就是微分几何的概念了，坐标轴的微分也不
: 再是零了。在扯一扯就出来克里斯托付符号，在扯一扯就是广义相对论里的那个g张量
: 你可以写，但是不一定能积出来。复杂曲面，复杂路径说不定最后就出个椭圆积分之类
: 的东西
: 以上为半吊子民科呓语
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d**********h
发帖数: 2795 | 56 是，先写的一维，后来一迷糊改成二维
应该是一维，本质上就是沿弧长积分
【在 B********e 的大作中提到】
: 线积分不算二娃积分，最终都是theta一个
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w**d
发帖数: 2334 | 57 这个本来就该给出问题的时候定义。现在不都是扯吗。说到底就是要某一个方向导数的
mo等于
常数，就看你选哪个方向了
【在 B********e 的大作中提到】
: 你这样要求当然把搽屁股纸都省了
: 问题是这样合理吗？想象antman在球上扯着绳子跑，切速度常量比较合理。所以
: timefall的建议值得考虑。我只是帮助他细化一下哈哈
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B********e
发帖数: 10014 | 58 你们都不能温柔点么
【在 w**d 的大作中提到】
: 这个本来就该给出问题的时候定义。现在不都是扯吗。说到底就是要某一个方向导数的
: mo等于
: 常数，就看你选哪个方向了
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t******l
发帖数: 10908 | |
t******l
发帖数: 10908 | 60 楼主原话说的是 “每转 1 圈，上升 1 米”。
按常理，这话的意思也应该是：“每转 2 圈，上升 2 米”，“每转 1/2 圈，上升
1/2 米”，“每转 1/1000 圈，上升 1/1000 米”，等等等等。
【在 w**d 的大作中提到】
: 这个本来就该给出问题的时候定义。现在不都是扯吗。说到底就是要某一个方向导数的
: mo等于
: 常数，就看你选哪个方向了
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d****g
发帖数: 7460 | 61 求答案。好比转一圈上升R。答案是多少呢？2派R 够吗？
【在 t******l 的大作中提到】
: 楼主原话说的是 “每转 1 圈，上升 1 米”。
: 按常理，这话的意思也应该是：“每转 2 圈，上升 2 米”，“每转 1/2 圈，上升
: 1/2 米”，“每转 1/1000 圈，上升 1/1000 米”，等等等等。
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w**d
发帖数: 2334 | 62 那是。在这这么说估计就够了，要出题给学生的话就得啰嗦了。对了，我刚才写成了
L'，应该是z'
【在 t******l 的大作中提到】
: 楼主原话说的是 “每转 1 圈，上升 1 米”。
: 按常理，这话的意思也应该是：“每转 2 圈，上升 2 米”，“每转 1/2 圈，上升
: 1/2 米”，“每转 1/1000 圈，上升 1/1000 米”，等等等等。
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t******l
发帖数: 10908 | 63 吉米多维奇哥们发电报说伊还在睡懒觉，不给我算积分。让我用免费的 scilab
电算。（特么那哥们真一毛不拔啊）。
俺用免费的 scilab 电算了一下，结果差不多是 10.053779。见附件。
另外谁把那谁谁谁的汹涌波涛，给用 helicoid 的姿势捆一圈量一量，看看结果
是不是差不多？ |
k******v
发帖数: 581 | 64 这个题目初中生可以解：
把柱子表面铺平，那么这个曲线就是对角线，那么勾股定理就可以了。 |
t******l
发帖数: 10908 | 65 哥们抠门了点吧，绳子很贵么？
当然现在拍片子都不用胶卷冲洗了，绳子这种 expendable 省一寸是一寸不是？
【在 d****g 的大作中提到】
: 求答案。好比转一圈上升R。答案是多少呢？2派R 够吗？
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t******l
发帖数: 10908 | 66 成人一般不爱水桶型飞机场吧，口味独特的另说。
大伙儿现在不都在折腾两个波涛汹涌的半球加起来的搞法？
【在 k******v 的大作中提到】
: 这个题目初中生可以解：
: 把柱子表面铺平，那么这个曲线就是对角线，那么勾股定理就可以了。
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t*********3
发帖数: 4304 | 67 一共绕了8个螺旋圈，只要计算一个螺旋圈的距离就可以。
把圆柱刨开，这个螺旋圈就变成了等腰三角形的两个腰部。底部是一米，高度是3.14米
，所以三角形的腰是3.179米，这个螺旋圈的长度是6.358米。
8圈就是50.864米。 |
t******l
发帖数: 10908 | 68 三围绕绳这种可能出现偏微分的情况，最好写成 d(啥)/d(嘎)，否则看的人容易
糊涂往哪个角度绕绳子。
【在 w**d 的大作中提到】
: 那是。在这这么说估计就够了，要出题给学生的话就得啰嗦了。对了，我刚才写成了
: L'，应该是z'
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t******l
发帖数: 10908 | 69 又逮住一个爱捆水桶型飞机场的。。。
【在 t*********3 的大作中提到】
: 一共绕了8个螺旋圈，只要计算一个螺旋圈的距离就可以。
: 把圆柱刨开，这个螺旋圈就变成了等腰三角形的两个腰部。底部是一米，高度是3.14米
