t******l
发帖数: 10908 | 1 这事出有因是因为一道破题涉及到平行公理。于是俺就强调了一下平行公理是欧几里德
平面几何的核心，让娃上网查 Euclid's fifth postulate 后解释给俺听。
然后娃开始罗罗嗦嗦开始叙述 parallel 然后 angle 啥的。。。
俺一听 angle 就急了，说特么欧几里德又不是文科生说话那么罗嗦，你说的这个是
theorem of angles and parallel lines。。。平行公理就是“过直线外一点有且仅有
一条平行线”，你说的这些都可以从 postulate 开始证明。。。如果追求概念图景但
追求特别严格的扣牛角尖的话，这么整。。。
首先用平行公理证明四个直角的矩形存在。。。娃目瞪口呆说这也要证明， 我说废话
你们数学老师画了三个直角咋知道第四个一定是直角，然后我拿出一个排球说，看看排
球上的球面上矩形好了。。。
遂左膀往“角度”一路奔过去，可以证明娃你刚才说的 theorem of angles and
parallel lines。。。继续往下还可以证明三角形内角和是 180 度。。。娃又目瞪口
呆说这也要证明？我问你们数学老师证明过没有？娃想了想确实没有证明过。。。
遂右臂往“长度”一路奔去，可以证明勾股定理，于是解析几何都有了。。。娃再目瞪
口呆说，你以前教的证明勾股定理从来没用过啥平行公理。。。我说那是我默认了四个
直角的矩形的存在，否则。。。娃见我又要去拿排球，立马说行了行了，知道了，不用
麻烦拿排球了。。。
。。。于是相安无事。。。
但俺今天吃饱了撑的，去 google 了一下 Euclid's fifth postulate，看到欧几里德
这哥们的原话是：
If a straight line crossing two straight lines makes the interior angles on
the same side less than two right angles, the two straight lines, if
extended indefinitely, meet on that side on which are the angles less than
the two right angles.
而我们从前中学数学老师教的其实是 Playfair's Axiom / Hilbert's Axiom 的修改版
（也就是把 Playfair / Hilbert 的 “at most one” 修改成 “one and only one”
，这样跟欧几里德哥们的原文完全等价）。WolframMathWorld 上把文字这么写：
http://mathworld.wolfram.com/ParallelPostulate.html
Given any straight line and a point not on it, there "exists one and only
one straight line which passes" through that point and never intersects the
first line, no matter how far they are extended.
当然我觉得这么的修改很适合中小学数学教育。。。但是当年数学老师最好提一句欧几
里德哥们跟文科生一样罗嗦，这不是个难事吧。。。当然我娃估计是被我气势汹汹地吓
得看着 internet 也不敢说我搞错了欧几里德的原话。。。 |
d****g
发帖数: 7460 | 2 我上次试图给娃证：
对顶角相等---容易
内错角相等---需要用对顶角和同位角
同位角相等 ---- 嗯，啊，哦，咦？
结果发现是个公里。奶奶的。怎么和我记得不一样？ |
d****g
发帖数: 7460 | 3 勾股和平行线啥关系？
【在 t******l 的大作中提到】
: 这事出有因是因为一道破题涉及到平行公理。于是俺就强调了一下平行公理是欧几里德
: 平面几何的核心，让娃上网查 Euclid's fifth postulate 后解释给俺听。
: 然后娃开始罗罗嗦嗦开始叙述 parallel 然后 angle 啥的。。。
: 俺一听 angle 就急了，说特么欧几里德又不是文科生说话那么罗嗦，你说的这个是
: theorem of angles and parallel lines。。。平行公理就是“过直线外一点有且仅有
: 一条平行线”，你说的这些都可以从 postulate 开始证明。。。如果追求概念图景但
: 追求特别严格的扣牛角尖的话，这么整。。。
: 首先用平行公理证明四个直角的矩形存在。。。娃目瞪口呆说这也要证明， 我说废话
: 你们数学老师画了三个直角咋知道第四个一定是直角，然后我拿出一个排球说，看看排
: 球上的球面上矩形好了。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 4 跟 “有且仅有一条平行线” 等等是等价公理（logically equivalent）。。。取决于
你采用哪个公理体系，把一个认为是公理的话，其他的就统统是定理。。。当然我觉得
还是要跟娃说一下，否则娃
还是可能出现“冗余公理” 或者直接“循环论证” 这种 “法兰西是培根”。。。这
这次也是一个不错的例子就是了。。。
【在 d****g 的大作中提到】
: 我上次试图给娃证：
: 对顶角相等---容易
: 内错角相等---需要用对顶角和同位角
: 同位角相等 ---- 嗯，啊，哦，咦？
: 结果发现是个公里。奶奶的。怎么和我记得不一样？
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t******l
发帖数: 10908 | 5 你去排球球面上证个勾股定理就知道了。。。等价公理（logically equivalent）。。
。当然一般人不会吃饱了撑的自找麻烦拿勾股定理当公理来建立几何体系就是了，虽然
理论上也不是不行。。。
【在 d****g 的大作中提到】
: 勾股和平行线啥关系？
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