: ，所以三角形的腰是3.179米，这个螺旋圈的长度是6.358米。
: 8圈就是50.864米。
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t*********3
发帖数: 4304 | 70 原题目描述不是很清楚，我觉得必须得澄清是绳子是匀速上升，完成一圈上升一米。要
不然和小孩子讨论这种题目没有意思。
【在 t******l 的大作中提到】
: 又逮住一个爱捆水桶型飞机场的。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 71 原题的描述，按常理习惯是准确的，是 Helicoid，见附图。
而你解释成的 “匀速”，反而造成了模糊性和二义性。
【在 t*********3 的大作中提到】
: 原题目描述不是很清楚，我觉得必须得澄清是绳子是匀速上升，完成一圈上升一米。要
: 不然和小孩子讨论这种题目没有意思。
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t******l
发帖数: 10908 | 72 我得换张图，那张是 double helicoid，不是 single。我去找图。
【在 t******l 的大作中提到】
: 原题的描述，按常理习惯是准确的，是 Helicoid，见附图。
: 而你解释成的 “匀速”，反而造成了模糊性和二义性。
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w**d
发帖数: 2334 | 73 是的，刚才用手机偷懒了 - 也是因为写dL 或dS的话也容易看成一个变量。
【在 t******l 的大作中提到】
: 三围绕绳这种可能出现偏微分的情况，最好写成 d(啥)/d(嘎)，否则看的人容易
: 糊涂往哪个角度绕绳子。
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t******l
发帖数: 10908 | 74 看这张图，把 double helicoid 的两边画成不一样，每边是 single helicoid。
【在 t******l 的大作中提到】
: 原题的描述，按常理习惯是准确的，是 Helicoid，见附图。
: 而你解释成的 “匀速”，反而造成了模糊性和二义性。
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t*********3
发帖数: 4304 | 75 那展开到一个平面的话，这个三维曲线会变成平面上的直线还是弧线？
【在 t******l 的大作中提到】
: 看这张图，把 double helicoid 的两边画成不一样，每边是 single helicoid。
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t******l
发帖数: 10908 | 76 如果是对准中心轴捆水桶型飞机场，展成平面后是直线。
如果是 single helicoid 捆波涛汹涌的，首先无二义地定义 “展开到一个平面”
（可以用 xform geometry 的概念定义）。否则罗素又哭晕在厕所。
【在 t*********3 的大作中提到】
: 那展开到一个平面的话，这个三维曲线会变成平面上的直线还是弧线？
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B********e
发帖数: 10014 | 77 这个答案is my favorite
【在 t*********3 的大作中提到】
: 一共绕了8个螺旋圈，只要计算一个螺旋圈的距离就可以。
: 把圆柱刨开，这个螺旋圈就变成了等腰三角形的两个腰部。底部是一米，高度是3.14米
: ，所以三角形的腰是3.179米，这个螺旋圈的长度是6.358米。
: 8圈就是50.864米。
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t*********3
发帖数: 4304 | 78 明白了，原来家长们都喜欢做helicoid和高等数学。
我只记得当时小学初中的时候，很多题目都是尽量简化。
【在 t******l 的大作中提到】
: 如果是对准中心轴捆水桶型飞机场，展成平面后是直线。
: 如果是 single helicoid 捆波涛汹涌的，首先无二义地定义 “展开到一个平面”
: （可以用 xform geometry 的概念定义）。否则罗素又哭晕在厕所。
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t******l
发帖数: 10908 | 79 确切的说，应该是近代数学思想，没有高等初等一说。
其实如果电算的话，这个一点都不麻烦，就是十分钟的题目。
或者电报吉米多维奇给最后算个积分，不过那哥们很懒，经常回电报让我等用免费软件
电算。
【在 t*********3 的大作中提到】
: 明白了，原来家长们都喜欢做helicoid和高等数学。
: 我只记得当时小学初中的时候，很多题目都是尽量简化。
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t******l
发帖数: 10908 | 80 其实这个解法，跟上次小学扣篮足球着色题，基本思路是一回事。
这个解法也就是按经纬线切环，然后用猴版矢量代数降维求解。
所以 cutting plane 确实是一招鲜，不管是离散数学还是数学分析，通吃不误。
【在 t******l 的大作中提到】
: 娘的，算个球的 helix 这么简单的情况哪有你说的那么烦？
: 我先不贴图和计算，就把过程的 text 给贴一下：
: conditions:
: 1) radius of sphere is 1
: 2) it take one revolution for "single helicoid curve-up" from
: south pole to north pole
: ----------------------
: h = t
: alpha = pi * t
: ----------------------
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t******l
发帖数: 10908 | 81 另外你看我的那个求球面上曲线解法，不算最后求积分的话，也就是一条
勾股定理打天下了，连三角函数都不需要。所使用的具体数学知识不会超过
AMC 8，在友谊村属于刚过 6 年级及格线（仅指具体的数学知识方面）。
最后一步求积分可以用免费软件 scilab 电算，也就是调一次函数。调个函数
不需要啥具体数学知识。
所以我觉得这个很难说成 “高等数学”。pre-algebra 的数学知识就够用的，
咋也扯不上啥 “高等”。我觉得用 “近代数学思想” 这个词，（相对于初中
欧几里德型的 “古代数学思想” 而言），更确切一些。
【在 t*********3 的大作中提到】
: 明白了，原来家长们都喜欢做helicoid和高等数学。
: 我只记得当时小学初中的时候，很多题目都是尽量简化。
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t******l
发帖数: 10908 | 82 不过从这个角度看，“近代数学” 的思想，我觉得只要能 ready，在中小学
的时候完全值得去了解学习。即使对 AMC / AIME 啥的未必有直接的作用，
我觉得也是值得的。
或者就拿这道题做例子，试想，如果在中小学的时候，就正确建立了良好的
“猴版微分几何思想 / 猴版约束力学思想” （不是指 spiral 一下就囫囵
吞枣、记忆公式，然后去对付考试的那种 AP 搞法）。那大学里啥啥啥微分
几何等等等等，也就是搞个熟练工不是？甚至这种浪费时间的钻牛角尖的课
程都不需要去上。工作时老板需要干啥，按需上网 google 一下花半天搞
懂个底朝天，就完事了。on-demand push-button。
那样的话，那么大学逃课恋爱打炮怀孕生娃，30 岁前搞定人生的大好日子，
是不是就一眼望不到边了？（SM 捆绑就算了，前面那就是一说，毕竟健康
不变态是实实在在的玩意儿。）
【在 t******l 的大作中提到】
: 另外你看我的那个求球面上曲线解法，不算最后求积分的话，也就是一条
: 勾股定理打天下了，连三角函数都不需要。所使用的具体数学知识不会超过
: AMC 8，在友谊村属于刚过 6 年级及格线（仅指具体的数学知识方面）。
: 最后一步求积分可以用免费软件 scilab 电算，也就是调一次函数。调个函数
: 不需要啥具体数学知识。
: 所以我觉得这个很难说成 “高等数学”。pre-algebra 的数学知识就够用的，
: 咋也扯不上啥 “高等”。我觉得用 “近代数学思想” 这个词，（相对于初中
: 欧几里德型的 “古代数学思想” 而言），更确切一些。
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w**d
发帖数: 2334 | 83 到底啥是高等数学？从来没上过这个名字的课，虽然我偶尔也用这个词，但一直没有
很清晰的知道什么是高等数学。以微积分数学分析为分界线? 大学里有初等数论这门课，
算初等数学 - 因为名字里有初等两字？
【在 t******l 的大作中提到】
: 另外你看我的那个求球面上曲线解法，不算最后求积分的话，也就是一条
: 勾股定理打天下了，连三角函数都不需要。所使用的具体数学知识不会超过
: AMC 8，在友谊村属于刚过 6 年级及格线（仅指具体的数学知识方面）。
: 最后一步求积分可以用免费软件 scilab 电算，也就是调一次函数。调个函数
: 不需要啥具体数学知识。
: 所以我觉得这个很难说成 “高等数学”。pre-algebra 的数学知识就够用的，
: 咋也扯不上啥 “高等”。我觉得用 “近代数学思想” 这个词，（相对于初中
: 欧几里德型的 “古代数学思想” 而言），更确切一些。
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t******l
发帖数: 10908 | 84 属实。“高等数学” 这词儿是哪个傻叉发明的？从来也没被明确定义过。
课，
【在 w**d 的大作中提到】
: 到底啥是高等数学？从来没上过这个名字的课，虽然我偶尔也用这个词，但一直没有
: 很清晰的知道什么是高等数学。以微积分数学分析为分界线? 大学里有初等数论这门课，
: 算初等数学 - 因为名字里有初等两字？
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d**********h
发帖数: 2795 | 85 我觉得，这个词的定位不是对初等数学，而是“精细分类”数学
比如数分，高代，概率，泛函。。。
【在 t******l 的大作中提到】
: 属实。“高等数学” 这词儿是哪个傻叉发明的？从来也没被明确定义过。
:
: 课，
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w**d
发帖数: 2334 | 86 高代是线性代数？
【在 d**********h 的大作中提到】
: 我觉得，这个词的定位不是对初等数学，而是“精细分类”数学
: 比如数分，高代，概率，泛函。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 87 我明白了，简而言之就是 “实用数学” vs “球用数学”。
谢谢。
【在 d**********h 的大作中提到】
: 我觉得，这个词的定位不是对初等数学，而是“精细分类”数学
: 比如数分，高代，概率，泛函。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 88 球用尖端线性矩阵代数
【在 w**d 的大作中提到】
: 高代是线性代数？
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d****g
发帖数: 7460 | 89 这道题让我这准文科生感受到了人类的渺小。
一个理想的球都这么难。要是复活节缠鸡蛋咋办？ |
t******l
发帖数: 10908 | 90 椭球有啥难，也就是 把 10 分钟的活变成 15 分钟，而且多出来的那 5 分钟就是体力
活。
【在 d****g 的大作中提到】
: 这道题让我这准文科生感受到了人类的渺小。
: 一个理想的球都这么难。要是复活节缠鸡蛋咋办？
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c***x
发帖数: 1826 | 91
这个楼实在是欢乐。
既然广义相对论都出来了，那么nerd们说说，人乘着宇宙飞船，进行光速飞行，到底是
否可能？
看完星球大战后觉得唯一有趣的问题。
【在 d**********h 的大作中提到】
: 我觉得，这个词的定位不是对初等数学，而是“精细分类”数学
: 比如数分，高代，概率，泛函。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 92 我刚才联想到 F-117 vs F-22 / B-2 的壳子，突然领悟到 “球用数学” 虽然
不算 “石器时代数学”，但基本是 “肉算时代数学”。
我觉得首先是分析一下 “球用数学” vs “实用数学” 的最大差别是在啥地方。
我觉得 “球用数学” 本质是追求复杂问题也能把解写成 closed form。写不出
closed form 就霸王硬上弓，上各种奇奇怪怪的符号，装鼻也要装出个 closed
form。
而 “实用数学” 只研究简单基本问题写成 closed form（图灵机也费电不是，
也得考虑低碳环保，而且慢到花儿也谢了这也不成）。对于复杂实际问题，
“实用数学” 更热衷于利用 mathematical structure 横切竖砍、庖丁解牛，
把问题降解成简单基本的问题。而这过程就不再热衷于 closed form，只要
能图灵电算就足够了。
这个最最生动的例子，就是 F-117 vs F-22 / B-2 的壳子：
“球用数学” 的 closed form，撑死也只能算 F-117 这种古代 polygon 壳子
的飞机。
而计算 F-22 / B-2 的壳子，再咋地也不可能搞成 closed form 吧。人既不是
polygon 也不是 sphere。既然都强烈依赖电算了，除了简单基本的问题要低碳环保，
剩下的是不是 closed form 就不重要了。吉米多维奇哥们没您啥事了，继续睡懒觉。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我明白了，简而言之就是 “实用数学” vs “球用数学”。
: 谢谢。
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t******l
发帖数: 10908 | 93 切速度也不是常量。
【在 B********e 的大作中提到】
: 你这样要求当然把搽屁股纸都省了
: 问题是这样合理吗？想象antman在球上扯着绳子跑，切速度常量比较合理。所以
: timefall的建议值得考虑。我只是帮助他细化一下哈哈
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d**********h
发帖数: 2795 | 94 呵呵，喜欢潮水兄的图片，虽然对其理论保留意见 :)
【在 t******l 的大作中提到】
: 我刚才联想到 F-117 vs F-22 / B-2 的壳子，突然领悟到 “球用数学” 虽然
: 不算 “石器时代数学”，但基本是 “肉算时代数学”。
: 我觉得首先是分析一下 “球用数学” vs “实用数学” 的最大差别是在啥地方。
: 我觉得 “球用数学” 本质是追求复杂问题也能把解写成 closed form。写不出
: closed form 就霸王硬上弓，上各种奇奇怪怪的符号，装鼻也要装出个 closed
: form。
: 而 “实用数学” 只研究简单基本问题写成 closed form（图灵机也费电不是，
: 也得考虑低碳环保，而且慢到花儿也谢了这也不成）。对于复杂实际问题，
: “实用数学” 更热衷于利用 mathematical structure 横切竖砍、庖丁解牛，
: 把问题降解成简单基本的问题。而这过程就不再热衷于 closed form，只要
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t*******d
发帖数: 12895 | 95 目测结果差不多是 10
【在 t******l 的大作中提到】
: 吉米多维奇哥们发电报说伊还在睡懒觉，不给我算积分。让我用免费的 scilab
: 电算。（特么那哥们真一毛不拔啊）。
: 俺用免费的 scilab 电算了一下，结果差不多是 10.053779。见附件。
: 另外谁把那谁谁谁的汹涌波涛，给用 helicoid 的姿势捆一圈量一量，看看结果
: 是不是差不多？
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t******l
发帖数: 10908 | 96 牛眼！！！！！
请目测一下绕两圈是多长，三四五六七八九十圈各是多长，谢谢。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 目测结果差不多是 10
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t*******d
发帖数: 12895 | 97 你算的就是两圈吧？
每多一圈加5的样子，纯目测
【在 t******l 的大作中提到】
: 牛眼！！！！！
: 请目测一下绕两圈是多长，三四五六七八九十圈各是多长，谢谢。
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t******l
发帖数: 10908 | 98 我算的是一圈。
两圈很容易，v_latitude 乘以 2。我手机上没有 scilab，待会儿电算。
当然我也有可能推导错误，如有错请指正。
另外我那个数字积分没有 computational massage 过，在 t=1 是被积分表达式无穷大
，不知道 scilab 的处理如何，不过我可以待会儿 computational massage 一下避免
被积分表达式无穷大。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 你算的就是两圈吧？
: 每多一圈加5的样子，纯目测
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t******l
发帖数: 10908 | 99 这种 computational massage 很容易。
不考虑计算成本的，用超越函数 cos() 换元。
考虑计算成本让老板开心的，分两段，出现无穷大的那段换元 u = sqrt(1-t^2) 或者
其他类似啥的，凑成消去无穷大，但不引入超越函数。
总之都是体力活，我懒。有谁打电报让吉米多维奇干这 computational massage 的体
力活。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我算的是一圈。
: 两圈很容易，v_latitude 乘以 2。我手机上没有 scilab，待会儿电算。
: 当然我也有可能推导错误，如有错请指正。
: 另外我那个数字积分没有 computational massage 过，在 t=1 是被积分表达式无穷大
: ，不知道 scilab 的处理如何，不过我可以待会儿 computational massage 一下避免
: 被积分表达式无穷大。
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t******l
发帖数: 10908 | 100 还有就是建模时直接用超越函数 cos 或者分两段。
概念上就是这 Helicoid 就是速度相对角速度，时间轴可以任取。取合适的时间轴避免
速度无穷大，更直接了当。而且可以看到函数的 condition 是不是够好，计算精确收
敛快。
但这些总之都是 computational massage 的体力活，小儿科。没支票我不干了。
【在 t******l 的大作中提到】
: 这种 computational massage 很容易。
: 不考虑计算成本的，用超越函数 cos() 换元。
: 考虑计算成本让老板开心的，分两段，出现无穷大的那段换元 u = sqrt(1-t^2) 或者
: 其他类似啥的，凑成消去无穷大，但不引入超越函数。
: 总之都是体力活，我懒。有谁打电报让吉米多维奇干这 computational massage 的体
: 力活。
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r*g
发帖数: 3159 | 101 高等数学还是有电算用途的。例如你这个飞机外壳，丘成桐的学生就证明出样条函数不
够用，要与时俱进上电算化的共形几何，会画的更好。
再比如你好像做优化，那拉格朗日乘子，也算将将高等数学吧。也是电算一样用到，不
是只肉算没球用。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我刚才联想到 F-117 vs F-22 / B-2 的壳子，突然领悟到 “球用数学” 虽然
: 不算 “石器时代数学”，但基本是 “肉算时代数学”。
: 我觉得首先是分析一下 “球用数学” vs “实用数学” 的最大差别是在啥地方。
: 我觉得 “球用数学” 本质是追求复杂问题也能把解写成 closed form。写不出
: closed form 就霸王硬上弓，上各种奇奇怪怪的符号，装鼻也要装出个 closed
: form。
: 而 “实用数学” 只研究简单基本问题写成 closed form（图灵机也费电不是，
: 也得考虑低碳环保，而且慢到花儿也谢了这也不成）。对于复杂实际问题，
: “实用数学” 更热衷于利用 mathematical structure 横切竖砍、庖丁解牛，
: 把问题降解成简单基本的问题。而这过程就不再热衷于 closed form，只要
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t******l
发帖数: 10908 | 102 我前面就是开玩笑一说。我也没算过那隐形壳子不是。这些其实我都不懂。
我觉得真正有变革的东西，哪怕是鸡毛蒜皮级别的变革，只要是真货，都是潜在有大用
处的。(潜在是指受制于市场应用上有没有创建需求)。
问题我觉得是在于很多诸如吉米多维奇习题集级别的小 trick，敌不过 intel 数学协
处理器和超级标量流水线这种暴力行为。这是大实话，小 trick 们已经输掉过很多次
了。
【在 r*g 的大作中提到】
: 高等数学还是有电算用途的。例如你这个飞机外壳，丘成桐的学生就证明出样条函数不
: 够用，要与时俱进上电算化的共形几何，会画的更好。
: 再比如你好像做优化，那拉格朗日乘子，也算将将高等数学吧。也是电算一样用到，不
: 是只肉算没球用。
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t******l
发帖数: 10908 | 103 看来用 scilab 求数值积分，函数的 condition 也不能烂到无穷大的出现。
（画外音：免费的，不指望了）。
没人给支票我就先用三角函数了，至少保证 condition 够好，计算时间那点儿
无所谓。
结果 computational massage 以后，算出来的结果差好大。
哎呀妈呀，这捆绑那波涛汹涌的谁谁谁的要求也太高了吧，先要精油 massage
一遍啊啊啊！！！
重新算的 scilab 的结果（推导见下页）：
--> 2 * integrate('sqrt((%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2)
ans =
6.2625797 |
t******l
发帖数: 10908 | 104 推导过程：
conditions:
1) radius of sphere is 1
2) it take one revolution for "helicoid curve-up" from south pole to north
----------------------
h = sin(t)
alpha = pi * h = pi * sin(t)
----------------------
v_latitude
= cos(t) * d(alpha)/dt
= pi * (cos(t))^2
v_longitude
= 1
------------------------
vec_abs(v_vector)
= sqrt( v_latitude ^ 2 + v_longitude ^ 2 )
= sqrt( pi^2 * (cos(t))^4 + 1)
------------------------
length
= 2 * integral_from_0_to_half_pi(vec_abs(v_vector))
【在 t******l 的大作中提到】
: 看来用 scilab 求数值积分，函数的 condition 也不能烂到无穷大的出现。
: （画外音：免费的，不指望了）。
: 没人给支票我就先用三角函数了，至少保证 condition 够好，计算时间那点儿
: 无所谓。
: 结果 computational massage 以后，算出来的结果差好大。
: 哎呀妈呀，这捆绑那波涛汹涌的谁谁谁的要求也太高了吧，先要精油 massage
: 一遍啊啊啊！！！
: 重新算的 scilab 的结果（推导见下页）：
: --> 2 * integrate('sqrt((%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2)
: ans =
|
t******l
发帖数: 10908 | 105 massage 过以后的结果积分表达式见附图。 |
t******l
发帖数: 10908 | 106 电算结果（函数的 condition 应该还可以，被积表达式最大值差不多 3.3，最小值 1，
变量横扫范围差不多 1.1 不到点)。
--> 2 * integrate('sqrt((%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2)
ans =
6.2625797
【在 t******l 的大作中提到】
: massage 过以后的结果积分表达式见附图。
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t******l
发帖数: 10908 | 107 球上捆绑 1 到 10 圈的长度结果（call me 雷锋，please）：
-->2 * integrate('sqrt((1*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
6.2625797
-->2 * integrate('sqrt((2*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
10.833098
-->2 * integrate('sqrt((3*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
15.597487
-->2 * integrate('sqrt((4*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
20.428742
-->2 * integrate('sqrt((5*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
25.29218
-->2 * integrate('sqrt((6*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
30.173986
-->2 * integrate('sqrt((7*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
35.067432
-->2 * integrate('sqrt((8*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
39.9688
-->2 * integrate('sqrt((9*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
44.875846
-->2 * integrate('sqrt((10*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
1.e-48)
ans =
49.787127 |
t*******d
发帖数: 12895 | 108 大赞，
也小赞自己目测不算太离谱
,
,
【在 t*******d 的大作中提到】
: 你算的就是两圈吧？
: 每多一圈加5的样子，纯目测
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t******l
发帖数: 10908 | 109 其实做数值积分，按常规是应该看一下函数的 condition 的。体力活也是不能省的。
当然，实际情况常常是没法目测。所以捅了漏子也不一定知道是谁捅的篓子，漏子在哪
里都不一定知道。至于高层老板，都不一定知道这种漏子为何物。
这混日子的好日子一眼望不到边啊。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 大赞，
: 也小赞自己目测不算太离谱
:
: ,
: ,
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c***x
发帖数: 1826 | 110
,
,
赞一边灌水，一边上软件的娱乐方式，和孜孜以求的钻研精神。
你那两娃，如果不跟着你好好学，狠狠玩，真是暴殄天物啊。
【在 t******l 的大作中提到】
: 球上捆绑 1 到 10 圈的长度结果（call me 雷锋，please）：
: -->2 * integrate('sqrt((1*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
: 1.e-48)
: ans =
: 6.2625797
: -->2 * integrate('sqrt((2*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
: 1.e-48)
: ans =
: 10.833098
: -->2 * integrate('sqrt((3*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
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t******l
发帖数: 10908 | 111 另外虽然没有做实际分析，但这种情况在实际系统里，用三角函数不一定比只用代数运
算慢，因为这个例子 by nature 用三角函数的表达式积分的函数 condition 最好。虽
然三角函数计算慢，但综合起来就不好说。要实测才行。
像这种函数 condition 导致计算速度收敛速度的差别，混日子就行了。捅个小漏子特
么几年也不一定被发现。混日子的好日子又望不到边。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 大赞，
: 也小赞自己目测不算太离谱
:
: ,
: ,
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w**d
发帖数: 2334 | 112 很多时候有后验误差估计，不会不知道自己在算什么，也有很多人就是一顿乱算。
你这个三角函数慢是什么道理？还有的是你不能拿个数值积分器就开算，
函数不一样，不同的方法差异很大。不过这个题，就一个一维积分，而且
还知道被积函数的表达式，应该不难。
【在 t******l 的大作中提到】
: 另外虽然没有做实际分析，但这种情况在实际系统里，用三角函数不一定比只用代数运
: 算慢，因为这个例子 by nature 用三角函数的表达式积分的函数 condition 最好。虽
: 然三角函数计算慢，但综合起来就不好说。要实测才行。
: 像这种函数 condition 导致计算速度收敛速度的差别，混日子就行了。捅个小漏子特
: 么几年也不一定被发现。混日子的好日子又望不到边。
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d****g
发帖数: 7460 | 113 绑一圈6.26....基本就是2pi r ...有意思。
,
,
【在 t******l 的大作中提到】
: 球上捆绑 1 到 10 圈的长度结果（call me 雷锋，please）：
: -->2 * integrate('sqrt((1*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
: 1.e-48)
: ans =
: 6.2625797
: -->2 * integrate('sqrt((2*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
: 1.e-48)
: ans =
: 10.833098
: -->2 * integrate('sqrt((3*%pi)^2 * (cos(t))^4 + 1)', 't', 0, %pi/2, 1.e-12,
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t******l
发帖数: 10908 | 114 上网灌水一般数值积分还是可以随便开的。上网灌水这种简单玩意儿，函数 condition
的差异一般不会搞到结果错的离谱。
这次是因为出现无穷大，所以错的离谱。当然这我也没预料到就是了。正常的情形下不
会这么搞。
三角函数慢，是指计算三角函数需要更多时间和协处理器资源。
后验误差估计，对迭代计算寻找优化结果，其实也不太能保证啥。累积的 round off
noise 对结果的影响，我觉得也没人敢真正打包票。否则也就不会出现常见的换个顺序
计算，结果就差别不小的情况。
当然还是需要估计一下，保证不会错得太离谱到连上层老板都吃不下饭的程度。。
【在 w**d 的大作中提到】
: 很多时候有后验误差估计，不会不知道自己在算什么，也有很多人就是一顿乱算。
: 你这个三角函数慢是什么道理？还有的是你不能拿个数值积分器就开算，
: 函数不一样，不同的方法差异很大。不过这个题，就一个一维积分，而且
: 还知道被积函数的表达式，应该不难。
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t******l
发帖数: 10908 | 115 其实有兼顾函数 condition 和避免用三角函数的办法的。
对这题而言，最简单的就是换元建模时分两段，各段里用二次函数换元来替代三角函数
换元。解析几何图景里就是用两个 parabolic curve 换元，来替代用一个 Sine curve
换元，来避免三角函数计算。
当然这样就不能保持 v_longitude 一直等于 1。但这换元本身的目的只是
computational massage，也没有必要把无穷大直接敲在地板上永远等于 1。
当然总而言之这些都是特么体力活，等我吃饱了撑的时候再说。
【在 w**d 的大作中提到】
: 很多时候有后验误差估计，不会不知道自己在算什么，也有很多人就是一顿乱算。
: 你这个三角函数慢是什么道理？还有的是你不能拿个数值积分器就开算，
: 函数不一样，不同的方法差异很大。不过这个题，就一个一维积分，而且
: 还知道被积函数的表达式，应该不难。
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t******l
发帖数: 10908 | 116 发现这题还 too 简单，这题的 sin 只用到 0 到 pi/2，一个 parabolic 就完事了，
不用分段了。
其实就一个无穷大点，显然不用分段。刚才想多了。
curve
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实有兼顾函数 condition 和避免用三角函数的办法的。
: 对这题而言，最简单的就是换元建模时分两段，各段里用二次函数换元来替代三角函数
: 换元。解析几何图景里就是用两个 parabolic curve 换元，来替代用一个 Sine curve
: 换元，来避免三角函数计算。
: 当然这样就不能保持 v_longitude 一直等于 1。但这换元本身的目的只是
: computational massage，也没有必要把无穷大直接敲在地板上永远等于 1。
: 当然总而言之这些都是特么体力活，等我吃饱了撑的时候再说。
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t******l
发帖数: 10908 | 117 Parabolic 换元的 computational massage，避免三角函数，函数 condition
也不错。计算了从 1 圈 到 10 圈的长度。
体力活，call me 雷锋 again。（待会儿贴上推导过程）：
-->4 * integrate('sqrt((1*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
6.2625797
-->4 * integrate('sqrt((2*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
10.833098
-->4 * integrate('sqrt((3*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
15.597487
-->4 * integrate('sqrt((4*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
20.428742
-->4 * integrate('sqrt((5*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
25.29218
-->4 * integrate('sqrt((6*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
30.173986
-->4 * integrate('sqrt((7*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
35.067432
-->4 * integrate('sqrt((8*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
39.9688
-->4 * integrate('sqrt((9*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0,
1.e-12, 1.e-48)
ans =
44.875846
-->4 * integrate('sqrt((10*%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0
, 1.e-12, 1.e-48)
ans =
49.787127 |
t******l
发帖数: 10908 | 118 parabolic 换元后得到的积分公式见附图: |
t******l
发帖数: 10908 | 119 推导过程：
conditions:
1) radius of sphere is 1
2) it take one revolution for "helicoid curve-up" from south pole to north
pole
----------------------
t => in range [-1, 0]
h = (1-t^2)
alpha = pi * h = pi*(1-t^2)
----------------------
v_latitude
= sqrt(1-h^2) * d(alpha)/dt
= 2*pi*(t^2)*sqrt(2-t^2)
v_longitude
= 1/sqrt(1-h^2) * d(h)/dt
= 2/sqrt(2-t^2)
------------------------
vector_abs(v_vector)
= sqrt( v_latitude ^ 2 + v_longitude ^ 2 )
------------------------
length
= 2 * integral_from_0_to_1(vector_abs(v_vector))
------------------------
scilab integration code & result:
--> 4 * integrate('sqrt((%pi)^2 * t^4 *(2-t^2) + 1 / (2-t^2))', 't', -1, 0)
ans =
6.2625797 |
t******l
发帖数: 10908 | 120 好，既避免了三角函数，确保把这题下放到 AMC 8 以下水平，同时还保证
函数 condition 够好，做数值积分精确。避免了三角函数也更省 CPU 和
数学库函数不是？
这能不能算成把老邱的：“用自行车捡瓶子，又快又好” 的精神发扬光大？
Call me 雷锋 again，please。 |
